SME0812 Modelos Lineares. Álgebra Matricial. 17 de março de / 1

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1 SME0812 Modelos Lineares Álgebra Matricial 17 de março de / 1

2 Notação Escreveremos A = A n m para denotar uma matriz de dimensão n m, ou seja, uma matriz com n linhas e m colunas: a 11 a 12 : : : a 1m a A = 21 a 22 : : : a 2m a n1 a n2 : : : a nm Obs: Quando manuscrito, utilizar a notação Ã. 17 de março de / 1

3 Notação Escreveremos v = v s 1 para denotar um vetor de dimensão s, ou seja, um vetor com s linhas e 1 coluna: v = v 1 v 2. v s Obs: Quando manuscrito, utilizar a notação ṽ. 17 de março de / 1

4 Notação A matriz transposta de A é denotada por A > e é definida como: a 11 a 21 : : : a n1 A > a = 12 a 22 : : : a n a 1m a 2m : : : a nm O vetor transposto de v é denotado por v > e definido como v > [ = v 1 v 2 : : : v s ] : 17 de março de / 1

5 Notação Seja A = A n m uma matriz real com n linhas e m colunas e v = v s 1 um vetor com s linhas. 1 A > é a matriz transposta de A, v > é o vetor transposto de v. 2 det(a n n) = det A = jaj é o determinante de A. 3 tr(a) = tra é o traço de A = soma dos elementos da diagonal de A. 4 A 1 é a matriz inversa de A, se A admitir inversa. 5 dim(a) = dima é a dimensão de A, em geral no formato (#linhas #colunas). 6 r (A) é o posto de A = ordem da maior submatriz de determinante não nulo de A. 7 I n = I é a matriz identidade de ordem n. 17 de março de / 1

6 Definições e resultados matriciais Sejam A = A n m e B = B pxq matrizes e v = v s 1 um vetor. Dependência linear de vetores Sejam v 1 ; :::; v m m vetores, cada um com n linhas, v i 2 R n, i = 1; :::; m. O conjunto fv 1 ; :::; v m g é um conjunto de vetores linearmente independentes (li) se c 1 v 1 + ::: + c m v m = 0 ) c 1 = ::: = c m = 0: Caso contrário dizemos que fv 1 ; :::; v m g é um conjunto de vetores linearmente dependentes (ld). 17 de março de / 1

7 Propriedades da matriz inversa 1 Se A n n admite inversa, então A é dita não singular. Caso contrário, A é singular. 2 Se A n n admite inversa, digamos A 1, então a inversa é única. 3 AA 1 = A 1 A = I n. 4 (A 1 ) 1 = A. 5 A n n e B n n não singulares ) (AB) 1 = B 1 A 1. 6 A n n não singular e k 6= 0 um escalar ) (ka) 1 = (1=k)A de março de / 1

8 Propriedades da matriz transposta 1 A = A > ) A é simétrica. 2 A > A e AA > são simétricas. 3 A e B matrizes; 9 AB ) (AB) > = B > A >. 17 de março de / 1

9 Propriedades do determinante de uma matriz 1 A n n e B n n ) det(ab) = det(a) det(b). 2 det(a n n) = 0 ) A é singular. 17 de março de / 1

10 Propriedades do posto de uma matriz 1 A n n ) r (A) = r (A > ). 2 A n n ) r (A) = r (A > A) = r (AA > ): 3 det(a n n) = 0 ) r (A) < n. 4 A m n (n > m), r = r (A) é o número de colunas linearmente independentes de A, r m. Se r = m então A é de posto completo. Caso contrário A é de posto incompleto. 5 A m n (n < m), r = r (A) é o número de linhas linearmente independentes de A, r n. Se r = n então A é de posto completo. Caso contrário A é de posto incompleto. 17 de março de / 1

11 Propriedades do traço de uma matriz 1 Traço de uma matriz tr(ab) = tr(ba), se AB e BA estiverem definidos. 17 de março de / 1

12 Matrizes ortogonais P n n é ortogonal () P 1 = P >. P é ortogonal ) P > P = I n. P é ortogonal ) det P = 1. x nx1 e y nx1 são ortogonais se x > y = de março de / 1

13 Raízes características As raízes características de uma matriz A n n são soluções em da equação det(a I n ) = 0. A soma das raízes características de A é tra. O produto das raízes características de A é det A. Se r (A n n) = p então (n-p) raízes da equação det(a I n ) = 0 são nulas. 17 de março de / 1

14 Classificação de matrizes 1 A n n é positiva definida () A = P > P para alguma matriz P não singular ou as raízes características [ ] de A são todas positivas ou a 11 a 12 a 11 > 0; det > 0; :::; det A > 0: a 21 a 22 2 Se A n n é positiva definida então r (A) = n e a ii > 0 para todo i = 1; : : : ; n. 3 P > AP é positiva definida para toda matriz P n p não singular. 17 de março de / 1

15 Classificação de matrizes 1 A n n é positiva semidefinida () 9 B n n com r (B) < n tal que B > B = A ou as raízes características de A são não negativas com no mínimo uma igual a zero. 2 Se A n n é positiva semidefinida então r(a) < n e a ii 0 para todo i = 1; : : : ; n. 3 P > AP é positiva semidefinida para toda matriz P n p. 17 de março de / 1

16 Classificação de matrizes 1 A n n é negativa definida se -A n n é positiva definida. 2 A n n é negativa semidefinida se -A n n é positiva semidefinida. 3 A > A é positiva definida se A tem posto completo. 17 de março de / 1

17 Matrizes idempotentes 1 B n n é idempotente se B = BB. 2 Se A é idempotente, então r (A) = tr(a). 3 Se A B é idempotente, então r (A B) = r (A) r (B). 17 de março de / 1

18 Matrizes idempotentes Sejam X n (p+1) com n > (p + 1) e posto p + 1 (posto completo) e H = X(X > X) 1 X > a matriz hat ou chapéu. Então 1 H é idempotente. 2 (I H) é idempotente. 3 H e (I H) são ortogonais, ou seja, (I H)H = 0. 4 r (H) = r (X) = p r (I H) = n (p + 1). 17 de março de / 1

19 Formas quadráticas 1 A função f (x 1 ; :::; x n ) de n variáveis reais é uma forma quadrática se f (x 1 ; :::; x n ) = x > Ax; com x = (x 1 ; : : : ; x n ) > e A = A n n uma matriz simétrica (matriz da forma quadrática). 2 A forma quadrática mais simples é f (x) = a 11 x de março de / 1

20 Classificação de formas quadráticas 1 A forma quadrática (x > Ax) é positiva definida se (x > Ax) > 0 para todo x 6= 0: 2 A forma quadrática (x > Ax) é positiva semidefinida se (x > Ax) 0 para todo x 6= 0 e (x > Ax) = 0 para pelo menos um x 6= de março de / 1

21 Operações com matrizes em blocos Sejam A, B, C,... matrizes com dimensões adequadas em cada caso. 1 [ 2 [ ] [ ] [ A B C A? B? C? A + A? B + B? C + C? + = D E F D? E? F? D + D? E + E? F + F? desde que as somas sejam possíveis. ] [ ] [ ] P Q E PE + QG = ; R S G RE + SG desde que os produtos sejam possíveis. [ ] [ A B 3 H = ) H > A > C > ] = C D B > D > m n n m ] ; 17 de março de / 1

22 Inversas de matrizes em blocos Seja B uma matriz particionada em blocos, B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 em que B 11 e B 22 são matrizes quadradas não-singulares. Então [ ] B 1 (B 11 B 12 B 1 = 22 B 21) 1 B 1 11 B 12(B 22 B 21 B 1 11 B 12) 1 B 1 22 B 21(B 11 B 12 B 1 22 B 21) 1 (B 22 B 21 B 1 11 B 12) 1 ] e jbj = jb 22 jjb 11 B 12 B 1 22 B 21j = jb 11 jjb 22 B 21 B 1 11 B 12j 17 de março de / 1

23 Inversas de matrizes em blocos Seja B uma matriz bloco diagonal B = B B B 33 em que B 11, B 22 e B 33 são matrizes quadradas não-singulares. Então B 1 = B B B 1 33 e jbj = jb 11 jjb 22 jjb 33 j: O resultado vale para matrizes bloco diagonal de maior dimensão. 17 de março de / 1

24 Distribuição de formas quadráticas Seja X N p (; Σ). Temos 1 X > AX 2 r (A); 1 2 > A () AΣ é idempotente. 2 X > AX e BX são independentes () BΣA = 0. 3 X > AX e X > BX são independentes () AΣB = 0 ou BΣA = de março de / 1

25 Distribuição de formas quadráticas Seja X um vetor aleatório p-dimensional com Var(X) = Σ. Então 1 E(X > AX) = tr(aσ) + > A. 2 Cov(X; X > AX) = 2ΣA. 17 de março de / 1

26 Teorema Supondo válidas as condições 1 X N p (; Σ), 2 A i matriz (p p) simétrica com r (A i ) = n i, i = 1; : : : ; k, k 3 A = A i com r (A) = n de modo que Então i=1 X > AX = X > A 1 X + X > A 2 X + : : : + X > A k X, X > AX 2 com = 1 n; 2 > A e X > A i X 2 n i com ; i i = 1 2 > A i e X > A i X é independente de X > A j X () AΣ é idempotente e n = k n i : i=1 17 de março de / 1

27 Corolário (Teorema de Cochran e Fisher) Seja X N p (; Σ) e X > X = X > A 1 X + X > A 2 X + : : : + X > A k X k com r (A i ) = n i e I p = A i. i=1 Então X > A i X 2 n i com ; i i = 1 2 > A i e X > A i X e são independentes () n = k n i : i=1 17 de março de / 1