Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática

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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica e Álgebra Linear - GCI004 Assunto: Espaços vetoriais e Transformações Lineares Prof: Sato 3 a Lista de exercícios 1 Espaços vetoriais 1. Quais dos subconjuntos de P (R) abaixo são fechados em relação as operações usuais de adição de polinômio e multiplicação por escalar? a) W = {f (t);f (t)+f (t) = 0}. b) W = {f (t) P (R);f (t) tem grau maior que 2}. 2. Seja K = { 01 } o corpo formada pelos números binários. Mostrar que se A M 2 (K) é a matriz: então A 2 +I 2 = (matriz nula). A = [ Determinar uma matriz A M 2 (R) tal que A e A 2 = AA = (matriz nula). [ ] Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz. 1 0 Mostre que AB = BA. 5. Sejam ABC M n (K) matrizes quadradas de ordem n. Decida se cada afirmação que se segue é falsa ou verdadeira. Se verdadeira demonstre-a; se falsa dê um contra-exemplo. (a) Se AB = AC então B = C; (b) Se BA = CA então B = C. 6. Sejam AB e C matrizes de ordem n. Se A é inversível prove que AB = AC = B = C e que BA = CA = B = C. Ou seja para matrizes inversíveis vale a Lei do Cancelamento. 7. Decida se cada afirmação que se segue é falsa ou verdadeira. Se verdadeira demonstre-a; se falsa dê um contra-exemplo. (a) O produto de uma matriz simétrica por um escalar é uma matriz simétrica. (b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é uma matriz simétrica. (c) O produto de duas matrizes anti-simétricas de ordem n é uma matriz anti-simétrica. (d) Para toda matriz A M n (K) a soma A+A t é uma matriz simétrica. (e) Para toda matriz A M n (K) a diferença A A t é uma matriz anti-simétrica. (f) Toda matriz A M n (K) pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. 8. Seja S ={A M n (R) : A t = A} o conjunto das matrizes simétricas de ordem n. O exercício 7 mostra que A+B ka S quaisquer que sejam AB S e k R. Mostre que nesse conjunto valem as mesmas propriedades do Teorema 1 (Notas de aula). ] 1

2 9. Para cada número real α consideremos a matriz de rotação [ ] cosα senα T α = senα cosα Mostre que: (a) T (0) = I 2 ; (b) T α = [T α ] t para todo α R; (c) T α T β = T α+β para quaisquer αβ R; (d) T α é uma matriz ortogonal para todo α R. 10. Seja V = {(xy) : xx R} o conjunto dos pares ordenados de números reais.para cada uma das seguintes formas de se definir adição e multiplicação por um escalar real decida se é ou não um espaço vetorial sore R. Caso não seja um espaço veorial indicar quais axiomas são violados. i) (x 1 y 1 )+(x 2 y 2 ) = (x 1 +x 2 y 1 +y 2 ) e a(xy) = (xay). ii) (x 1 y 1 )+(x 2 y 2 ) = (x 1 y 1 ) e a(xy) = (axay). 11. No espaço vetorial P 3 (R) sejam dados os vetores f(t) = t 3 1 g(t) = t 2 +t 1 e h(t) = t+2. i) Calcular 2f(t)+3g(t) 4h(t); ii) Existe k R de maneira que f(t)+kg(t) = h(t)? iv) Existem k 1 k 2 R tais que f(t) = k 1 g(t)+k 2 h(t)? 12. Seja V espaço vetorial sobre um corpo numérico K. Então: (a) Se u+w = v+w então u = v. Em particular v+u = v implica u = e v+u = implica u = v (lei do cancelamento); (b) Para qualquer escalar α K α. = ; (c) Para qualquer vetor v V 0.v = ; (d) Se α.v = então α = 0 ou v = ; (e) Para qualquer escalar α K e qualquer vetor v V ( αv) = α( v) = αv. 2 Subespaços Bases Dimensão e Coordenadas 1. Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M 2 (R): {[ ] [ ] [ ] [ ]} Mostrar com um exemplo que a união de dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precise ser um subespaço vetorial desse espaço. 3. Quais dos conjuntos baixo são subespaços de espaço P(R) de todos os polinômios reais? i) W = {p P(R) : p(t) tem grau > 2}; ii) W = {p P(R) : p(t)+p (t) = 0 t}. 4. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de R 3? Para os casos em que W é um subespaço faça uma identificação geométrica de W (esboço). 2

3 i) W = { (xyz) R 3 : x = 1 } ; ii) W = { (xyz) R 3 : x 3z = 0 } ; iii) W = {(xyz) R 3 : ax+by +cz = 0 com abc R} iv) W = { (xyz) R 3 : x Z } ; 5. Verifique se são subespaço de M n (R) os seguintes subconjuntos: i) S = {A M n (R) : A t = A}; ii) O = {A M n (R) : A t = A 1 }; iii) V = {A M n (R) : AT = TA} onde T é uma matriz fixada em M n (R). 6. Seja V o espaço de todas as funções do corpo real R em R. Mostre que W é subespaço de V em cada um dos seguintes casos: (i) W consiste em todas as funções pares. (f : R R é par se f( x) = f(x) x R.) (ii) W consiste em todas as funções ímpares. (g : R R é ímpar se g( x) = g(x) x R.) 7. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R Encontre um conjunto finito de geradores para o seguinte subespaço de M 3 1 (R) sendo A = W = {X M 3 1 (R);AX = } 9. Mostre que os polinômios (1 t) 3 (1 t) 2 (1 t) e 1 geram o espaço dos polinômios de grau Sejam S e T subconjuntos de um espaço vetorial V. Mostre que se S T então [S] [T]. 11. Provar que se S e T são subespaços vetoriais de um espaço V então S +T = [S T]. 12. Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Mostre que: (i) U e W estão contidos em U +W; (ii) U +W é o menor subespaço de V contendo U e W isto é U +W é o subespaço gerado por U e W: U +W = [U W]; 13. Considere os seguintes subespaços do R 4 U = { (xyzt) R 4 ;x+y = 0 e z t = 0 } W = { (xyzt) R 4 ;x y z +t = 0 } Pede se: (a) Determine o subespaço U W. (b) Determine um sistema de geradores para o subespaço U W. (c) Determine um sistema de geradores para o subespaço U +W. (d) O subespaço U +W é uma soma direta? Justifique sua resposta. 14. Encontre um vetor em R 3 que gere a interseção de U e W onde U é o plano xy: U = {(ab0) R 3 : ab R} e W é o espaço gerado pelos vetores (123) e (1 11). 15. Seja V o espaço vetorial de todas as funções do corpo real R em R. Seja U o subespaço das funções pares e W o subespaço das funções ímpares. Mostre V = U W. 16. Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas n n sobre o corpo R. Sejam U e W os subespaços das matrizes simétricas e anti-simétricas respectivamente. Mostre que V = U W. 3

4 17. Seja W o subespaço do R 4 gerado pelos vetores (1 25 3) (231 4) (38 3 5). (i) Encontre uma base e a dimensão de W; (ii) Estenda a base de W a uma base de todo o espaço R Sejam V e W os seguintes subespaços do R 4 : V = {(abcd) : b 2c+d = 0} W = {(abcd) : a = db = 2c}. Encontre uma base e a dimensão de (i) V (ii) W (iii) V W. 19. No espaço R 3 consideremos os seguintes subespaços: U = {(xyz) : x = 0} V = {(xyz) : y 2z = 0} e W = [(110)(002)]. Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços vetoriais; U V W U V V +W U +V +W. 20. Consideremos as duas bases seguintes do R 3 : β = {e 1 = (111)e 2 = (023)e 3 = (02 1)} η = {f 1 = (110)f 2 = (1 10)f 3 = (001)} (i) Encontre o vetor coordenada de v = (35 2) em relação a cada base:[v] β e [v] η. (ii) Encontre a matriz P cujas linhas são respectivamente os vetores coordenadas dos e j em relação à base η. (iii) Verifique que vale [v] β P = [v] η. 21. Seja W o espaço [ vetorial das] matrizes simétricas 2 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada 4 11 da matriz A = em relação à base 11 7 {[ ] [ ] [ A matriz de mudança de uma base B de R 2 para a base {(11)(02)} desse mesmo espaço é [ ] Determinar a base B. ]}. 23. Consideremos as bases B = {e 1 e 2 e 3 } e C = {g 1 g 2 g 3 } de R 3 assim relacionadas: g 1 = e 1 e 2 e 3 g 2 = 2e 2 +3e 3 g 3 = 3e 1 +e 3 i) Determinar a matriz de mudança de base de B para C e de C para B. ii) Se um vetor u de R 3 apresenta coordenadas 12 e 3 em relação a B quais as coordenadas de u relativamente a C. 3 Transformações Lineares 1. Quais das seguintes aplicações são transformações lineares? (a) F : R 2 C(R) (espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em R) dada por: F(xy) = xe t +ye 2t (xy) R 2. (b) L(xyz) = (2x 2 xz). (c) T : M n (R) M n (R) dada por T (A) = MA A M n (R) onde M é uma matriz fixa em M n (R). (d) T : P n (R) P n (R) dada por T (p)(t) = tp (t) p P n (R). 4

5 2. Num espaço vetorial V sobre R dado w V chama-se translação definida por w a aplicação T w : V V tal que T w (u) = u+w u V. Mostrar que T w é linear se e somente se w = Sejam A = e B = as matrizes de P e S L ( R 3) em relação à base canônica. (a) mostre que P corresponde geometricamente à projeção ortogonal sobre o plano xy. (b) a que S corresponde geometricamente? (c) encontre (S P)(xyz) e interprete geometricamente. 4. Seja T L ( R 3) que corresponde geometricamente à i) rotação de 45 o em torno do eixo Ox no sentido anti-horário; ii) rotação de 90 o em torno do eixo Oz no sentido horário; iii) reflexão em relação ao eixo Oy. Em cada um dos casos acima (a) determinar a lei de formação T (xyz); (b) obter [T] B onde B é a base canônica de R Seja T L ( R 3 R 2) com T(100) = (10) T(110) = (11) e T (011) = (10) e seja S a transformação linear S : R 2 R 3 tal que S(11) = (321) e S(0 2) = (010). (a) Obtenha [T] BC sendo B = {(121)(011)(03 1)} e C = {(15)(2 1)}. (b) Ache [(100)] B e [T(100)] C. (c) Ache a transformação linear P : R 2 R 2 que P = T S. 6. Existe um operador linear F : R 3 R 3 tal que F(111) = (123) F(123) = (149) e F(234) = (1827)? Justifique. 7. Mostrar que F : R 3 R 4 dada por F(xyz) = (xx yy zz) é injetora mas não isomorfismo de R 3 em R Seja F : U V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se {u 1...u n } é uma base de U então {F(u 1 )...F(u n )} é linearmente independente em V. Prove F é injetora. 9. DadosT : U V lineareinjetoraeu 1 u 2...u k vetoresl.i.emu; mostreque{t(u 1 )...T(u k )} é L.I Considere a transformação linear T : R 3 R 3 dada por T(xyz) = (zx y z) (a) Determine uma base do núcleo de T e sua nulidade. (b) Dê o posto da trasnformação T. (c) T é sobrejetora? Justifique. (d) Faca um esboço de kert e Im T. 11. Seja F : R 4 R 3 a transformação linear definida por F(xyst) = (x y +s+tx+2s tx+y +3s 3t). (a) Encontre uma base imagem U = Im(F) de F e determine o posto de F. (b) Encentre uma base para o núcleo W = ker(f) de F e determine sua nulidade. (c) F é uma trasnformação sobrejetora? Ela é injetora? Justifique. 5

6 12. Seja P 4 (R) o conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 4 e T : P 4 (R) P 2 (R) dada por f f (derivada de segunda ordem). (a) Mostre que T é uma transformação linear. (b) Determine kert e Im T. Encontre uma base para cada um destes subespaços vetoriais. (c) T é sobrejetora? Ela é injetora? Justifique. 13. Seja T : U V uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão. Mostre que T é injetora se e só se T é sobrejetora. 4 Autovalores e autovetores de transformações 1. Seja T : R 2 R 2 dado por T(xy) = (y2y). Mostre que λ = 2 é um autovalor de T e vetores da forma (x 2x) são os autovetores correspondentes. 2. Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformação linear dada por: T : R 2 R 2 tal que T(xy) = (x+y2x+y). 3. Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformação linear dada por: T : P 2 (R) P 2 (R) tal que T(ax 2 +bx+c) = ax 2 +cx+b. 4. Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformação linear dada por: T : M 2 (R) M 2 (R) tal que T(A) = A t. (Isto é T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.). 5. Se λ é autovalor da transformação linear T : V V e v é um autovetor associado a ele mostre que a) kv é outro autovetor associado a λ se k 0. b) O conjunto formado pelos autovetores associados a λ junto com o vetor nulo é subespaço de V. 6. Suponha que λ 1 e λ 2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T : V V. Mostre que a) Os autovetores v 1 e v 2 correspondentes são L.I.. b) Os vetores T(v 1 ) e T(v 2 ) são L.I.. 7. Seja A = [ ] a) Ache os autovalores de A e de A 1. b) Quais são os autovetores correspondentes? 8. Suponhaque v V seja autovetor de T : V V e S : V V ao mesmo tempo com autovalores λ 1 e λ 2 respectivamente. Ache autovetores e autovalores de S +T e S T. 6