Modulo I. Séries Temporais: ARIMA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE ESTATÍSTICA Modulo I Séries Temporais: ARIMA Curso: Bacharelado em Estatística Disciplina: Estatística Aplicada Nome: Verena Santos Matrícula: Belém-PA 2014

2 Introdução Os modelos aqui apresentados são os modelos auto-regressivos integrados de médias móveis, ARIMA( p,d,q), conhecido como abordagem de Box e Jenkins (1970),. são modelos matemáticos que visam captar o comportamento da autocorrelação entre os valores da série temporal, e com base nesse comportamento realizar previsões futuras. Segundo Fava (2000), os modelos ARIMA resultam da combinação de três componentes denominados filtros : o componente auto-regressivo (AR), o filtro de integração (I) e o componente de médias móveis (MA). Uma série pode ser modelada pelos três filtros ou apenas um subconjunto deles, resultando em vários modelos abordados a seguir. Etapas da Metodologia de Box e Jenkins Morettin e Toloi (1987) mostram que a construcão dos modelos ARIMA e baseada em um ciclo iterativo, no qual a escolha do modelo é feita com base nos próprios dados. Segundo Box e Jenkins (1976). Os estágios do ciclo iterativo são: a. Identificação: análise de autocorrelações, auto-correlações parciais e outros critérios; b. Estimação, na qual os parâmetros do modelo identificado são estimados; c. verificação ou diagnóstico do modelo ajustado: feita através da análise de resíduos, para saber se o modelo é adequado para os objetivos, por exemplo, previsões. Caso o modelo não seja adequado, o ciclo é repetido, voltando-se à fase de identificação. Modelos ARIMA Modelos lineares Estacionários Uma série temporal é dita estacionária quando ela se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, refletindo alguma forma de equilíbrio estável.

3 Operador de defasagem: é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente. Modelos Auto Regressivos (AR) Em um modelo auto-regressivo, a série de dados Zt é descrita por seus valores passados Zt 1,Zt 2,..., Zt p e pelo ruído branco(resíduos são não correlacionados) A estrutura auto-regressiva geral é expressa por: Z t = φ 1 Z t 1 + φ 2 Z t φ p Z t p + a t Onde: ϕi são parâmetros da estrutura, i = 1,..., p (ordem da estrutura) at é ruído branco com média zero e variância σ 2 a. O modelo AR(p) pode ser reescrito, utilizando o operador de defasagem B. φ B = 1 φ 1 B φ 2 B 2 φ p B p Então pode-se escrever: φ B Z t 1 = a t Função de autocorrelação ρj = φ1 ρ j 1 + φ2 ρ j φp ρ j p Então ρ1 = φ1 ρ j 1 + φ2 ρ j φpρ p 1 ρ2 = φ1 ρ j 1 + φ2 ρ j φpρ p 2...

4 ρ p = φ1 ρ j 1 + φ2 ρ j φp Sendo que, neste caso, para j = 1, 2,..., p estas equações são denominadas de Yule- Walker, onde, em forma matricial, ficam: Modelos Médias Móveis(MA) Os modelos médias móveis são formados por combinação linear do ruído branco, at, ocorridos no período corrente e nos períodos passados. A estrutura de médias móveis geral é expressa por: Z t = µ + a t Ѳ 1 a t 1 Ѳ 2 a t 2 Ѳ q a t q Onde: θi são parâmetros da estrutura, i = 1,..., q (a ordem da estrutura) at é ruído branco com média zero e variância σ 2 a. O modelo MA(q) pode ser reescrito, utilizando o operador de defasagem B. θ(b) = 1 θ1b θ2b 2... θ2θ q B q. Função de auto correlação Modelos Auto Regressivos e de Médias Móveis (ARMA)

5 Esse modelo é uma combinação dos dois anteriores onde Zt é descrito por seus valores passados e pelos ruídos branco corrente e passados. A estrutura geral ARMA(p,q) é expressa por: Zt = ϕ1zt-1 + ϕ2zt ϕpzt-p + at - θ1at-1 - θ2at θqat-q Onde: ϕi são os parâmetros da estrutura auto-regressiva, i = 1,..., p θ i são os parâmetros da estrutura médias móveis, i = 1,..., q at.ruído branco Se φ B e Ѳ B são os operadores auto-regressivos e de médias móveis,respectivamente, podemos escrever na forma compacta: φ B Z t = Ѳ(B)a t Função de auto correlação ρj = φ1 ρ j 1 + φ2 ρ j φp ρ j p As auto-correlações para os lags j > q se comportam como nos modelos autoregressivos. Modelos lineares não Estacionários Modelos Auto Regressivos, Integrados e de Médias Móveis O modelo ARIMA (p, d, q) é adequado para a previsão de séries temporais cujo processo estocástico não é estacionário. Logo, a série original passará por algumas diferenciações a fim de torná-la estacionária (Box & Jenkins, 1994). O número necessário de diferença para tornar uma série estacionária é denominado ordem de integração (d). Para detectar a não-estacionariedade de uma série, o comportamento temporal pode ser analisado graficamente, buscando padrões como a inclinação nos dados e a variação

6 dos dados não permanece essencialmente constante sobre o tempo, isto é, indicando que a variância está se alterando ou, então,aplicando os testes estatísticos de raiz unitária. O teste de raiz unitária mais usado é o de Dickey-Fuller. A estrutura geral ARIMA(p, d, q) é expressa por: ϕ(b) d Z t = Ѳ(B)a t Onde: ϕ(b) representa o operador auto-regressivo de ordem p ϴ(B) representa o operador médias móveis de ordem q at ruído branco d representa o número de diferenças =1 B representa o operador diferença 1º Estágio para escolha da estrutura do modelo Identificação de Modelos ARIMA Para a identificação dos modelos apropriados, inicialmente deve-se analisar o gráfico do tempo da série em estudo. A análise desse gráfico pode indicar a presença de tendência ou alteração de variância, revelando se a série é ou não estacionária. Análise da funções de autocorrelações (ACF) e de autocorrelações parciais (PACF), indica qual o modelo a ser utilizado, bem como auxilia no uso dos testes de raízes unitárias para confirmar a estacionariedade. O objetivo da identificação é determinar os valores de p, d e q do modelo ARIMA(p,d,q), além de estimativas preliminares dos parâmetros a serem usadas no estágio de estimação. Etapas:

7 a) Verificar se existe a necessidade de uma transformação na série original, com objetivo de estabilizar a variância; b) Tornar a série estacionária por meio de diferenças, de modo que o processo dzt seja reduzido a um ARMA(p,q) c) Identificar o processo ARMA(p,q) resultante. d) Verificação da estacionariedade e da invertibilidade.

8 Condições de estacionariedade/invertibilidade : Diferença entre FAC e FACP. FAC : correlação simples entre Zt e Zt k em função da defasagem k. FACP: correlação entre Zt e Zt k em função da defasagem k, filtrado o efeito de todas as outras defasagens sobre Zt e Zt k. Propriedades teóricas da FAC e FACP i) FAC decai exponencialmente ou senoidal: indício de processo AR. Nesse caso, a FACP ajuda a determinar a ordem do processo. ii) FAC apresenta um corte brusco depois de poucas defasagens: indício de processo MA. Isso se confirma se a FACP decai exponencialmente. iii) Estrutura ARMA(p, q) Como a estrutura ARMA(p, q) corresponde a uma estrutura AR(p) de ordem infinita ou a uma estrutura MA(q) de ordem também infinita, dos resultados anteriores pode-se concluir que a função de autocorrelação parcial de uma estrutura ARMA(p,q) comporta-se de um modo misto mas sem particularidades notáveis (Souza e Camargo, 2004). Assim, a partir das FAC. estimadas, tentamos identificar um padrão que se comporte teóricamente com algum modelo. Critério de Informação São alguns procedimentos de identificação utilizado que minimizam funções penalizadoras particulares. Consideram não apenas a qualidade do ajuste, mas também penalizam a inclusão de parâmetros extras.

9 Os critérios de informação são utilizados para comparação de modelos e que levam em conta a variância do erro, o tamanho da amostra N e os valores de p, q. Regra básica: selecionar o modelo cujo critério de informação calculado seja mínimo. Critérios de informação mais usados: a. Akaike (AIC) : AIC(k)=( 2)loge [Verossimilhança Maximizada]+ 2k k : número de parâmetros estimados (para ARMA(p, q), k = p + q +1). Para dados normalmente distribuídos AIC(k) = N ln(rss) + 2k b. Schwarz (SIC) : SIC(k) = N ln(rss) + k ln (N) c. Bayesiano (BIC): (SBC) BIC(k)=-2logVerossimilhança Maximizada + k +k ln N n : número de observações k : número de parâmetros estimados RSS : Soma dos quadrados dos resíduos Deve-se manter N fixo para comparar os modelos 1º Estágio para escolha da estrutura do modelo Estimação de Modelos ARIMA Identificado a ordem de um modelo ARIMA para uma série temporal precisamos agora estimar os parâmetros deste modelo. Para isso, podemos utilizar método dos momentos, estimadores de minimos quadrados e estimadores máxima verossimelhança. 3º Estágio para escolha da estrutura do modelo Diagnóstico de Modelos ARIMA Essa etapa consiste em verificar se o modelo identificado e estimado é adequado. Em caso positivo, ele pode ser utilizado para fazer previsões.em caso negativo, será necessário identificar outro modelo e repetir as etapas de estimativa e verificação. Segundo Fava(2000), as formas de verificação comumente utilizadas são: análise de resíduos e avaliação da ordem do modelo. Alguns testes de adequação do modelo Teste de autocorrelação residual Teste de Box-Pierce Teste da autocorrelação cruzada

10 Previsão com modelos ARIMA A partir do momento que conseguimos identificar e estimar um modelo ARIMA adequado às observações, vamos então estudar métodos que possamos utilizar a modelagem ARIMA para prever os valores das observações h passos a frente. Vale a pena ressaltar que previsões utilizando modelos ARIMA serão eficazes para um período curto e as melhores previsões serão aquelas que apresentam um errro quadrático médio(eqm) mínimo.

11 Autocorrelatção Parcial Autocorrelação Aplicação Figura 1. Gráfico da série Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil, observações anuais de 1861 a Identificação do Modelo Para a identificação dos modelos apropriados, inicialmente deve-se analisar o gráfico do tempo da série em estudo. A análise do gráfico da série PIB na Figura 1, indica a presença de tendência crescente, indicando a não estacionariedade da série. O próximo passo é analisar as funções de autocorrelações (FAC) e de autocorrelações parciais(facp) da série PIB. O comportamento dessas funções auxilia na verificação da estacionariedade e na proposição do modelo. Figura 2. Correlogramas das FAC e FACP da série PIB. Função de Autocorrelação da série PIB 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, Função de Autocorrelação Parcial da série PIB 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, A Figura 2. Mostra a FAC e a FACP da série PIB revelando que as autocorrelações da FAC apresentam decaimento exponencial, típico do processo auto-regressivo, e o

12 Autocorrelação Autocorrelação correlograma da FACP, apresenta a primeira defasagem(lag) diferentes de zero significativamente. Assim, há uma indicaçãoo de que a ordem do modelo autoregressivo é p=1, no caso um modelo AR(1). Figura 3: Correlograma das FAC S da 1ª e 2ª diferenças da série PIB. FAC da 1ª Diferença 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, FAC 2ª Diferença 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, A obtenção do valor de ordem d é feita através da escolha do correlograma da FAC que apresentar menor flutuação em suas defasagens após aplicadas as diferenciações. Conforme a análise do gráfico da Figura 3, o valor de d = 2, isto porque o correlograma da 2ª diferença apresentou menor flutuação que o da 1ª diferença. Portanto, o diagnóstico da análise inicial, indicou como modelo para representar a série, o modelo ARIMA (1,2,0). Estimativa do Modelo Uma vez indicados os valores de p,d,q, passa-se para a estimativa do parâmetro do modelo proposto. A estimativa do parâmetro do modelo foi φ 1 =-0,2343. Verificação do Modelo Essa etapa consiste em verificar se o modelo identificado é adequado. Em caso negativo, será necessário identificar outro modelo e repetir as etapas de estimativa e verificação. A forma de verificação utilizada foi: Análise de resíduos: os resíduos devem apresentar comportamento de ruído branco se o modelo estiver adequadamente especificado, isto é, suas correlações devem ser não significantes.utiliza-se o teste de Box-Pierce para reforçar essa afirmativa. Figura 4. Correlograma dos Resíduos do Modelo ARIMA (1,2,0).

13 Autocorrelação FACP do Resíduo do PIB 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, A Figura 4 revela que os resíduos efetivamente apresentam comportamento de ruído branco, logo, o modelo é adequado no que se refere à análise dos resíduos. Embora os lags 4 e 6 apresentem picos no limite de significância. Essa conclusão é reforçada após a utilização do teste de Box-Pierce. H 0: Os resíduos não são correlacionados (ruído branco) H 1: Os resíduos são correlacionados Teste de Box-Pierce não apresentou evidências para rejeitar H 0,ou seja,os resíduos não são correlacionados,sendo assim o modelo proposto é adequado.

14 Referências [1] MORETTIN, Pedro A. e TOLOI, Clélia M. S eries Temporais, 2a ed. Editora Atual, [2]