Primeira Parte. 0, caso contrário.

Transcrição

1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO - Exame de Época Normal 009/00 Primeira Parte [,0]. Considere a varável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: ½, 0 x 3 f (x) 3 0, caso contrário. Considere as seguintes afirmações: I. O seu valor esperado pertence ao intervalo: ]3, 4[. ½ x, 0 x 3 II. A sua função de distribuição é dada por F (x) 3 0, caso contrário. 0, x<0 x III. A sua função de distribuição é dada por F (x), 0 x 3 6, x>3 I. As probabilidades de valores isolados de X são nulas. A lista completa das afirmações incorrectas é: A) I, II e I. B) I, III e I. C) I, II e III. D) II, III e I. C). [,0]. Numa fábrica de embalagem de queijo, seleccionaram-se aleatoriamente 00 embalagens, das quais algumas tinham peso inferior ao suposto, sendo por isso inadequadas. Para tal, construiu-se um intervalo de confiança a 98% para a verdadeira proporção de embalagens inadequadas na produção total e obteve-se p ]0.09, 0.69[. Para diminuir a amplitude do intervalo de confiança, podemos: I. diminuir apenas o grau de confiança. II. diminuir apenas a dimensão da amostra. III. diminuir o grau de confiança e a dimensão da amostra. I. aumentar o grau de confiança e manter a dimensão da amostra. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

2 A). A) I B) II C) III D) I Segunda Parte 3. Suponha que o n o de filhos com menos de 8 anos de idade das famílias do país ABC em 3 de Dezembro de 009 é uma variável aleatória, X, comaseguintefunçãode probabilidade: x f (x) a b. [,5] (a) Sabendo que E [X]., determine a função de distribuição da variável aleatória X. 4P f (x) x0 4P xf (x). x0 Então, ½ a + b a +4b. ½ a 0. b 0.05 F (x) Na alínea b) considere a 0. e b , x<0 0.4, 0 x< 0.66, x< 0.85, x<3 0.95, 3 x<4, x 4 [,5] (b) Calcule a probabilidade de, em 000 dessas famílias, haver não menos de 30 famílias (em 3 de Dezembro de 009) com 4 filhos com menos de 8 anos. Temos uma nova v.a.: Como Y -n o de famílias, em 000, com 4 filhos com menos de 8 anos Y B (000; 0.05) n 000 > 30 np 50> 5 nq 950> 5 Y B (000; 0.05) Y N a binomal converge para a Normal com ³ 50; 47.5 Z Y 50 N (0, ) 47.5 ½ μ np 50 σ npq 47.5.

3 Logo, P Bin. (Y 30) P Nor. (Y>9.5) P +φ (.97) µ Z φ (.97) Admita que o número de camiões TIR que atravessa, por hora, a ponte 5 de Abril segue uma distribuição de Poisson com desvio padrão igual a 3 camiões. [,0] (a) Calcule a probabilidade de, entre as 8 e as 0 horas passarem, pelo menos, 0 camiões na ponte 5 de Abril. X -n o de camiões TIR que atravessa, por hora, a ponte 5 de Abril X P (9) Logo, como existe independência entre cada hora, podemos aplicar a aditividade da Poisson W -n o de camiões TIR que atravessa, entre as 8 e as 0 horas, a ponte 5 de Abril X W X i P (8) P (W 0) P (W <0) P (W 9) [,0] (b) Sabendo que o último camião passou na ponte 5 de Abril há pelo menos 5 minutos, qual a probabilidade do próximo camião só passar daqui a, pelo menos, 0 minutos? A - Tempo, em minutos, entre a passagem consecutiva de camiões TIR na µ 60 ponte5deabril A Exp 9 Logo, P (A 5/A 5) P (A 0) F (0) {z } Pela falta de memória da exponencial ³ e O tempo, em dias, que um engenheiro leva a avaliar projectos de grande envergadura, tem um comportamento normal com média igual a 5 dias e desvio padrão igual a dia.

4 [,0] (a) Qual o tempo gasto por este engenheiro na análise de 97.5% dos projectos? X - tempo, em dias, que um engenheiro leva a avaliar projectos de grande envergadura X N (5; ) Z X 5 N (0, ) P (X x) P (Z <x 5) x 5.96 x 6.96 dias. [,0] (b) Qual a probabilidade do engenheiro, ao receber 7 projectos, gastar no máximo 30 dias para os analisar? Como cada análise é independente das restantes, podemos aplicar a aditividade da Normal W - tempo, em dias, que um engenheiro leva a avaliar 7 projectos de grande envergadura 7X W X i N ³7 5; 7 Z W 35 N (0, ) 7 P (W 30) P µ Z φ (.89) φ (.89) [,0] 6. Suponha que a despesa mensal familiar num determinado país é representada por uma variável aleatória com média μ evariânciaσ. Para conhecer o montante mensal médio da despesa familiar, duas empresas de sondagens, A e B, realizaram inquéritos em simultâneo, mas de forma independente. A empresa A inquiriu famílias e a empresa B 50 famílias. Se pretendesse realizar um estudo com base na informação conjunta das duas empresas qual dos dois estimadores centrados μ P P X i + 50 X 50 j j ou μ X X i escolheria? Justifique. Como os estimadores são centrados, então, E (μ μ) E (μ μ) [μ ] [μ ] σ 400 σ 400 > μ émaiseficiente.

5 Cálculos auxiliares: P P X i + [μ ] 4 Ã µ X 4 () 50 X 50 j j " # X X i + [X i ]+ Inq. Ind. Ã 4 µ 50 X50 4 (50) j " # " #! X X50 X i + X j 50 " 50 #! X X j j [X j ] X i e X j id. dist. σ 4 + σ 4 50 σ + σ 4 3σ 00 σ 400 [μ ] " # X X i µ X () [X i ] X i id. dist. " X i e X j ind. # X X i j σ 4 () + 50σ 4 (50) X i ind. () σ () σ 7. Os funcionários de uma empresa devem trabalhar, em média, 8 horas diárias. Com a finalidade de investigar se os funcionários estão a trabalhar mais do que as horas médias previstas, o sindicato registou num determinado dia, o número de horas de trabalho de 0 funcionários escolhidos aleatoriamente, tendo obtido os seguintes resultados: X0 x i 909 e X0 (x i x) 000. [,5] (a) Teste, para α 0.0, se a empresa deverá ser punida por exigir que os seus funcionários trabalhem mais do que deviam. Teste unilateral direito para a média: ½ H0 : μ 8 H : μ>8 Como o desvio padrão é desconhecido e n 0> 30 a distribuição a utilizar será: Aregiãocrítíca,paraα 0.0, será: Z X μ S n N (0, ) RC [z α ;+ [ [z 0.99 ;+ [ [.36; + [

6 Como np ³ X i X S n tem-se S pelo que Z / RC, concluindo-se pela não rejeição de H 0, isto é, 0 segundo os dados do problema a empresa não deverá ser punida pois não exige que os seus funcionários trabalhem mais do que deviam. [,5] (b) Caso μ 9,calculeoerrode a espécie associado ao teste anterior e comente-o. Mudando a escala da região crítica, vamos ter: Z k 8 q z 0.99 k k Logooerrode a espécie, β P (T RA/H 0 F ), é dado por: β (μ9) P Z < q k μ µ 000 /μ P Z< φ (0.08) Temos um elevado erro de a espécie o que indica a má qualidade do teste. [,5] (c) Suponha que se determinou o seguinte intervalo de confiança para o desvio padrão das horas de trabalho diárias (considerando μ desconhecido): σ ]3.7769; 5.454[. Indique, justificando, qual o grau de confiança utilizado. Como μ desconhecido, vaomos usar a variável fulcral: X (n ) S σ χ (n ) Logo o intervalo de confiança a ( α)00% para σ com μ desconhecido é dado por: #s s " (n ) s (n ) s ; χ (n ); α χ (n ); α Então, fazendo s (n ) s (5.454) χ χ (n ); χ (00); α α (00); α (5.454) χ (00); α 67.3 α α 0.0 α 0.99 O grau de confiança utilizado foi de 99%.

7 8. Tendo em conta os dados da questão 7, e com a finalidade de elaborar um estudo sobre a produtividade, face ao n o de horas de trabalho, a empresa utilizou uma taxa de produtividade por hora de trabalho (em percentagem), Y, obtendo as seguintes resultados: ȳ 76.3, X0 x i y i 68 e X0 y i 647. [,5] (a) Caso se justifique ajuste uma recta de regressão linear aos dados, considerando, se necessário, 0 P x i 08. amos calcular o coeficiente de correlação linear empírico: np x i y i nxy r X,Y s µ P n µ n x i P nx yi ny q(000) (76.3) Conclui-se que existe uma forte relação linear negativa entre X e Y,justificando-se ajustar um modelo de regressão linear aos dados. np np x i y i nxy x i y i nxy b np x i np n x (x i x) 000 a y bx obtém-se então a recta de regressão linear: by x. [,0] (b) Tendo-se observado que min x i 6.5 e max x i 3.5, prevejaataxadeprodutividade de um trabalhador que trabalhe uma média de 8 horas diárias, e de outro que trabalhe uma média de 0 horas diárias. Indique, justificando, se estas previsões têm boa qualidade. Se x 8, então by Se x 0, então by A primeira previsão tem boa qualidade pois o modelo tem um ajustamento forte e, simultaneamente, x 8horas de trabalho é um valor que está enquadrado na amostra. Relativamente à a previsão esta tem má qualidade pois x 0é um valor que não se enquadra na amostra que originou o modelo linear.