INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso - Parte prática (14 valores) 24/01/2011.

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso - Parte prática (14 valores) 24/01/2011 Nome: Nº Espaço reservado para a classificação (não escrever aqui) Cot. Classif. Cot. Classif. Cot. Classif. Cot. Classif. Teór. Nota a) 10 a) 15 a) 15 a) 15 I b) 15 II b) 15 III b) IV c) d) e) 10 Soma Considere os seguintes estimadores para Ѳ, média de uma população de Bernoulli, obtidos a partir de uma amostra aleatória de dimensão n: I T ; T a) Verifique se T e T são estimadores centrados para Ѳ. 1

2 b) Dos dois estimadores, qual o mais eficiente. Justifique. II Numa amostra aleatória de 100 eleitores de certo aglomerado populacional, 38 revelaram tencionar votar no candidato A nas próximas eleições. a) Utilizando um nível de significância de 0,01, ensaie a hipótese de a percentagem dos que tencionam votar nesse candidato ser de 40% contra a alternativa de ser inferior. 2

3 b) Qual a probabilidade de, na alínea anterior, ter tomado uma decisão errada, se de facto essa percentagem for de 30%? III a) O gestor de recursos humanos de certa empresa pretende averiguar se o nível de absentismo está ou não relacionado com o facto de o trabalhador ser do sexo feminino ou masculino. Para tal, recolheu uma amostra aleatória de 100 pessoas, a qual forneceu os resultados constantes do quadro abaixo. Nível/ Sexo Homens Mulheres Baixo Médio Elevado 5 25 Em face destes resultados, e com um nível de significância de 0,05, o que pode o gestor concluir? 3

4 IV Um investigador pretende formular um modelo para explicar o salário dos licenciados de Portugal (variável SAL). Como variáveis explicativas propõe as seguintes: EXP Anos de experiência no mercado de trabalho de um licenciado; EDUC Anos de educação académica de um licenciado; IDADE idade do licenciado; FILHOS número de filhos de um licenciado. Representando as variáveis em logaritmos pelo seu nome precedido de um L, o modelo de regressão linear proposto é o seguinte: LSAL β β β β β β Com base em 321 observações obteve-se a seguinte regressão estimada: LSAL 4,359 0,213 0,0227 0,533 0,0045 0,008 (0,013) (0,005) (0,031) (0,001) (0,009) 0, ; erro padrão da regressão 0,17956 a) Interprete o coeficiente de determinação e estude (ao nível de significância de 5%) a significância das variáveis explicativas em conjunto; 4

5 b) Interprete as estimativas obtidas para os coeficientes das variáveis experiência e filhos (β 2 e β 6 ) e, para um nível de significância de 10%, investigue a significância estatística de cada um destes coeficientes; c) Alguns especialistas afirmam que a única variável relevante para a explicação do salário de um licenciado em Portugal é a relativa à sua experiência. Estimado o correspondente modelo, obteve-se a seguinte regressão estimada: LSAL 8,322 0,306 0, O que pode concluir acerca da afirmação destes especialistas (considere uma dimensão do teste de 5%)? 5

6 d) Suspeitando-se de que poderiam não ser válidas algumas das hipóteses do MRL, realizou-se a regressão a seguir indicada e onde RES representa os resíduos do modelo inicial e os valores previstos pelo modelo para o logaritmo do salário: 0,096 0,021 L 0,002 L 0, Explicite o objectivo da regressão presente acima e, em face dos resultados, o que pode concluir? e) Tendo em consideração o modelo inicial, preveja o valor do salário de um certo licenciado com 5 anos de experiência, 9 anos de educação académica, 30 anos de idade e um filho. 6

7 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística II - Licenciatura em Gestão Época de Recurso Parte teórica (6 valores) - 24/01/2011 Nome: Nº 1. Questões de Verdadeiro/Falso (2 valores). Para cada afirmação, assinale se esta é verdadeira (V) ou falsa (F). Uma resposta certa vale 0,25 e uma resposta errada penaliza em idêntico valor. V F Um intervalo de confiança a 95% para um parâmetro é uma realização particular de um intervalo aleatório de probabilidade igual a 0,95. Seja ( X 1, X 2,..., X n) uma amostra aleatória de uma população X de média µ. Então T = X 1 pode ser tomado como estimador centrado de µ. No teste bilateral de uma hipótese estatística sobre a média de uma população normal existe uma região crítica óptima (ou mais potente). No teste de ajustamento de uma variável contínua, : ~, a não rejeição da hipótese aparentada, : ; 1,2, ;, implica a não rejeição de H 0. No modelo de regressão linear (MRL), para testar uma restrição linear dos coeficientes de regressão é indiferente usar a estatística T~t(n-k) ou a F~F(1,n-k). Se no MRL não se verifica a hipótese Cov( ut, u s X ) = 0 ; t, s = 1,2,..., n ; t s, então os estimadores dos mínimos quadrados dos coeficientes de regressão estão correlacionados. Num modelo de regressão linear, com dados seccionais, não pode existir autocorrelação. No modelo y t = β 1 + β 2 xt 2 + β3 d t + ut, a verificar as hipóteses básicas e onde d t é uma variável artificial, β 3 é o efeito da presença da característica sobre o termo independente. 2. Questões de resposta múltipla (2 valores). Escolha a alternativa correcta com um X. Uma resposta certa vale 0,5 valores e uma resposta errada penaliza em 0,25 valores. a) Nos testes de hipóteses paramétricas desempenha papel importante: [] A desigualdade de Frechet-Crámer-Rao. [] O Lema de Neyman-Pearson. [] O Teorema de Gauss-Markov. b) Pretendendo-se testar, no MRL a verificar as hipóteses H1-H6, a hipótese do coeficiente de regressão ser negativo, as hipóteses nula e alternativa são: [] : 0 e : 0 [] : 0 e : 0 [] : 0 e : 0 c) Os estimadores dos mínimos quadrados dos coeficientes de regressão no MRL deixam de ser BLUE quando: [] Não se verifica a hipótese da normalidade (H6). [] Existe multicolinearidade (não perfeita). [] Existe heterocedasticidade. 7

8 d) Para reduzir a amplitude de um intervalo de confiança para a média de uma população normal de variância conhecida pode diminuir-se: [] A dimensão da amostra mantendo-se fixo o grau de confiança. [] O grau de confiança mantendo-se fixa a dimensão da amostra. [] A variância da população mantendo fixos o grau de confiança e a dimensão da amostra. 3. Perguntas de desenvolvimento (2 valores) Cada resposta certa vale 1 valor. a) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança para o parâmetro da população ~ 1 ; 1,2, ; 0 1. b) Considere o MRL y = β 1 + β 2 x2 + β3x β k xk + u a verificar as hipóteses H1-H6 e suponha que pretendia testar a seguinte restrição linear: 2 =1. Obtenha o correspondente modelo restrito e diga como procederia para realizar o referido teste. 8