Matrizes material teórico

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Marcela Carrilho Borges
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1 M A T R I Z E S A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard) "Aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma." (Carl Friedrich Gauss) Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe calcular é superior ao outro e adquire um vigor especial (Pascal) 1 As matrizes são agrupamentos usados para resolver problemas que apresentam muitos dados e operações em sequência, tais como controle de estoques, resoluções de equações diferenciais e tantos outros. Uma matriz de ordem m x n é uma tabela de números reais, onde m representa o número de linhas e n o número de colunas, podendo ser escrita entre colchetes ou entre parênteses da seguinte forma: Matriz quadrada: é toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Diagonal principal: é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i = j. Matriz nula: é aquela que possui todos os elementos iguais a zero, é denotada por Omxn, ou por On, se for quadrada. Matriz identidade: denotada por In, é uma matriz quadrada, que tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Por exemplo:

2 2 Igualdade de matrizes: duas matrizes A e B, são iguais, se e somente se, seus elementos correspondentes são iguais. Por exemplo: Exercício resolvido: Operações com Matrizes Adição e subtração de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo (mxn), podemos fazer a adição ou a subtração dessas matrizes, através dos seus elementos correspondentes. Multiplicação de um número real por uma matriz: Multiplica-se cada elemento da matriz, pelo número real. Por exemplo:

Multiplicação de matrizes: na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores altera o produto a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui; não

3 Multiplicação de matrizes: na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores altera o produto a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Por exemplo: O produto de A por B é dado pela matriz a seguir: A matriz A B é de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). Exercício resolvido: Dado as matrizes: Determine os produtos matriciais M N e N M

4 4 E o produto N. M = ( ) Repare que na multiplicação de matrizes, M. N N. M D E T E R M I N A N T E Calculamos o determinante de matrizes quadradas, associando a ela um único número. Enquanto as matrizes podem ser representadas por parênteses ou colchetes, os determinantes são representados por duas barras verticais. Determinante de matriz quadrada de ordem 1: é o próprio elemento. Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes: 1) M = (5) det M = 5 2)N = (-1/) det N = -1/ Determinante de matriz quadrada de ordem 2: o determinante será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária: Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes:

5 1) A = ( 5 2 ), det A = -26 2) B = ( ), det B = 2 4 4 Determinante de matriz quadrada de ordem : é feito o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repete-se a primeira e a

5 5 1) A = ( 5 2 ), det A = -26 2) B = ( ), det B = Determinante de matriz quadrada de ordem : é feito o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repete-se a primeira e a segunda coluna. Em seguida realiza-se os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente. Em seguida efetua-se a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal. Por fim realiza-se a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz. det M X = a 1,1. a 2,2. a, + a 1,2 + a 1,2. a 2,. a,1 + a 1,. a 2,1. a,2 - ( a 1,. a 2,2. a,1 + a 1,1. a 2,. a,2 + a 1,2. a 2,1. a,). Exemplo: Calcule o determinante das matrizes: )A = ( 4 8 ) det A = 21 2)B = ( 2 5 ) det B = M A T R I Z T R A N S P O S T A Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por A t de ordem invertida n x m. Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa. Exemplo: Dado a matriz A abaixo, a matriz transposta representada por A t, será: 0 6 A = ( 1 2) 5 0 x2 A t = ( ) 2x Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta A t foi invertida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha. Quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá a mesma ordem o que irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e colunas. Matriz simétrica: É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = A t ). Ou seja, os elementos da diagonal principal de A e A t são iguais. Exemplo: Dado a matriz B abaixo, a matriz transposta representada por B t, será: B = [ 5 ] 2x2 B t = [ 5 ] 2x2

6 6 Embora simples, o processo de matriz transposta, tode ser usado em um complexo sistema de criptografia. M A T R I Z I N V E R S A Uma matriz M terá uma matriz inversa M -1 se for quadrada e se o determinante de M for diferente de zero, nesse caso a matriz M é chamada de invertível. Exemplo: Obtenha, se possível, a inversa da matriz M = [ ] 2x2 O determinante de M, é igual a 1, como det 0, a matriz é invertível. Usando PPSS, temos que a matriz inversa de M, é: M 1 = [ 11 4 ] Para inverter uma matriz quadrada de ordem, podemos utilizar uma técnica que inverte um a um dos seus elementos. Seja a ij um elemento de uma matriz M, o elemento correspondente b ij de M 1, será calculado por: 1 b ij = co fator de a ji det M Exemplo: Obtenha, o elemento da segunda linha e terceira coluna da inversa da matriz M = 1 2 ( 5 1 1) Para obter-se o elemento b2 primeiro calculamos o determinante, encontrando det = - 21, como det 0, a matriz existe matriz inversa. Em seguida, calculamos o co-fator de aji: a2 = (-1) = 14 Agora basta aplicar a fórmula: b ij = co fator de a ji det M b 2 = co fator de a 2 det M = 14 1 = Determinante da matriz inversa: Se M for uma matriz invertível, e M -1 a sua inversa, temos: detm 1 = 1 detm Exemplo: Calcule o determinante da matriz inversa de: A = Primeiro, calculamos o determinante da matriz A,obtendo deta = 12.

7 7 Aplicando a fórmula, temos: deta 1 = 1 deta = 1 12

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