Aula 6. Modelo de Correção de Erros Vetorial. Wilson Correa. August 23, Wilson Correa August 23, / 16

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1 Aula 6 Modelo de Correção de Erros Vetorial Wilson Correa August 23, 2017 Wilson Correa August 23, / 16

2 Equações Simultâneas e Modelos VAR/VEC Frequentemente o interesse em economia é centrado na representação de modelos de equações simultâneas tais como: B 0 Y t + B 1 Y t 1 = C 0 Z t + C 1 Z t 1 + Υq t + ε t (1) onde: B 0 é a matriz k k de coeficientes de todas as variáveis endógenas, B 1 é a matriz de coeficientes das variáveis defasadas, C 0 é a matriz das variáveis não modeladas em tempo corrente e C 1 daquelas não modeladas defasadas, q t é o vetor de termos determinísticos com sua respectiva matriz de coeficientes Υ e por fim ε i.i.d(0, Ω) A condição B 0 0 é necessária para podermos assegurar que o sistema de equações possui tantas equações independentes quantas variáveis endógenas. Wilson Correa August 23, / 16

3 Equações Simultâneas e Modelos VAR/VEC Se consideramos a forma reduzida do modelo em (1) tal que Y t é expresso como uma função dos parâmetros, variáveis não modeladas e variáveis defasadas temos: Y t = B 1 0 B 1Y t 1 + B 1 0 C 0Z t + B 1 0 C 1Z t 1 + B 1 0 Υq t + B 1 0 ε t Y t = Φ 1 Y t 1 + Γ 0 Z t + Γ 1 Z t 1 + Ξq t + u t (2) A equação (2) pode ser considerada um modelo VAR em que um conjunto de variáveis representadas pelo vetor Z t são não modeladas. Wilson Correa August 23, / 16

4 Tendência Estocástica e Representação M.A. Modelos VAR Modelos VAR irrestritos podem ser reparametrizados sem impor restrições nos parâmetros estimados sem alterar portanto o valor da função de Máxima Verosimilhança. O modelo de Correção de Erros de Equiĺıbrio Vetorial (VECM) é uma reformulação do VAR em termos de diferenças da variável e o nível do processo. 1 Efeitos de Multicolinearidade tipicamente presentes em séries de tempo são reduzidos quando o modelo é especificado em diferenças 2 Toda a informação de longo prazo é sumarizada na matriz de nível. 3 A interpretação das estimativas dos parâmetros é mais intuitiva pois os coeficientes podem ser classificados entre efeitos de longo e curto prazos. Wilson Correa August 23, / 16

5 Tendência Estocástica e Representação M.A. Modelos VAR Considerem inicialmente um modelo VAR(p) irrestrito: X t = A 1 X t A p X t p + ΞD t + ε t (3) O modelo VAR na equação (3) pode ser reparametrizado em termos de um modelo VECM tal que: X t = Γ 1 X t Γ p 1 X t p+1 + ΠX t 1 + ΞD t + ε t (4) onde: Π = (I A 1 A 2... A p ) e Γ 1 = A p Se a combinação linear das variáveis em X t define uma variável estacionária então todos os componentes em cada uma das equações onde esta combinação é signficativa são formulados em termos de um modelo estacionário. Wilson Correa August 23, / 16

6 Tendência Estocástica e Representação M.A. Modelos VAR Se o VAR contém uma raiz unitária então a formulação em termos do polinômio A(L) não é inversível. Contudo é possível encontrar uma formulação de média móvel tal que: Val. Inic. Tend. Det. t {}}{{}}{ X t = C ε i + Cµt + C (L)ε t + X 0 C (L)ε 0 (5) }{{} i=1 }{{} Comp. Estoc.Est. Tend. Est. Estamos interessados em encontrar uma combinação linear da matriz Π = αβ que anule a tendência estocástica na representação de média móvel. Assumam que X t I (1), então X t I (0) Wilson Correa August 23, / 16

7 Tendência Estocástica e Representação MA Modelos VAR Lembrem-se que o rank/posto de uma matriz é igual ao maior número de colunas/linhas desta matriz que são linearmente independentes. De maneira mais formal sejam x 1,..., x n vetores (k 1). Dizemos que estes vetores são linearmente independentes se para as constantes: c 1 x c n x n = 0 = c 1 =... = c n = 0 (6) Se c 1 x c n x n = 0 com pelo menos um c i 0, então dizemos que x 1,..., x n são linearmente dependentes. Logo se uma matriz tem rank reduzido r então existem k r colunas, em que k é o número de colunas na matriz, que são linearmente dependentes, ou seja podem ser escritas como uma combinação linear das outras. Wilson Correa August 23, / 16

8 Tendência Estocástica e Representação MA Modelos VAR Se a matriz Π possui rank (r) cheio então cada equação definiria que uma variável estacionária X t seria igual a uma variável não estacionária X t 1 mais variáveis estacionárias à diferenças e um termo de erro estacionário. Π não pode ser de rank cheio. Se for de rank cheio, considere neste caso Π = I k por exemplo. Podemos concluir que X t deve ser estacionário, caso contrário o modelo estaria desbalanceado. Se r = 0 então todas as colunas de Π são linearmente dependentes e existem k variáveis não estacionárias e o modelo deve ser considerado em diferenças. Se o rank 0 < r < k existem k r variáveis que são não estacionárias. Neste caso Π pode ser decomposta em Π = αβ onde α e β são matrizes k r, r k tal que β X t 1 é um vetor com relações de cointegração estacionárias. Wilson Correa August 23, / 16

9 Tendência Estocástica e Representação MA Modelos VAR A interpretação não é de que o equiĺıbrio vai ser satisfeito no longo prazo quando t e sim de que existe uma posição de equiĺıbrio a cada ponto no tempo onde desvios desse equiĺıbrio são estacionários. Vetores de cointegração podem ser interpretados como desvios estacionários de uma relação de longo prazo de steady state. Essa não é a única interpretação possível. Campbell e Shiller (1987, p.508) mostram que uma variável (taxa de juros de longo prazo) reflete as expectativas racionais de agentes sobre o futuro de uma outra variável (taxa de juros de curto prazo) a qual segue um processo integrado. Os autores mostram formalmente que cointegração pode ser resultado de agentes fazendo previsões sob a hipótese de expectativas racionais. Wilson Correa August 23, / 16

10 Componentes Determinísticos no Modelo VAR Cointegrado Considerem como ilustração o seguinte VECM: X t = α [ ] β β 0 β 1 Cinco casos possíveis X t 1 1 t + γ 0 + γ 1 t + ε t (7) 1 Modelo sem Componentes Determinísticos a Intercepto de cada relação de cointegração é zero. b Somente é factível de ser especificado se excepcionalmente os valores iniciais de X 0 sejam zero. c Em geral a constante é necessária para englobar níveis iniciais de X t Wilson Correa August 23, / 16

11 Componentes Determinísticos no Modelo VAR Cointegrado 2 γ 0 = 0 e β 0 0 a Termo constante restrito ao vetor de cointegração. b Não há tendência linear nos dados E( X t ) = 0 c Média do equiĺıbrio no vetor diferente de zero. 3 β 1 = 0, β 0, γ 0 0 e γ 1 = 0 irrestrito no VAR a Tendência linear nas variáveis em nível mas não no VAR em diferenças. b E( X t ) = γ 0 0 o que implica um intercepto diferente de zero no vetor de cointegração. 4 γ 1 = 0 e γ 0, β 0, β 1 0 a Tendência restrita a aparecer somente no vetor de C.I., mas constante irrestrita: γ 0 e β 0 b Modelo com variáveis que são estacionárias em torno de uma tendência. c Tendência linear nas variáveis em nível. Wilson Correa August 23, / 16

12 Componentes Determinísticos no Modelo VAR Cointegrado 5 Sem Restrições a Tendência e constante irrestritos no modelo b Tendência linear para X t. c Tendência quadrática para X t. d Procurar causas para crescimento quadrático no nível e incluir variáveis que possam explicar esse comportamento. Se os dados apresentam tendência linear a melhor especificação é iniciar com constante irrestrita e tendência restrita ao vetor de cointegração a menos que existam razões para supor que a tendência se cancela no vetor de CI. Uma vez determinado o númrero de vetores de cointegração testar se β 1 = 0 Se não existe tendência linear nos dados iniciar com constante restrita ao vetor de cointegração a menos que as relações de cointegração possam ser assumidas ter média zero. Wilson Correa August 23, / 16

13 Determinação do Rank Matriz Π Se os dados mostram evidências de uma mudança no nível de X t, o que implica um pulso em X t, incluir uma dummy irrestrita de pulso nas equações e uma dummy de mudança de nível restrita ao vetor de CI. Teste do Traço 1 H(k) Rank = k ou seja sem raízes unitárias longo X t é estacionária. 2 H(r) Rank = r ou seja existem k r raízes unitárias e r relações de cointegração e X t é não estacionária. Lógica de Teste do rank da matriz Π: { Rejeito H 0 Máximo 1 vetor CI r = 0 Não Rejeito H 0 k raízes unitárias (8) Wilson Correa August 23, / 16

14 Determinação do Rank da Matriz Π { Rejeito H 0 Máximo 2 vetores CI r = 1 Não Rejeito H 0 1 vetor CI { Rejeito H 0 Máximo 3 vetores CI r = 2 Não Rejeito H 0 2 vetores CI { Rejeito H 0 Rank cheio r = k 1 Não Rejeito H 0 k-1 vetores CI (9) (10) (11) Distribuição do teste é simulada e depende dos termos determinísticos no VAR. A distribuição assintótica se modifica dependendo se a tendência e a constante são restritas ao vetor de cointegração ou são irrestritas. Logo a correta especificação dos componentes determinísticos do VAR é crucial para a inferência do rank Wilson Correa August 23, / 16

15 Determinação do Rank da Matriz Π Quando dummies de intervenção são inseridas os resultados das simulações para as distribuições assimétricas são severamente afetados. O teste do traço sofre de problemas no poder do teste para pequenas amostras se a hipótese alternativa está próxima de uma raiz unitária. Utilizar a correção de Bartlett para pequenas amostras Utilizar informação adicional: 1 Se o r + 1-ésimo vetor de cointegração é não estacionário e for incluído no modelo errôneamente, então a maior raiz característica da matriz companion estará próxima do círculo unitário. 2 Se os coeficientes t da matriz α para o r + 1-ésimo vetor de cointegração são menores do que 2.6 então não existem ganhos substanciais em incluir esse vetor no modelo. Wilson Correa August 23, / 16

16 Determinação do Rank da Matriz Π 3 Se o gráfico da relação de cointegração que é supostamente estacionária apresenta comportamento não estacionário então deve-se rever a escolha de r. 4 Interpretação econômica dos dados: Para k = 5 e r = 3, por exemplo, temos 2 tendências estocásticas nos dados... A Matriz Π = αβ pode ser transformada por uma matríz não-singular inversível Q r r tal que Π = αqq 1 β = α β onde α = αq e β = βq 1. Logo a matriz Π não é unicamente determinada a menos que restrições sejam impostas. Wilson Correa August 23, / 16