6 Matrizes. Matrizes. Aluno Matemática Eletricidade Básica Desenho Técnico A B C D 3 7 4

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1 6 Definição: Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela A formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. Para exemplificar o uso de uma matriz, podemos visualizar a seguir uma tabela representando as notas de quatro alunos alunos em três matérias: Aluno Matemática Eletricidade Básica Desenho Técnico A B C D Você saberia identificar qual foi a nota do aluno B em Eletricidade Básica? Vamos considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como na tabela de notas, mas colocando as notas entre colchetes: Logo, a nota do aluno B em Eletricidade Básica é 9. Como já vimos, as matrizes têm m linhas e n colunas. com m linhas e n colunas ( m e n são números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela com as notas dos alunos temos, portanto, uma matriz 4 x 3 (4 linhas e 3 colunas). Veja mais alguns exemplos: Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas): Matriz 2x2 (2 linhas e 2 colunas): [ Para encontrar a nota do aluno B na matéria de Eletricidade Básica, basta procurar na segunda linha e na segunda coluna: Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz C do tipo m x n é representada por: 21

2 C = a 11 a 12 a 13 a 14 a a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 a a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 a a 3n a m1 a m2 a m3 a m4 a m5... a mn 6.1 Operações com Adição As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. Ou seja, uma matriz 3x4 só pode ser somada com uma matriz 3x4. O resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a 11 +b 11 = c Subtração A subtração de matrizes é feita de forma similar a adição de matrizes. As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A - C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a 21 b 21 = c 21. = ( 5) ( 1) 3 ( 5) 0 3 = Multiplicação de um número real por matriz = ( 5) ( 1) 3+( 5) 0+3 = Para multiplicar um número real k por uma matriz A, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo número real k. Dada a matriz

3 Matriz 3x4 (3 linhas e 4 colunas): A operação 3 A é feita da seguinte maneira: C = C = 3 A C = Multiplicação de matrizes = A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1 a matriz deve ser igual ao número de linhas da 2 a matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n. Na multiplicação de matrizes precisamos ter muita atenção para resolver a multiplicação. Dada uma matriz A do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se produto da matriz A pela matriz B uma matriz C, do tipo m x p. Vamos por meio de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1 a matriz pelos membros da coluna da 2 a matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe a seguinte multiplicação: Dadas as matrizes A 3x3 e B 3x2 : As matrizes A e B podem ser multiplicadas? A matriz A tem 2 colunas e a matriz B tem 2 linhas. Logo, a multiplicação é possível. 3 x 3 e 3 x 2 A

4 Agora vamos multiplicar cada elemento da primeira linha da matriz A, pelos elemento da primeira e da segunda coluna coluna da matriz B ( 2)+2 ( 1) A 3 1+( 2) ( 2) 3 2+( 2) = 1 1+( 1) ( 2)+2 ( 1) 1 2+( 1) A 6.2 Exercícios = 1. Dados os valores das matrizes A e B, calcule: (a) A B (b) B A (c) A 2 (d) B 2 [ [ Dadas as matrizes A e B, calcule: (a) A B (b) B A [ Dadas as matrizes A, B e C encontre a matriz X tal que: X + 2C = A + 3B C = [ [ [ Calcule a matriz C, sabendo que: [

5 C = A 2B 5. Sabe-se que: [ [ x y z w = [ Determine o valor das variáveis x,y,z e w. 6. Dadas as matrizes A e B. Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B. [ 4y 2 9 x 2 +4 [ Calcule o valor de x para que as matrizes A e B sejam iguais: [ 3x 2 4x 3x 5 0 [

6 e Determinantes 7 Operações entre linhas de matrizes 1. Trocar uma linha por outra L 2 L 3 2. Multiplicação de uma linha um escalar (número real) não nulo: L 3 2 L Substituição de uma linha por ela mesma mais k vezes outra linha. L 2 L 2 +3 L 1 8 Inversão de 10 2 Definição: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por A 1, é aquela que satisfaz a condição: A A 1 = I Onde I é uma matriz identidade. Definições: Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Matriz identidade, definida como uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os demais valem zero Procedimento para achar a matriz inversa Seja a matriz A e desejamos saber sua inversa A O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade no lado direito de A

7 e Determinantes 1. L 1 = L 1 +L 2 ( 1) 2. L 2 = L 2 +L 1 ( 1) 3. L 3 = L 3 +L 1 ( 2) 4. L 3 = L 3 +L 2 ( 3) L 2 = L 2 +L 3 ( 1) E a matriz inversa é a parte da direita A 1 = Exercícios 1. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes: D = [ G = E = [ H = F = L 3 = L 3 ( 1)