INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Exame - Época de Recurso SEMESTRE PAR 7/8 Data: 6 de Julho de 8 Duração: h Instruções:. Leia atentamente o teste antes de começar.. Justifique convenientemente todas as respostas.. Não deverá responder a diferentes questões numa mesma folha de resposta. 4. Somente poderá consultar as tabelas que lhe tenham sido fornecidas na ocasião pelos docentes.. É permitida a utilização individual de máquina de calcular. 6. O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorrida uma hora a partir do início do teste e implica a entrega do mesmo. Questões: [.]. De 8 pilotos que disputam provas de velocidade e de ralis, alguns disputam os dois tipos de prova. Sabe-se que % dos que praticam prova de velocidade também fazem ralis e % dos que praticam ralis também praticam prova de velocidade. Quantos são os pilotos que disputam os dois tipos de provas? temos R praticar ralis V praticar velocidade P (R /V). P (V / R). P (R /V) P (R V ) P (V ).P (V )P (R V ) P (V ) P (R V ). P (V / R) P (R V ) P (R).P (R) P (R V ) P (R) P (R V ). e atendendo que P (R V ) P (R)+P (V ) P (R V ) P (R V ). + P (R V ). P (R V ) 4P (R V )+P (R V ) P (R V ) P (R V ) pilotos praticam ralis e velocidade.. Considere a variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é dada por: ½ +ax f (x), x, para outros valores de x [.] (a) Determine o valor da constante a.

2 Ora, se f (x) é função densidade de probabilidade então f (x) dx e f (x), x f (x) dx Z +ax dx x + ax 6 + a 6 +a 6 a 4 [.] b. Considere a 4ecalculeV [ X]. Sabemos que Atendendo que Então: E (X) f (x) V [ X] 4V [X] ½ +4x, x, para outros valores de x xf (x) dx Z x +4x Z dx x +4x dx e E X x 6 + 4x 9 x f (x) dx Z x +4x Z dx x +4x dx Portanto logo x 9 + 4x V (X) E X E (X) 4 µ V [ X] 4V [X] 9 4. Considere um canal de transmissão digital cujo número de bits transmitidos por cada 6 segundos segue uma distribuição de Poisson com média igual a bits por 6 segundos.

3 [.] (a) Calcule a probabilidade do canal de transmissão digital transmitir pelo menos bits em minutos. X n o de bits transmitidos por cada 6 segundos ( minuto) X P () Y n o de bits transmitidos por cada minutos Y P () Logo P (Y ) P (Y <) P (Y 9) F (9) [.] b. Qual a probabilidade de que o tempo entre duas transmissões consecutivas seja no máximo segundos, sabendo que já passaram segundos? Seja X n o de bits transmitidos por cada segundo X P ( 6 ) isto é X P ( ) U intervalo de tempo, em segundos, entre transmissões consecutivas U Exp() com P (U U >) ½ F (x) x< e x x P ( U ) P (U <) ³ e ³ ³ e e e e e.99 [.] c. Suponha que se chegou à conclusão que afinal a média do número de bits transmitidos por cada 6 segundos é desconhecida. Com o objectivo de arranjar uma estimativa para esse parâmetro recolheuse uma amostra aleatória (X,X,...,X n ) econstruiu-seoestimadorλ b X. Analise esse estimador quanto à convergência. Para λ b ser um estimador convergente para λ é necessário que: lim E bλ λ e lim V bλ lim E bλ lim E X np lim E n X i lim n E [X + X X n ] nλ lim n lim λ λ lim n [E (X )+E (X )+...+ E (X n )]

4 e lim V bλ lim n V [X + X X n ] Dondeseconcluiqueλ b é um estimador convergente para λ. lim nλ n lim λ n 4. A temperatura diária numa sala de espera de uma clínica médica (expressa em graus centígrados) segue uma distribuição normal, com desvio padrão C. Sabe-se ainda que a probabilidade da temperatura na sala ultrapassar os, 6 C éde%. [.] (a) Mostre que a temperatura média diária da sala de espera da clínica é de aproximadamente o C? X temperaturadiárianumasaladeesperadeumaclínicamédica(expressaemgrauscentígrados) P (X >.6), P X N(μ, ) µ Z.6 μ, 9.6 μ, 8.6 μ.64 μ.6 ' [.] b. Sempre que num dia se verificar uma temperatura na sala de espera inferior a C, liga-se o aquecimento central. Qual a probabilidade de se ter de ligar o aquecimento central em todos os dias de umasemanade7 dias? P (X <) P (Z.) P (Z.).698. Considerando ou seja, Logo Y n o de dias, em 7, que se liga o aquecimento Y Bin(7,.) P (Y 7).. Um fabricante de telemóveis lançou um novo modelo, que anuncia como possuindo uma autonomia esperada de 8 horas. Uma associação de defesa do consumidor pretende verificar a correcção deste anúncio, tendo para tal recolhido uma amostra de medidas de autonomia do novo modelo, apresentada na seguinte tabela: Autonomia (horas) Suponha que a autonomia comporta-se de forma aproximadamente normal. [.] (a) Verifique a correcção da informação dada pelo fabricante através de um intervalo de confiança a 9%. Pretende-se um intervalo de confiança. para μ a 9%. ( População Normal Como n 6< vamos utilizar σ é desconhecido T X μ S n t (n ) 4

5 ³ ;n ) Ã! P t ( α ;n ) <T <t α P t ( α ( α ;n ) < X μ <t S ( α ;n ) α n P µ X t ( α ;n ) S n <μ<x + t ( α ;n ) S n α Logo o intervalo de confiança a ( α) % para μ com σ desconhecido e n< é: s s x t ( α ;n ) ; x + t n ( α ;n ) n Concretizando vem α.9 α. α.97 t (.97;).7 Ã x 89 s n! X x i n x s n Sendo o intervalo de confiança para μ a 9% dado por ; ]69.; 8.77[ 6 6 Para 9% de confiança podemos dizer que a autonomia indicada pelo fabricante não deverá ser corrigida uma vez que está contida no intervalo apresentado. [.](b) Mostrequeadimensãomínimaqueumanovaamostradeveráter,deformaaqueointervalode confiança a 9% para o valor esperado da autonomia tenha uma amplitude não superior a horas, ésuperiora. Atendendo a que n>, temos a amplitude dada por : z n z.97 n n n 7.88 n 4.8 [.] (c) Um outro fabricante afirma que os seus telemóveis apesar de apresentarem uma autonomia esperada idêntica à do fabricante anterior apresentam uma menor variabilidade. Para confirmar recolheu-se uma amostra de dimensão e obteve-se s. Admitindo mais uma vez que a autonomia comporta-se de forma aproximadamente normal, a um nível de significância de % será de concluir que a variabilidade da autonomia dos telemóveis deste fabricante é de facto inferior à do outro fabricante? Teste unilateral (direito) sobre o quociente de variâncias: ½ H : σ σ H : σ >σ H : σ σ H : σ > σ Sabemos que uma estimativa de σ é s. e uma estimativa de σ é s. Aestatísticade teste e distribuição a utilizar será: F S S σ σ F (n ;n )

6 Dado que a região critíca se situa à direita e α., temos: f (,9);.9.48 Logo, RC [.48; + [ Como s. s., vem F S σ S.. / RC. σ Conclui-se pela não rejeição de H, isto é, segundo os dados do problema não existe diferença de variabilidade significativa entre as autonomias dos telemóveis dos dois fabricantes. 6. Um sociólogo foi contratado por uma empresa para investigar a relação entre o número de dias não autorizados por ano que os funcionários estavam ausentes (X) e a distância (em quilómetros) entre o local onde moram e a empresa onde trabalham (Y ). Uma amostra de funcionários foi recolhida aleatoriamente e foram obtidos os seguintes resultados: X x i 6, X x i 66, X x i y i 4, X (y i y) 8.8, X y i 64 [.] (a) Avalie se o grau de relacionamento linear entre a distância e o número de dias de ausência não autorizada é forte ou fraco. Conclua se é razoável aplicar um modelo de regressão linear. Vejamos o coeficiente de correlação linear empírico: np np x i y i nxy x i y i nxy r X,Y s µ P n µ n x i P s µ n µ nx yi P ny x i P nx (y i y) r ³ Conclui-se que existe uma forte relação linear positiva entre X e Y, sendo razoável aplicar um modelo de regressão linear adequado aos dados. [.] (b) Recorrendo ao modelo de regressão linear simples, estime a distância entre o local de residência e o local de trabalho de um trabalhador que nunca faltou sem autorização. Consideremos: X número de dias não autorizados por ano que os funcionários estavam ausentes Y distância (em quilómetros) entre o local onde moram e a empresa onde trabalham b P n n P x i y i n np x i y i µ P n n n x i P x i a y bx obtém-se então a recta de regressão linear: by x Se x, então by Logo a distância entre o local de residência e o local de trabalho de um trabalhador que nunca faltou sem autorização é de aproximadamente 6, Km. Fim. 6