Proposta de ajuste de modelos não lineares na descrição de germinação de sementes de café

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1 Proposta de ajuste de modelos não lineares na descrição de germinação de sementes de café Iábita Fabiana Sousa 1 Joel Augusto Muniz 1 Renato Mendes Guimarães 2 Taciana Villela Savian 3 1 Introdução Um mercado ainda em franca expansão, o café representou mais de 30% da produção mundial previstas para as safras 2010/2011. Originário do Oriente, o arábica (coffea arabica) produz cafés de melhor qualidade, mais finos e requintados, tem grãos de cor esverdeada e é cultivado em regiões com altitude média de 600m, sendo usualmente propagado por meio de sementes. A sua produção representa 73,9% (32,18 milhões de sacas) da produção do País, e tem como maior produtor o estado de Minas Gerais de acordo com a Companhia Nacional de Abastecimento (CONAB, 2011). A germinação é uma sequência de eventos fisiológicos influenciada por fatores externos ou internos às sementes onde cada fator pode atuar por si ou em interação com os demais. Em geral, a germinação acumulada de sementes, constitui-se em uma curva de formato sigmoidal que pode ser avaliada por meio de modelos não lineares. A regressão não linear é uma forma de análise em que os dados são modelados por uma função que é uma combinação não linear de parâmetros do modelo e depende de uma ou mais variáveis independentes. A estimação dos parâmetros pode ser feita utilizando-se os métodos de mínimos quadrados ou método da máxima verossimilhança. O método de estimação mais usual é o dos Mínimos Quadrados Ordinários, entretanto, a possibilidade de dependência entre os dados e não homogeneidade das variâncias deve ser levado em conta na estimação dos parâmetros do modelo, pois podem alterar significamente os resultados. Para lidar eficientemente com as violações das hipóteses do Mínimos Quadrados Ordinários, é necessária a estimação por meio da técnica de Mínimos Quadrados Ponderados ou Mínimos Quadrados Generalizados. O presente trabalho teve como objetivo avaliar a qualidade do ajuste dos modelos Logístico e Gompertz, com estrutura de erros independentes e autoregressivos, com autocorrelação de primeira ordem, aos dados de germinação de sementes de café coffea arábica da linhagem Catuaí vermelho IAC 99 em diferentes qualidades por meio da metodologia de modelos não lineares, apresentando uma melhor estrutura para a descrição do processo germinativo. 1 DEX - UFLA. iabita.fabiana@gmail.com 2 DAG - UFLA. 3 LCE - ESALQ/USP. 1

2 2 Material e métodos Os dados utilizados neste trabalho provém de um experimento realizado nos meses de setembro e outubro de 2011 no laboratório de análise de sementes (LAS) do departamento de agricultura da Universidade Federal de Lavras (UFLA), Lavras - MG. Foram utilizados 3 lotes, com respectivos índices de germinação 73%, 88% e 97% de sementes de café coffea arábica L. da cultivar Catuaí Vermelho IAC 99, associando as porcentagens acima citadas as qualidades I, II, III, respectivamente. Cada tratamento constou de quatro repetições com 100 sementes, seguindo as normas das regras para análise de sementes (RAS, 2009). As germinações foram monitoradas diariamente durante 30 dias, onde a porcentagem máxima de germinação acumulada foi alcançada em torno do 21 o dia após o início do experimento, utilizando-se a protusão radicular como critério de germinação. Os resultados da germinação diária foram estudados por meio dos modelos não-lineares Logístico, Logístico com estrutura - AR(1), Gompertz e Gompertz com estrutura - AR(1), estimando-se os parâmetros α, β e γ para obtenção das curvas de porcentagem de germinação. Os modelos ajustados estão de acordo com a parametrização apresentada por Seber e Wild (1989). Descritos pelas seguintes expressões: W i = W i = α 1 + exp[ γ(t i β)] + u i (1) α 1 + exp[ γ(t i β)] + φu i 1 + ξ i (2) W i = αexp[ exp(γ(t i β))] + u i (3) W i = αexp[ exp(γ(t i β))] + φu i 1 + ξ i (4) Em que: W i - expressa a porcentagem de germinação acumulada no tempo t; α - corresponde ao valor assintótico, ou seja, valor de estabilização da porcentagem de germinação em relação ao tempo; β - corresponde ao tempo onde W alcança metade do seu valor máximo no modelo Logístico e no modelo Gompertz W alcança proporção 1/e do seu valor máximo; γ - está vinculado à taxa de crescimento, que representa a velocidade de germinação para atingir o valor assintótico; exp - refere-se à base do logaritmo neperiano; t i - refere-se ao valor da variável independente, ou seja, tempo necessário para germinação de sementes, dado em dias, i = 1,2,3...30; u i - corresponde ao resíduo no tempo t; u i 1 - corresponde ao resíduo no tempo t-1; φ - corresponde ao parâmetro autoregressivo de ordem 1; ξ i - é o ruido branco. No ajuste dos modelos, utilizou-se a a função gnls (Adequação do modelo linear utilizando Mínimos Quadrados Generalizados ) do pacote nlme do programa R versão ( ). A seleção do melhor modelo considerou a precisão dos ajustes baseados no desvio padrão residual (DPR), no máximo da função de verossimilhança (MFV) através do teste da razão da 2

3 máxima verossimilhança (TRV), critério de informação de Akaike (AIC) e critério Bayesiano de Schwarz (BIC). Tanto DPR o AIC e o BIC são usados para comparar modelos não aninhados e o melhor modelo, considerando o ajuste, será aquele que apresentar menor valor. maiores detalhes podem ser encontrados em Bozdogan(1987). O TRV, trata-se de um teste de comparação dois a dois de modelos aninhados dado pela diferença entre os valores máximos da função de verossimilhança dos modelos expresso por: L = 2log L 1 L 2 = 2[log(L 2 ) log(l 1 )] sendo L 2 o máximo do logaritmo natural da função de verossimilhança para o modelo mais parametrizado e L 1 para modelo mais simples. Esse valor é testado pela estatística χ 2 (δ,υ) com δ graus de liberdade (gl) onde υ é a diferença entre o número de parâmetros do modelo mais parametrizado e o modelo mais simples. Se o valor de TRV for significativo ao nível α de probabilidade, o modelo com maior valor de mv (máxima verossimilhança) apresenta maior precisão. 3 Resultados e discussões O teste Shapiro-Wilk aplicado aos resíduos para cada um dos dois modelos de regressão ajustados foi não significativo (valor-p> 0, 10) não fornecendo evidências para a rejeição da hipótese nula de normalidade. Os resultados obtidos para as estimativas dos parâmetros dos modelos e os resultados dos avaliadores da qualidade de ajuste estão apresentados na Tabelas 1 e 2 respectivamente. De acordo com os resultados apresentados na Tabela 1, os modelos encontraram valores para o parâmetro β condizentes com o que foi exposto por Eira et al., (2006) em estudo sobre a fisiologia e germinação da semente de café. Tabela 1.Estimativas dos parâmetros dos modelos Logístico e Gompertz aos valores de porcentagem de germinação de sementes de café para as qualidades I, II e III Qualidades Modelos α β γ φ Logístico 92,82 10,22 1,27 - I Logistico AR(1) 92,87 10,23 1,25-0,52 Gompertz 93,28 9,69 0,84 - Gompertz AR(1) 93,23 9,69 0,85-0,74 Logístico 92,46 10,16 0,99 - II Logistico AR(1) 92,37 10,12 1,00 0,23 Gompertz 93,06 9,49 0,66 - Gompertz AR(1) 93,08 9,49 0,66-0,51 Logístico 96,92 9,06 1,48 - III Logistico AR(1) 96,42 8,89 1,57 0,70 Gompertz 97,23 8,62 1,02 - Gompertz AR(1) 97,26 8,61 1,01-0,39 Sendo assim, os resultados (Tabela 2) indicam o modelo Gompertz com estrutura de erros AR(1), como o que melhor se ajusta aos dados, embora o modelo Logístico apresente estimativas que descrevem bem os dados avaliados, como pode ser visualizado nas Figuras 1, 2, e 3. 3

4 Tabela 2. Estimativas dos avaliadores de qualidade de ajuste para os modelos ajustados na descrição de germinação de sementes para as três qualidades avaliadas Qualidades Modelos TRV DPR AIC BIC Logístico - 2, , ,0297 I Logistico AR(1) 9,8417*** 2, , ,5891 Gompertz - 2, , ,2903 Gompertz AR(1) 25,8619*** 2, , ,8296 Logístico - 2, , ,9071 II Logistico AR(1) 1,5556 NS 2, , ,7527 Gompertz - 1, , ,4143 Gompertz AR(1) 9,3801*** 1, , ,4355 Logístico - 1, , ,5692 III Logistico AR(1) 0,7266 NS 2, , ,9563 Gompertz - 0, , ,1071 Gompertz AR(1) 3,9992** 0, , ,5090 Figura 1: Valores médios da porcentagem de germinação acumulada, da curva de ajuste dos modelos Logístico e Gompertz com estruturas de erros AR (1) para a qualidade I. Figura 2: Valores médios da porcentagem de germinação acumulada, da curva de ajuste dos modelos Logístico com estrutura de erros independentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para a qualidade II. Os resultados apresentados nas Tabelas 1 e 2 e Figuras 1, 2 e 3 evidenciam a utilização dos modelos Logístico e Gompertz na descrição da germinação de sementes de café, fornecendo informações sobre o processo germinativo ao longo do tempo. 4

5 Figura 3: Valores médios da porcentagem de germinação acumulada, da curva de ajuste dos modelos Logístico com estrutura de erros independentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para a qualidade V. 4 Conclusões A descrição de germinação de sementes de café ao longo do tempo foi descrita adequadamente por modelos de regressão não linear. O modelo de Gompertz com estrutura de erros autoregressivos de primeira ordem foi o que proporcionou melhor qualidade de ajuste em todas as qualidades analisadas. Referências [1] BOZSDOGAN, H. Model selection and Akaike s information criterion (AIC): The general theory and its analytical extensions. Psychometrika. v. 52, p [2] CONAB. COMPANHIA NACIONAL DE ABASTECIMENTO. Acompanhamento da Safra Brasileira Café, Safra 2011 segunda estimativa, maio/2011.brasília: Conab, Disponível em: boletim ccafe portugues - maio o lev. Acesso em: 1 de setembro [3] EIRA, M.T. S.;SILVA, E. A. A. da.; CASTRO, R. D.; DUSSERT, S.; WALTERS, C.; BEWLEY, J. D.; HILHORST, H. W. M. Coffee seed physiology. Brazilian Journal of Plant Physiology. v. 18, n. 1, p , [4] R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: a language and environment for statistical computing. Vienna: R Foundation for Statistical Computing,versão Disponível em: Acesso em: 5 jan [5] RAS. Regras para análise de sementes. Ministério da Agricultura Pecuária e Abastecimento. Secretaria de Defesa Agropecuária. Brasília: MAPA, p [6] SEBER, G.A.F.; WILD, C.J. Nonlinear regression. New York: John Wiley, p. 5