Matrizes. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais. Abril de 2014

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Thomaz Cruz Santarém
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2 Matrizes

3 Matrizes Uma matriz A, m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas. a a 1n A = a a 2n a m1... a mn

4 Tipos de Matriz 1 Matriz Quadrada É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

5 Tipos de Matriz 2 Matriz Quadrada É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. A = B = [ ] é a matriz quadrada de ordem 2. é a matriz quadrada de ordem 3.

6 Observações - Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz, o conjunto dos elementos que possuem índices iguais.

7 Observações - Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz, o conjunto dos elementos que possuem índices iguais. A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 [a 11, a 22, a 33, a 44 ] é a diagonal principal da matriz A.

8 - Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz o conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

9 - Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz o conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1. A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44

10 - Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz o conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1. A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 [a 14, a 23, a 32, a 41 ] é a diagonal secundária da matriz A. - Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.

11 3 Matriz linha. É a matriz que possui uma única linha.

12 5 Matriz linha. É a matriz que possui uma única linha. A = [ 1 0 ] B = [ ]

13 7 Matriz linha. É a matriz que possui uma única linha. A = [ 1 0 ] B = [ ] 8 Matriz Coluna. É a matriz que possui uma única coluna.

14 9 Matriz linha. É a matriz que possui uma única linha. A = [ 1 0 ] B = [ ] 10 Matriz Coluna. É a matriz que possui uma única coluna. A = [ 2 1 ] B = 1 4 3

15 11 Matriz Nula É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

16 13 Matriz Nula É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. A = [ ] B = [ ] 14 Matriz Diagonal É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

17 15 Matriz Nula É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. A = [ ] B = [ ] 16 Matriz Diagonal É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero. A =

18 17 Matriz Identidade É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Para uma matriz identidade I n = (a ij ) n n temos que { 1, se i = j a ij = 0, se i j A =

19 18 Matriz Transposta Dada uma matriz A, chama-se de de matriz transposta de A, a matriz obtida trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por A t. A = A t = [ ]

20 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais. Então: A = (a ij ) m n e B = (b ij ) p q m = p e n = q e A = B { i, 1 i m a ij = b ij j, 1 j n

21 Operações Seja a matriz C de ordem m n, a soma da matriz A com a matriz B, ambas de mesma ordem m n. Os elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos: C = A + B

22 Propriedades da Adição Sendo A, B e C matrizes m n e O a matriz nula m n: A + B = B + A (comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) A + O = O + A = A (elemento neutro) A + ( A) = ( A) + A = O (elemento oposto) (A + B) t = A t + B t

23 Consideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m n. Chamamos de diferença entre A e B a soma de A com a oposta de B. A B = A + ( B) Consideremos uma matriz A, de ordem m n, e um número real α. O produto de α por A é uma matriz B, de ordem m n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por α. Notação: B = αa

24 Propriedades Sejam A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n e os números reais α e β. 1.A = A ( 1).A = A α.0 = 0 0.A = 0 α(β.a) = (αβ).a α(a + B) = α.a + α.b (α + β)a = α.a + β.a

25 Uma matriz C = (C ij ) m n é o produto de uma matriz A = (a ij ) m p por uma matriz B = (b ij ) p n, de modo que cada elemento c ij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Notação: C = A.B Da definição, decorre que só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

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