Notas em Álgebra Linear

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1 Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos, geralmente já conhecidos. O subíndice pode ser qualquer inteiro positivo. Exemplos: As equações: ( ) são ambas lineares porque podem ser escritas na forma da equação (1): Já as equações: não são lineares por causa da presença de na primeira equação e de na segunda. Um sistema de equações lineares é uma coleção de duas ou mais equações lineares envolvendo as mesmas variáveis, digamos. Um exemplo é: { Uma solução do sistema é uma lista ( ) de números que torna cada equação verdadeira quando os valores são substituídos por, respectivamente. Por exemplo, é uma solução para o sistema (2) porque quando esses valores são substituídos em (2), as equações são simplificadas para. O conjunto de todas as soluções possíveis é chamado de conjunto solução do sistema linear. Dois sistemas são chamados equivalentes se eles têm o mesmo conjunto solução. Um sistema de equações lineares tem Nenhuma solução, ou Exatamente uma solução, ou Infinitas soluções. Dizemos que um sistema linear é possível se ele tem uma solução ou infinitas soluções; um sistema impossível se ele não tem nenhuma solução. Notação Matricial 1 Professor Mestre no DEC/UERN.

2 A informação essencial de um sistema linear pode ser representada de forma compacta através de uma matriz. Dado o sistema: { (3) Com os coeficientes de cada variável alinhados em colunas obtemos a matriz dos coeficientes Já a matriz completa de um sistema consiste na matriz dos coeficientes com uma coluna adicional que contém as constantes do lado direito das equações. (4) O tipo de uma matriz informa quantas linhas e quantas colunas ela tem. A matriz completa (4) tem 3 linhas e e 4 colunas e é chamada de uma matriz 3 4. Se são inteiros positivos, uma matriz é um reticulado retangular de números com m linhas e n colunas. Lembre o número de linhas sempre vem primeiro. Resolvendo um Sistema Linear A estratégia básica é substituir um sistema por um sistema equivalente que seja mais fácil de resolver. Resumidamente, usamos o termo em da primeira equação do sistema para eliminar os termos em das outras equações. Depois, usamos o termo em da segunda equação para eliminar os termos em das outras equações, e assim por diante, até finalmente obtermos um sistema equivalente muito simples. Três operações básicas são usadas para simplificar um sistema linear: 1. Substituir uma equação pela soma dela mesma com um múltiplo de outra. 2. Trocar entre si duas equações, e 3. Multiplicar todos os termos de uma equação por uma constante não nula. Exemplo: Resolvendo o sistema (3) Resolução: De b) obtemos: Substituamos (d) em (a) e (b) para obter um novo sistema: {

3 { ) ) Agora multiplique a expressão, e) por 4 e em seguida some a equação resultante com a igualdade f): e) ) h) + f): { Da soma dessas duas igualdades obtemos: Da equação d) sabemos que: Da equação a) sabe-se que: Logo: Assim a solução do sistema 3 é: Outro caminho: { Queremos manter na primeira equação e eliminá-lo das outras. Para isso, somamos 4 vezes a equação 1 com a equação 3.

4 { { O resultado desse cálculo é colocado no lugar da terceira equação original: A seguir multiplicamos a equação 2 por ½ para obter o coeficiente de. Usamos o da equação 2 para eliminar o da equação 3. O cálculo mental é { { O novo sistema tem uma forma triangular. { Em algum momento, vamos querer eliminar o termo da equação 1, mas se torna mais eficiente usar, primeiramente, o da equação 3 para eliminar os termos e das equações 2 e 1. Os dois cálculos mentais são: { { { { Combinando os resultados dessas duas operações: { Uma forma mais geral de resolução de sistemas de equações lineares é coloca-los na forma matricial, e aplicar a regra de Cramer. Onde A é a matriz dos coeficientes, X, é o vetor coluna das incógnitas e b é o vetor matriz dos termos constantes ou independentes. No entanto,

5 antes de introduzir a regra de Cramer se faz necessário um preâmbulo sobre os conceitos básicos de operações com matrizes e determinantes. Definição 1 Determinante Para, o determinantes de uma matriz,, é a soma de termos da forma, com os sinais de mais e menos se alternando, onde os elementos são da primeira linha de A. Em símbolos, Onde é o denominado o menor de resultante da omissão da linha e coluna da matriz original.. Em termos práticos, é o determinante da matriz Agora vamos introduzir as regras de multiplicação e soma de matrizes com matrizes e matrizes com escalar (isto é, um número qualquer). Somas e Multiplicação por Escalar Duas matrizes são iguais se elas são do mesmo tipo (i.e., têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas) e se seus elementos correspondentes são iguais. Se A e B são matrizes, então a soma A+B é a matriz cujas colunas são as somas das colunas correspondentes de A e B. A soma de A e B está definida apenas quando A e B são do mesmo tipo. Exemplo: Sejam Então, [ ] [ ], [ ] [ ] Mas não está definida porque são de tipos diferentes. Se é um escalar e A é uma matriz, então o múltiplo escalar é a matriz cujas colunas são vezes as colunas correspondentes de A. Teorema 1 Sejam matrizes do mesmo tipo e sejam escalares. a) d) b) e) c) f) Multiplicação de Matrizes Se A é uma matriz e B é uma matriz, de colunas então o produto é a matriz cujas colunas são. Isto é,

6 [ ] Exemplo: Calcule, onde [ ] e [ ]. Solução: escreva e calcule: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], [ ] [ ] [ ] Então, [ ] Teorema 2 Seja, e sejam e com os tipos adequados de modo que as somas e os produtos estejam definidos. a) b) c) d) e) Onde e são matrizes identidades. Por definição uma matriz com 1 s na diagonal e 0 s nas demais posições é denominada uma matriz identidade. Exemplo: [ ] Observações: a) Em geral, b) As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, se, então não é verdade, em geral, que. c) Se o produto for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que ou. Definição Se A é uma matriz e se é um inteiro positivo, então denota o produto de cópias de A. Interpretamos como. A Transposta de uma Matriz Dada uma matriz A, a transposta de é a matriz, denotada por, cujas colunas são formadas com as linhas correspondentes de A. Exemplo:

7 [ ] [ ] Teorema 3: Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para as seguintes somas e produtos. a) b) c) Para qualquer escalar d) A Inversa de uma Matriz Se A é uma matriz, muitas vezes existe outra matriz C,, tal que^ e Onde é a matriz identidade. Nesse caso dizemos que A é invertível e que C é uma inversa de A. Se B fosse outra inversa de A, teríamos. Assim quando A é invertível, sua inversa é única. Vamos denotá-la por, de modo que: e Uma matriz que não é invertível é, às vezes, chamada de matriz singular, e uma matriz invertível, de matriz não singular. Teorema 4 Seja. Se, então A é invertível e: Se, então A não é invertível. Teorema 5 Se A é uma matriz invertível,, então para cada b no, a equação tem uma única solução a saber,. Exemplo: use a inversa da matriz A, para resolver o sistema: O sistema matricial tem a seguinte forma:. Pelo teorema 4 temos que

8 Teorema 6: a) Se A for uma matriz invertível, então é invertível e: b) Se A e B são matrizes invertíveis, então AB também é, e a inversa de AB é o produto das inversas de A e B com a ordem invertida. Isto é, c) Se A é uma matriz invertível, então também é, e a inversa de é a transposta de. Isto é, Determinantes Usando a definição de determinantes dada na definição (1) e chamando de cofator de podemos redefinir o determinante de uma matriz quadrada A como: o termo Definição 2 Para ilustrar melhor segue um exemplo: Seja a matriz; Encontre o determinante. Solução Por definição o det A. O termo. Lembre que o cofator de é dado por, onde é o menor de. Assim para temos que: Assim o primeiro termo de det A é. De forma análoga obtêm-se e. Dessa maneira o segundo termo da soma é. Vamos agora obter.

9 Assim temos que; Regra de Cramer Definição 3 Para qualquer matriz e qualquer do, seja a matriz obtida de substituindo a coluna pelo vetor. Seja A uma matriz invertível. Para qualquer b do, a solução única de x de Ax=b é dada por: Exemplos: Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema: Solução Considere o sistema. Usando a notação introduzida na definição 3 obtemos: Por definição: e e. Assim pela regra de Cramer: Referências LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.