Prof. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística

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Milton Borges
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3 f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

4 R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores em R n são colunas ao menos que seja estabelecido o contrário; Para qualquer x R n, x é o vetor transposto de x, isto é o vetor linha n-dimensional;

5 O produto interno (inner product) de dois vetores x, y R n é definido por: Quaisquer dois vetores x, y R n satisfazendo x y 0 são ditos ortogonais. x ' y n i 1 x i y i Módulo de um vetor: v v'.v

6 Se w é um vetor do R n, então as notações w > 0 e w 0 indicam que todas as coordenadas de w são positivas ou nãonegativas, respectivamente. A notação w v ou w < v, etc. são interpretadas da mesma forma.

7 Seja V {v 1, v,..., v n } um conjunto de vetores com a mesma dimensão. Uma Combinação Linear (CL) dos vetores em V é qualquer vetor v da forma: v c 1 v 1 + c v c n v n onde c 1, c,..., c n são escalares arbitrários.

8 Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente independente se a única CL de vetores em V que iguala a zero é a combinação trivial, isto é, se c 1 c... c n 0.

9 Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente dependente se existe uma CL de vetores não trivial em V que iguala a zero.

10 y v 1 (1, 1) AB v (, ) AC y v (1, 1) v 1 (1, 0) C 1 B v v 1 1 v A 1 3 x A v x (i) Dois vetores LD (ii) Dois vetores LI

11 Para qualquer matriz A, a notação a ij indica o elemento da linha i e coluna j. Para duas matrizes A e B de dimensões compatíveis (AB) B A Se A é uma matriz quadrada diremos que A é simétrica se A A.

12 Uma matriz A é diagonal se a ij 0 sempre que i j. Ela é uma triangular inferior se a ij 0 para i < j. Ela é triangular superior se sua transposta for triangular inferior. I representa a matriz identidade e det(a) representa o determinante de A.

13 Definição Dada uma matriz mxm A, a matriz mxm B é sua inversa se e somente se: AB BA I.

14 Associado a qualquer matriz quadrada A existe um número denominado de determinante de A (abreviado por det(a) ou A ). Assim se A [a 11 ] é 1x1 matriz, então o determinante de A é a 11 a 11.

15 Para uma matriz x A a a 11 1 a a 1 O determinante é dado por: deta a 11 a a 1 a 1

16 Antes de calcular o determinante de matrizes de ordem mais alta é necessário definir o conceito de menor de uma matriz. Se A é uma matriz de ordem mxn então para quaisquer dois valores i, j m, o M ij menor de A é a submatriz obtida de A eliminando-se a linha i e a coluna j.

17 Seja A uma matriz mxm com m > então o determinante de A é dado por: A (-1) i+1 a i1 M i1 + (-1) i+ a i M i (-1) i+m a im M im Essa fórmula é denominada de expansão do det(a) pelos co-fatores da linha i.

18 Calcular o determinante pela expansão dos cofatores da seguinte matriz:

19 O determinante é: ( 1) ( 1) ( 1) (45 48) (36 4) + 3(3 35)

20 O determinante de uma matriz mxm A, apresenta as seguintes propriedades: 01. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, isto é: det(a) det(a );

21 0. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero; 03. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;

22 04. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ, o determinante da nova matriz é λdet(a); 05. Se permutarmos duas linhas ou colunas de uma matriz A então o determinante da nova matriz é det(a);

23 06. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(a) 0; 07. Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, então det(ab) det(a).det(b); 08. Se A é inversível, então det(a 1 ) 1 det(a), de onde resulta que se A é inversível então det(a) 0;

24 Na planilha Excel as funções matriciais pode ser encontradas na categoria: matemática e trigonométrica. 1. Inversão: MATRIZ.INVERSO(Matriz);. Multiplicação: MATRIZ.MULT(Matriz_1; Matriz_) 3. Determinante: MATRIZ.DETERM(Matriz)

25 Um sistema linear pode ser representado matricialmente como: AX B, onde: A é a matriz dos coeficientes das variáveis; B é a matriz dos termos independentes; X é a matriz das variáveis.

26 A solução matricial de um sistema é dada por: AX B A -1 AX A -1 B IX A -1 B X A -1 B

27 A solução de um sistema pelo método de Cramér é dada por: x i i /, Onde é o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis. i é a matriz obtida a partir das matriz dos coeficientes das variáveis, substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes.

28 Funções de várias variáveis

29 Derivadas de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior derivando as funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas denominadas de derivadas parciais.

30 Exemplo: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) x 3 e 5y Temos que a segunda derivada, em relação a x é: x f (x, y) 1x.e 5y E a segunda derivada, em relação a y é: y f (x, y) 50x 3.e 5y

31 Podemos calcular, ainda, a segunda derivada em relação a y, em relação a x: f xy x (10x 3 e 5y ) 30x e 5y E a segunda derivada em relação a x, calculada em relação a y: f y x y (6 x e 5 y ) 30 x e 5 y

32 Assim, se z f(x, y), pode-se determinar 4 derivadas parciais de segunda ordem: xy xy yx yx yy yy xx xx f z x z y x y f f z x z x y x f f z y z y y f f z x z x x f Notação

33 Gradiente de uma função O gradiente de uma função f(x, y) num ponto (x 0, y 0 ), representado por f(x 0,y 0 ) é o vetor cujas coordenadas são: f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )

34 Exemplo Calcule o gradiente da função: f(x,y) 3x y - x /3 y no ponto (1,3). Solução: Tem-se: f x 6xy O gradiente da função f(x, y) no ponto (1,3) é o vetor f(1, 3)(1, -3). 3 x 1 3 y f 3x x 3 y y

35 BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming. Belmont (MA): Athena Scientific, WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Duxbury Press, 1994.

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Afiliação. Professor Titular do Departamento de Estatística Faculdade de Matemática da PUCRS

Afiliação. Professor Titular do Departamento de Estatística Faculdade de Matemática da PUCRS Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF