Variáveis Instrumentais

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1 Variáveis Instrumentais Abordagem diferente para o problema de endogeneidade: V.I. pode se usado para se obter estimadores consistentes na presença de variáveis omitidas; V.I. também pode ser usado para resolver erros de medida; 1

2 Motivação: Problema de variáveis omitidas: Ignorar o problema? Viés e inconsistência!?! Proxy para a variável não-observada? Efeitos fixos/primeiras diferenças? Se pudermos deixar a variável não-observada no termo de erro, mas ao invés de estimarmos por MQO, usarmos outro método que reconheça a variável omitidav.i. 2

3 Problema da habilidade não-observada: Log(wage)= y it =β 0 + β 1 educ + β 2 abil + e Proxy: QI Se não tivermos QI disponível? Log(wage)= y it =β 0 + β 1 educ + u, onde u contém abil. Por MQO, β 1 será enviesado e inconsistente se educ e abil estiverem correlacionados. 3

4 Se conseguirmos um instrumento para educ, podemos usar a equação anterior como base para nossa estimação: y=β 0 + β 1 x + u Cov(x,u) 0 Seja z uma variável observável que satisfaz: Cov(z,u)=0 Cov(z,x) 0 (exogeneidade) z é chamada de variável instrumental de x. 4

5 Para testarmos se z é correlacionado com x: x=π 0 + π 1 z + v Como π 1 = cov(z,x)/var(z), π 1 deve ser 0; H 0 = π 1 =0 Exemplo: Na equação de salários, um instrumento para educ que não esteja correlacionado com a habilidade e esteja correlacionado com educ? SSN do indivíduo? Não. QI? Não. Educação da mãe? Possível. 5

6 Exemplo2: Score = β 0 + β 1 skipped + u Existe uma V.I. para skipped? Distância da residência ao campus. Mas distância pode estar correlacionado com renda. Se incluirmos a renda como variável explicativa, a distância pode ser um bom instrumento. 6

7 Se garantirmos: Cov(z,u)=0 e Cov(z,x) 0 (exogeneidade) Então podemos identificar o parâmetro β 1. 7

8 Estimador de V.I. para β 1 : ˆ 1 n i1 n i1 ( z z )( y y) i ( z z )( x x) i i i Quando z=x, temos MQO. 8

9 Estimador de MQO para β 1 : Estimação dos parâmetros: MQO: ˆ MQO i i ( x x)( y y) i i ( x x) i 2 9

10 Inferência com Estimação de VI A hipótese de homocedasticidade neste caso é dada por: E(u 2 z) = s 2 = Var(u) Do mesmo modo que em MQO, dada a variância assintótica, podemos estimar o erro-padrão: Var se ˆ 1 2 s ns 2 x 2 ˆ s SST R ˆ 1 2 x 2 x, z x, z Econometria II - Prof. Ricardo Freguglia 10

11 VI versus MQO O Desvio-padrão em VI difere de MQO somente R 2 da regressão de x em z; Como R 2 < 1, os desvios-padrão de VI são maiores que em MQO; Porém, VI é consistente, enquanto MQO é inconsistente, quando Cov(x,u) 0; Quanto mais forte a correlação entre z and x, menores serão os desvios-padrão de VI; 11

12 O Efeito de Instrumentos Fracos O que acontece se Cov(z,u) = 0 não se verifica? O estimador de VI será inconsistente também. Podemos comparar o viés assintótico em MQO e VI Preferimos VI se Corr(z,u)/Corr(z,x) < Corr(x,u) Corr( z, u) s u IV :plim ˆ 1 1 Corr( z, x) s ~ OLS: plim 1 s u 1 Corr( x, u) s Econometria II - Prof. Ricardo Freguglia 12 x x

13 Exemplo: estimando os retornos à educação para as mulheres casadas. Log(wage)= β 0 + β 1 educ + u Estimar com MROZ.RAW no Stata: MQO V.I. (fatheduc) Fatheduc não deve ser correlacionado com u; Educ e fatheduc devem ser correlacionados; Reg educ fatheduc reg lwage educ (fatheduc) ou ivreg lwage (educ=fatheduc) 13

14 Exemplo: Angrist & Krueger (1991) Educ; frstqrt Exemplo: Angrist (1990) Log(earns)=β 0 + β 1 veteran + u Experimento natural: draft lottery number 14

15 Estimação de VI com Regressão Múltipla Modelo estrutural: é o modelo em que estamos interessados em estimar; Nosso problema: uma ou mais variáveis que são endógenas; Precisamos de um instrumento para cada variável endógena; 15

16 MQ2E: Mínimos Quadrados em 2 Estágios (2SLS) Equivale ao caso com múltiplas variáveis instrumentais; Forma reduzida para y 2 (variável explicativa endógena): y 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + π 3 z 3 + v 2 Onde: E(v 2 )=0; Cov(z 1,v 2 )=0, Cov(z 2, v 2 )=0 e Cov(z 3,v 2 )=0 16

17 y* 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + π 3 z 3 onde: π 2 0; π 3 0. Esta é a hipótese de identificação principal, uma vez que assumimos que os z s são exógenos. 17

18 1º. Estágio: yˆ ˆ ˆ z ˆ z ˆ z º. Estágio: i yˆ ( y ˆ ˆ y ˆ y ) 0 i2 i1 0 1 i2 2 i1 MQO de y 1 sobre y 2 _hat e z 1. 18

19 Exemplo: MROZ.RAW Reg lwage educ exper expersq Reg educ motheduc fatheduc exper expersq Test motheduc=0; test fatheduc=0; Reg lwage educ exper expersq (motheduc fatheduc exper expersq) 19

20 Erros nas Variáveis com a estimação de VI Relembre dos erros clássicos nas variáveis: observamos x 1 ao invés de x 1 * Onde: x 1 = x 1 * + e 1, e 1 não é correlacionado x 1 * e x 2 Se existe um z, tal que Corr(z,u) = 0 e Corr(z,x 1 ) 0, então: VI removerá o viés de atenuação. 20

21 Teste para Endogeneidade MQO é preferido a VI se não temos um problema de endogeneidade; Precisamos, portanto, testar a existência de endogeneidade; Se não há endogeneidade, MQO e VI são consistentes; Ideia do teste de Hausman: verificar se há diferenças entre as estimativas de MQO e VI 21

22 Teste para Endogeneidade (cont) Teste mais simples: usar uma regressão para testar endogeneidade: Se y 2 é endógeno, então v 2 (a partir da forma da equação reduzida) e u 1 (do modelo estrutural) podem estar correlacionados; O melhor treste é baseado nesta observação; 22

23 Teste para Endogeneidade (cont) Salve os residuos do 1o. Estágio; Inclua na equação estrutural (com y 2 nela) Se o coeficiente do resíduo é estatisticamente diferente de zero, rejeite a hipótese nula de exogeneidade; Se há multiplas variáveis endógenas, faça testes conjuntos dos resíduos para cada primeiro estágio. 23

24 Teste de Restrições Sobreidentificadas Se há apenas 1 instrumento para nossa variável endógena, não podemos testar se o instrumento é não-correlacionado com o erro; Dizemos que o modelo é exatamente identificado; Se temos múltiplos instrumentos, é possível testar a sobreidentificação para ver se outros instrumentos são correlacionados com o erro; 24

25 O Teste de Sobreidentificação Estimar o modelo estrutural usando IV e obter os residuos Regrida os resíduos sobre todas as variáveis exógenas e obtenha o R 2 para formar o nr 2 sob a hipótese nula de que todos os instruentos não são correlacionados com o erro, LM ~ c q2 onde q é o número de instrumentos extras; 25