INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Solução de Sistemas Lineares

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1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Solução de Sistemas Lineares

2 Introdução Uma variedade de problemas de engenharia pode ser resolvido através da análise linear; entre eles podemos citar: determinação do potencial em redes elétricas, cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil, cálculo da razão de escoamento num sistema hidráulico com derivações, previsão da concentração de reagentes sujeitos às reações químicas simultâneas. O problema matemático em todos estes casos se reduz ao problema de resolver um sistema de equações simultâneas. Também as encontramos, quando estudamos métodos numéricos para resolver problemas de equações diferenciais parciais, pois estes requerem a solução de um conjunto de equações.

3 Introdução A solução de um conjunto de equações é muito mais difícil quando as equações são não lineares. Entretanto a maioria das aplicações envolve somente equações lineares, muito embora quando o sistema é de grande porte devemos escolher o método numérico adequado para preservar a máxima precisão.

4 Introdução Uma equação é linear se cada termo contém não mais do que uma variável e cada variável aparece na primeira potência. Por exemplo: x + 4y z = xyz = é linear não é, pois o primeiro termo contém duas variáveis x + y z = não é linear, pois o primeiro termo contém uma variável elevada ao cubo 4

5 Introdução Vamos considerar n equações lineares com n variáveis (incógnitas) e vamos nos referir a elas como um Sistema de n Equações Lineares ou um Sistema Linear de ordem n. Uma solução para esse sistema de equações consiste de valores para as n variáveis, tais que quando esses valores são substituídos nas equações, todas elas são satisfeitas simultaneamente. Por exemplo, o sistema de três equações lineares: tem a solução x =, y = e z = 5

6 Introdução Observe que o sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como: De um modo geral um sistema de n equações lineares é escrito como: Ax = b matriz de coeficientes vetor solução vetor do termo independente 6

7 Classificação de um Sistema Linear Dado um sistema de equações arbitrário, não podemos afirmar sem investigar que há uma solução ou, se houver, que seja única. basicamente, há três e apenas três possibilidades de seclassificar um sistema linear. A classificação de um sistema linear é feita em função do número de soluções que ele admite, da seguinte maneira: a) Sistema possível ou consistente: É todo sistema que possui pelo menos uma solução. Um sistema linear possível é: i. Determinado se admite uma única solução; ii. Indeterminado seadmite mais de uma solução b) Sistema Impossível ou Inconsistente: É todo sistema que não admite solução 7

8 Classificação de um Sistema Linear Exemplo: Classificar os seguintes sistemas lineares: Sistema possível e determinado Sistema possível e indeterminado 8

9 Classificação de um Sistema Linear Exemplo: Classificar os seguintes sistemas lineares: Sistema impossível Nosso objetivo aqui será o de desenvolver métodos numéricos para resolver sistemas lineares de ordem n, que tenham solução única. Observe que tais sistemas são aqueles onde a matriz dos coeficientes é não singular, isto é, det(a). 9

10 Classificação de um Sistema Linear (x) O sistema que trabalha com incógnitas são representadas geometricamente por planos, e o tipo de solução do sistema representa situações iguais a que se referem a retas, paralelas, coincidentes ou com intersecção. SPD - os três planos se interceptam segundo um único ponto. SPI - Os três planos se interceptam segundo uma reta.

11 Classificação de um Sistema Linear (x) Se o sistema em questão for do tipo SI, não haverá solução (x, y, z). Isso significa que não existirá uma interseção para os três planos no R. Geometricamente teremos várias situações. Algumas delas são: Figura : Os três planos interceptam-se dois a dois. Figura : Os três planos são paralelos distintos [não se interceptam]. Figura : Dois dos planos são paralelos distintos [não se interceptam].

12 Métodos Numéricos para Solução de Sistemas Lineares Métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares são divididos principalmente em dois grupos: Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros de arredondamento, com um número finito de operações. Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente.

13 Antes de estudar os métodos numéricos para sistemas lineares, vamos lembrar alguns conceitos fundamentais sobre matrizes

14 Conceitos Fundamentais Definição : Matriz Real 4

15 Conceitos Fundamentais Definição : Matriz Diagonal 5

16 Conceitos Fundamentais Definição : Igualdade de Matrizes 6

17 Conceitos Fundamentais Definição 4: Operações com Matrizes 7

18 Conceitos Fundamentais Definição 4: Operações com Matrizes (cont.) 8

19 Conceitos Fundamentais Definição 4: Operações com Matrizes (cont.) 9

20 Conceitos Fundamentais Definição 5: Matriz Transposta

21 Conceitos Fundamentais Definição 6: Matriz Triangular

22 Conceitos Fundamentais Definição 7: Determinante de uma Matriz

23 Conceitos Fundamentais Definição 7: Determinante de uma Matriz (cont.)

24 Conceitos Fundamentais Definição 8: Matriz Singular Definição 9: Matriz Inversa 4

25 Métodos Diretos: Método da Eliminação de Gauss Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss-Jacobi Método Iterativo de Gauss-Seidel

26 Método da Eliminação de Gauss Este método consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz de coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. 6

27 Método da Eliminação de Gauss Esse sistema é de fácil resolução. Partindo-se dasolução daúltima equação, que é dada por: obtém-se o resultados das outras equações recursivamente. 7

28 Método da Eliminação de Gauss Exemplo: 8

29 Descrição do Método da Eliminação de Gauss TEOREMA: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre equações deste sistema uma seqüência de operações elementares escolhidas entre: a) Trocar duas equações; b) Multiplicar uma equação por uma constante não nula c) Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Ax ~ = b ~ Ax = b Ax ~ = b ~ Obtemos um novo sistema. Sendo que os sistemas e são equivalentes Da álgebra linear, sabemos que essas operações não alteram a solução do sistema. 9

30 Descrição do Método da Eliminação de Gauss Exemplo: Resolver o sistema de 4 equações e 4 incógnitas, dado por: x 6x 4x x x x x + x + x + x 8x + + x + + x = 6 Para facilitar a resolução do problema, vamos representá-lo na forma de uma matriz aumentada, que corresponde a uma matriz cujos elementos são os fatores a ii, e ela é aumentada incluindo-se os fatores b i. Portanto, o sistema acima ficará na forma: 5x 4 8x = 7 = 4 = 4

31 Descrição do Método da Eliminação de Gauss x x x x x x A eliminação da variável x das equações i=,,4 é feita da seguinte forma: da equação i subtraímos a ª equação multiplicada por m i. L i L i mi L multiplicadores m i = a a i Pivô

32 Descrição do Método da Eliminação de Gauss a = Multiplicadores: Pivô: 4 6 = = = = m m L m L L L m L L

33 Descrição do Método da Eliminação de Gauss a = Pivô: Trocar a linha pela linha

34 4 Descrição do Método da Eliminação de Gauss a = Pivô: Multiplicadores: 4 = = m L m L L

35 Descrição do Método da Eliminação de Gauss A próxima etapa corresponderia a operação que anularia o elemento da terceira coluna da quarta linha. Porém, esse elemento já é nulo. Portanto, já podemos obter a solução desse sistema, que será dada por: x4 = 4 x = x = x = 5

36 Exemplo: Resolver o sistema de 4 equações e 4 incógnitas, dado por: Tem-se: 6

37 Pivô: a = A b = Multiplicadores: m = 9 =, m = 6 = e m 4 = =- L L + m. L L L + m. L L 4 L 4 + m 4. L A b =

38 Pivô: a = A b = Multiplicadores: m = 8 = 4 e m 4 = =5 L L + m. L L 4 L 4 + m 4. L A b =

39 Pivô: a = 4 Multiplicadores: A b = m 4 = 4 = L 4 L 4 + m 4. L A b = x 4 =, x =, x = e x = Portanto, a solução do sistema de equações é x = [ - -] t. 9

40 Exercício: Resolver o sistema com arredondamento em duas casas decimais, na matriz aumentada. 4

41 4

42 4

43 Cálculo do Resíduo Uma medida para avaliar a precisão dos cálculos é o resíduo, que é dado por: r = b Aഥx. Exercício: Com base no exercício anterior, calcular o resíduo r do sistema A.x =b. 4

44 44 44

45 Obs.:, x x + + x x = 5 = 6 45

46 Analisando..., x + x = 5 Eliminação x + x = 6 de Gauss Problema: Pivô nulo ou próximo de zero!!!! 46

47 Estratégias Estratégia de Pivotamento Parcial:, x x + x + x = 5 = 6 No início de cada eliminação de Gauss, trocando as linhas, escolher para o pivô o maior a ij da coluna j. Estratégia de Pivotamento Completo: No início de cada eliminação de Gauss, escolher para o pivô o maior a ij entre todos elementos que atuam no processo de eliminação. 47

48 Métodos Diretos: Método da Eliminação de Gauss Fatoração LU Fatoração de Cholesky Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss-Jacobi Método Iterativo de Gauss-Seidel

49 Métodos Diretos: Método da Eliminação de Gauss Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss-Jacobi Método Iterativo de Gauss-Seidel

50 Introdução Um método é iterativo quando fornece uma seqüência de aproximantes da solução, cada uma das quais obtida das anteriores pela repetição do mesmo tipo de processo. Um método iterativo é estacionário se cada aproximante é obtido do anterior sempre pelo mesmo processo. Como no caso de equações não lineares, para determinar a solução de um sistema linear por métodos iterativos, precisamos transformar o sistema dado em um outro sistema onde possa ser definido um processo iterativo; e mais, que a solução obtida para o sistema transformado seja também solução do sistema original, isto é, os sistemas lineares devem ser equivalentes. 5

51 A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o método de ponto fixo usado na busca de raízes de uma equação não linear 5

52 Esquema Iterativo Seja o sistema linear: onde: A: matriz de coeficientes, nn; x: vetor de variáveis, n;. b: vetor de termos constantes, n. Este sistema é convertido, de alguma forma, num sistema do tipo: onde: C: matriz nn; g: vetor n. Ax = b x = Cx + g ( x ) = Cx + g Função de Iteração!! 5

53 Esquema Iterativo Partimos de x () (vetor de aproximação inicial) e então construímos consecutivamente os vetores: x () = Cx () + g = ( x () ) (primeira aproximação) x () = Cx () + g = ( x () ) (segunda aproximação), etc. De um modo geral, a aproximação x (k+) é calculada pela fórmula: x ( k+ ) = Cx ( k ) + g = ( x ( k ) ) k =,,... É importante observar que se a seqüência de aproximações x (),x (),...,x (k), é tal que: lim x k ( k ) = então =C+g, ou seja, é solução do sistema linear Ax=b 5

54 Critérios de Parada O processo iterativo pode ser repetido até que o vetor x (k) esteja suficientemente próximo do vetor x (k-). Assim, esta distancia pode ser medido como: d ( k ) = max i n x ( k ) i x ( k) i Assim, dada uma precisão, o vetor x (k) será escolhido como, solução aproximada da solução exata, se d (k) <. Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos iterativos para zeros de funções, podemos efetuar aqui o teste do erro relativo: x d ( k ) r = d max in ( k ) x ( k ) i 54

55 Métodos Diretos: Método da Eliminação de Gauss Fatoração LU Fatoração de Cholesky Métodos Iterativos: Método Iterativo de Gauss-Jacobi Método Iterativo de Gauss-Seidel

56 Método Iterativo Gauss-Jacobi A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax=b em x=cx+g é a seguinte: Sistema Original Ax=b supondo a ii, i=,...,n, isolamos o vetor x mediante separação pela diagonal, daseguinte maneira: 56

57 Método Iterativo Gauss-Jacobi Ax=b Para que exista o sistema x=cx+g, é necessário que a ii, i. Caso isto não ocorra, o sistema Ax =b deve ser reagrupado. 57

58 Método Iterativo Gauss-Jacobi x=cx+g Formula recursiva 58

59 Método Iterativo Gauss-Jacobi x (k+) =Cx (k) +g 59

60 Exemplo Resolva o sistema a seguir, utilizando o método Gauss-Jacobi, com x () =[,,] T e =,5. 6

61 [,9994 -,9888,9984] 6

62 Um Critério de Convergência Teorema (Critério das Linhas): Uma condição suficiente (mas não necessária) para garantir a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado ao sistema Ax=b, com a ii, i, é: Neste caso, o método de Gauss-Jacobi gera uma seqüência {x (k) } convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial, x (). 6

63 Exemplo Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações Ax=b, que segue: Solução: Logo, a matriz dos coeficientes A garante a convergência do método de Gauss- Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de equações e incógnitas. 6

64 Exemplo Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações Ax=b, que segue: Solução: Logo a matriz dos coeficientes A não garante a convergência do método de Gauss- Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de equações e incógnitas. 64

65 Exemplo Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações Ax=b, que segue: Solução: Mas permutando adequadamente as equações do sistema, obtém-se o sistema Equivalente:

66 Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, devemos tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposição para a qual a matriz de coeficientes satisfaça o critério das linhas 66