Exemplos. Experimento Aleatório. E 1 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras;

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Eperimento Aleatório Eperiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Eemplos E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras; E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas; E : Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar; E 4 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 5 : Jogam-se dois dados e observase o par de valores obtido; E 6 : Jogam-se dois dados e observa-se a soma dos pontos obtido;

2 Espaço Amostra(l) Eemplos S {0,,,, 4} É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma eperiência aleatória. S { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S { t R / t 0} S 4 {,,,... } S 5 { (, ), (, ),(,), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } S 6 {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } Eventos Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Eemplo: Seja S {,,, 4, 5, 6 } o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado. Então são eventos: A {,, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S

3 Ocorrência de um Evento Seja E um eperimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A. Combinação de Eventos Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A - B Eventos mutuamente ecludentes Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. Dois eventos A e B são mutuamente ecludentes se não puderem ocorrer juntos. A A C A

4 Conceitos de Probabilidade Clássico Clássico Freqüencial Número de casos favoráveis P(A) Número de casos possíveis Aiomático Eemplo: Solução: Qual a probabilidade de ganhar na Mega Sena com um cartão de seis dezenas? Casos favoráveis Casos possíveis: Freqüência Relativa P(Mega Sena) Número de favoráveis Número de possíveis ,00000% Número de vezes que A ocorre fr A Número de vezes que E é repetido 4

5 Eemplo: Um dado é lançado 0 vezes e apresenta FACE SEIS 8 vezes. Então, a freqüência relativa de FACE SEIS é: fr6 número de vezes que"f_seis" ocorre número de vezes que o dado é jogado 8 0 0,5 5% Conceito Freqüencial P(A) lim fr A n Conceito Aiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () 0 P(A) () P(S) () P(AUB) P(A) + P(B) se A B Conseqüências dos Aiomas Probabilidade Condicionada () P( ) 0 () P( A) - P(A) () P(A - B) P(A) - P(A B) (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) Motivação Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 0 são brancas. 5

6 Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A { a primeira ficha é branca} B { a segunda ficha é branca} Então: P(A) 0/50 0,0 0% P(B)?/49 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. Nesse caso, pode-se calcular P(B/A), isto é, a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu, ou a probabilidade de B condicionada a ocorrência de A. Essa probabilidade vale, então: P(B/A) 9/49, pois se A ocorreu então eistem 9 bolas brancas na urna, de um total de 49. Independência Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: Se: () P(A/B) P(A) ou () P(B/A) P(B) ou ainda () P(A B) P(A).P(B) 6

7 Variável Aleatória s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X 0 R X(s) X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real X(s) é denominada variável aleatória. Conjunto de Valores Tipos de Variável Aleatória O conjunto formado por todos os valores, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { R/ X(s) } Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Variável Aleatória Discreta (VAD) Variável Aleatória Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável (contável) a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. 7

8 A função de Probabilidade (fp) A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada i X(S) o número f( i ) P(X i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f( i ) 0, para todo i f( i ) A Distribuição de Probabilidade Eemplo: A coleção dos pares [ i, f( i )] para i,,,... é denominada de Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja distribuição de probabilidade VAD X. da X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X 0 R f f () /8 /8 /8 /8 [0;] Representação de uma Distribuição de Probabilidade Através de: uma tabela uma epressão analítica (fórmula) um diagrama 8

9 Tabela Epressão Analítica Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado. 0 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6 Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R ( - )/6 se 7 ( - +)/6 se > 7 Diagrama Caracterização de uma VAD 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, (a) Epectância, valor esperado μ E(X) (b) Desvio padrão σ f ( ) ( μ).f ().P(X f ( ) μ ) Eemplo: Cálculos Calcular o valor esperado e a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. 0 4 Σ f() /6 4/6 6/6 4/6 /6.f() 0 4/6 /6 /6 4/6 /6 f() 0 4/6 4/6 6/6 6/6 80/6 9

10 Resultados: (a) Epectância ou valor esperado μ E (X).f () caras 6 (b) Desvio padrão σ 80 f () μ Eperimento: Quando eistem apenas duas situações: A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {0,,,,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f () n P(X ) p q n A função de probabilidade 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Características: Epectância ou Valor Esperado n n E(X).f (). p q np Variância V(X) E(X n(n )p n p ) - E(X) + np (np) + np np( p) npq 0

11 Eemplo: Suponha que uma amostra de 0 pessoas é entrevistada (com reposição) para saber se comprariam um determinado produto que tem uma aceitação de 0%. Seja X o número de pessoas na amostra que compraria o produto. Determine a distribuição de X. Como se tratam de 0 pessoas a variável X é Binomial com p 0%, assim a distribuição é: 0 0 () P(X ) (0,).(0,9 para 0,,,...,0 f ) Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. A função densidade de probabilidade É a função que associa a cada X(S) um número f() que deve satisfazer as seguintes propriedades: f() 0 f(). d A distribuição de probabilidade A coleção dos pares (, f()) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X.

12 Eemplo: Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f() seja uma função densidade de probabilidade (fdp). Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: c. f() 0 se c.c. f()d - c. d - Tem-se: Graficamente: - c. d - c d,5 c - c - -,0 0,5 f() c c 0,0 -,5 -, -,0-0,8-0,5-0, 0,0 0, 0,5 0,8,0,,5 - X Cálculo da Probabilidade P ( a y < X < b ) b a f ( ) d P ( a < X < b ) Isto é, a probabilidade de que X a b f ( ) d assuma valores entre os números a e a b a < X < b b é a área sob o gráfico de f() entre os pontos a e b.

13 Observações: Se X é uma VAC, então: P ( X a ) a a f ( ) d P (a < X < b ) P (a X P (a < X b ) P (a 0 < b ) X b ) Eemplo: Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f () 0 se c.c. A probabilidade solicitada é dada pela integral da função no intervalo, isto é: P ( 0,5 < 0,5-0,5 [(0,5) X < 0,5) d (-0,5) d ],50 % 0,5-0,5 0,5-05 Características: (a) Epectância, valor esperado μ E(X) (b) Desvio padrão σ f ()( μ) d.f () d f ()d μ Eemplo: A Epectância Determinar a epectância e o desvio padrão da variável X dada por: f () 0 se c. c. μ - E ( X ) f()d.d d

14 O Desvio Padrão σ E ( X ) E ( X ) E ( ). X d , d O desvio padrão de X será, então: σ E ( X ) E ( X ) 0,60 0 0,77 A Função de Distribuição (Acumulada) É a função F() definida por: F() P(X ) f(u)du A F() é a integral da f() até um ponto genérico. Eemplo: Considerando a função abaio como a fdp de uma VAC X, determinar F(). f () 0 se c.c. A F() é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: Vamos determinar o valor da integral em u : 0 F() u du se < - se se > F() u du u du u + ] [u 4

15 Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: 0 se < - F() + se se > Gráfico: F() +,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5 Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X ) F() P(X > ) F() P( < X< ) F( ) F( ) Normal (Gauss-Moivre-Laplace) t (Student) χ (Qui-quadrado) F (Snedecor - Fisher) 5

16 Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f () μ. σ.e, R π. σ com - < μ < e σ > 0 Gráficos: Cálculo da Probabilidade: 0,8 0,6 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) N(; ) P(X ).e π. σ u μ. σ du? 0,4 0, 0, A normal não é integrável através do TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), isto é, não eiste F() tal que F () f(). Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). A Normal Padrão A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com μ 0 e σ. Se X éuma N(μ, σ), então: Z X μ σ Será uma N(0; ). 6

17 A Distribuição N(0, ) A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z).e π z., z R uma vez que μ 0 e σ. 0,4 0, 0, 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 Tabelas ou Planilhas: O que é tabelado ou obtido na Planilha é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) z - z - ϕ(u)du u..e du Φ(z) F(z) π FDA da N(0; ) Φ(z),0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 z Utilização da Tabela (Planilha) Área à esquerda (abaio) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) -P(Z z) -Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( < Z< z ) Φ( z ) ( z ) z Φ Planilha Ou um valor não padronizado. Nesse caso, a planilha padroniza o valor fornecido. É possível fornecer um valor padronizado z. 7

18 Eemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) (a) P(X 40) X μ P(X 40) P( ) σ 8 P(Z,5) 0,56% Como a curva é simétrica, tem-se: (b) P(X > 65) Φ( z) Φ(z) X μ P(X > 65) P( > ) σ 8 P(Z >,88) P(Z <,88) Φ(,88) Φ(,88),0% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) X μ 6 50 P( < < ) 8 σ 8 P( 0,6 < Z <,50) Φ(,50) Φ( 0,6) 9,% 6,76% 66,56% A função Inversa Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X ) 5% (b) P(X > ) % Para resolver este tipo de eercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na Planilha. Só que agora devemos entrar com uma probabilidade para obter um valor de z ou. Lembrar que a planilha só fornece áreas (valores) à esquerda. Planilha Nesse caso, a planilha faz a mudança de z para, Acima fornece z, abaio. Nesse caso, é fornecido uma área, por eemplo, 99%. 8

19 Graficamente, tem-se: 0,05 0,04 0,0 0,0 5% 0,0 P(X ) 5% 0, Em (a) temos P(X ) 5%: X μ 50 P(X ) P( ) σ 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde 50 z 8 Se Φ(z) 5%, então Φ z Φ [ Φ(z)] Φ (5%) (0,05) Função Inversa Obtendo na planilha, o valor (z) que corresponde a uma área à esquerda de 5% 0,05, tem-se: z -,645. Assim: 50 Como z, tem 8 50,645 z 8 50, ,84 se : Poderia ter sido utilizado a função INV.NORM(5%, 50; 8 ) que forneceria o valor de 6,84 diretamente. Em (b) temos P(X > ) %. Nesse caso, basta entrar com uma área de 99%, lembre-se, a planilha e a tabela, só fornecem a área à esquerda: 0,05 0,05 0,04 0,04 0,0 0,0 P(X > ) % 0,0 0,0 Entra com a área (branca) de 99%. 0, % 9

20 Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f ( ) υ + Γ + υ υ πυ. Γ para υ + R Gráficos: A função Γ é a uma generalização da função fatorial e poderá ser obtida com o recurso da planilha. No entanto, será necessário obter apenas valores da t e áreas que a planilha fornece sem a necessidade de utilizarmos essa fórmula. 0,40 0,0 0,0 0,0 fdp de t() t(5) t(5) 0, Caracterização: Epectância ou Valor esperado: μ E (X) Variância: Var(X) 0 υ υ- O valor υ é denominado de Grau de liberdade O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α (Bilateral). 0

21 As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Podese ler uma área (α) de cima para baio e se ter um valor unilateral (P(T t) α) ou ler a área (α) de baio para cima e se ter um valor t tal que P(T t) α/. Na planilha, entrando com o valor, por eemplo, e um grau de liberdade (gl) de 0 obtém-se a área de 5,46%, soma das duas caudas. Se caudas for a resposta seria,7%. Na planilha, entrando com uma área de 5% e um gl de 0 a resposta é,04, isto é, P(-,04 < T <,04) 95%. Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ υ f ( ) 0 e υ Γ se se > 0 0 Epectância ou Valor esperado μ E(X) Variância σ υ Var(X) υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade

22 χ () 0,60 χ () 0,40 χ () χ (5) 0,0 χ (5) 0,00 0,0,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor tal que P(χ ) α 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,00 0,00 0,05 0,0 0, 0,07 0,5 0,6 0,5 0, ,07 0,97 0,484 0,7, ,4 0,554 0,8,45,60 6 0,676 0,87,7,65,04 7 0,989 P[χ,9 () 0,],690 90%,67,8 8,44,647,80,7,490 9,75,088,700,5 4,68 0,56,558,47,940 4,865 Se formos calcular P[χ () > 4], teríamos com o uso da planilha: 4,55%. A função direta fornece a área à direita nesse caso, ao contrário, da normal que é à esquerda. Se fosse solicitado P[χ () > ] 5%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de,84, isto é, P[χ () >,84] 5%.

23 Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: f () m n m m + n Γ m n m n Γ Γ 0 ( n + m) m+ n se > 0 se 0 Epectância ou Valor esperado m μ E(X) m Variância σ (m n - ) Var(X) m m(n- )(n- 4) + m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador.,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 F(, ) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) O que é tabelado é a percentil 95% ou 99% - área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador) igual a 5% e %, isto é, tal que P[F(m, n) ] 5% ou P[F(m, n) ] % ,45 99,50 5,7 4,58 0,6,99 6,77 8,5 9,00 9,6 9,5 9,0 9, 9,5 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 P[F(5,7),97] 5% 4 7,7 6,94 6,59 6,9 6,6 6,6 6,09 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 6 5,99 5,4 4,76 4,5 4,9 4,8 4, 7 5,59 4,74 4,5 4,,97,87,79 8 5, 4,46 4,07,84,69,58,50 9 5, 4,6,86,6,48,7,9 0 4,96 4,0,7,48,,,4 4,84,98,59,6,0,09,0 4,75,89,49,6,,00, ,8 4999,4 540,5 564,6 576, ,95 598, 98,50 99,00 99,6 99,5 99,0 99, 99,6 4,P[F(5, 0,8 7) 9,467,46] 8,7 % 8,4 7,9 7,67 4,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 5 6,6,7,06,9 0,97 0,67 0,46 6,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 7,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 8,6 8,65 7,59 7,0 6,6 6,7 6,8 9 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,9 5,0 9,65 7, 6, 5,67 5, 5,07 4,89 9, 6,9 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64

24 Se formos calcular P[F(, ) > 4], teríamos com o uso da planilha: 8,5%. A função direta fornece, nesse caso, também a área à direita. Se fosse solicitado P[F(, ) > ] 8,5%, então, utilizando a função inversa, teríamos o valor de 4, isto é, P[F(, ) > 4] 8,5%. Pafnut(i/y) Lvovic(h) Tchebycheff (Tchebichev ou Chebyshev) (8 894) P( X - μ kσ) /k ou P( X - μ < kσ) - /k Esta desigualdade fornece a probabilidade de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a k desvios padrões. Assim se k, por eemplo, a desigualdade estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo μ ± σ é de pelo menos - /4 75%. X - μ < σ - /4 75%. 4