LES0773 Estatística Aplicada III

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1 LES0773 Estatística Aplicada III Prof. Luciano Rodrigues Aula 6 Departamento de Economia, Administração e Sociologia Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz-ESAQ Universidade de São Paulo-USP lurodrig2209@gmail.com Material de apoio aos alunos do curso de Administração de Empresas. Proibida a reprodução sem autorização prévia do autor Última atualização: 20/04/2017. Prof. Luciano Rodrigues LES0773 Estatística Aplicada III

2 No modelo de regressão linear, pressupomos que: 1) A variável dependente Y i é função linear das variáveis explanatórias (X ij i=1,...,k) 2) Os valores das variáveis explicativas são fixo 3) O erro e tem um valor esperado de zero y = β 0 + β 1 x + e, (1) E(e) = 0 4) Erros são homocedásticos (possuem variância constante) 5) Erros não são correlacionados 6) Erros têm distribuição normal E(e 2 ) = σ 2 (2) E(u i u j ) = 0 para i j (3) Combinando as pressuposições, temos erros apresentam distribuição normal com média 0 e desvio padrão σ 2 / 34

3 HETEROCEDASTICIA 3 / 34

4 O problema Já díssemos que os erros u devem ter variância constante. A essa característica dá-se o nome de homocedasticidade, ou seja, Var(ε i ) = σ 2. A violação da hipótese de erros homocedásticos gera o problema chamado heterocedasticidade. 4 / 34

5 O problema Podemos ter uma visão intuitiva do problema analisando os gráficos abaixo. No painel (a) as variâncias dos resíduos têm um padrão de constante. Nos painéis (b) e (c), respectivamente, os resíduos diminuem e aumentam com o incremento da variável explicativa. 5 / 34

6 As fontes Na maioria das vezes a heterocedasticidade é causada por erros de especificação do modelo (inclusive forma funcional incorreta) ou resulta de uma característica intrínseca da função que se está estudando. 6 / 34

7 Formas de identificação Na prática, investigamos a existência de heterocedasticidade estimando o modelo por mínimos quadrados e fazendo um gráfico dos resíduos. Se os erros são homocedásticos, não deve existir qualquer tipo de padrão nos resíduos. Por outro lado, se os erros são heterocedásticos, eles tendem a exibir uma grande variação de um modo sistemático. 7 / 34

8 Formas de identificação Existem diversos procedimentos formais para testar a hipótese nula de homocedasticidade contra a hipótese alternativa de heterocedasticidade. Os testes comumente aplicados são: teste de Goldfeld-Quandt (1965), teste de Glejser (1969), teste de Breusch-Pagan e o teste de White (1980). 8 / 34

9 Os testes para heterocedasticidade Para qualquer teste escolhido para avaliar a hipótese de erros homocedásticos, definimos a hipótese nula como H 0 : Var(u x 1, x 2,..., x k ) = σ 2, (4) e a hipótese alternativa como com i = 1, 2,..., n. H 1 : Var(u x 1, x 2,..., x k ) = σ 2 i, (5) 9 / 34

10 Teste de Goldfeld-Quandt no R O pacote lmtest do R tem o comando gqtest() para aplicar o teste Goldfeld-Quandt nos resíduos da regressão ajustada por MQO. 10 / 34

11 Teste de Breusch-Pagan no R O pacote lmtest do R tem o comando bptest() para aplicar o teste BP nos resíduos da regressão ajustada por MQO. 11 / 34

12 Consequências Suponhamos que, tanto pela análise gráfica do comportamento dos resíduos de MQO como pela aplicação de um dos testes formais, rejeitamos a hipótese de erros com variância constante. A questão é: quais as consequências para o estimador de mínimos quadrados? 12 / 34

13 Consequências Se os erros são heterocedásticos o estimador de MQO ainda é um estimador não viesado, mas não é mais o melhor. Os erros padrão usuais calculados para as estimativas de mínimos quadrados serão incorretos. Logo, os intervalos de confiança e os testes de hipótese que utilizam esses erros padrão usuais não são mais confiáveis, pois podem levar a conclusões erradas. 13 / 34

14 Soluções Ressaltamos que uma especificação inadequada pode gerar problemas nos resíduos. Como isso, caso detectemos a presença de heterocedasticidade, devemos, antes de alterar o modelo, procurar identificar sua origem. O primeiro passo é analisar a especificação utilizada. 14 / 34

15 Erros padrão robustos à heterocedasticidade White (1980) sugeriu um estimador para as variâncias e covariâncias dos estimadores de coeficiente de MQO quando existe heterocedasticidade. Erros padrão calculados por meio desse estimador são chamados erros padrão robustos à heterocedasticidade. Na prática, essa tem sido a opção dos pesquisadores na maioria dos trabalhos publicados. 15 / 34

16 Erros padrão robustos à heterocedasticidade no R O pacote lmtest do R tem o comando coeftest() para obter teste t usuais usando erros padrão robustos à heterocedasticidade. Obtemos erros padrão robustos pelo procedimento de White definindo type="hc0" nas opções da função. 16 / 34

17 Leitura indicada 1. Hoffmann, R. Análise de Regressão: Uma Introdução à Econometria, 4 a Edição. Hucitec, 2006 (Capítulo 6). 17 / 34

18 AUTOCORRELAÇÃO 18 / 34

19 O problema Quando estudamos o modelo linear clássico, estabelecemos que os erros u, além de apresentar variância constante, devem ser não correlacionados entre si. 19 / 34

20 O problema Podemos ter uma visão intuitiva do problema analisando os gráficos abaixo. O painel (a) ilustra o caso de resíduos sucessivos independentes no sentido de que a covariância entre diferentes distribuições do termo aleatório é nula. Nos painéis (b) e (c) os resíduos apresentam, respectivamente, padrão de autocorrelação negativa e positiva. 20 / 34

21 Consequências Se os erros são autocorrelacionados, o estimador de MQO ainda é um estimador não viesado, mas não é mais o melhor (não apresenta variância mínima). Os erros padrão calculados serão incorretos. Logo, os intervalos de confiança e os testes de hipótese que utilizam esses erros padrão usuais não são mais confiáveis e podem levar a conclusões erradas. 21 / 34

22 Formas de identificação Na prática, investigamos a existência de autocorrelação igualmente ao que fazemos para verficar se os resíduos são heterocedásticos. Estimamos o modelo por mínimos quadrados e fazendo um gráfico dos resíduos. Se os erros são livres de autocorrelação, não deve existir qualquer tipo de padrão nos resíduos. Por outro lado, e os erros são autocorrelacionados, eles tendem a exibir um dos padrões exibidos nos painéis (b) e (c) da figura do slide / 34

23 Formas de identificação Existem diversos procedimentos formais para testar a hipótese nula de ausência de autocorrelação contra a hipótese alternativa de presença de autocorrelação. O tradicional teste de Durbin-Watson (1951) (abreviadamente, teste DW) e o teste de Breusch-Godfrey (1978, 1987) são os mais utilzados na literatura empírica. 23 / 34

24 Teste de Durbin-Watson O teste DW parte da estimação de um modelo autorregressivo de primeira ordem, isto é, um processo AR(1) dado por u t = ρu t 1 + e t, (6) em que e é um termo aleatório com distribuição normal de média zero, homocedástico e livre de correlação serial (ou seja, de autocorrelação). 24 / 34

25 Teste de Durbin-Watson A hipótese nula, H 0, é de ausência de autocorrelação e a hipótese alternativa, H 1, é de presença de autocorrelação nos erros sucessivos. 25 / 34

26 Notas sobre o teste DW Tenhamos sempre em mente que assim como qualquer outro teste de hipóteses, o teste DW a apresenta algumas limitações: (1) é inapropriado quando, entre as variáveis explicativas, está a variável dependente defasada; 26 / 34

27 Notas sobre o teste DW (2) é inapropriado para testar a presença de autocorrelação decorrente de processos autorregressivos (AR) de ordem superior a 1 ou processos de média móvel (MA) ou ARMA de quaquer ordem; (3) só pode ser aplicado em modelos com constante. 27 / 34

28 Notas sobre o teste de Breusch-Godfrey Essas limitações são superadas pelo teste de Breusch-Godfrey, que pode ser aplicado para qualquer que seja o padrão de autocorrelação, ou seja, autorregressivo, média móvel ou ARMA de qualquer ordem, bem como na presença da variável dependente defasada entre as explicativas. 28 / 34

29 Teste de Durbin-Watson no R A função dwtest() do pacote lmtest aplica os teste DW implementando um procedimento exato para calcular o p-valor para que possamos tomar a decisão comparando-o com o nível de significância escolhido. Na prática usamos 0,05 (5%). 29 / 34

30 Teste de Breusch-Godfrey no R A função bgtest() do pacote lmtest calcula a estatística LM do teste Breusch-Godfrey com o seu p-valor. 30 / 34

31 Soluções Ressaltamos que uma especificação inadequada pode gerar problemas nos resíduos. Como isso, caso detectemos a presença de erros autocorrelacionados, devemos, antes de alterar o modelo, procurar identificar sua origem. O primeiro passo é analisar a especificação utilizada. 31 / 34

32 Soluções Caso concluamos que o problema está problema está realmente no método de estimação utilizado, devemos buscar altenativas. A solução mais abrangente é o método de mínimos quadrados generalizados (abreviadamente, MQG). 32 / 34

33 Soluções Caso concluamos que o problema está problema está realmente no método de estimação utilizado, devemos buscar altenativas. A solução mais abrangente é o método de mínimos quadrados generalizados (abreviadamente, MQG). A ideia básica que norteia todos os procedimentos de correção é introduzir transformações nas variáveis presentes no modelo de tal forma que erros deixem se ser autocorrelacionados. 32 / 34

34 Leitura indicada 1. Hoffmann, R. Análise de Regressão: Uma Introdução à Econometria, 4 a Edição. Hucitec, 2006 (Capítulo 6). 33 / 34