PREVISÃO DE VENDAS COM MODELO ARIMA BOX E JENKINS APLICAÇÃO COM GRETL

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1 Estatística & Gestão de Informação Métodos de Previsão 1º Semestre - 4º Ano PREVISÃO DE VENDAS COM MODELO ARIMA BOX E JENKINS APLICAÇÃO COM GRETL Autores: Emanuel De Jesus R. C.Borges (emanuelramos31@hotmail.com); Eliane Cardoso Chantre (eliane.chantre@student.unicv.edu.cv); Jeremias Lopes Landim (jeremiasl10@hotmail.com); Stefany Do Rosario (stefany.rosario@student.unicv.edu.cv); Docente: Mestre Agostinho Monteiro; Praia - Campus Palmarejo,16 de Fevereiro 2015

2 Índice 1. INTRODUÇÃO OBJECTIVO Objectivo Geral Objectivo Especifico METODOLOGIA CONCEITOS BÁSICOS Série Temporal Modelo Auto-Regressivo - AR (p) Médias Móveis-MA (q) Modelo Autogressivo Medias Moveis - ARMA (q,p) Modelo Autoregressivo Integrado Media Moveis - ARIMA (p, q, d) APLICAÇÃO Teste de Duckey-Fuller Critério de Informação AKAIKE MÉTODO DE BOX-JENKINS Escolha do Melhor Modelo Fases na escolha do Melhor Modelo ANÁLISE DE RESULTADOS DESCRIÇÃO DE DADOS Estatísticas Descritivas Obtenção da tendência Teste para testar a Estacionáridade Critério de Escolha do melhor Modelo ARIMA Previsão com Modelo ARIMA CONCLUSÃO REFERÊNCIAS Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 2

3 1. INTRODUÇÃO Este presente trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Métodos de Previsão e tem como tema Previsão de vendas de produtos agrícolas com modelo ARIMA BOX E JENKINS uma aplicação com sofware Gretl. Previsão de séries temporais é um desafio da área de Estatística. Prever valores futuros, em função de valores passados, tem-se tornado um assunto de especial interesse na economia e na indústria, com aplicações em planeamento de produção e mercado de acções, entre outras áreas. A importância da análise e previsão de séries temporais na ciência, engenharia, e negócios tem crescido e continua como interesse actual de engenheiros e cientistas. De forma objectiva uma série temporal é um conjunto de observações discretas, realizadas em períodos equidistantes e que apresentam uma dependência serial entre essas observações. A venda dos produtos agrícolas têm tido um comportamento aleatório então o objectivo passa por encontrar um modelo que explique as vendas futuras. Então vamos aplicar a metodologia de séries temporais, dos modelos ARIMA, de Box e Jenkins, que será empregada no presente trabalho com o objectivo de se fazer a previsão da de vendas do mês de Janeiro de 2005 a Julho do mesmo ano. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 3

4 2. OBJECTIVO 2.1. Objectivo Geral O trabalho apresenta os seguintes objectivo gerais: Aplicar os conhecimentos adquiridos em sala de aulas em software gretl; Descobrir qual o comportamento apresentado pela serie, buscando-se o melhor modelo que represente o comportamento da serie; Ter melhor domínio do software gretl em termos de previsão; Prever o comportamento das vendas com base em valores passados; 2.2. Objectivo Especifico O objectivo específico deste trabalho é encontrar o melhor modelo que explique as vendas dos produtos agrícolas tendo em conta alguns critérios, será feita uma simulação em gretl de modo a obter um modelo que descreve melhor a vendas dos produtos agrícola e no final fazer uma previsão para saber como se vai comportamento as vendas nos próximos anos. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 4

5 3. METODOLOGIA Para a realização do trabalho foi usado uma série temporal dos produtos agrícola entre a com objectivo de estacionar a serie, e aplicar o modelo ARIMA na previsão. As vendas são mensais. A partir do software grelt realizará os procedimentos de modo a obter o melhor modelo e fazer a previsão. Existem diversos métodos para auxiliar na tarefa de previsão de séries temporais, como por exemplo: modelos de Suavização Exponencial, Modelos Autoregressivos (AR), de Médias Móveis (MA) e Modelos ARIMA. Neste trabalho será aplicado modelo ARIMA podem produzir previsões tão precisas quanto os métodos tradicionais, e ainda apresentam a vantagem de considerar a incerteza da projecção, através da construção de intervalos de confiança. Como restrição, os modelos ARIMA devem ser aplicados na projecção total. Os dados foram analisados com base em técnica descritiva e métodos de previsões. Foram utilizados os seguintes software para a análise de dados Excel E Gretl. Palavras-chaves: Métodos de Previsão, Modelo ARIMA de Box Jenkins Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 5

6 4. CONCEITOS BÁSICOS Para o melhor entendimento do Modelos ARIMA de Box e Jenkins, são necessários definir alguns conceitos, os quais serão citados a seguir Série Temporal Uma série temporal é definida como um conjunto de observações de uma dada variável, geralmente distribuídas de maneira equidistante pelo factor tempo, e que possuem como característica central a presença de uma dependência serial entre elas. A série é denotada por: Z t, onde t = {1, 2, 3, 4,..., n} A série temporal também pode ser vista como a realização parcial de um processo estocástico, que é definido como uma sequência de observações regidas por leis probabilísticas. Isto significa que uma série temporal pode ser considerada como uma amostra de um determinado processo estocástico. Uma condição necessária para aplicação dos modelos ARIMA, é de que o processo que gerou a série temporal seja estacionário de segunda ordem, ou seja, que sua média e variância sejam constantes no tempo. As funções nas quais se baseiam a variável aleatória Z t podem ser representadas pelas seguintes equações: a. Média ou valor espeado: é o valor médio em relação a todas a observações, isto é o valor centro. μ z = E[Z t ]. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 6

7 b. Variância: Mede o desvio das observações em relação ao valor médio, tudo ao quadrado. Têm a seguinte fórmula: σ 2 = E[Z t μ z ] 2. c. Autocovariância A autovariância mede a dependência entre duas observações separadas por k intervalo de tempo (lag k). γ k = Cov[Z t, Z t+k ] = E[Z t μ z ][Z t+k μ z ]. d. Autocorelação: A autocorrelação possui o objectivo de mensurar a memória possui o objectivo de mensurar a memória de um processo estocástico. Isto significa que a autocorrelação mede a intensidade com que um valor observado no tempo t é influenciado por aquele observado no tempo t - k. Cov[Z t, Z t+k ] ρ k = var(z t ) var(z t+k ) 4.2. Modelo Auto-Regressivo - AR (p) Um modelo Auto-Regressivo de ordem p, representado como AR(p), descreve o valor de uma observação de uma série temporal através da atribuição de pesos as p observações anteriores, da seguinte forma: Z t = 1 Z t Z t p Z t p + a t O nde Z t é o valor observado no tempo t, j representa o peso de cada observação e o a t ruido branco da observação t. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 7

8 4.3. Médias Móveis-MA (q) O processo de Médias Móveis é representado por MA (q), é semelhante ao processo AR(p), por em, ao invés de definir a observação actual através da atribuição de peso as observações anteriores, constrói-se a observação Z t através da atribuição de peso aos ruídos brancos das observações passadas. Z t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2... θ p a t p 4.4. Modelo Autogressivo Medias Moveis - ARMA (q,p) Uma forma de descrever melhor uma série temporal é através da junção do modelo auto-regressivo com o modelo de Médias Móveis, formando o modelo ARMA (p, q), que pode ser escrito da maneira a seguir: Z t = 1 Z t Z t p Z t p + a t θ 1 a t 1... θ p a t p 4.5. Modelo Autoregressivo Integrado Média Moveis - ARIMA (p, q, d) Quando uma série não é estacionária, a aplicação de um modelo ARMA (p,q) é prejudicada. Para isso, aplica-se a diferenciação na série, tendo-se assim um modelo auto-regressivo, integrado e de Médias Móveis, denominado ARIMA (p,d, q), representado a seguir. d Z t = 1 d Z t d Z t p d Z t p + a t θ 1 a t 1... θ p a t p estacionária. Sendo d o número de diferenças necessarias para tornar a série Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 8

9 5. APLICAÇÃO Os modelos AR (p), MA (q) e ARMA (p, q) podem ser aplicados somente em séries estacionárias, ou seja, séries temporais que não possuam tendência e que suas médias e variância sejam constantes. Contudo, séries temporais reais nem sempre seguem um padrão estacionário, e para contornar essa situação, toma-se a diferença da série. Z = Z t Z t 1 Na maioria dos casos, uma série temporal que sofreu uma diferença tem mais chances de ser estacionária do que a serie original. Portanto, sugere-se que tome a diferença de uma serie d vezes, ate que ela se torne estacionária Teste de Duckey-Fuller Existe uma varias métodos para avaliar se uma série temporal e estacionária ou não. Para o nosso trabalho vamos usar dois métodos de avaliação da estacionar idade, o modelo de avaliação de Dickey-Fuller e a correlação de Sperman. O Modelo de teste de Duckey Fuller consiste em um testar duas hipóteses: H 0 : A série é estacionária; H 1 : A série não é estacionária; Para o critério de análise temos a estatística Ƭ, em que a hipótese nula é rejeitada quando T calculado < T tabelado, e não rejeitada quando o T calculado > T tabelado. Para encontrar o valor de T calculado. Faz-se uma regressão das primeiras diferenças da série (delta Z t.) em relação a Z t 1. Então, divide-se o coeficiente estimado de Z t 1 pelo seu desvio padrão, e obtém-se o T calculado. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 9

10 Os valores tabelados de Ƭ para um nível de significância de 1% esta na Tabela 1 abaixo. Tabela 1: Estatística T calculado para diferentes tamanhos de amostra. Tamanho de amostra T calculado 25-3, , , , ,44 Infinito -3, Critério de Informação AKAIKE Uma das partes mais complexas da obtenção de um modelo ARIMA(p, d, q) é a defenição de quais valores devem ser atribuidos para p, d e q. O valor d pode ser encontrado através do numero de diferenças que torna a série estacionária. A utilização de um modelo para defenição dos melhores valores para p e q, que pode ser resumido da seguinte forma: AIC( k, l) = lnσ 2 k,l + 2( k + l ) N Sendo k e l os valores de p e q, respectivamente, do modelo ARMA (p, q) que 2 se deseja calcular o critério. σ k,l representa o estimador de máxima verossimilhança e N é o número de observações da serie. A ideia do modelo e escolher os valores de k e l que minimizam o valor de AIC, indicando que são os melhores valores para a defenição de um modelo ARMA (k, l). Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 10

11 6. MÉTODO DE BOX-JENKINS O método Box e Jenkins propõem que um processo estocástico estacionário, por possuir média, variância e autocorrelação invariante em relação ao tempo, pode ser optimamente representado por um modelo auto regressivo e/ou médias móveis ARMA (p, q) obtido por intermédio da passagem de uma série ruído branco por um filtro linear, o que significa que a série resultante poderá ser vista como uma combinação linear dos termos da série original. Todavia, se a série observada praticamente, como já foi dito anteriormente, não apresentar a condição da estacionariedade, nela deverá ser aplicado o operador diferença, o que efectuará uma segunda filtragem, que poderá ser repetida quantas vezes se julgarem necessárias, até sua estacionarização. A construção dos modelos de séries temporais univariados é fundamental na teoria de que existe uma grande quantidade de informação presente na serie de dados. Podendo ser capazes de fornecer estimativas sobre o comportamento futuro da variável em estudo. O modelo ARIMA parte de concepção que as series temporais envolvidos na análise é um processo estacionário. Um processo estacionário se oscila em trono de uma média e variância constante. Sendo que pode ser fortemente estacionário 1 ou fracamente estacionário. Isto é, cumpre esses 3 propriedades: Propriedade 1. E[Z t ] = μ t, t T. Propriedade 2. Var[Z t ] = σ 2 t, t T. Propriedade 3. γ(τ) = Cov(Z t, Z t+τ ) = Cov(Z 0, Z τ ). 1 Um processo é fortemente estacionário quando media e variâncias são invariantes no tempo. Mas em termo prático é quase impossível encontrar uma serie estacionaria em sentido forte. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 11

12 Limitando o espaço a momentos de primeira e segunda ordem, isto é, estacionaridade em sentido fraca 2 apresentado as seguintes propriedades: Propriedade 1. E[Z t ] = μ, constante t T. Propriedade 2. E[Z t ] <, t T. Propriedade 3. γ(τ) = Cov(Z t1, Z t2 ) é uma função apenas de t 1 t Escolha do Melhor Modelo Para se chegar a um modelo que se ajusta bem aos dados, são analisadas as seguintes estatísticas: a) Bayesian Information Criterion (BIC): essa estatística premia o melhor ajuste, que por sua vez é medido pelo quadrado dos erros, sendo escolhido o menor deles e penaliza aqueles que possuem um grande número de parâmetros. É utilizada para diferentes modelos, mas para os mesmos dados. b) Teste Durbin-Watson: Essa estatística é usada para testar a correlação entre os resíduos gerados por um dado modelo. Testa a autocorrelação no primeiro lag. Em sua interpretação, valores próximos de 2 não devem ser rejeitados. c) Teste Ljung-Box: esse método é usado para testar todas as autocorrelações dos erros do modelo, e não apenas o seu primeiro lag. Sua hipótese nula é que a soma dos quadrados das autocorrelações seja zero, isto é, que não existe essa autocorrelação. Quanto maior for o seu valor, maior será a autocorrelação. 2 Se um processo é estacionário em sentido forte implica a dizer que também é em sentido fraco, mas o contrário não é valido. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 12

13 6.2. Fases na escolha do Melhor Modelo. O objectivo de series temporais é descobrir qual o comportamento apresentado pela serie, buscando-se o melhor modelo que represente o comportamento da serie. Sendo que este pode ser explicada por um processo Auto-Regressivo AR (p), por um Médias Moveis - MA (p, d, q), por um Auto- Regressivo de Médias Móveis - ARMA (p, q), ou por um Auto-Regressivo Integrados de Médias Moveis - ARIMA (p, d, q). O problema acima pode ser resolvido segundo D. Gujarati 3 (2006) por seguintes métodos que passa por 4 fases: Fase 1. Identificação: Consiste na etapa da determinação dos critérios de definição do comportamento da serie. Procura-se saber se a serie segue um processo AR (p), MA (q), ARMA (p, q), ou ARIMA (p, d, q). Os p, d, q serão determinados usando os métodos de Função de Autocorrelação (FAC) e da Função de Autocorrelação Parcial (FACP). Fase 2. Estimação: Nessa fase o objectivo passa por estimar os modelos candidatos a ser seleccionados apos a identificação, procede-se a análise dos modelos e definir os modelos que poderão ser definidos como o modelo definitivo. O melhor modelo será escolhido baseado em critério de escolha. Existe dois critérios para escolha de modelos candidatos a estimação: AIC (Critério de Informação de Akaike); SBC (Critério Bayesiano de Schwartz); Critério de Erro Quadrático Médio (EQM); O melhor modelo é aquele que apresente o menor AIC e menor SBC entre os modelos candidatos. E também apresentar o menor Erro Quadrático Médio. 3 D. Gujarati Autor do livro Econometria básica, professor mérito de Econometria. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 13

14 Fase 3. Teste de Diagnóstico: Consiste em diagnosticar se o modelo descreve adequadamente a serie de dados objecto da análise. Nos modelos de series temporais assume-se a existência de um processo ergódico 4, que é um elemento fulcral na estimação. Quando a série possui esta propriedade pode dizer que os parâmetros são significativos. Portanto se a série for estacionário e ergódico então as séries convergem aos verdadeiros parâmetros populacionais. A análise dos resíduos de modelo torna-se decisiva na escolha do modelo final. Casos os resíduos sejam autocorrelacionados, a dinâmica da serie não pode ser explicada pelos coeficientes autocorrelação do modelo. Portando deve-se excluir do processo de escolha o modelo que apresente a autocorrelação residual. Fase 4. Previsão: A última etapa consiste em fazer a previsão, isto é, prever os valores futuros. A previsão pode usar de dois maneiros diferentes: Pode ser usada para prever valores futuros, aqueles que ainda não existem, chamada de previão ex-ante. Poder fazer a previsão dos valores já existente na serie estudadas, chamadas de previsão ex-post. Médio. É bom que a melhor previsão é aquela que minimize o Erro Quadrático 4 Processos ergódicos são aqueles para os quais as médias de conjunto são iguais às médias temporais de qualquer função amostra. Então para um processo ergódico X(t) Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 14

15 7. ANÁLISE DE RESULTADOS 7.1. Descrição de dados Para que seja possível prever os valores futuros com base em valores passados, é necessário que se disponha de uma memória histórica de dados ocorridos anteriormente. Todavia, o conjunto de dados, por si só, não permite a previsão dos valores futuros. A construção dos modelos de séries temporais univariados é fundamental na teoria de que existe uma grande quantidade de informação presente na serie de dados. Podendo ser capazes de fornecer estimativas sobre o comportamento futuro da variável em estudo. Figura 1: Vendas dos produtos agrícolas. As 28 primeiras observações de 180 observações. Os dados estão no arquivo agriculas.xls, contendo as informações sobre 180 valores de venda produtos agrícolas (em milhões de dólares). Foi usado uma série temporal de vendas mensal entre a Tratando-se de uma série mensal. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 15

16 7.2. Estatísticas Descritivas Figura 2: Estatística Descritiva da série em estudos. Fonte: Autores. As estatísticas descritivas nos dizem que maior valor de vendas foi de 104,99 milhões de escudos sendo o mínimo de 11,8 milhões. A média de vendas de 1990 a 2004 é de 43,753 milhões. O coeficiente de variação em relação a média é de 0,48 (aproximadamente 48,3%) A Figura 3 apresenta o comportamento da série em estudo. Figura 3: Comportamento da série vendas de produtos agrícolas. Fonte: Autores. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 16

17 A partir da Figura 3 podemos identificar padrões não aleatórios Há uma tendência crescente e decrescimento em vendas; Há uma sucessão regular de "picos e vales" de vendas de calçados o que se i deve ser causado pelas oscilações devido a diferentes estacoes do ano; Flutuações sazonais; Estes padrões poderiam ser incorporados a um modelo estatístico, possibilitando fazer previsões que auxiliarão na tomada de decisões: 7.3. Obtenção da tendência A tendência descreve o comportamento da variável retratada na série temporal no longo prazo. A obtenção da tendência pode ser feita de três formas: através de um modelo de regressão (como o modelo linear - recta), através de médias móveis, ou através de ajuste exponencial (que pode ser uma média móvel). Obtenção de tendência linear: Utiliza o método dos mínimos quadrados para obter os coeficientes da recta que melhor se ajusta aos dados. A equação que descreve o comportamento da serie é: Y = 42, , 0098X O intercepto é de 42,86, isto que dizer que caso X for 0, Y será de 42,86. O coeficiente de inclinação é muito baixo de 0,0098, isto é, um aumento de uma unidade em X em média Y aumentará 0,0098 unidades. Como 0,0098 é positivo a tendência é em aumentar. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 17

18 Obtenção da tendência por Médias Móveis Simples (MMS) Esta técnica consiste em calcular a média aritmética das r observações mais recentes onde: M t = M t 1 + Z t Z t r r Aplicando em gretl temos a figura abaixo onde r são os números de observações mais recentes. Neste dado o número de observação é dado pelo software gretl. Figura 4: Médias Móveis Simples (Com12 observações). Fonte: Autores. Da Figura 4 acima pode ver que a linha azul é a previsão com MMS baseando em 12 observações, portanto a previsão só começa a partir das 12 primeiras observações. A principal desvantagem desta técnica é que atribui o mesmo peso a todas as observações incluídas no r e pra um grande valor de r faz com que as previsões decorem lentamente as mudanças do parâmetro µ. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 18

19 Obtenção da tendência por Suavização Exponencial Simples (SES) Essa técnica surgiu para colmatar as fragilidades de MMS. Considerando o modelo: Z t = Z t + (1 )Z t (1 ) t Z 1 O modelo SES apresenta a ideia de que o valor da serie temporal, no ponto Z t pode ser expressa como uma média ponderada dos valores anteriores. Figura 5: Suavização Exponencial Simples com peso de 0,20 (20%) Fonte: Autores. Foi feita uma previsão dos valores já existente, sobre a primeira diferença das vendas de calçados, uma vez que só se aplica SES para série estacionária. O peso é de α=20%, onde os pesos dos valores descressem de forma exponencial a medida que afastamos par trás até no ponto t. Achamos essa técnica muito boa visto que as observações mais recentes têm maior influência na previsão do que os valores passados, no fundo esta técnica baseia-se na 1º lei de geografia 5 de W. Toller. 5 1º lei de geografia: Tudo está relacionado com tudo, mais as coisas mais próximas estão mais relacionadas Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 19

20 Análise de vendas por Anos Figura 6: Análise de Vendas por Anos Fonte: Autores. Da análise gráfica de vendas de 1990 a 2001 podemos ver que sempre há uma tendência para aumento de vendas no mês de Dezembro. Ao contrário há um decrescimento de vendas em mês de Janeiro, Fevereiro, Marco e Abril Teste para testar a Estacionáridade. Aplicação de Teste de Dickey-Fuller para avaliar a estacionáridade da Série. Figura 7: Teste de Dickey-Fuller incluindo 11 desfasamentos Fonte: Autores Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 20

21 A partir do teste de Dickey-Fuller formula-se a hipótese. Formulação de hipótese: H 0 : A Série é estacionária; H 1 : A Série é não estacionária; Como a estatística do teste tau é -1,52099 maior que t calculado = -3,51, rejeita-se a H 0, ou seja a serie não é estacionária. Aplicação de Teste de Normalidade através do gráfico QQ-Normal Figura 8:Grafico QQ-Normal Fonte: Autores. Através do gráfico QQ-Normal pode se ver que os dados não se adequam a normalidade (estacionaridade), visto que outliers em extremos esticam os valores de modo a não cumprirem normalidade Função de Autocorrelação e Função de Autocorrelação Parcial. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 21

22 Figura 9: Correlograma da Série em Estudo para 22 lags Fonte: Autores. Figura 10: Função de Autocorrelação da Série em Estudo (Para 22 lags) Fonte: Autores Da exame da Figura 9 e 10 pode se dizer que estes pontos que excedem o intervalo de confiança na função de autocorrelação nos darão a ordem p do processo AR, enquanto os valores excedentes no intervalo de confiança da função de autocorrelação parcial nos darão a ordem q do processo MA. Quanto à etapa da identificação procedeu-se a partir da análise das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial para determinar a ordem das séries. Ao Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 22

23 realizar o estudo das funções em nível, constatou-se que as séries não são estacionárias. Como a serie em estudo não é estacionária fizemos a primeira diferença para ver se a série com primeira diferença torna-se estacionaria: Figura 11: Série com a primeira diferença. Fonte: Autores Da observação da Figura 11 pode dizer-se que a série tornou-se estacionária, mas apresenta-se tendência no ano 1994 e Mesmo assim procedemos a aplicar o Teste de Dickey-Fuller e gráfico QQ- Normal para confirmar a estacionaridade com a primeira diferença. Figura 12: Teste de Dickey-Fuller para a primeira diferença. Fonte: Autores. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 23

24 A partir do resultado de Teste de Dickey-Fuller podemos verificar as hipóteses. Formulação de hipótese: H 0 : A Série é estacionária; H 1 : A Série é não estacionária; Como a estatística do teste tau é -8,68 menor que t calculado = -3,51, logo não temos condições para rejeita-se a H 0. A serie é estacionária. A estacionáriedade dos resíduos foi diagnosticada para confirmar a estacionáriedade das séries. Todas apresentaram resíduos ruído-branco. Estes resultados foram reforçados a partir da realização do teste da raiz unitária de Dickey-Fuller, que indicou que as séries eram estacionárias em primeira diferença. Testado a normalidade da primeira diferença das vendas. Figura 13: Teste de Normalidade Fonte: Autores. Pode se ver que o valor de p values para podos os testes (Teste de Doornik- Hansen, W de Shapiro-Wilk, Teste de Lilliefords e teste de Jarque-Bera) de normalidade é menor que α = 5% (nivel de significância. ) Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 24

25 Teste de Normalidade através do gráfico QQ-Normal. Figura 14: Gráfico QQ-Normal Fonte: Autores. Comparação da normalidade entre os dados de vendas de produtos agrícolas (Figura 8) e 1ª diferença das vendas produtos agrícolas (Figura 14). Figura 15: Comparação de vendas de calçados e 1ª diferença de vendas. Fonte: Autores. Analisando as duas Figuras pode se ver que a figura com primeira diferença (direita) de vendas é estacionária o que não se passa com a esquerda. Visto que quase todas as observações estão ajustados a recta estimada da QQ- Normal da figura a direita. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 25

26 7.5. Critério de Escolha do melhor Modelo ARIMA Para se prever uma série temporal através dos modelos ARIMA, torna-se necessário identificar a ordem dos parâmetros p, d, q. O primeiro parâmetro a ser identificado é o grau de diferenciação d necessário à estabilização dos dados. Isto é feito através de um exame do correlograma, ou seja, do diagrama da função de autocorrelação (FAC), no qual são apresentados os valores das autocorrelações em relação aos lags k. Se as autocorrelações decrescerem de forma exponencial, realizam-se diferenciações na série, até que o diagrama apresente um corte abrupto para um valor qualquer de autocorrelação, quando a série será considerada estacionária. A ordem autorregressiva p é determinada pela verificação da função de autocorrelação parcial (FACP) da série estudada. Se a série for unicamente autorregressiva ARIMA (p, d, 0), sua função de autocorrelação parcial sofrerá uma queda repentina após o lag k. Se não, efectua-se uma análise dos estimadores para verificar até que ordem de defazagem do correlograma desta função ele é estatisticamente significante. Essa será sua ordem auto-regressiva. A partir dos modelos sugeridos pela ordem de integração propostos pelo correlograma, procedeu-se a escolha dos modelos candidatos à previsão. Neste ponto os modelos seleccionados seriam aqueles que apresentassem menor AIC e SBC. ATabelas 2, a seguir. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 26

27 Tabela 2: Escolha de modelo a Previsão ARIMA (p, d, q) AIC SBC (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) (2,1,1) (3,1,2) (1,1,3) (1,1,4) (4,1,2) (3,1,1) (2,1,4) (4,1,2) Fonte: Autores. Tendo em conta o processo AIC e SBC foi escolhido do modelo ARIMA (1,1,3) visto que apresenta menor AIC e SBC, de , respectivamente. Logo o modelo ARIMA (1,13) é o melhor modelo e será usada para fazer previsão. Podemos ver também que o modelo ARIMA (4, 1, 2) apresenta AIC de 1349,648 sendo que ultrapassa o modelo ARIMA (1, 1, 3) por 0,2 centésimas. Então não diferenças significativas entre modelo ARIMA (4, 1, 2) e ARIMA (1, 1, 3). Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 27

28 Utilizando critério de Erro Quadrático Médio (EQM) Tabela 3: Critério de Erro Quadrático Médio. Fonte: Autores. ARIMA (p, d, q) EQM (1,0,0) 190,86 (1,1,0) 324,01 (1,1,1) 195,44 (2,1,1) 194,32 (3,1,2) 185,67 (1,1,3) 183,31 (1,1,4) 185,64 (4,1,2) 178,97 (3,1,1) 192,63 (2,1,4) 179,42 (4,1,2) 178,97 Pelo critério de EQM escolheríamos o modelo ARIMA (4,1,2) porque apresenta menor EQM. Então como pelo critério de EQM o melhor modelo é ARIMA (4,1,2), pelo SBC é ARIMA (1, 1, 3) e pelo AIC não há muitas diferenças entre os dois modelos. Sendo que pelos os três processo de escolha não muito diferenças entre os dois modelos como mostra a Tabela 4 abaixo. Tabela 4: Comparação entre modelo ARIMA (4,1,2) e ARIMA (1, 1, 3). ARIMA (p, d, q) AIC SBC EQM (1,1,3) (4,1,2) Fonte: Autores Pode se ver que não há muitas diferenças, logo vamos ver quais dos dois modelos tem coeficientes estatisticamente significativa. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 28

29 O modelo ARIMA (1,1,3) apresenta as seguintes estatísticas: Figura 16: Estatística do modelo ARIMA (1,1,3) Fonte: Autores. Z t = 0.867Z t a t 1 a t 2 + 0,3069a t 3 Todos os coeficientes são estatisticamente significativa para nível de significância (α) 1%, 5% e 10%. Visto que o valor da estatística p values é menor do que 0,01, 0,05, e 0,1. O modelo ARIMA (4,1,2) apresenta as seguintes estatísticas: Figura 17: Estatística do modelo ARIMA (4,1,2). Fonte: Autores. Z t = 1,15Z t Z t Z t Z t 4 0, a t 1 a t 2 Temos 2 coeficiente não estatisticamente significativa. Logo optamos pelo modelo ARIMA (1,1,3) que tem todos os coeficientes significativas que apresenta menor AIC, SBC e embora não tenha menor EQM. Logo o modelo escolhido ARIMA (1,1,3) é: Z t = 0.867Z t a t 1 a t 2 + 0,3069a t 3 Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 29

30 7.6. Previsão com Modelo ARIMA Para a previsão do modelo optou pelo ARIMA (1,1,3) que consideramos melhor modelo baseando em alguns critérios. Tendo escolhido o melhor modelo agora é fazer a previsão com o modelo para os 7 próximos meses: Intervalo de confiança (95% de confiança) para os coeficientes. Figura 18: IC para do modelo ARIMA (1, 1, 3) Fonte: Autores. A Figura 18 apresenta o intervalo de confiança para os coeficientes estimados com 95% de confiança. Figura 19: Diferença de vendas previstas para Janeiro a Julho de 2005 Fonte: Autores Na primeira coluna temos os meses de 2005 que foram feitas previsões, na segunda coluna as previsões e na terceira coluna os seus respectivos erros padrões. Há uma tendência para as vendas aumentar nos no mês de Fevereiro a Julho o que coincide com o tempo de prática de agricultura. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 30

31 Figura 20: Estatística do modelo ARIMA (1,1,3) Fonte: Autores. A Figura 20 apresenta a previsão da série vendas de produto agrícolas na amostra e fora da amostra (do mês de Janeiro Junho), mostram-se que há uma tendência para aumentar nos respectivos meses e com tendência a estabilizar em mês de Junho Julho. A cor verde representa o intervalo de Confiança com 95% de confiança de os valores previstos estão nesse intervalo. Isto que dizer que dos 100 vezes 95 vezes o valor previsto esta nesse intervalo. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 31

32 8. CONCLUSÃO Conclusão do Trabalho: Tendo chegado a fim de este trabalho conclui-se que o objectivo da análise de séries temporais é identificar padrões não aleatórios na série temporal de uma variável de interesse, e a observação deste comportamento passado pode permitir fazer previsões sobre o futuro, orientando a tomada de decisões. Em ralação as vendas de produtos agrícolas de 1990 a 2001 pode-se ver que sempre há uma tendência para aumento de vendas no mês de Dezembro. Ao contrário há um decrescimento de vendas em mês de Janeiro, Fevereiro, Marco e Abril. Os critérios de EQM, AIC e SBC deram-nos o melhor modelo ARIMA para a previsão sendo que pelo critério de EQM escolheríamos o modelo ARIMA (4,1,2) porque apresenta menor EQM. Embora o critério de AIC e SBC indica o modelo ARIMA (1, 1, 3). A partir de análise dos coeficientes ficou claro que o melhor modelo é ARIMA (1, 1, 3) visto que apresenta todos os coeficientes estatisticamente significativa, o que não acontece com ARIMA (4,1,2) Quando a previsão da série vendas de produto agrícolas na amostra e fora da amostra (do mês de Janeiro Junho), mostram-se que há uma tendência para aumentar nos respectivos meses e com tendência a estabilizar em mês de Junho Julho. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 32

33 Conclusão Com a realização do Trabalho: Um dos principais objectivos do trabalho do grupo é que haja sinergia. Em colectivo, afinámos a trabalhar em grupo, através das diferenças de ideias descobrindo como direccionar e delegar tarefas específicas para certos tipos de habilidades que cada um possuía, tornando assim o método de elaboração do trabalho, o mais eficiente possível. Também nos permitiu evoluir tanto individualmente quanto colectivamente. Aperfeiçoamos nossas qualidades, permitindo assim, uma experiência prática no campo Métodos de Previsão. Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 33

34 9. REFERÊNCIAS [1] BEZERRA, Manoel Ivanildo Silvestre Bezerra, Apostila de Análise de Séries Temporais. Disciplina Semestral [2] BOX, G. E., JENKINS, G. M., Time series analysis forecasting and control. São Francisco, Califórnia: Holden-Day, [3] GUJARATI, Damodor in Econometria Básica º Edição. [4] MORETTIN, P.A. & TOLOI, C.M. Análise de Séries Temporais. Editora Edgard Blücher, São Paulo, [5] MURTEIRA, Bento J. F. Análise Exploratória, Estatística Descritiva. Copyright da Editora McGraw - Hill de Portugal, Lda, ISBN: [6] REIS, Elisabeth Estatística Descritiva. Edições SÍLABO, LDA,1996. ISBN: Estatística é arte de torturar os números ate que eles confessem a verdade Desconhecido. 34