Econometria II. Equações simultâneas

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1 Eco monitoria Leandro Anazawa Econometria II Este não é um resumo extensivo. O intuito deste resumo é de servir como guia para os seus estudos. Procure desenvolver as contas e passos apresentados em sala de aula. Quaisquer dúvidas me procurem ou me escrevam um (leandro.swa@gmail.com). Bons estudos! Equações simultâneas A intuição de equações simultâneas é o de modificar um sistema de equações com endogeneidade, de modo a tentar obter estimativas não viesadas. Temos o sistema com equações estruturais, que apresentam o problema de endogeneidade. Assim, os coeficientes dessas equações seriam estimados com viés se usarmos MQO. A partir das equações estruturais, obtemos as equações reduzidas. As equações reduzidas apresentam apenas variáveis exógenas do lado direito, de modo que obtemos estimativas não viesadas ao utilizar MQO. Os coeficientes estimados das equações reduzidas podem recuperar alguns (ou todos) os parâmetros da equação estrutural, ou seja, podemos obter estimativas não viesadas dos coeficientes das equações estruturais. A seguir seguem alguns conceitos importantes em Equações Simultâneas e que serão aplicadas em um exemplo. I) Condição de Ordem É importante que vocês saibam se a condição de ordem é satisfeita. A condição de ordem é satisfeita se: nº de restrições de exclusão nº de variáveis endógenas Se a equação estrutural satisfazer a condição de ordem, então essa equação pode ser identificável. Se o nº de restrições de exclusão for maior do que o nº de variáveis endógenas, então temos sobre identificação. Se o nº de restrições de exclusão for igual ao nº de variáveis endógenas, então temos identificação exata.

2 Identificável significa que podemos obter as estimativas não viesadas dos coeficientes da equação estrutural. II) Identificação Como saber se os parâmetros das equações estruturais são identificáveis? Ou seja, como saber se podemos obter estimativas não viesadas deles? Vocês devem seguir os seguintes passos:. Escolher uma equação estrutural e substituí-la na outra equação estrutural.. Nessa nova equação, isolar a variável endógena do lado esquerdo da equação. 3. Fazer a mesma coisa para a outra equação estrutural. 4. Isso vai te dar as duas equações na forma reduzida. A estimação das equações reduzidas por MQO te dará estimativas. 5. Realizar operações (divisão, soma, subtração) com essas estimativas pode resultar nas estimativas dos parâmetros das equações estruturais (sem viés!). Exemplo importante (com os conceitos que vocês precisam saber): Essas duas equações formam um sistema de equações estruturais, com as seguintes características: Tem variáveis endógenas (e/ou exógenas) do lado direito da equação. Variáveis endógenas: Y e X (são variáveis que são criadas dentro do sistema de equações). Variável exógena: Z.

3 Nº de restrições de exclusão: é o número de variáveis exógenas que a equação não tem, mas a(s) outra(s) equação(ões) do sistema apresenta(m). Pode ser reescrito como: X = α 0 + α Y + 0. Z + ε Em que α = 0, que representa uma restrição de exclusão. Equação de Y tem (do lado direito): variável endógena (X). variável exógena (Z). Nenhuma restrição de exclusão (por que?). A equação de Y não satisfaz a condição de ordem. Equação de X tem (do lado direito): variável endógena (Y). Nenhuma variável exógena. restrição de exclusão (por que?). Na equação de X temos que: nº de restrições de exclusão = nº de variáveis endógenas Então, temos que a equação de X obedece a condição de ordem e, por isso, pode ser identificável. Portanto, só alguns (ou todos) dos parâmetros da equação estrutural de X podem ser recuperados através das formas reduzidas. 3

4 Quais parâmetros são identificáveis? Para responder a essa pergunta precisamos encontrar as formas reduzidas e estimar os seus parâmetros. Assim, suponha que temos o seguinte sistema de equações: Substituindo X na equação de Y, temos: Y = β 0 + β (α 0 + α Y + ε ) + β Z + ε Isolando o Y, que é a variável endógena, temos: ( β α )Y = β 0 + β α 0 + β ε + β Z + ε Y = β 0 + β α 0 ( β α ) + β ( β α ) Z + β ε + ε ( β α ) forma reduzida de Y Note que, agora, do lado direito da equação de Y só temos variáveis exógenas. Assim, estimar essa equação por MQO vai resultar em estimativas não viesadas dos coeficientes: π 0Y = β 0 + β α 0 π Y = β π Y = β ε + ε 4

5 Agora devemos fazer o mesmo para a equação de X. Primeiro, substitua Y na equação de X. X = α 0 + α (β 0 + β X + β Z + ε ) + ε Isole X e obtenha a forma reduzida de X: ( α β )X = α 0 + α β 0 + α β Z + α ε + ε X = α 0 + α β 0 ( α β ) + α β ( α β ) Z + α ε + ε ( α β ) forma reduzida de X Assim, podemos obter as estimativas não viesadas através de MQO: π 0X = α 0 + α β 0 π X = α β π X = α ε + ε Assim, podemos recuperar α, como a seguir: π X π Y = α β β = α 5