Peso (mg) Número de cigarros [760,780[ 3 [780,800[ 7 [800,820[ 19 [820,840[ 25 [840,860[ 17 [860,880[ 12 [880,900[ 8

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1 Escola Superior de Tecnologia de Viseu Tratamento Estatístico de Dados 2008/2009 Ficha Revisões 1. A Tabaqueira SA faz um apertado controlo da qualidade dos cigarros que produz; o peso é uma das características rigorosamente acompanhadas. Retirou-se uma amostra de 91 cigarros produzidos pela tabaqueira e obtiveram-se os seguintes resultados: Peso (mg) Número de cigarros [760,780[ 3 [780,800[ 7 [800,820[ 19 [820,840[ 25 [840,860[ 17 [860,880[ 12 [880,900[ 8 a) Calcule a média a moda e a mediana da distribuição do peso dos 91 cigarros. O que pode concluir quanto à simetria da distribuição? b) Determine o desvio padrão da amostra. 2. O tempo, em minutos, necessário para um aluno terminar um teste de avaliação é descrito por uma variável aleatória com distribuição normal de média igual a 58 e variância igual a a) Determine a probabilidade de um aluno demorar menos de 57 minutos a realizar o teste. b) Determine a probabilidade de um aluno demorar entre 57 minutos e 58 minutos a realizar o teste. c) Se o professor pretender que 90% dos seus alunos terminem o teste, quanto tempo deverá ser necessário. 3. Admita que os níveis de hemoglobina seguem uma distribuição normal. Os níveis de hemoglobina (em g/cc) em 12 ratos com doenças de coração congénitas são os seguintes: Página 1 de 9

2 a) Calcule a média e a variância da amostra. Determine a recta de regressão usando o método dos mínimos quadrados. b) Determine um intervalo de confiança, com 95% de confiança para os níveis médios de hemoglobina. c) Certo investigador afirma que o nível médio de hemoglobina é superior a 15 g/cc. Com um nível de significância de 1% verifique a afirmação do investigador. 4. Considere a seguinte distribuição de frequências, correspondente a áreas (em centenas de metros quadrados) de uma empresa de um parque industrial: Área Número de empresas [5,15[ 40 [15,25[ 80 [25,35[ 115 [35,45[ 105 [45,55[ 65 [55,65[ 45 [65,75[ 35 [75,85[ 30 a) Construa o histograma (use as frequências absolutas) da distribuição. b) Calcule a moda e a mediana. Interprete os valores obtidos. c) Calcule o 3º decil e interprete-o. 5. Os valores que se seguem dizem respeito ao produto interno bruto (PIB) real per capita, em milhares de euros, de 11 países europeus: a) Indique os quartis do valor do PIB. Interprete os valores encontrados. b) Determine o desvio padrão do valor do PIB e indique qual o seu significado. c) Classifique a distribuição do PIB quanto à simetria. Página 2 de 9

3 d) Admita que os valores do PIB seguem uma distribuição normal. Com base num intervalo, com 95% de confiança podemos afirmar que o PIB médio é superior a 22 milhares de euros? 6. Suponhamos que recolhemos de forma independente uma amostra de 5 trabalhadores de uma empresa onde trabalham 1000 pessoas e onde se sabe que a percentagem de mulheres é de 60%. a) Determine a probabilidade de nessa amostra não existir nenhuma mulher. b) Qual a probabilidade da amostra ter pelo menos 3 mulheres? c) Determine a média e o desvio padrão do número de mulheres na amostra. 7. Retirou-se uma amostra de 10 casas e registou-se o preço de venda dos terrenos onde as mesmas estavam construídas (em milhares de euros): A um nível de significância de 1%, poder-se-á concluir que o preço dos terrenos segue uma distribuição normal? 8. Através de um estudo qualitativo com consumidores de bebidas, conseguiu-se apurar que existia uma grande sensibilidade ao preço. Apesar de haver uma preferência generalizada por sumos naturais face a refrigerantes, os consumidores mostravam-se cépticos em relação à qualidade quando se falava de preços baixos. Concretamente, numa sondagem efectuada a 1973 potenciais clientes, confrontou-se os inquiridos com três alternativas: adquirir sumo natural a preço elevado (B 1 ), adquirir sumo natural a preço baixo (B 2 ) e adquirir refrigerantes (B 3 ). B 1 B 2 B 3 Classe Média Alta Classe Baixa Diga se as preferências dos consumidores são independentes da classe a que pertencem. Utilize um nível de significância de 1%. Página 3 de 9

4 9. A prova de avaliação da disciplina de Estatística é composta por duas partes (Teórica e Prática), cada uma delas classificada de 0 a 100. Para uma amostra de 10 alunos observou-se: X Classificação Teórica Y Classificação Prática a) Calcule a equação de regressão estimada pelo método dos mínimos quadrados. b) Determine o coeficiente de determinação e de correlação. Interprete os valores encontrados. c) Preveja a classificação na parte prática de um aluno que tenha obtido uma classificação de 80 na parte teórica. d) Seleccionaram-se aleatoriamente 5 alunos do mesmo curso. As classificações desses alunos na parte teórica da disciplina de Matemática foram: 13, 40, 41, 48 e 69. Pode-se admitir que a distribuição das classificações na parte teórica é igual nas duas disciplinas? (Use α=0.01) 10. Segundo uma empresa de estudos de mercado as preferências dos portugueses quanto a programas televisivos repartem-se da seguinte maneira: Noticiários 35%, Programas Culturais 15%, Outros Programas 50%. Com o objectivo de avaliar se o padrão de preferências é idêntico ao apurado pela empresa, decidiu-se inquirir 300 telespectadores, tendose obtido os seguintes resultados: Noticiários Programas Culturais Outros Programas Utilizando um nível de significância de 5% diga o que pode concluir quanto ao objectivo do inquérito. 11. Uma companhia de seguros pretende determinar a relação entre o rendimento anual dos seus clientes (X) e o valor do respectivo seguro de vida (Y), ambos em milhares de euros, baseandose numa amostra de 10 clientes: Página 4 de 9

5 X Y a) Determine a recta de regressão estimada pelo método dos mínimos quadrados. b) Comente a afirmação: Apenas 10% da variação no valor do seguro de vida não é explicada linearmente pela variação no rendimento anual dos clientes. c) Preveja o valor do seguro de vida de um cliente com rendimento anual de 50 milhares de euros. 12. Entre os pavilhões mais visitados de uma exposição universal, foram seleccionados aleatoriamente três, tendo sido registados os tempos de espera para visitar os mesmos. Segue-se os dados relativos às três amostras aleatórias dos tempos de espera registados em minutos, para os três pavilhões: Pavilhão 1 Pavilhão 2 Pavilhão Verifique ao nível de significância de 5% se existem diferenças significativas entre os tempos médios de espera dos três pavilhões. Entre que pavilhões se verifica essa diferença? 13. Uma companhia de marketing costuma fazer sondagens para determinar o grau de satisfação de comparadores de automóveis. O preenchimento do inquérito usado nessas sondagens demorava, em média, 12 minutos, com desvio padrão de 3 minutos. Para tornar o preenchimento mais rápido, resolveu reestruturá-lo e testar se, em média, o preenchimento do novo inquérito demorava menos tempo. Assim, recolheu-se, aleatoriamente, uma amostra de 5 compradores de automóveis: 11, 12, 11, 12.5 e Será que se pode concluir que em média o novo inquérito é Página 5 de 9

6 mais eficiente? Use α=0.1. A companhia de marketing acredita que o desvio padrão do tempo de resposta continua a ser de 3 minutos. 14. O quadro seguinte representa o volume de vendas de 3 empresas, recolhidas nos primeiros quatro meses do ano. Empresa 1 Empresa 2 Empresa Verifique, ao nível de significância de 5%, se há diferenças significativas entre as vendas médias das 3 empresas. 15. O trabalho de uma certa máquina A, consiste em comprimir aparas de metal para fazer cubos que são depois utilizados para fazer porcas e parafusos. Os cubos produzidos têm pesos variável que pode considerar-se normal com valor médio e variância desconhecidos. Foram seleccionados 31 cubos seleccionados ao acaso: 31 i= 1 x = 37.8 x 2 = i 31 i= 1 Com base num intervalo de confiança a 95% diga se concorda com a seguinte afirmação: Em média, um cubo pesa mais de 1 Kg. i 16. Certo laboratório dispõe de um teste para diagonisticar uma doença, o qual dá resultado positivo em 10% dos casos. É efectuado em rastreio da doença sendo submetidos ao teste 12 indivíduos, escolhidos ao acaso na população. A população ficará sujeita a um regime especial de vigilância médica se nesse rastreio pelo menos três testes derem positivos. Qual a probabilidade da população ficar sujeita ao regime de vigilância? Página 6 de 9

7 17. Um ecologista, ao pretender investigar o nível de poluição por mercúrio em determinado lago da região de Viseu, retirou aleatoriamente 10 peixes do referido lago e mediu a concentração de mercúrio nos mesmos: Valores observados Nº de observações a) Usando um nível de significância de 5%, verifique a normalidade da população. b) O ecologista considera que a média da concentração de mercúrio no lago é superior a 3. Teste a afirmação do ecologista usando α= Com o objectivo de averiguar se os apoiantes de dois clubes (Benfica e Porto) se distribuem de igual modo pelas diferentes regiões do país (Norte, Centro e Sul), seleccionou-se uma amostra de 315 adeptos e obteve-se os seguintes resultados: Norte Centro Sul Benfica Porto Ao nível de significância de 2.5% que conclusões retiraria? Utilize as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre os dois atributos. 19. Com o objectivo de avaliar se um dado é perfeitamente equilibrado, fizeram-se 42 lançamentos e registaram-se os resultados. Resultado Nº de observações Teste, para α=0.05, se o dado pode de facto ser considerado equilibrado. Página 7 de 9

8 SOLUÇÕES 1.a) Média= ; Moda=829.44; Mediana=833.3; Distribuição assimétrica positiva 1.b) s= a) b) c) minutos 3.a) média=15.78; variância= b) (14.371;17.189) 3.c) não pertence a R.C=[2.718;+ [; não rejeito H 0 4. a) 4. b) Moda= ; Mediana= c) a) 1º Quartil=21; 2º Quartil=22; 3º Quartil=24 5. b) s= c) média=22.64; moda=22; mediana=22; assimétrica positiva 5. d) (20.64; 24.64) 6. a) b) c) média=3; variância=1.2 Página 8 de 9

9 não pertence a R.C=[0.294;+ [; não rejeito H pertence a R.C=[9.21;+ [; rejeito H 0 9. a) ŷ = x 9. b) r 2 =0.133; r= c) não é sensato usar a equação de regressão estimada 9. d) 0.2 não pertence a R.C=[0.8;+ [; não rejeito H pertence a R.C.=[5.991;+ [ rejeito H a) ŷ = x 11. b) Afirmação falsa (r 2 =0.9475) 11. c) pertence a R.C.=]- ;-1.645]; rejeito H não pertence a R.C.=[5.6538;+ [; não rejeito H (1.1.6;1.334) a) não pertence R.C.=[0.258;+ [ não rejeito H b) 2.27 não pertence R.C.=[2.821;+ [ não rejeito H não pertence R.C.=[7.378;+ [ não rejeito H não pertence R.C.=[11.070;+ [ não rejeito H 0 Página 9 de 9