Econometria. Econometria: Paradigma. Porque usar econometria? Porque usar econometria?

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1 Econometria: Paradigma Econometria 1. O Paradigma da Econometria 19/8 Fundamentos teóricos Microeconometria e macroeconometria Modelagem comportamental: otimização, oferta de trabalho, equações de demanda, etc. Fundamentos estatísticos Elementos matemáticos Construção do Modelo o modelo econométrico Porque usar econometria? Entender a covariância Entender as relações: Estimar quantidades de interesse, como elasticidades Predição de resultados de interesse Controlar resultados futuros tendo em vista o conhecimento de relações Porque usar econometria? Inexistência de dados experimentais (experimentos controlados) em economia Necessidade de usar dados não experimentais, ou melhor, dados observados para se fazer inferências. Testar a teoria econômica com dados da realidade. 1

2 Porque usar econometria? Mensuração como observação A análise empírica usa dados para estimar relações entre variáveis. Um modelo econômico formal pode ser testado. População Teoria Mensuração Econometria pode ser utilizada para avaliar programas de políticas públicas e para fazer previsões. Características das escolhas comportamentais População Inferência Econometria Mensuração Características das escolhas comportamentais Passos para uma análise econométrica Formulação da questão de interesse Formulação das hipóteses: construção de um modelo econômico formal (equações que descrevem uma relação) Construção do modelo econométrico (parametrização) Definir forma funcional; Quantificar variáveis do modelo; Formular hipóteses sobre os parâmetros do modelo Aplicação: Existe relação entre investimento e capital de estoque? 2

3 Inferência Clássica Inferência Bayesiana População Mensuração População Mensuração Inferência imprecisa sobre a população inteira teoria de amostragem, teoria assintótica Econometria Características das escolhas comportamentais Econometria Inferência exata sobre uma amostra densidade posterior Características das escolhas comportamentais Estrutura dos dados Mecanismos de observação Passivo, não experimental Ativo, experimental Os chamados experimentos naturais Tipos de dados Cross section Séries de tempo Dados em painel/longitudinais Modelos Econométricos Lineares; estáticos e dinâmicos Escolhas discretas Dados censurados ou truncados Modelos estruturais ou sistemas de equações. 3

4 Métodos de estimação Mínimos Quadrados OLS, GLS, LAD, quantílica Máxima Verossimilhança Máxima Verossimilhança Formal Máxima Verossimilhança Simulada Variáveis instrumentais e GMM (Método de Momentos Generalizados) Estimação Bayesiana Cadeia de Markov, Monte Carlo A Questão da Causalidade Estabelecer relações entre variáveis não é suficiente para a análise econômica. Usualmente, o interesse está na causalidade entre as variáveis: se aumenta a taxa de juros, o crescimento econômico cai? Para encontrarmos o efeito causal, outras variáveis devem estar constantes o chamado efeito ceteris paribus É difícil estabelecer causalidade!! 14 Exemplo: Retornos Educação Modelo de capital humano: mais educação faz com que as pessoas obtenham rendimentos mais elevados. Simplificando, seria esta equação: Y β 0 + β educ + u = 1 Exemplo: A estimativa de b 1, é o retorno da escolaridade, mas pode ser considerada um efeito causal? Tudo depende do termo de erro, u, que inclui outros fatores que afetam o rendimento. Fatores não observados e observados podem estar presentes neste termos de erro

5 Operações básicas de vetores Econometria Adição Suponha dois vetores x e y com n componentes cada: 1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear Operações básicas de vetores Multiplicação escalar x é um vetor com n componentes, α é um escalar. Operações básicas de vetores Multiplicação 5

6 Independência de vetores Considere os seguintes m vetores de dimensão n: Independência de vetores O conjunto de m vetores é dito independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos demais. Podemos escrevê-los da seguinte forma {x 1, x 2,..., x m } Se {x 1,x 2,,x m } são vetores independentes não existe um conjunto de escalares diferentes de zero {a 1, a 2,...,a m } tais que: a 1 x 1 + a 2 x a m xm = 0 Ortogonalidade Dois vetores x e y são ortogonais se e somente se: x'y = 0 Base de um espaço vetorial Um conjunto de vetores {x 1,,x m } que são independentes formam um espaço vetorial V de dimensão m. Por exemplo, se m = 3 Isto implica que o ângulo formado entre estes dois vetores tem coseno igual a zero. 6

7 Base de um espaço vetorial Os três vetores podem ser usados para construir qualquer vetor no espaço R 3. Qualquer vetor de dimensão M pode ser construído como uma combinação linear dos vetores x 1,x 2, x m se estes vetores são independentes. Um conjunto de m vetores que forma um espaço V de dimensão m constitui a base deste espaço. Norma O tamanho da norma de um vetor x é definido como: x = ( x ) 1 i = ( x' x) 2 Dois vetores são ditos ortonormais se e somente se: x = y = 1 x' y = 0 Matrizes: operações Adição: as matrizes devem ter a mesma dimensão. Matrizes: operações Propriedades da Adição Se A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn, a, b escalares: 1. A = B sss aij = bij para todo i, j 2. C = A ± B sss cij = aij ± bij para todo i, j 3. aa = [a aij]mxn 4. a(a + B) = aa + ab 5. aa + ba = (a + b)a 6. A ± B = B ± A (lei comutativa) 7. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C (lei associativa) 7

8 Multiplicação: Matrizes: operações Se A é uma matriz mxn e B uma matriz nxm (o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B): Exemplo: Matrizes: operações Matrizes: operações Propriedades da Multiplicação Matriz 2 2: Matrizes: determinantes 1. A(B + C) = AB + AC 2. (A + B)C = AC + BC 3. AB = 0 A = 0 ou B = 0 4. AB = AC B = C 5. AB BA na maioria dos casos A = a 11a22 a12a21 8

9 Matriz 3 3: Matrizes: determinantes Matriz 3 3: Matrizes: determinantes B = b 11 ( b22b33 b23b32 ) b ( b b b b ) + b ( b b b b ) Determinantes: interpretação geométrica Exemplo: Matrizes: transposta Se a matriz A é mxn, sua transposta, A', será nxm, i.e., se A = [aij] então A' = [aji]. Exemplo: 9

10 Matrizes: transposta Propriedades: 1. (A + B)' = A' + B 2. (AB)' = B'A 3. Uma matriz A tal que A A=A é dita matriz idempotente Matrizes: posto Seja A uma matriz mxn. O posto de A é dado pela maior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com determinantes diferentes de zero. O posto da linha de A é o maior número de linhas linearmente independentes. Se todas as linhas de A forem linearmente independentes, A tem posto cheio (full row rank). De forma similar, o posto da coluna de A é o maior número de colunas linearmente independentes. Exemplo: Matrizes: posto Para cada submatriz de ordem 4 (existem 5), o determinante é zero. Para cada submatriz de ordem 3 (há 40), o determinante também é zero. Mas, para a matriz abaixo, o determinante não é nulo, logo, o posto é det = Exemplo: Matrizes: posto x + 2y + 3z = 1 2x + y + z = 0 6x 3y 3z = 1 1 A = A matriz A tem determinante igual a zero (3a. linha igual a 2a. linha multiplicada por -3). Posto de A = 2 10

11 Propriedades: 1. Posto da linha = posto da coluna Matrizes: posto Matrizes: inversa Considere uma matriz A quadrada, se a inversa de A existir, será única: 2. ρ(ab) ρ(a) e ρ(b) 3. ρ(a) + ρ(a') = ρ(aa') = ρ(a'a) 4. ρ(a + B) ρ(a) + ρ(b) 5. se Amxm = 0 logo ρ(a) < m Cofator: quando os elementos da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A são removidos, o determinante da sub-matriz quadrada que permanece é chamado de first minor (primeiro menor) de A e denominado Aij. O determinante afetado pelo sinal (-1) i+j é chamado de cofator de aij: ij =(-1) i+j Aij Matrizes: inversa Matrizes: inversa Exemplo: Se a Matriz A é não singular, sua inversa é dada por: Onde [Aij]' é a matriz dos cofatores transposta: matriz adjunta de A. 11

12 Matrizes: inversa Matrizes: inversa Exemplo: A = (-1) 2 (1)(0-6) + (-1) 3 (4)(10 + 2) + (-1) 4 (1)(6-0) = (-6) - (48) + 6 = /2009 Matrizes: inversa Matrizes: inversa Propriedades: 1. Se A 0 As linhas de A são linearmente independentes As colunas de A são linearmente independentes 2. (AB) -1 = B -1 A -1 2/

13 Matrizes: traço Transformações lineares Traço de A = Propriedades: Transformação de um vetor no subespaço R n em um vetor no subespaço R m Na notação matricial: Y = AX, onde X e Y são vetores de ordem n e m, respectivamente, e, A é uma matriz de dimensão mxn. Exemplo: 1. Tr (ka) = k Tr(A), onde k é um escalar 2. Tr (AB) = Tr (BA) 3. Tr (I n ) = n A projeta o vetor X tridimensional, em um plano bidimensional. 2/2009 2/2009 ECONOMETRIA CONCEITOS BÁSICOS E MQO 13

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17 S y ' y y ' X ' X ' y ' X ' X S y ' X ' X ' y ' X ' X x ' y x ' y X ' y.2 X ' Xb X ' X b 0 2 X ' y 2 X ' X b 0 X ' y X ' X b b X ' X 1 X ' y 17

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19 Econometria 1. Exemplo da técnica MQO 2. Hipóteses do Modelo de RLM 3. Ajuste do Modelo 4. Modelo Restrito 2/2009 MQO Econometria 1. Exemplo da técnica MQO 2/

20 MQO Resíduos Resíduos MQO MQO M = I- X(X X) -1 X 20

21 MQO Econometria 1. Exemplo da técnica MQO 2. Hipóteses do Modelo de RLM 2/2009 Hipóteses do modelo Linearidade significa ser linear nos parâmetros. Identificação: Só existe um único conjunto de parâmetros que produz E[y x]. Média condicional zero Forma da matriz de variância covariância Hipóteses sobre a distribuição de probabilidade. Linearidade do Modelo f(x 1,x 2,,x K,β 1,β 2, β K ) = x 1 β 1 + x 2 β x K β K Notação: x 1 β 1 + x 2 β x K β K = x β β. E[y x] = β 1 *1 + β 2 *x β K *x K. (β 1 *1 = intercepto). 21

22 Linearidade Modelo linear simples, E[y x]=x β Modelo Quadrático: E[y x]= α + β 1 x + β 2 x 2 Modelo Loglinear, E[lny lnx]= α + Σ k lnx k β k Modelo Semilog, E[y x]= α + Σ k lnx k β k Modelo Translog: E[lny lnx]= α + Σ k lnx k β k + (1/2) Σ k Σ l δ kl lnx k lnx l Todos modelos são lineares e existe um infinito número de variações de modelos lineares. Linearidade Linearidade significa ser linear nos parâmetros, não nas variáveis E[y x] = β 1 f 1 ( ) + β 2 f 2 ( ) + + β K f K ( ). f k () pode ser qq função dos dados. Exemplos: Logs Variáveis Dummy Funções quadráticas, interações, etc. Unicidade da média condicional A relação da média condicional pode ser válida para qualquer conjunto de n observações, i = 1,,n. Se n K E[y 1 x] = x 1 β E[y 2 x] = x 2 β E[y n x] = x n β Para todas n observações temos que : E[y X] = Xβ = E β. Unicidade de E[y X] Suponha que exista um γ β que produz o mesmo valor esperado, E[y X] = Xγ = Eγ. Se δ = β - γ. Temos que: Xδ = Xβ - Xγ = Eβ - Eγ = 0. Isto é possível? X é uma matriz n K. O que significa Xδ = 0? Por hipótese, isto não é possível. Hipótese de posto cheio hipótese de identificação. Podemos estimar β com n K. 22

23 Dependência Linear Exemplo: x = [i, renda não trabalho, renda do trabalho, renda total] Não existe dependência linear: Nenhuma variável pode ser escrita como uma função linear de outras variáveis do modelo. Condição de identificação. A teoria não necessariamente elimina a possibilidade de dependência linear, contudo, é importante para fazer a estimação possível. y = β 1 + β 2 N + β 3 S + β 4 T + ε, onde T = N+S. y = β 1 + (β 2 +a)n + (β 3 +a)s + (β 4 -a)t + ε para qualquer a, = γ 1 + γ 2 N + γ 3 S + γ 4 T + ε. O que está sendo estimado? Não eliminamos a possibilidade de dependência não linear. Ex: x e x 2. Média condicional zero O y observado é igual a E[y x] + variável aleatória. y = E[y x] + ε (distúrbio) Existe alguma informação sobre ε em x? Ou seja, algum movimento em x dá informação sobre ε? Caso sim, não especificamos corretamente a média condicional, a função E[y x] não é a média condicional (não é a regressão populacional) Existe informação sobre ε em outras variáveis. Se E[ε x] 0 segue que Cov[ε,x] 0. Violação da hipótese de independência Média condicional zero E[ε todos dados em X] = 0 E[ε X] = 0 é mais forte que E[ε i x i ] = 0 O segundo diz que o conhecimento de x i não dá nenhuma informação sobre a média de ε i. O primeiro diz que nenhum x j dá informação sobre o valor esperado de ε I. nenhuma informação é similar a nenhuma correlação. Homocedasticidade e não Autocorrelação Var[ε X] = σ 2 I. Var[ε] = σ 2 I? Prova: Var[ε] = E[Var[ε X]] + Var[E[ε X]]. 23

24 Distribuição Normal de ε Usada para facilitar as derivações de estatísticas de testes em amostras finitas. Derivação das distribuições exatas das estatísticas t, F. O Modelo Linear y = Xβ+ε, N observações, K colunas em X, incluindo a coluna de um. Hipóteses sobre X Hipóteses sobre ε X E[ε X]=0, E[ε]=0 and Cov[ε,x]=0 Regressão? Se E[y X] = Xβ Aproximação: projeção linear. 24