ECONOMETRIA I. I (12 valores)

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa ECONOMETRIA I Exame de 2ª Época 26 de Janeiro de 2005 Duração: 2 horas I (12 valores) ATENÇÃO: Para as 10 primeiras questões deste grupo existem 4 opções de resposta indicadas. A sua escolha deve ser indicada com uma cruz (X) no quadro de respostas que aparece na página 4. Caso queira corrigir a sua escolha, invalide a sua primeira opção desenhando um círculo sobre a alternativa de resposta que escolheu inicialmente. Em cada questão há uma e uma só opção de resposta correcta. Uma resposta correcta vale 1 valor. Uma resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3). Se não responder a uma questão terá 0 valores nessa questão. De acordo com os modelos neoclássicos de crescimento (por exemplo, Solow, 1956), o crescimento económico de um país deveria estar negativamente relacionado com o nível inicial de rendimento (assumindo rendimentos decrescentes à escala). Em particular, para um conjunto de países semelhantes em termos de preferências e tecnologias, os mais pobres deveriam crescer mais depressa do que os mais ricos. No entanto, vários estudos econométricos, utilizando dados para vários países do mundo, não têm encontrado qualquer relação significativa entre crescimento e o nível de rendimento inicial (o que está de acordo com a hipótese de rendimentos constantes à escala de outros modelos como o de Lucas, 1988). Outros economistas (por exemplo Romer, 1990) argumentam que outro factor importante a ter em conta é o stock de capital humano: países com um maior stock de capital humano inicial tendem a crescer mais depressa. Finalmente, mais um factor importante que pode explicar as diferenças de crescimento entre países é o sistema político. Para investigar este problema, foi utilizada uma amostra de 91 países de todo o mundo. Para cada país foram consideradas as seguintes variáveis: - CRESC: taxa de crescimento médio entre 1960 e 1985 (em %); - Y60: nível de rendimento inicial (medido pelo rendimento per capita em 1960); - HUMAN60: stock de capital humano (medido pelo número médio de anos de escolaridade da população em 1960); - PRESTRICT: variável que captura os efeitos do sistema político (dado por um indicador de restrições políticas que assume valores mais elevados em países com menos liberdades). 1

2 Considere os resultados da seguinte regressão: REGRESSÃO 1: Dependent Variable: CRESC Method: Least Squares Included observations: 91 Variable Coefficient S td. Error t-statistic Prob. C LOG(Y60 ) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. depen dent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-s tatistic) Qual a relação entre a estatística t da variável LOG(Y60) e a estatística F de aderência global apresentada pelo EViews (F-statistic)? a) Não existe qualquer relação entre as duas estatísticas. b) A estatística F é o quadrado da estatística t associada ao parâmetro da variável explicativa apenas quando se tem uma regressão simples. c) Ambas são utilizadas para realizar testes de hipóteses: a t só permite testar uma única restrição enquanto que a F só permite testar múltiplas restrições. d) A estatística F de aderência global é sempre igual ao quadrado da estatística t em qualquer regressão simples ou múltipla. 2. Se o erro da regressão não tiver uma distribuição normal, qual das afirmações seguintes está correcta? a) É possível continuar a utilizar as estatísticas t e F já que devido ao Teorema do Limite Central as distribuições habituais continuam a ser válidas aproximadamente. b) Devido ao Teorema do Limite Central, as estatísticas de teste continuam a ter a mesma distribuição pelo que se podem continuar a efectuar testes de hipóteses. c) Dado que a amostra é relativamente grande, a Lei dos Grandes Números garante que os estimadores são consistentes e como tal os testes de hipóteses continuam a ser válidos aproximadamente. d) Não é possível fazer um teste de hipóteses dado que as distribuições t e F não são válidas. 3. Qual a interpretação do parâmetro associado à variável LOG(Y60)? a) Estima-se que em média, o aumento de uma unidade do rendimento per capita em 1960 leve a um aumento do crescimento em %. b) Estima-se que em média, o aumento de um por cento do rendimento per capita em 1960 leve a um aumento do crescimento em pontos percentuais. c) Estima-se que em média, o aumento de uma unidade do rendimento per capita em 1960 leve a um aumento do crescimento em unidades. d) Estima-se que em média, o aumento de uma unidade do rendimento per capita em 1960 leve a um aumento do crescimento em pontos percentuais. 4. Para que níveis de significância é a variável LOG(Y60) significativa? a) Superiores a %. b) Inferiores a 27.26%. c) Superiores a 27.26%. d) Inferiores a %. 2

3 5. Barro (1991) argumenta que ignorar o stock de capital humano numa regressão pode explicar os resultados dos estudos que apontam para a não existência de correlação entre crescimento e o nível inicial de rendimento. Para justificar esta explicação, Barro indica que o stock de capital humano e o nível de rendimento inicial estão correlacionados. Usando os seus conhecimentos de Econometria, que sinal deve ter esta correlação para que se possa justificar aquela explicação? a) Positiva. b) Negativa. c) Nula. d) Não nula. 6. Considere agora outra regressão, baseada na mesma amostra de países, em que se consideraram as várias variáveis explicativas já referidas. REGRESSÃO 2: Dependent Variable: CRESC Method: Least Squares Included observations: 91 C LOG(Y60) HUMAN PRESTRICT R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Comente os resultados obtidos na regressão 2 em termos dos sinais dos parâmetros: a) As variáveis explicativas adicionais levaram a uma estimativa negativa do efeito do rendimento inicial como era previsto pela teoria neoclássica. Mas como HUMAN60 tem um efeito contrário (positivo), nada se pode concluir. b) Uma vez que o parâmetro associado à variável LOG(Y60) é negativo e tem uma magnitude superior aos outros parâmetros, podemos concluir que os resultados confirmam a teoria neoclássica do crescimento. c) As variáveis explicativas adicionais levaram a uma estimativa negativa do efeito do rendimento inicial, como previsto pela teoria neoclássica. O sinal do parâmetro associado a HUMAN60 confirma os argumentos de Romer. d) Para se poder testar os argumentos de Romer seria necessário estimar uma regressão em que não aparecesse a variável explicativa LOG(Y60). 7. O que pode concluir a partir do R 2 da regressão 2? a) As variáveis explicativas incluídas neste modelo não são significativas em conjunto dado que explicam menos que 50% da variação da variável CRESC. b) As variáveis explicativas incluídas neste modelo explicam % da variação da variável CRESC. c) Nada se pode concluir a partir do R 2 desta regressão pois a regressão 1 não tem o mesmo número de variáveis explicativas. d) As variáveis explicativas incluídas neste modelo explicam % da variação da variável CRESC. 8. A partir da regressão 2, quanto se estima que teria sido a taxa de crescimento média entre 1960 e 1985 de um país que tivesse um rendimento per capita inicial igual a 2000 unidades, um número médio de anos de escolaridade da população em 1960 igual a 7, e com um indicador de restrições políticas igual a 4? a) Aproximadamente 6,6%. b) Aproximadamente 3%. c) Aproximadamente 0,066%. d) Aproximadamente 0,03%. 3

4 9. Se na regressão 2 todos os países tivessem o mesmo sistema político então: a) a estimativa do parâmetro associado à variável PRESTRICT viria superior. b) a estimativa do parâmetro associado à variável PRESTRICT viria inferior. c) a estimativa do parâmetro associado à variável PRESTRICT seria mais eficiente. d) seria impossível estimar o parâmetro associado à variável PRESTRICT. 10. Considere a seguinte regressão obtida a partir dos resíduos da regressão 2: Dependent Variable: RESIDS^2 Included observations: 91 C LOG(Y60) HUMAN PRESTRICT R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) A um nível de significância de 5%, o que pode concluir a partir destes resultados? a) Não existe evidência estatística para a existência de heterocedasticidade. b) Existe evidência estatística para a existência de heterocedasticidade. c) As variáveis explicativas em conjunto explicam a taxa de crescimento médio. d) Nenhuma das variáveis explicativas explica a taxa de crescimento médio. Quadro de Respostas das Questões 1 a 10: Questão Resposta (a) (b) (c) (d) 11. Considere as regressões do modelo de crescimento para duas sub-amostras: países da África sub-sahariana (SAFRICA = 1); e restantes países (SAFRICA =0). Dependent Variable: CRESC Sample(adjusted): 4 47 IF SAFRICA=1 Included observations: 19 after adjusting endpoints C LOG(Y60) HUMAN PRESTRICT R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

5 Dependent Variable: CRESC Sample(adjusted): IF SAFRICA=0 Included observations: 72 C LOG(Y60) HUMAN PRESTRICT R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) A partir dos resultados de todas as regressões já apresentadas, poder-se-á concluir que o modelo de crescimento é o mesmo para os países da África sub-sahariana e os restantes? Seja preciso em termos estatísticos (não se esqueça de indicar as hipóteses nula e alternativa). 5

6 II (5 valores) Considere as seguintes variáveis anuais: SMS = mensagens escritas (SMS) originadas a partir das redes móveis (milhares de milhões), PIB = Produto Interno Bruto real, P = índice de preços das mensagens escritas. Foram efectuadas as seguintes regressões: REGRESSÃO A Dependent Variable: LOG(SMS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 2 41 Included observations: 40 after adjusting endpoints C LOG(PIB) LOG(P) LOG(P(-1)) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) REGRESSÃO B Dependent Variable: LOG(SMS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 2 41 Included observations: 40 after adjusting endpoints C LOG(PIB) LOG(P)-LOG(P(-1)) LOG(P(-1)) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Suponha que num certo ano T o preço dos SMS sobe 5% relativamente à sua tendência normal, mas que nos anos seguintes volta ao seu valor normal. Qual o impacto médio estimado no total de SMS (seja claro em relação às unidades de medida): a) No ano T? b) No ano T+1? 6

7 c) No ano T+2? 2. Suponha agora que o aumento de preço era permanente. Apresente um intervalo de confiança a 95% para o impacto médio nos SMS no ano T Suponha agora que num certo ano T o preço dos SMS sobe 10% relativamente à sua tendência normal, que no ano seguinte (T+1) a subida é de 5%, e que daí para a frente o preço volta ao seu valor normal. Qual o impacto médio estimado no total de SMS no ano T+1? 7

8 4. Suponha que as operadores do serviço móvel quando alteram os preços dos SMS têm em conta entre outros factores o volume total de SMS ocorrido nos anos anteriores. a) Será que o estimador de mínimos quadrados dos parâmetros da Regressão A é centrado nestas condições? Justifique. b) E será que é consistente? Justifique. 8

9 III (3 valores) Considere o seguinte modelo de regressão linear em notação matricial:y = Xβ + e em que e ~ N ( 0, σ 2 I ). Seja ˆβ o estimador de mínimos quadrados de β, e Yˆ = Xβˆ. 1. Derive a matriz de variâncias-covariâncias condicional de Yˆ. 2. Derive a matriz de variâncias-covariâncias condicional do vector dos resíduos. 3. Mostre que Yˆ e os resíduos não estão correlacionados. 9