ECONOMETRIA. Prof. Danilo Monte-Mor

Transcrição

1 ECONOMETRIA Prof. Danilo Monte-Mor

2 Econometria (Levine 2008, Cap. 13)

3 ECONOMETRIA Aplicação da estatística matemática aos dados econômicos para dar suporte empírico aos modelos construídos pela economia matemática e para obter resultados numéricos. Análise quantitativa de fenômenos econômicos concretos, baseada no desenvolvimento simultâneo de teoria e observação, relacionadas por métodos de inferência adequados.

4 ECONOMETRIA Desenvolvimento e uso de métodos estatísticos para estimar relações econômicas, testar teorias, avaliar e implementar políticas públicas e decisões de investimento.

5 Metodologia da Econometria Formulação da teoria ou da hipótese; Especificação do modelo matemático teórico; Especificação do modelo econométrico teórico;

6 Metodologia da Econometria Obtenção dos dados; Estimativa dos parâmetros do modelo econométrico; Teste de hipótese; Previsão ou predição.

7 Objetivos Previsão avaliar o poder preditivo de um conjunto de variáveis independentes com relação a uma variável dependente. Explicação avaliar o grau e caráter da relação entre a variável dependente e as independentes.

8 Modelo de Regressão Simples

9 Modelos Determinísticos vs. Modelos Probabilísticos 9

10 Modelos Determinísticos 1. Expressam relações exatas 2. São sempre verdadeiros (não podem ser refutados) Ex: Relação entre graus Celsius e Fahrenheit F = 32 + (9/5) C 3. Não possuem erros de previsão

11 Modelos Probabilísticos 1. Constituído de 2 componentes: Determinístico Erro Aleatório Ex: Uma corrida de táxi custa o valor da bandeirada, mais R$3,2 por quilômetro, mais um erro aleatório. 2. O Erro pode ser devido a: Outras variáveis não incorporadas ao modelo; Formulação errada do modelo; Coleta dos dados.

12 Tipos de Modelos Probabilísticos Modelos Probabilísticos Regressão Linear Simples Regressão Linear Múltipla Outros

13 Modelos Vendas Vendas Propaganda Propaganda Vendas Vendas Propaganda Propaganda

14 O Que é um Modelo de Regressão Linear? Semana Despesa com Propaganda (R$1.000) Resultado das Vendas (R$1.000)

15 Vendas (R$1.000) O Que é um Modelo de Regressão Linear? Diagrama de Dispersão Despesa com Propaganda (R$1.000)

16 O Que é um Modelo de Regressão Linear? Qual é a relação entre as variáveis VOLUME DE VENDAS e DESPESAS COM PROPAGANDA?

17 O Que é um Modelo de Regressão Linear? Como podemos prever o VOLUME DE VENDAS esperado quando sabemos quanto investir em PROPAGANDA?

18 Vendas (R$1.000) O Que é um Modelo de Regressão Linear? Diagrama de Dispersão VENDAS = b 0 + b 1. (DESPESA COM PROPAGANDA) Despesa com Propaganda (R$1.000)

19 Modelo de Regressão Linear Simples O modelo é composto de: Uma variável dependente quantitativa (Y) Variável objeto das previsões No exemplo: Volume de vendas Uma variável independente quantitativa (X) No exemplo: Despesa com Propaganda

20 Modelo de Regressão Linear Simples Usado basicamente para fazer previsões, quando existir relação entre as variáveis. Dado um valor de X, qual deverá ser o valor de Y? No exemplo: Qual será o volume de vendas se a despesa com propagandas for igual a R$ 50 mil?

21 Equação da Reta Y Y = b 0 + b 1 X b 1 = inclinação b 0 = intercepto X

22 Interpretação dos Coeficientes 1. Inclinação (b 1 ) Variação esperada em Y para 1 unidade de variação em X. 2. Intercepto (b 0 ) Valor médio de Y quando X = 0.

23 Modelo de Regressão Linear População Y Y i e o 1 i b b X i e Y b b X i o 1 i X Observação na população

24 Modelo de Regressão Linear Intercepto Y População A relação entre as variáveis é uma função linear Inclinação b 0 b 1 X e i i i Erro Aleatório Variável Dependente (Explicada) Variável Independente (Explicativa)

25 Modelo de Regressão Linear Amostra Y Y i e i = Resíduo Y b b X i o 1 e i = Y i - Y i i X Observação na amostra

26 Modelo de Regressão Linear Amostra Os valores observados na amostra são expressos pelo modelo e pelos resíduos. Intercepto Inclinação Resíduo Variável Dependente (Explicada) Y b 0 b 1 X e i i i Y i = Y i + e i Variável Independente (Explicativa)

27 Estimação dos Coeficientes 1. Melhor ajustamento significa menor distância global entre os valores observados e os estimados Mas diferenças positivas e negativas se anulam. 2. Minimiza a soma dos resíduos ao quadrado 4 i 1 2 Y i Y ( i ) Este método é denominado Mínimos Quadrados Penaliza os maiores resíduos e e e e 2 4

28 Estimação dos Coeficientes Y Y 1 e 3 Y b b X i 0 1 i e 4 e 1 Y 1 e 2 X X 1 X 2 X 3 X 4

29 Estimação dos Coeficientes Modelo de regressão linear na amostra Y i b o b 1 X i Inclinação b 1 n X X Y Y i i i 1 COV ( Y, X n 2 VAR( X ) X i X i 1 ) Intercepto b Y b X o 1

30 Estimação dos Coeficientes Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p b 0 Intercepto 31 8,74 3,58 0,03 b 1 Propaganda 3,65 0,46 7,9 0,004

31 Vendas (R$1.000) Modelo de Regressão Linear Y 31 3,65 X i i VENDAS = ,65. (DESPESA COM PROPAGANDA) Despesa com Propaganda (R$1.000)

32 Interpretação dos Coeficientes 1. Inclinação (b 1 ) Volume de Vendas (Y) deve aumentar 3,65 mil reais para cada mil reais adicionais investidos em Propaganda (X). 2. Intercepto (b o ) O volume médio de vendas (Y) é de 31 mil reais quando não se investe em Propaganda (X = 0).

33 Avaliação do Modelo Para se avaliar um modelo podemos utilizar os seguintes procedimentos: 1. Examinar as estatísticas do modelo. 2. Testar a significância dos parâmetros 3. Análise dos resíduos Presença de outliers Violação das premissas

34 Estatísticas do Modelo

35 Estatísticas do Modelo Estatística de regressão Cor (Y, Y) ^ R múltiplo 0,97 R 2 R-Quadrado 0,95 R-quadrado ajustado 0,93 Erro padrão 9,74 Observações 5 S e R 2 ajustado ao número de variáveis explicativas & tamanho da amostra

36 Correlação Múltipla O Coeficiente de correlação múltipla mede a correlação entre os valores observados na amostra e os estimados pela reta. Serve de medida do grau de aderência da reta aos dados. É sempre positivo. Representa o valor absoluto do coeficiente de correlação linear entre X e Y. R COR( Y, Yˆ) m

37 Coeficiente de Determinação Mede a proporção da variação total de Y que é explicada pela regressão (variável independente). Serve de medida da capacidade preditiva do modelo. Como proporção, seu valor está compreendido entre 0 e 1. Representa a razão entre a variação explicada pelo modelo e a variação total. R 2 Variação Explicada Variação Total

38 Partição da Variação Total Variação explicada pela regressão Soma dos Quadrados da Regressão (SQReg) n Y i Y i 1 Variação Total n Y i Y i 1 2 Variação devida aos resíduos Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQRes) ˆ 2 n 2 Y i Yˆ i i 1

39 Medidas de Variação VARIAÇÃO TOTAL (SQT ou SST) VARIAÇÃO NÃO EXPLICADA (SQR ou SSR) VARIAÇÃO EXPLICADA (SQE ou SSE)

40 Medidas de Variação Variação Total de Y (SQT) Variação das observações Y i em torno da média Y Variação Explicada pelo Modelo (SQReg) Devida à relação entre X e Y Variação Não Explicada pelo Modelo (SQRes) Devida a outros fatores fora da regressão

41 Medidas de Variação Y 3 Y TOTAL NÃO-EXPLICADA (residual) ^ Y 3 EXPLICADA Y X X 1 X 2 X 3 X 4

42 Coeficiente de Determinação Exemplos Y Y R 2 = 1 Y ^ i = b 0 + b 1 X i X R 2 = 0,95 R 2 = 0 Y Y R 2 = 1 Y ^ i = b 0 + b 1 X i X Y ^ i = b 0 + b 1 X i X Y ^ i = b 0 + b 1 X i X

43 Coeficiente de Determinação No exemplo, R 2 = 0,95. Isso significa que 95% da variação total do volume de vendas podem ser explicados pela variável investimento em propaganda. Esse modelo pode ser visto como tendo alta capacidade preditiva.

44 Penaliza a entrada de novas variáveis e novas observações no modelo. É utilizada para comparar modelos com número diferente de variáveis explicativas. Não tem utilidade nos modelos de regressão linear simples. É expressa por: Coeficiente de Determinação Ajustado R 2 ajustado 1 n 1 n p 1 onde p é o número de variáveis explicativas e n o número de observações na amostra. 1 R 2

45 Erro Padrão de Estimativa É uma medida absoluta de dispersão das observações em torno da reta. Quanto menor o seu valor, melhor é a variável X para explicar Y. É utilizada na distribuição de amostragem dos coeficientes estimados da reta. Estima o desvio padrão dos erros na população.

46 Avaliação do Modelo Procedimentos 1. Examinar as medidas do modelo. 2. Testar a significância do modelo e dos coeficientes 3. Análise dos resíduos Presença de outliers Violação das premissas

47 Premissas do Modelo Como os erros são não observáveis, não temos como controlá-los. Portanto, devemos partir de premissas sobre o seu comportamento. As principais premissas dizem respeito à forma como os erros se distribuem. Posteriormente, analisaremos se as premissas são, ou não, plausíveis.

48 Premissas do Modelo 1. As variáveis X e Y são linearmente relacionadas. 2. Os erros são normalmente distribuídos para cada valor de X. 3. E(e) =0 para cada valor de X. 4. A variância dos erros é constante, mas desconhecida, para cada valor de X (Homoscedasticidade). 5. Erros são independentes (Não auto correlacionados)

49 Premissas do Modelo f(e) X 1 Y X 2 X

50 Teste dos Coeficientes Inclinação (b 1 ) 1. Testa a relação entre X e Y na população 2. Envolve apenas a Inclinação ( b 1 ). O intercepto não é objeto de análise nem teste porque muitas vezes não tem significado prático por um problema de escala (X=0 não é plausível). 3. Formulação do Teste de Hipóteses: H o : b 1 = 0 H 1 : b 1 0 (X não explica Y na população) (X explica Y na população)

51 Teste dos coeficientes Inclinação H o : b 1 = 0 H 1 : b 1 0 5% gl 5-2 = 3 Valores Críticos: 3.18 Rejeita 2,5% -3,18 0 3,18 Rejeita 2,5% t Estatística do Teste t Decisão b b1 Erro padrão (b Rejeita H 0 com 5% de significância Conclusão 3,65 0 0,46 1 7,9 Há evidência da relação entre despesa com propaganda e vendas 1 )

52 Avaliação do Modelo Procedimentos 1. Examinar as medidas do modelo. 2. Testar a significância dos parâmetros 3. Análise dos resíduos Presença de outliers Violação das premissas

53 Análise dos Resíduos 1. Análise Gráfica dos Resíduos (e) Plotar Resíduos vs. Valores de X i (ou de Y ^ i ), de preferência na forma padronizada. Resíduos estimam os Erros na População 2. Objetivos Diferença entre Y i observados & Y i estimados. Examinar a forma funcional do modelo (Linear vs. Não-linear Premissa 1) Avaliar as violações das premissas dos erros. Examinar existência de outliers

54 Gráfico dos Resíduos Avaliação da relação linear entre X e Y Teste Ramsey-RESET Relação e não linear Especificação correta e e X X Mudar escala de Y e/ou X

55 Gráfico dos Resíduos Avaliação da homoscedasticidade Teste de White Heteroscedasticidade Especificação correta e e X X Ponderar resíduos para aplicar mínimos quadrados

56 Gráfico dos Resíduos Avaliação da auto correlação dos erros Teste Durbin-Watson Não Independência Especificação correta e e X X Utilizar um modelo de séries temporais (auto-regressivo)

57 Análise de Outliers 1. Observações que podem afetar o valor dos coeficientes Exemplo Erro de digitação ou de coleta 2. Deve-se tentar entender o motivo da sua ocorrência 3. Uma possibilidade de ação é o expurgo da observação 4. Pode ser o motivo da investigação

58 Efeito de um Outlier Y Outlier Reta com o Outlier Reta sem o Outlier X

59 Cuidados com a Regressão Cuidados na análise: 1. Violação das premissas 2. Relevância dos dados 3. Nível de significância adequado 4. Generalizações e extrapolações 5. Causa e efeito

60 Regressão Múltipla y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b k x k + u

61 Paralelos com a regressão simples b 0 ainda é o intercepto. De b 1 a b k, todos são chamados de parâmetros de inclinação. u ainda é o erro.

62 Paralelos com a regressão simples Ainda precisamos da hipótese de média condicional zero: E(u x 1,x 2,,x k ) = 0. Ainda minimizamos a soma dos quadrados dos resíduos;

63 Interpretando a regressão múltipla Resultado da estimação: yˆ ˆ b ˆ b x ˆ b x ˆ b k x k Queremos entender qual o efeito em y de cada variável x: y ˆ b x ˆ b x ˆ ˆ b k x k Logo, fixando x 2,...,x k, o efeito de x 1 será: yˆ ˆ 1 b x 1 Ou seja, cada β tem uma interpretação, assumindo-se os demais x constantes (ceteris paribus).

64 Regressão simples vs. múltipla Compare a regressão simples ~ y coma regressão múltipla yˆ ˆ b ˆ 0 b1x ~ Em geral, b ˆ b, a menos que : ˆ b x 1 2 e x (i.e. não há efeito de x 1 ~ ~ b b x ) OU ˆ b x são não correlacionados na amostra

65 Uma interpretação de efeito controlado O efeito de x 1 obtido da regressão de y em x 1 e x 2 é o mesmo obtido da regressão de y nos resíduos da regressão de x 1 em x 2 Isso significa que apenas a parte de x i1 que é não-correlacionada com x i2 está sendo relacionada com y i ; logo, estamos estimando o efeito de x 1 em y após o efeito de x 2 ter sido controlado.

66 Ajustamento Como medir quão bem nossa linha de regressão amostral se ajusta aos dados? Compute a fração da soma dos quadrados total (SST) que é explicada pelo modelo; chame essa fração de R 2 da regressão: R 2 = SSE/SST = 1 SSR/SST

67 Mais sobre o R 2 O R 2 nunca irá diminuir quando uma variável independente é adicionada na regressão e, em geral, irá aumentar. Como o R 2 em geral aumenta com o número de variáveis independentes, ele não é uma boa maneira de comparar modelos.

68 Muitas ou poucas variáveis? O que ocorre se incluirmos variáveis irrelevantes em nossa especificação? Não há efeito sobre os parâmetros estimados e os estimadores de MQO continuam não viesados.

69 Muitas ou poucas variáveis? O que ocorre se excluirmos variáveis relevantes em nossa especificação? Os estimadores de MQO serão, em geral, viesados.

70 Direção do viés de variável omitida Corr(x 1, x 2 ) > 0 Corr(x 1, x 2 ) < 0 b 2 > 0 Viés positivo Viés negativo b 2 < 0 Viés negativo Viés positivo

71 Direção do viés: resumo Em dois casos o viés é igual a zero: b 2 = 0, ou seja, x 2 na verdade não pertence ao modelo. x 1 e x 2 são não correlacionadas na amostra. Se as correlações entre x 2, x 1 e entre x 2, y tiverem o mesmo sinal, o viés será positivo. Se as correlações entre x 2, x 1 e entre x 2, y tiverem o sinal trocado, o viés será negativo.

72 Estimando a variância do erro Não conhecemos a variância do erro, s 2, pois não observamos os erros, u i. Mas observamos os resíduos, û i. Podemos utilizar os resíduos para estimar a variância do erro.

73 Regressão Múltipla - Inferência Hipóteses de Gauss-Markov E(u i )=0 var(u i )=s 2 < (Homocedascidade dos erros) corr(u i u j )=0

74 Teorema de Gauss-Markov Dadas nossas hipóteses de Gauss-Markov, podese mostrar que os estimadores de MQO são BLUE Best (melhor) Linear (linear) Unbiased (nãoviesado) Estimator (estimador)

75 Teorema de Gauss-Markov Em português, melhor estimador linear não viesado. Logo, se as hipóteses se verificarem, use MQO.

76 Hipóteses do Modelo Linear Clássico (MLC) Sabemos que, dadas as hipóteses de Gauss- Markov, MQO é BLUE. Para realizarmos os testes de hipóteses clássicos, precisamos acrescentar mais uma hipótese. Vamos supor que u é independente de x 1, x 2,, x k e que u é normalmente distribuído com média zero e variância s 2 : u ~ Normal(0,s 2 ).

77 Hipóteses do MLC Sob MLC, MQO é não apenas BLUE, mas também o estimador não-viesado de variância mínima. Podemos resumir as hipóteses do MLC como: y x ~ Normal(b 0 + b 1 x b k x k, s 2 ) Embora assumamos normalidade, nem sempre ela se verifica. Em grandes amostras, a hipótese de normalidade não é necessária (TLC).

78 Uma distribuição normal homocedástica com uma única variável explicativa f(y x) y.. E(y x) = b 0 + b 1 x x 1 x 2 Distribuições normais

79 Sobas ˆ b b j hipóteses j sd ˆ b ~ doclm n k 1 Teste t Observeque agora a distribuiç ão é a 2 porque estimamos s por ˆ s j t Repare nos graus deliberdade : n k. 2. t (e não a 1 normal)

80 Teste t (cont.) O conhecimento da distribuição amostral dos estimadores nos permite fazer testes de hipóteses. Comece com a hipótese nula. Por exemplo, H 0 : b j =0 Se aceitamos a nula, aceitamos que x j, após controlarmos pelos outros x s, não tem efeito em y.

81 O teste t (cont.) Primeiro precisamos obter a estatística t para bˆ : t b Vamos então usar a estatística t e alguma regra de rejeição para determinar se bˆ rejeitamos ou não a hipótese nula, j ˆ j j sd bˆ j. H 0.

82 Teste t: caso unicaudal Além de H 0, precisamos de uma hipótese alternativa, H 1, e um nível de significância. H 1 pode ser unicaudal ou bicaudal. H 1 : b j > 0 e H 1 : b j < 0 são unicaudais. H 1 : b j 0 é bicaudal. Se queremos apenas 5% de probabilidade de rejeitar H 0 caso ela seja, então dizemos que nosso nível de significância é de 5%.

83 Alternativa unicaudal (cont.) Escolhido um nível de significância,, olhamos no (1 )-ésimo percentil na distribuição t com n k 1 gl e chamamos esse valor, c, de valor crítico. Rejeitamos a hipótese nula se a estatística t é maior que o valor crítico. Se a estatística t for menor que o valor crítico, então não rejeitamos a nula.

84 Alternativa unicaudal (cont.) y i = b 0 + b 1 x i1 + + b k x ik + u i H 0 : b j = 0 H 1 : b j > 0 Não rejeitamos 1 Rejeitamos 0 c

85 Uni vs bicaudal Como a distribuição t é simétrica, testar H 1 : b j < 0 é direto. O valor crítico é simplesmente o negativo do anterior. Rejeitamos a nula se t < c; se t > c, então não rejeitamos a nula. Para um teste bicaudal, escolhemos um valor crítico baseado em /2 e rejeitamos H 1 : b j 0 se o valor absoluto da estatística t for > c.

86 Alternativa bicaudal y i = b 0 + b 1 X i1 + + b k X ik + u i H 0 : b j = 0 H 1 : b j > 0 Não rejeitamos Rejeitamos /2 1 Rejeitamos /2 -c 0 c

87 Resumo de H 0 : b j = 0 A menos que seja explicitado ao contrário, estaremos considerando a alternativa bicaudal. Se rejeitamos a nula, dizemos que x j é estatisticamente significante ao nível de % Se não rejeitamos a nula, dizemos x j é estatisticamente não significativo ao nível de %

88 Calculando o p-valor do teste t Uma alternativa ao procedimento clássico de teste é perguntar: qual é o menor nível de significância ao qual a nula seria rejeitada? Calcule a estatística t, e olhe em que percentil ela está na distribuição t apropriada este é o p-valor.

89 Stata e p-valores, testes t s etc. A maioria dos pacotes calcula o p-valor, assumindo um teste bicaudal. Se estivermos interessado na alternativa unicaudal, basta dividir o p-valor reportado por 2. O Stata reporta a estatística t e o p-valor de H 0 : b j = 0.

90 Aplicação Importar os dados para o Stata Analisar os dados: Médias, desvios-padrão, máximo, mínimo, etc... Fazer um histograma da distribuição de lnsalario. Rodar uma regressão Ceficientes Ele é significativo? Qual sua interpretação?

91 Danilo Soares Monte-Mor Doutor em Administração e Ciências Contábeis danilo@fucape.br TEL: (27)