EPGE / FGV MFEE - ECONOMETRIA. Monitoria 01-18/04/2008 (GABARITO)

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1 EGE / FGV MFEE - ECONOMETRIA Monitoria 01-18/04/008 (GABARITO) Eduardo. Ribeiro eduardopr@fgv.br ofessor Ilton G. Soares iltonsoares@fgvmail.br Monitor Tópicos de Teoria: 1. Hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear (MCRL).. Ausência de viés dos estimadores de Mínimos Quadrados (MQ).. Variância dos estimadores de MQ. 4. Estimadores da variância do erro e da variância dos coe cientes. 5. Inferência no MCRL: teste de ipóteses sobre os coe cientes do modelo. Exercícios: 01. Maddala (00), exercícios.6,.7,.10. SOLUÇÃO Maddala (00), exercício.6 (a) Os resultados a seguir se referem à regressão y i = b + b x i + e i, onde y = taxa de demissão por 100 empregados em manufatura x =taxa de desemprego Maddala, exercício.6 1

2 (b) Um intervalo de con ança de 95% para é dado por 1 : 4 t crit b t crit 5 = 0:95 ep b ep b t crit b i ep b t crit = 0:95 b assim, substituindo os valores temos ep b t crit b i + ep b t crit = 0:95 [ 0:861 0:06885 :1 0: :06885 :1] = 0:95 [ 0:45 0:147] = 0:95 Assim, com probabilidade de 95% o intervalo calculado acima irá conter o verdadeiro parâmetro populacional. (c) É imediato do item anterior que ao nível de signi cância de 5% a ipótese nula será rejeitada, uma vez que 0 = [ 0:45; 0:147]. Contudo, vamos conduzir o teste requerido. Sabemos que as ipóteses do teste são: e que a estatística de teste é dada por H 0 : = 0 H 0 : 6= 0 t calc = b = 0:861 ep b 0:06885 = 4:55148: Assim, como o valor calculado (t calc ) é maior (em valor absoluto) que o valor crítico (t crit = :1), concluímos pela rejeição da ipótese nula de que = 0, como já aviamos adiantado. (d) Uma vez que SQR (n ) e que SQR (n ) b = então o intervalo de con ança de 90% para é dado por : (n ) b (0:05;11) = 0:90 1 Note que t crit se refere ao valor crítico de t considerando (n k 1) = 11 graus de liberdade e um nível de signi cância de 5%. Assim, consultando uma tabela da distribuição t (ou o EViews), temos que t crit = :1. = valor tabelado da distribuição qui-quadrado com nível de signi cância de 5% e 11 (0:05;11) graus de liberdade. = valor tabelado da distribuição qui-quadrado com nível de signi cância de 95% e 11 graus de liberdade. Assim, a área abaixo da curva que caracteriza a distribuição qui-quadrado com 11 graus de liberdade entre e (0:05;11) é 90%.

3 " # 1 (n ) b 1 = 0:90 (0:05;11) " # (n ) b (n ) b = 0:90 (0:05;11) logo, substituindo os valores temos 1: :675 1:1451 = 0:95 4:575 0:0581 0:4995 = 0:95 (e) O modelo calculado apresenta autocorrelação. Este tópico será discutido mais adiante. Maddala (00), exercício.7 Sabemos que o método de mínimos quadrados aplicado para estimar os coe - cientes do modelo Y i = X i +u i consiste em obter b e b que resolvem o seguinte problema: de onde obtemos as seguintes COs: min SQR = X Y i b b = 0 =) X Y i b b X i = b = 0 =) X Y i b b X i X i = 0 () logo, como Y i b b 1 X i = bu i, temos da CO (??), obtida na derivação do estimador de mínimos quadrados de, que t bu i = 0. Além disso, da CO (??) temos que i bu ix i = 0. Maddala (00), exercício.10 Como V ar b = (xi, ca fácil ver que no caso do pesquisador, (x x) i x) é maior que na amostra do pesquisador 1, daí a razão pela qual o erro padrão de b para o primeiro é maior do que o erro padrão de b para o segundo. 0. Sobre o coe ciente de determinação R e o coe ciente de determinação ajustado R responda: (a) O R compara as variâncias de desvios em relação à previsão de y de que modelos? (b) Qual a relação entre o R e o coe ciente de correlação em uma regressão simples? E em uma regressão múltipla? O que isso tem a ver com o intervalo no qual o R está? (c) Que estimadores para o modelo y t = 1 + x t + u t você obteria se utilizasse como critério de estimação a maximização do R? (d) O R pode diminuir quando acrescentamos uma variável explicativa? (e) O que é o R? Explique sua utilidade e sua relação com a estatística t. (f) Sempre que o modelo (linear) tiver pelo menos uma variável explicativa além do intercepto, o R será maior ou igual ao R ajustado?

4 SOLUÇÃO (a) Modelos lineares com intercepto e mesma variável dependente (lembre das considerações feitas em sala sobre a dedução do R ). (b) No modelo linear geral y i = b 1 + b x i + b x i + ::: + b k x ki + bu i = by i + bu i R corresponde ao quadrado do coe ciente de cor- o coe ciente de determinação relação entre y e by, ou seja: R = [cor (y; by)] : Isso num modelo de regressão simples signi ca R = cor y; b 1 + b i x i Como b 1 e b são números (dada a amostra) então usando as propriedades do coe ciente de correlação discutidas em sala, temos R = cor y; b 1 + b i x i = [cor (y; xi )] : Obs: A seguir temos uma demonstração para o caso de regressão simples. Note que cor (y; x i ) = (yi y) (x i x ) q (yi y) (x i x ) logo, no modelo de regressão simples: R = SQE SQT = (byi y) b (yi y) = (x i x ) (yi y) (xi x ) = b (yi y) = = (xi x ) (y i y) (xi x ) (xi x ) (yi y) [ (x i x ) (y i y)] (xi x ) (y i y) = [cor (y; x )] = R = [cor (y; by)] como queríamos. Uma vez que o coe ciente de correlação está limitado ao intervalo [ 1; 1], segue diretamente de R = [cor (y; by)] que R [0; 1]. (c) Como R = 1 SQR SQT e SQT não está sob nosso controle, então maximizar R é o mesmo que minimizar SQR, isto é, o método de mínimos quadrados maximiza o R. 4

5 (d) NÃO. Note que a SQR é função não crescente do número de variáveis explicativas incluídas no modelo (lembre do que comentamos em sala: um mínimo restrito é sempre maior ou igual a um mínimo irrestrito, assim como um máximo restrito é sempre menor ou igual a um máximo irrestrito). Desse modo, por construção, o R é função não decrescente do número de variáveis explicativas incluídas no modelo. (e) O coe ciente de determinação ajustado, R, é de nido por R = 1 SQR= (n k 1) : SQT= (n 1) Diferentemente do R, o R penaliza a inclusão de novos regressores, assim, se a SQR não reduzir de maneira a compensar o aumento de k, o R pode diminuir com a inclusão de uma nova variável explicativa. Contudo, é possível provar que o R irá aumentar sempre que o quadrado da estatística t associada ao coe ciente da variável incluída for maior do que 1. (f) VERDADEIRO. Lembre que R = 1 podemos escrever o R como SQR SQT e R = 1 SQR=(n k 1) SQT=(n 1). Com isso R = 1 SQR (n 1) SQT (n k 1) = R = 1 1 R (n 1) (n k 1) Assim, 1 R (n 1) (n k 1) (n 1) (n k 1) = 1 R = 1 R 1 R Logo, se tivermos uma ou mais variáveis explicativas, k 1, então de modo que (n 1) (n k 1) > 1, 1 R 1 R > 1 1 R > 1 R R < R. 0. Derive o estimador de MQ em um modelo de regressão múltipla usando notação matricial. Deixe clara a quantidade de equações nas condições de primeira ordem. SOLUÇÃO 5

6 Considere o modelo linear geral y i = 1 + x i + x i + ::: + k x ki + " i Em notação matricial, temos y 1 1 x 1 x 1 x k1 y = 1 x x x k y n 1 x n x n x kn 1. k ou, de forma mais compacta a função de regressão populacional (F R ) pode ser escrita como e a função de regressão amostral (F RA): Y = X + " Y = X b + e: Queremos obter, b o estimador de mínimos quadrados de. ara isso, b deve minimizar a soma dos quadrados dos resíduos (note que SQR = e 0 e): " 1 ". " n 7 5 Mas note que min SQR = min ee e 0 e = Y X b 0 Y X b = Y 0 0 b X 0 Y X b = Y 0 Y b 0 X 0 Y Y 0 X b + b X 0 X b como b 0 X 0 Y é (1 1), Y 0 X b é (1 1) e um é o transposto do outro, então eles são iguais (pois a transposta de um escalar é ele próprio). Assim, e 0 e = Y 0 Y Tomando a CO do problema 4, temos b 0 X 0 Y + b 0 X 0 X 0 b = 0 ) X0 Y+X 0 X b = 0 X 0 X b = X 0 Y portanto, como (X 0 X) é uma matriz qudrada de ordem k, a CO se (X 0 X) for inversível 5, podemos multiplicar ambos os lados da equação anterior por (X 0 X) 1 de modo que b = X 0 X 1 X 0 Y. ara lembrar das propriedades da transposta, ver Maddala (00), pp ara lembrar dos principais conceitos associados a diferenciação matricial, ver Maddala (00), pp Lembre que (XX) é inversível se, e somente se, as colunas de X são linearmente independentes, logo é preciso que não exista multicolinearidade perfeita, isto é, que não seja possível escrever nenuma variável explicativa como combinação linear das demais. 6