1 Determinante. det(a) = ρ. ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn. Exemplo 1.6. Determinante de 3a. ordem: a 11 a 12 a 13. a 21 a 22 a 23.
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- Esther Maria Antonieta Dreer
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1 1 Determinante Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: Definição 11 Dados n objetos distintos a 1, a 2,, a n, uma permutação detes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem Exemplo 12 : e são permutações dos objetos 1, 2 e 3 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) 21 Definição 13 Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,, n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele Exemplo 14 Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, possui 1 inversão, possui 2 inversões, possui 2 inversões e possui 3 inversões Definição 15 Seja A = (a ij ) n n uma matriz quadrada Definimos o determinante de A, e denotamos por det(a) ou A, por det(a) = ρ ( 1) J a 1j1 a 2j2 a njn onde J é o número de inversões da permutação (j 1 j 2 j n ) dos números 1, 2,, n e ρ indica que a soma é estendida a todas as n! permutações de 1, 2,, n Exemplo 16 Determinante de 3a ordem: a 11 a 12 a 13 Se A = a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente 1
2 Determinante de 1a ordem: Se A = (a 11 ), então det A = a 11 Exemplo: se A = ( 8), então det A = 8 ( ) a11 a Determinante de 2a ordem: Se A = 12, então a 21 a 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Exemplo: det A = = = 10 a 11 a 12 a 13 Determinante de 3a ordem: Se A = a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Exemplo: = 49 Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator Definição 17 Seja A = (a ij ) n n Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1) O determinante dessa matriz é denomi- nado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A Exemplo 18 Se A = [ ] 1 2, então: 3 4 2
3 C 11 = ( 1) = 4 C 12 = ( 1) = 3 C 21 = ( 1) = 2 C 22 = ( 1) = Exercício 19 Calcular os cofatores de A = O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos ele- mentos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos res- pectivos cofatores, isto é, - fixando a coluna j: det A = n i=1 C ij a ij ; - fixando a linha i: det A = n j=1 C ij a ij Exemplo Utilizando a 1a linha : det A = 6 C C C 13 = = 6 ( 1) ( 1) = 6 ( 17) + 1 (14) = 88 Exemplo
4 Exercício Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0 det(a) = det(a t ) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante Assim, det(λ A) = λ n det(a) Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal O determinante de uma matriz que tem duas linhas iguais ( ou duas colunas iguais ) é nulo a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b i1 + c i1 b i2 + c i2 b in + c in = b i1 b i2 b in + a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n c i1 c i2 c in a n1 a n2 a nn det(ab) = det(a)det(b) O determinante não se altera se somarmos a uma linha, outra linha multiplicada por uma constante 4
5 2 Matriz Inversa Definição 21 Dada uma matriz A, a matriz formada pelos cofatores de A é chamada matriz dos cofatores de A e denotada por Ā ou A Exemplo 22 Dada A = 3 1 4, determinar Ā ā 11 = ( 1) ā 12 = ( 1) ā 13 = ( 1) ā 21 = ( 1) ā 22 = ( 1) ā 23 = ( 1) ā 31 = ( 1) ā 32 = ( 1) ā 33 = ( 1) Portanto, Ā = Definição 23 Dada uma matriz quadrada A n n, chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A Notação: adj(a) = (Ā)t Para o exemplo anterior: adj A = Para esta mesma A, det A = 19 ( verificar! ) 5
6 Agora, calculando A adj A, obtemos: A adj A = = = = 19 I 3 = det A I Teorema 24 A adj A = (deta) I n Definição 25 Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B = B A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n Notação: B = A 1 Uma matriz não invertível é dita singular Exemplo 26 Se A = [ ] 2 3 então A = [ 4/5 ] 3/5 1/5 2/5 Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1 2) Seja A uma matriz quadrada Se existe B tal que BA = I, então A é invertível e B = A 1 3) Se existe A 1 então (A 1 ) 1 = A Teorema 27 Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det A 0 E, A 1 = 1 adj A det A 6
7 [ ] a b Exemplo 28 A = c d Exemplo 29 A = [ 6 ] Exemplo 210 A = Exemplo 211 A =
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