LEEC Probabilidades e Estatística 1 a Chamada 13/06/2005. Parte Prática C (C) M 1% 9% 10% (M) 4% 86% 90% 5% 95% 100%

Transcrição

1 . Definição dos acontecimentos: M T-shirt tem manchas C T-shirt tem costuras defeituosas D T-shirt é defeituosa A Preço da t-shirt é alterado a) PM) = % PC) = 5% PM C) = % LEEC Probabilidades e Estatística a Chamada 3/6/5 Parte Prática Resolução P D) = PD) = PD) + PC) PM C)] =. +.5.) =.4 = 86% C C) M % 9% % M) 4% 86% 9% 5% 95% % b) PA M) = % PA C) = % PA M C)) = 5% PA D) = PA M C)) =.% PA) = PA M C) + PA M C) + PA M C) + PA M C) PA M C) = PA M C)) PM C) =.5. =.5 PA M C) = PA M C)) P M C) =..86 =.86 PA M C) = PA M) PA M C) = PA M) PM) PA M C) =...5 =..5 =.5 PA M C) = PA C) PA M C) = PA C) PC) PA M C) =..5.5 =..5 =.5 c) Y : N o de t-shirts defeituosas PA) = PA M C) + PA M C) + PA M C) + PA M C) = =.36 =.36% Como a inspecção a uma t-shirt é uma experiência de Bernoulli as t-shirts são seleccionadas aleatoriamente de um grande lote trata-se de um processo de amostragem simples, independentemente de haver ou não reposição) e a variável aleatória Y conta o número de sucessos dessa experiência encontrar t-shirt defeituosa), então Y segue uma distribuição Binomial: Y Bn, p)

2 com parâmetros: n = 5 p = P D) =.86 =.4 Como n e np > 7 n = 5, np = 5.4 = > 7) podemos fazer a aproximação da distribuição Binomial pela Normal: Y Nµ = np =, σ = npq = 8.6) PEfectuar contacto) = P B Y 5) = P N Y 5.5) = P N Y 4.5) onde P B Y ) é a probabilidade calculada através da distribuição Binomial e P N Y ) é a probabilidade calculada através da distribuição Normal. Notar a necessidade de se introduzir a correcção de continuidade P B Y 5) P N Y 4.5)) devido à aproximação de uma distribuição discreta por uma contínua. PEfectuar contacto) = P N Y 4.5) = P N Y µ σ 4.5 µ ) ) 4.5 = P N Z σ 8.6 = P N Z.59) = P N Z.59) = φz =.59).937 φz =.59) foi obtido a partir da tabela de distribuição acumulada da Normal reduzida: Pelo que a probabilidade do funcionário efectuar o contacto é de 93.7%. Resolução usando a distribuição Binomial: PEfectuar contacto) = PY 5) = PY 4) = 4 i= PY = i) continua)

3 continuação) É necessário calcular todas as 5 parcelas do somatório a partir da expressão da distribuição Binomial: PY = k) = Cn k p k q n k com: n = 5 e p =.4 PY = ) = C n p q n =, 49544E PY = ) = C n p q n = 3, 6564E 9 PY = ) = C n p q n = 4, 4868E 8 PY = 3) = C 3 n p 3 q n 3 = 3, 55668E 7 PY = 4) = C 4 n p 4 q n 4 =, 78E 6 PY = 5) = C 5 n p 5 q n 5 =, 45E 5 PY = 6) = C 6 n p 6 q n 6 = 3, 9795E 5 PY = 7) = C 7 n p 7 q n 7 =, 3355 PY = 8) = C 8 n p 8 q n 8 =, PY = 9) = C 9 n p 9 q n 9 =, PY = ) = C n p q n =, 864 PY = ) = C n p q n =, PY = ) = C n p q n =, PY = 3) = C 3 n p 3 q n 3 =, PY = 4) = C 4 n p 4 q n 4 =, PEfectuar contacto) = 4 i= =.94 = 94.% PY = i) =.575. f XY x, y) = { 8 x e x+y, para x > y >, outros valores a) Função de probabilidade marginal de X: Para x < : f X x) = f XY x, y) dy = f XY x, y) dy f X x) = Para x : f X x) = = 8 x e x 8 e x+y dy = 8 x e x e y ] + = 4 x e x + ) = 4 x e x 3 e y dy = 8 x e x e + e )

4 Função de probabilidade marginal de Y : Para y < : f Y y) = f XY x, y) dy = f XY x, y) dx f Y y) = Para y : f Y y) = 8 x x+y e dx = y 8 e x e x dx Cálculo auxiliar integração por partes: u dv = u v v du u = x dv = e x dx du = dx v = e x x e ) x dx = x e x = e x x + ) e x dx = x e x 4 e x Nota: este resultado irá ser reutilizado nas outras alíneas deste problema) Temos então que: f Y y) = 8 e y = 8 e y lim x + x e x dx = 8 e ] + y e x x + ) e x x + ) ] e + )) ] = y 8 e e ) ] = y 8 e 4) = f X x) = f Y y) = 4 x e x, para x >, outros valores e y, para y >, outros valores Para que as variáveis X e Y sejam independentes é necessário que a seguinte equação se verifique: Neste caso temos: f XY x, y) = 8 f XY x, y) = f X x) f Y y) e x e x+y, para x > y > f X x) f Y y) = 4 x e x e x = 8 x x+y e, para x > y > Ou seja, como f XY x, y) = f X x) f Y y) as variáveis X e Y são independentes. y 4

5 b) A curva de regressão da média calcula-se através da seguinte expressão geral: EY X = x) = y f Y X=x y x) dy = y f XY x, y) f X x) Neste caso, como as duas variáveis são independentes, a expressão simplifica-se ou seja o valor esperado de Y não depende do valor de X considerado): EY X = x) = EY ) = y f Y y) dy = dy y e y dy Este integral já foi calculado na alínea anterior ver cálculo auxiliar), pelo que: e y y + ) ] + EY X = x) = EY ) = = ] ] lim e y y + ) e + )) y + = e ) ] = 4) = Temos então que: EY X = x) =, para < x < + c) Sendo Z = H X, Y ), a função densidade de probabilidade de Z f Z z)) pode ser obtida a partir da função densidade de probabilidade conjunta de Z e W f ZW z, w)), onde W é uma variável aleatória auxiliar definida a partir de uma transformação de X e de Y W = H X, Y )). Essa função de densidade de probabilidade conjunta calcula-se pela seguinte expressão: f ZW z, w) = f XY g z, w), g z, w)) Jz, w) desde que exista a inversa da função de transformação vectorial H H X, Y ) e H X, Y )), i.e.: que seja injectiva a um par Z, W ) corresponde um e um só par X, Y ). Neste problema temos definindo W = X) então: Z = H X, Y ) = Y X W = H X, Y ) = X Este par de funções de transformação, no domínio em questão x > e w > ), admite inversa. Z = Y X W = X Z = Y W X = W Y = ZW X = W Y = G Z, W ) X = G Z, W ) Jz, w) = dx dz dy dz dx dw dy dw = w z = w f ZW z, w) = f XY g z, w), g z, w)) Jz, w) = f XY w, zw) w = 8 w e w+w z w = 8 w e w +z) A partir das funções de transformação, obtem-se de imediato o domínio da função de densidade conjunta de Z e de W : 5

6 X > Y > G Z, W ) > G Z, W ) > W > Z W > W > Z > Temos então que: f ZW z, w) = 8 w e w +z), para z > w >, outros valores De seguida é ainda necessário calcular a função de densidade marginal de Z f Z z)): f Z z) = Para z < : Para z : f ZW z, w) dw = f Z z) = f ZW z, w) dw f Z z) = Cálculo auxiliar integração por partes: u dv = u v v du u = w dv = e w+z) dw du = w dw v = +z e w+z) 8 w e w+z) dw = 8 w e w+z) dw w e w+z) dw = w ) e w+z) + z = w + z e w+z) z + z e w+z) w dw w e w+z) dw Cálculo auxiliar semelhante à integração por partes da alínea a): w e w+z) dw = + z e w+z) w + ) = + z + z e w+z) ) w + z) + + z) = w + z e w+z) + 4 = + z e w+z) + z w + ) + z e w+z) w + ) ) 4 w + ) + z 6

7 f Z z) = w e w+z) dw = z e w+z) + z e w + z) + w+z) + z) ) ))] = lim e w+z) w 4 w + z) + ) 4 + z) + ) z) w + + z) + + z) ] 8 = 4 + z) + z) = + z) 3 )] + Por fim temos: f Z z) = +z) 3, para z >, outros valores 3. f X x) = λ e λ x, com x > λ > σ = min λ = σ =. µ = σ = ) a) Cálculo da função de distribuição acumulada de X F X x))): Para x < : F X x) = Para x : F X x) = x F X x) = f X x) dx λ e λ x dx = e λ x] x = e λ x ) e λ ) ] = e λ x Nesta alínea pretende-se calcular a probabilidade de um utente esperar mais 8 minutos para acabar de ser atendido, sabendo que já passaram 4 minutos: PX > X > 4) = PX > X > 4) = PX > ) X > 4)) PX > 4) = PX > ) PX > 4) = F) F4) = e e 4 = PX > 8) = F8) = e 8 =.449 = 44.9% Ou directamente uma vez que a exponencial negativa não tem memória): PX > X > 4) = PX > 8) = F8) = e 8 =.449 = 44.9% b) Y : N o de clientes atendidos em menos de 8 minutos Como os tempos de atendimento dos diferentes utentes são independentes, o atendimento de um utente é uma experiência de Bernoulli e a variável aleatória Y, que conta o número de sucessos dessa experiência atender um utente em menos de 8 minutos), segue uma distribuição Binomial: com parâmetros: n = 6 p = PX 8) = F8) = e.8 =.55 Y Bn, p) 7

8 Ppelo menos utentes serem atendidos em menos de 8 minutos) = PY ) = PY = i) É necessário calcular as parcelas do somatório a partir da expressão da distribuição Binomial: PY = k) = Cn k p k q n k com: n = 6 e p =.55 i= PY = ) = C n p q n =.83 PY = ) = C n p q n =.65 PY ) = PY = i) =.6873 =.937 = 93.7% i= c) O tempo de atendimento X i ) de cada um dos 35 utentes segue uma distribuição Exponencial Negativa: X, X, X 3,..., X 35 ENλ) Definindo a variável aleatória S como a soma dos tempos de atendimento dos 35 utentes: S = X + X + X X 35 O teorema do limite central diz-nos que a variável aleatória S segue uma distribuição Normal, uma vez que S é uma soma de n variáveis aleatórias independentes X i ) identicamente distribuídas com variância finita) e onde o número de variáveis é superior a 3 n = 35 > 3): S = X + X + X X 35 Nµ = n µ X, σ = n σ X) com parâmetros: µ X = σ X = λ = distribuição Exponencial Negativa) µ = n µ X = 35 = 35 σ = n σx = 35 = 35 Ptempo de atendimento dos 35 utentes ser inferior a 4 minutos) = PS < 4) = P S µ < 4 µ 4 35 ) = PZ < ) σ σ 35 = PZ <.859) = Φ.859) =.9686 = 3.4% Logo não será muito provável que 35 utentes sejam atendidos de manhã por um único funcionário, uma vez que sem qualquer tipo de intervalo entre atendimentos a probabilidade de tal acontecer é muito reduzida 3.4%). 4. No enunciado deste problema é dito que a intensidade de corrente num determinado circuito segue uma distribuição Normal X Nµ, σ )). É também fornecida uma amostra aleatória da intensidade de corrente n = ). Cálculo da Média Amostral X) e da Variância Amostral s ): 8

9 X = n n X i =.3 i= S = n n Xi X ) =.46 S =.65 i= a) Como se trata de um processo de amostragem aleatório, a média amostral, obtida a partir de uma população com distribuição Normal, segue igualmente uma distribuição Normal: X N µ, n ) σ Z = X µ σ/ n N, ) Como o valor da variância da população σ =?) é desconhecido e trata-se de uma amostra de pequena dimensão n = ), não é válida a aproximação da variância populacional pela variância amostral S σ). Nestas condições: X µ S/ N t n e então a expressão para o intervalo de confiança para o valor esperado µ) a 95% vem: X t N α/) S N, X + t N α/) S ] N com: n = X =.3 S =.65 α =.95 = 5% t n α/) = t.5) =.8 O valor de t.5) foi obtido a partir da tabela da distribuição t de Student: Nota: α é a probabilidade que fica fora do intervalo, ou seja a cauda direita e a cauda esquerda, pelo que devemos procurar na tabela a coluna referente a α/ =.975.) t N α/) S =.8.65 =.438 N 9

10 Pelo que o intervalo de confiança para o valor esperado µ) a 95% é igual a: X t N α/) S N, X + t N α/) S N ] =.3.438, ] =.86,.738] b) Já vimos que a população segue uma distribuição Normal e o processo de amostragem é aleatório. Nestas condições: n ) S σ χ n Vindo a expressão para o intervalo de confiança para a variância σ ) a 95%: n ) S χ n α/), n ) S ] χ n α/) com: n = S =.46 α =.95 = 5% χ n α/) = χ.5) =.5 χ n α/) = χ.975) = 3.5 Os valores de χ.5) e χ.975) foram obtidos a partir da tabela da distribuição χ : Nota: como a distribuição do χ é assimétrica temos de ir à tabela buscar dois valores.) Pelo que o intervalo de confiança para variância σ ) a 95% é igual a: n ) S χ n α/), n ) S ].46 χ =, n α/).5 ].46 =.78,, 38] 3.5 Por fim, o intervalo de confiança para o desvio padrão σ) a 95% é igual a: c) Y : número de medidas com erro grosseiro ].78,.38 =.4558,.449] A variável aleatória Y conta o número de sucessos de uma experiência de Bernoulli efectuar uma medida), pelo que Y segue uma distribuição Binomial: Y Bn, p)

11 Admitindo que a distribuição Binomial pode ser aproximada por uma Normal n e n p > 7), a proporção amostral ˆP = Y/n) segue também uma distribuição Normal: ˆP = Y n Nµ = p, σ = p p) / n) O que permite estabelecer o seguinte intervalo de confiança para a proporção amostral a α%: ] Y n Zα/) σ, Y n + Zα/) σ Como queremos estimar a proporção amostral, com um erro máximo de.5, através de um intervalo de confiança a 95%, basta que a amplitude ) do intervalo de confiança seja o dobro do erro máximo nesta situação usaremos como estimativa o valor central do intervalo e cometeremos um erro máximo de.5): max =.5 =. Por outro lado: Ou seja: = ) Y n + Zα/) σ ) Y n Zα/) σ = Zα/) σ Neste caso: α = 5% Zα/) = Z.5) =.96 tabela) Zα/) σ max Zα/) σ.5 Nota: queremos saber qual é o valor de Z que deixa à direita.5 α/ é a probabilidade que fica fora do intervalo de confiança), o que é equivalente a deixar à esquerda.975) Zα/) σ.5.96 σ.5 σ.55 σ = p p)/n e é máximo quando p =.5, o que leva a: p p).5.5) σ n n.5 n.65 n n = 385 Ou seja, para garantir um erro máximo de,5 na estimação da proporção de medidas com erro grosseiro, será necessário utilizar uma amostra com um mínimo de 385 medidas.