ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS

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1 ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS Ralph S. Silva Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro

2 Definição {Y t} é um processo ARMA(p, q) se {Y t} é estacionário e se para cada t Y t φ 1 Y t 1 φ py t p = ε t + θ 1 ε t θ qε t q (1) em que ε t RB(0, σ 2 ) e os polinômios (1 φ 1 z φ pz p ) e (1 + θ 1 z + + θ qz q ) não tenham fatores comuns. Dizemos que {Y t} é um processo ARMA(p, q) com média μ se {Y t μ} for um processo ARMA(p, q). Outra forma de escrever o modelo é em que Φ(B)X t = Θ(B)ε t Φ(z) = 1 φ 1 z φ pz p e Θ(z) = 1 + θ 1 z + + θ qz q. Lembre-se que B é o operador defasagem, isto é, B j Y t = Y t j para j = 0, ±1,....

3 Processo AR(p) é um caso particular do ARMA(p, q) quando q = 0 tal que Θ(z) = 1. Processo MA(q) é um caso particular do ARMA(p, q) quando p = 0 tal que Φ(z) = 1. Como a definição exige que o processo seja estacionário, restrições são impostas aos valores dos parâmetros. Uma solução estacionária das equações (1) existe (e é também uma solução estacionária única) se, e somente se, Φ(z) = 1 φ 1 z φ pz p 0, para todo z = 1. Se z = x + yi é um número complexo, então z = x 2 + y 2. A região definida pelo conjunto de números complexos z tal que z = 1 é chamada de círculo unitário.

4 Um processo ARMA(p, q) {Y t} é causador, ou uma função causadora de {ε t}, se existe constantes {ψ j } tal que j=0 ψ j < e Y t = Causalidade é equivalente a condição j=0 ψ jε t j para todo t. Φ(z) = 1 φ 1 z φ pz p 0, para todo z 1. Um processo ARMA(p, q) é inversível se existem constantes {φ j } tal que j=0 φ j < e ε t = Invertibilidade é equivalente a condição j=0 φ jy t j para todo t. Θ(z) = 1 + θ 1 z + + θ qz q 0, para todo z 1.

5 Exemplo Considere o processo ARMA(1,1) {Y t} satisfazendo as equações Y t 0, 5Y t 1 = ε t + 0, 4ε t 1, ε t RB(0, σ 2 ). A raiz de φ(z) = 1 0, 5z é 2 (fora do círculo unitário). Portanto o processo ARMA acima é unico. Como φ(z) 0 para todo z 1, o processo é também causador. Podemos então escrever {Y t} como um processo MA( ). Quais os coeficientes? ψ 0 = 1 e ψ j = (0, 4 + 0, 5)(0, 5) j 1, j = 1, 2,... O polinômio MA, θ(z) = 1 + 0, 4z, tem raiz 2, 5. Logo, {Y t} é inversível. Quais os coeficientes? φ 0 = 1 e φ j = (0, 4 + 0, 5)(0, 4) j 1, j = 1, 2,...

6 Exemplo Seja {Y t} um processo AR(2), Y t = 0, 7Y t 1 0, 1Y t 2 + ε t, ε t RB(0, σ 2 ). Exemplo Então, temos φ(z) = 1 0, 7z + 0, 1z 2 = (1 0, 5z)(1 0, 2z). Como as raizes (2 e 5) estão fora do círculo unitário o processo é causador. Considere o processo ARMA(2,1) {Y t} satisfazendo as equações Y t 0, 75Y t 1 + 0, 5625Y t 2 = ε t + 1, 25ε t 1, ε t RB(0, σ 2 ). O polinômio φ(z) = 1 0, 75z + 0, 5625 tem zeros em z = (2/3 ± i2/ 3), que ficam fora do círculo unitário. Portanto, o processo é causador. O polinômio MA, θ(z) = 1 + 1, 25z tem zero em 0,8. Logo, {Y t} não é inversível.

7 Cálculo da função de autocorrelação Vamos determinar a função de autocovariância de um processo causador ARMA(p, q) definido por Φ(B)Y t = Θ(B)ε t, ε t RB(0, σ 2 ), em que Φ(z) = (1 φ 1 z φ pz p ) e Θ(z) = (1 + θ 1 z + + θ qz q ). A série é causadora por hipótese, logo em que Primeiro método Y t = j=0 ψ jε t j, ψ jz j = Θ(z), z 1. j=0 Φ(z) γ(h) = E(Y t+h Y t) = σ 2 j=0 ψ jψ j+ h.

8 Exemplo O processo ARMA(1,1) é dado por com φ < 1. Y t φy t 1 = ε t + θε t 1, ε t RB(0, σ 2 ) A função de autocorrelação é dada por γ(0) = σ 2 j=0 ψ2 j = σ 2 [ 1 + (θ + φ) 2 φ2j] = σ [ j=0 γ(1) = σ 2 [ ψ jψ j+1 = σ 2 θ + φ + (θ + φ) 2 φ j=0 [ = σ 2 θ + φ + (θ + ] φ)2 φ e 1 φ 2 γ(h) = φ h 1 γ(1), h 2. j=0 φ2j] ] (θ + φ)2, 1 φ 2

9 Exemplo Para o processo MA(q) temos Y t = ε t + θ 1 ε t θ qε t q, ε t RB(0, σ 2 ), em que θ 0 = 1 por definição. q h σ 2 θ γ(h) = j θ j+ h, se h q, j=0 0, se h > q. Logo, a função de autocovariância de um processo MA(q) é zero para defasagens maior do que q. Lembre-se que um resultado anterior garante que todo processo estacionário de média zero com correlações zero para defasagens maior do que q pode ser representado por um processo médias móveis.

10 Segundo método Se multiplicarmos ambos os lados das equações Y t φ 1 Y t 1 φ py t p = ε t + θ 1 ε t θ qε t q por Y t k, k = 0, 1, 2,... e calcular os valores esperados de ambos os lados, encontraremos que e γ(k) φ 1 γ(k 1) φ pγ(k p) = σ 2 j=0 θ k+j ψ j, 0 k < m γ(k) φ 1 γ(k 1) φ pγ(k p) = 0, k m, (2) em que m = máx(p, q + 1), ψ j = 0 para j < 0, θ 0 = 1 e θ j = 0 para j {0,..., q}.

11 Exemplo O processo ARMA(1,1) é dado por Y t φy t 1 = ε t + θε t 1, ε t RB(0, σ 2 ) com φ < 1. Como m = máx(p, q + 1) = máx(1, 2) = 2, temos γ(0) φγ(1) = σ 2 (1 + θ(θ + φ)), k = 0 γ(1) φγ(0) = σ 2 θ, k = 1 γ(k) φγ(k 1) = 0, k 2. A solução do sistema acima é a mesma da primeira abordagem.

12 Terceiro método As autocovariâncias podem ser encontradas resolvendo as p + 1 primeiras equações e γ(k) φ 1 γ(k 1) φ pγ(k p) = σ 2 j=0 θ k+jψ j, 0 k < m γ(k) φ 1 γ(k 1) φ pγ(k p) = 0, k m, para γ(0), γ(1),..., γ(p) e então usar as equações subsequentes para encontrar γ(p + 1), γ(p + 2),... Este é um método conveniente para o cálculo numérico das autocovariâncias γ(h).

13 Função de autocorrelação A função de autocorrelação de um processo ARMA(p, q) pode ser encontrada diretamente de sua função de autocovariância, isto é, ρ(h) = γ(h) γ(0). De maneira análoga, dado um conjunto de observações {y 1, y 2,..., y T }, a função de autocorrelação amostral é dada por ρ(h) = γ(h) γ(0).

14 A função de autocorrelação parcial A função de autocorrelação parcial (PACF, abreviação do inglês) de um processo ARMA {Y t} é a função definida pelas equações α(0) = 1, e em que φ hh é a última componente de α(h) = φ hh, h 1, φ h = Γ 1 h γ h, Γ h = [γ(i j)] h i,j=1 e γ h = [γ(1), γ(2),..., γ(h)].

15 Considere os seguintes modelos autoregressivos: Y t = μ 0,1 + φ 1,1 Y t 1 + ε 1t Y t = μ 0,2 + φ 1,2 Y t 1 + φ 2,2 Y t 2 + ε 2t Y t = μ 0,3 + φ 1,3 Y t 1 + φ 2,3 Y t 2 + φ 3,3 Y t 3 + ε 3t... em que α 0,j, φ i,j e ε jt são, respectivamente, o termo constante, o coeficiente de Y t i e o termo de erro de um modelo AR(j). Podemos estimar tudo por mínimos quadrados (múltiplo) e aplicar um teste F parcial. A estimativa de ˆφ 1,1 da primeira equação é chamada de PACF amostral de defasagem 1 de Y t. A estimativa de ˆφ 2,2 da segunda equação é chamada de PACF amostral de defasagem 2 de Y t. A estimativa de ˆφ 3,3 da terceira equação é chamada de PACF amostral de defasagem 3 de Y t. (E assim por diante.)

16 A PACF de defasagem 2 ˆφ 2,2 mostra a contribuição de Y t 2 adicionada a Y t sobre o modelo AR(1) Y t = α + φ 1 Y t 1 + ε t A PACF de defasagem 3 ˆφ 3,3 mostra a contribuição de Y t 3 adicionada a Y t sobre o modelo AR(2) Y t = α + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + ε t. (E assim por diante.) Portanto, para um modelo AR(p), a PACF amostral de defasagem p não deve ser zero. Mas ˆφ j,j deve estar perto de zero para todo j > p. Utilizamos esta propriedade para determinar a ordem p. Para um modelo AR(p) gaussiano estacionário, pode ser mostrado que a PACF amostral tem as seguintes propriedades: ^φ p,p converge para φ p quando o tamanho da amostra T tende ao infinito. ^φ k,k converge para zero para todo k > p. A variância assintótica de ^φ k,k é 1/T para k > p.

17 Para qualquer conjunto de observações {y 1,..., y T } com y i y j para algum i e j, a PACF da amostral é dada por α(0) = 1, e em que φ hh é a última componente de α(h) = φ hh, h 1, φ h = Γ 1 h γ h. Pode ser mostrado que φ hh é a correlação entre os erros de previsão Y h P(Y h Y 1,..., Y h 1 ) e Y 0 P(Y 0 Y 1,..., Y h 1 ).

18 Exemplo Para um processo AR(p) causador definido por Y t φ 1 Y t 1 φ py t p = ε t, ε t RB(0, σ 2 ), sabemos que para h p o melhor preditor linear de X n+h em termos de 1, Y 1,..., Y h é Y h+1 = φ 0 + φ 1 Y h + φ 2 Y h φ py h+1 p. Como o coeficiente φ hh de X 1 é φ p se h = p e 0 se h > p, concluímos que a PACF α(.) do processo {Y t} tem a propriedade Exemplo α(p) = φ p, e α(h) = 0, para h > p. Para o processo MA(1), pode ser mostrado que a PACF na defasagem h é ( θ) h α(h) = φ hh = (1 + θ θ 2h ).

19 Previsão: o algoritmo das inovações Este algoritmo é aplicável a todas as séries temporais com segundo momento finito sendo estas estacionárias ou não. Suponha que {Y t} seja uma série temporal com média zero e E Y t 2 < para cada t e E(Y i Y j ) = κ(i, j). Introduzimos aqui uma notação para os melhores previsores um passo à frente e seus erros quadráticos médios: Y T = { 0, if T = 1; P T 1 Y T, T=2,3,..., e ν T = E(Y T +1 P T Y T +1 ) 2. Introduzimos também as inovações ou erros de previsão um passo à frente, U T = Y T Y T.

20 Em termos dos vetores U T = (U 1,..., U T ) e Y T = (Y 1,..., Y T ) as últimas equações podem ser escritas como U T = A T Y T a A T = a 22 a a T 1,T 1 a T 1,T 2 a T 1,T 3 1 Isto implica que A T é não singular com inversa C T da forma θ C T = θ 22 θ θ T 1,T 1 θ T 1,T 2 θ T 1,T 3 1

21 O vetor de previsores um passo à frente Y T = (Y 1, P 1 Y 2,..., P T 1 Y T ) pode ser expresso por Y T = Y T U T = C T U T U T = Θ T (Y T Y T ) (3) em que e θ Θ T = θ 22 θ θ T 1,T 1 θ T 1,T 2 θ T 1,T 3 0 Y T = C T (Y T Y T ).

22 A equação (3) pode ser reescrita como Y T +1 = { 0, se T = 0; T j=1 θ Tj(Y T +1 j Y T +1 j ), se T = 1, 2,..., da qual os previsores um passo à frente Y 1, Y 2,... podem ser calculados recursivamente uma vez definidos os valores dos coeficientes θ ij. O algoritmo a seguir gera estes coeficientes e os erros quadráticos médios ν i = E(Y i+1 Y i+1 ) 2, começando com as covariâncias κ(i, j). O algoritmo das inovações Os coeficientes θ T 1,..., θ TT podem ser calculados recursivamente das equações ν 0 = κ(1, 1), θ T,T k = ν 1 k ( κ(t + 1, k + 1) k 1 ν T = κ(t + 1, T + 1) T 1 j=0 θ k,k jθ T,T j ν j j=0 θ2 T,T jν j. ), 0 k < T,

23 Previsão de processos ARMA O algoritmo das inovações nos fornece um método para previsão em processos ARMA(p, q) Φ(B)Y t = Θ(B)ε t, ε t RB(0, σ 2 ), sendo possível uma simplificação do mesmo. Para isso, vamos aplicar o algoritmo a série transformada W t dada por { Wt = σ 1 Y t, t=1,...,m; W t = σ 1 Φ(B)Y t, t > m em que m = máx(p, q). Para facilitar a notação, façamos θ 0 = 1 e θ j = 0 para j > q. A função de autocovariância pode ser calculada com um dos métodos descritos anteriormente.

24 Assim, as autocovariâncias κ(i, j) = E(W i W j ), i, j > 1, podem ser calculadas da seguite forma: σ 2 γ[ Y (i j), 1 i, j m, σ 2 γ Y (i j) p ] r=1 φr γ Y (r i j ), mín(i, j) m < max(i, j) 2m, κ(i, j) = q θ r θ r+ i j, mín(i, j) > m, r=0 0, caso contrário. Aplicando os algoritmo das inovações ao processo W t, obtemos W T +1 = T θ Tj (W T +1 j W T +1 j ), 1 T < m, j=1 W T +1 = q θ Tj (W T +1 j W T +1 j ), T m, j=1 em que os coeficientes θ Tj e os erros quadráticos médios r T = E(W T +1 W T +1 ) são encontrados recursivamente utilizando o algoritmo das inovações. Os previsores um passo à frente de W T +1 e Y T +1 são dados por W T +1 = P T W T +1 e YT +1 = P T Y T +1.

25 Usando a linearidade de P t temos que { Wt = σ 1 Yt, ] t=1,...,m; W t = σ [ Yt 1 φ 1 Y t 1 φ py t p, t > m e consequentemente Y t Y t = σ(w t W t), para todo t 1. Substituindo (W t W t) por σ 1 (Y t Y t) nas equações de κ(i, j) e de W T +1, finalmente obtemos T Y T +1 = θ Tj(Y T +1 j Y T +1 j ), 1 T < m j=1 φ 1 Y T + + φ py T +1 p + q θ Tj(Y T +1 j Y T +1 j ), T m, j=1 e E(Y T +1 Y T +1 ) 2 = σ 2 E(W T +1 W T +1 ) 2 = σ 2 r T em que θ Tj e r t são obtidos através do algoritmo das inovações.