MATEMÁTICA II. Aula 11. 3º Bimestre. Matrizes Professor Luciano Nóbrega

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1 1 MATEMÁTICA II Aula 11 Matrizes Professor Luciano Nóbrega º Bimestre

2 MATRIZES _ INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO Uma matriz é uma tabela com m linhas e n colunas que contém m. n elementos. EXEMPLO: Ângulo 0º 45º 60º seno cosseno tangente OBSERVAÇÕES: Uma matriz pode ser escrita entre (parênteses), [colchetes] ou barras duplas. A matriz do exemplo é do tipo x (lê-se: por ), isto é, possui linhas e colunas. Também podemos dizer que é de ordem. Cada elemento é representado pelo símbolo a ij,em que i indica a linha que o elemento ocupa e j indica a coluna

3 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Dadas as seguintes matrizes, responda o que se pede: B = a) De que tipo (ordem) são as matrizes? b) Qual o valor dos elementos: a = b 1 = c 1 = d 11 = e 1 = Escreva as matrizes: a) A = (a ij ) x tal que a ij = i + j b) M = (m ij ) x com 1 i e 1 j tal que a ij = j + i 5 c) X = (x ij ) 4x tal que a ij = i j / i d) Matriz de ordem, tal que d ij = 4i j e) Matriz de ordem, tal que aij = 0 para i > j, aij = (i + j), para i = j e aij =, para i < j.

4 4 CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES Matriz Nula É a matriz onde todos os elementos são nulos. Matriz Linha É uma matriz que só tem uma linha. Matriz Coluna É uma matriz que só tem uma coluna. Matriz Oposta Seja a matriz A, então dizemos que A é a matriz oposta de A, tal que para cada elemento a ij, temos na outra matriz o elemento correspondente a ij. Matriz Quadrada É uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas.

5 5 CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada que apresenta a ij = 0 para i > j. Inferior É uma matriz quadrada que apresenta a ij = 0 para i < j. Matriz Diagonal É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Matriz Identidade É uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos. É representada por I n, sendo n a ordem da matriz..

6 6 M = Matriz Transposta CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES É uma matriz A t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. M t =? Matriz Simétrica É uma matriz quadrada de ordem n tal que A = A t. A matriz A é simétrica, pois a 1 = a 1 = 5, a 1 = a 1 = 6, a = a = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ji. Matriz Antissimétrica É uma matriz quadrada de ordem n tal que A = -A t que apresenta todos os elementos da DP iguais a zero e a ij = -a ji

7 7 OPERAÇÕES COM MATRIZES Igualdade de Matrizes Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais. Exemplo: Sejam as matrizes A e B determine b e c de modo que as matrizes A e B sejam iguais. Soma e Subtração de Matrizes Dadas as matrizes A e B, impreterivelmente, de mesma ordem definimos por soma dessas matrizes a matriz tal que C ij = a ij + b ij. Exemplos: E, por diferença, C ij = a ij b ij.

8 8 OPERAÇÕES COM MATRIZES Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A de ordem m x n, o produto de x por A é uma matriz B de mesma ordem obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b ij = x.a ij Exemplo: Multiplicação de Matrizes 1º) Sejam duas matrizes, A e B nessa ordem, o produto entre essas duas matrizes só existe se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

9 9 TESTANDO OS CONHECIMENTOS (Multiplicação de Matrizes) Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de Futebol (010), o grupo G era formado por 4 países: Brasil, Portugal, Costa do Marfim e Coreia do Norte. Observe os resultados registrados na tabela: Vitória Empate Derrota Pelo regulamento da Copa, a vitória vale pontos, o empate vale 1 ponto Brasil 1 0 e a derrota zero. Segue as matrizes: Portugal 1 0 C. Marfin Coreia do N. 0 0 Determine quantos pontos fez cada equipe. 4 Sejam as matrizes A e B dadas a seguir, determine: a) A.B b) B.A : 5 Sejam as matrizes A e B dadas a seguir, determine: a) A.B b) B.A c) A.A d) A + B e) A+ B t f).a t.b g) (A.B) t h) B t.a t i) A t.b t

10 10 OPERAÇÕES COM MATRIZES Matriz Inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A -1, de mesma ordem, tal que A.A -1 = A -1.A = I n, então A -1 é matriz inversa de A. EXEMPLO: Seja as matrizes dadas a seguir, determine, se existir, a matriz inversa. C = D = E

11 11 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 6 (UFCE) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = A t. Assim, se a matriz abaixo é simétrica, então x + y + z é igual a: a) b) 1 c) 1 d) e) 5 7 (UFCE) Se A, B e C são matrizes do tipo x, x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A. B. C a) É matriz do tipo 4x b) É matriz do tipo x4 c) É matriz do tipo x4 d) É matriz do tipo 4x e) Não é definido. 8 (Mack) O traço de uma matriz quadrada é dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (a ij ) x, tal que a ij =.i j, é: A) 96 B) C) 81 D) 5 E) 4 9 (UFPB) Dadas as matrizes A e B abaixo então, calculando-se o determinante da matriz resultante da expressão ( A + B ), obtém-se: A) 11 B) 61 C) 6 D) 81 E) 10 Sabe-se que a matriz M dada a seguir é anti-simétrica. Os termos a 1, a 1 e a de M valem respectivamente: A) 4, e 4 B) -4, - e 4 C) 4, - e -4 D), -4 e

12 1 11 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (UFRN / 004) A matriz ao lado é 7x7 e foi formada com o número 1 em cada posição da primeira linha, um 0 e um, alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e um, também alternadamente, nas posições da terceira linha, e assim sucessivamente. Numa matriz 100x100, construída com o mesmo critério, qual a quantidade de números diferentes de zero na décima coluna?

13 1 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Considerando as matrizes: e, determine: a) a matriz X que satisfaz a sentença: A + X = B b) resolva o sistema 14 Utilize as matrizes A, B e C indicadas a seguir para determinar X, tal que: 15 a) X + A = C b) X + C = B c).(x A) =.(B + X) d) A B = X

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