Relatório do Experimento 1 Sistema Massa - Mola. Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa

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1 FEP Física I Relatório do Experimento 1 Sistema Massa - Mola Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa 4 de novembro de 2005

2 Sumário 1 Introdução 2 2 Objetivos 2 3 Procedimento experimental Método estático Método dinâmico Resultados Método estático Método dinâmico Discussão e conclusão 8 1

3 1 Introdução Esse relatório descreve o experimento Sistema Massa - Mola, realizado no dia 7 de outubro de 2005, na turma A de laboratório de física da disciplina FEP Física I, ministrada para o Instituto Oceanográfico. Aplicam-se conceitos básicos de física experimental, como teoria de erros e medidas, assim como alguns conceitos de mecânica, centrando-se no estudo de um sistema constituído por uma mola e uma massa fixada. 2 Objetivos Este experimento tem como objetivo a determinação da constante elástica, de uma mola, por meio de análise gráfica. Esta determinação será efetuada de duas maneiras distintas: estática e dinamicamente. 3 Procedimento experimental 3.1 Método estático Nessa etapa do experimento, utilizamos corpos de diferentes massas, para medir, com uma escala vertical milimetrada, a distensão de uma mola de constante elástica. O sistema em estudo pode ser observado na Figura 1. Figura 1: Sistema massa-mola vertical. O corpo de massa m é colocado no apoio ao final da mola, onde é exercida a ação da força peso e a força restauradora da mola, em sentido oposto. Foram colocados 5 objetos de massas diferentes na base da mola, e medido o deslocamento x para cada objeto. O peso de cada objeto foi medido em uma balança digital com precisão de 0, 0001g. O deslocamento x foi medido através de uma régua graduada de acrílico, de 30cm, com incerteza de 0, 0005m. Os dados obtidos estão disponíveis na Tabela Método dinâmico Nessa etapa do experimento utilizamos os Objetos 1, 2, 3, 4 e 5, no mesmo esquema experimental da Figura 1, mas nesse caso colocamos o sistema para 2

4 medida Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4 Objeto 5 m ± 0,0001 (g) 0,0615 0,1112 0,0184 0,0199 0,0202 x ± 0,0005 (m) 0,1040 0,1870 0,0300 0,0345 0,0335 F ± 0,0001 (N) 0,6015 1,0875 0,1799 0,1946 0,1976 Tabela 1: Medidas da massa, força e deslocamento vertical da mola oscilar. Utilizando um cronômetro, com precisão de 1 milisegundo, efetuamos a medida do tempo ocorrido após dez oscilações, determinando assim o período de oscilação da mola. Foram utilizadas 10 oscilações ao invés de somente 1, para obter uma medida mais confiável do período da mola, pois em experimentos em que se usa cronômetro há sempre um certo atraso do medidor em acioná-lo no começo e fim do evento de interesse a ser medido. Com 10 oscilações se dilui esse efeito na primeira e última oscilação. Os dados desse experimento estão disponíveis na Tabela 2. medida Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4 Objeto 5 m ± 0,0001 (g) 0,0615 0,1112 0,0184 0,0199 0,0202 t 1 0 ± 0,01 (s) 6,93 9,04 4,59 4,75 4,28 T ± 0,001 (s) 0,693 0,904 0,459 0,475 0,428 Tabela 2: Medidas da massa m, tempo t 1 0 de dez oscilações e período T 4 Resultados 4.1 Método estático Uma maneira de analisar os dados da Tabela 1 é através do diagrama de dispersão de F por x, com o qual temos uma visualização mais direta do comportamento do sistema. No eixo das abscissas colocamos os valores das distensões da mola (deslocamento vertical), no eixo das ordenadas colocamos as correspondentes forças que proporcionam esta variação em x. O gráfico resultante das medidas da Tabela 1 se encontra na Figura 2. Podemos observar uma relação linear bem forte entre as duas quantidades. Sabemos pela Lei de Hooe [2] que: e portanto: F = x = F x Podemos portanto obter o valor da constante elástica da mola através do coeficiente angular da reta de regressão linear de mínimos quadrados passando pela origem. Fazendo esse ajuste no R [3], obtemos: > mod.reg <- lm(forcas ~ -1 + deltax) > summary(mod.reg) 3

5 Força correspondente (N) Deslocamento vertical da mola x (m) Figura 2: Sistema massa-mola vertical. Gráfico de diagrama de dispersão dos valores de distensão da mola ( x) pelas forças F. Call: lm(formula = forcas ~ -1 + deltax) Residuals: Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) deltax e-10 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 4 degrees of freedom Multiple R-Squared: 1, Adjusted R-squared: 1 F-statistic: 7.98e+04 on 1 and 4 DF, p-value: 9.42e-10 Onde obtemos que = 5, 81 ± 0, 02N/m. A reta ajustada se encontra na Figura 3, onde podemos observar que o ajuste se adequou muito bem aos dados. 4

6 Força correspondente (N) Deslocamento vertical da mola x (m) Figura 3: Sistema massa-mola vertical. Gráfico de diagrama de dispersão dos valores de distensão da mola ( x) pelas forças F, com a reta ajustada utilizando a relação F = x, com = 5, 81 estimado pelo ajuste de mínimos quadrados. 4.2 Método dinâmico Analisamos os dados da Tabela 2 através de um gráfico di-log de T por m. No eixo das abscissas colocamos os valores das diferentes massas, e no eixo das ordenadas colocamos os correspondentes valores do período de oscilação. O gráfico referente aos dados da Tabela 2 se encontra na Figura 4. Temos [1] que o período T se relaciona à constante elástica da mola, através da equação: m T = 2π. Aplicando o logaritmo nos dois lados da equação acima, obtemos: log T = ( ) m log 2π = log 2π + log m = log 2π + log m 2 5

7 Perído de osciliação T (s) Massa do objeto m (g) Figura 4: Comportamento do período de acordo com a massa do sistema oscilante, T m. Obtemos assim, que em escala di-log, a relação entre o período e a massa é linear em. Basta então ajustarmos uma reta ao gráfico 4, fixado o coeficiente angular em log m 2 e obtermos o intercepto. Dado esse ajuste: log T = β 0 + log m, (1) 2 notamos ainda que igualando β 0 a log 2π, temos um estimador da constante elástica da mola : Fazendo esse ajuste no R, obtemos: β 0 = log 2π ( ) 2 2π = (2) e β0 > mod.dinam <- lm(log(t) ~ offset(log(massas)/2)) > mod.dinam Call: lm(formula = log(t) ~ offset(log(massas)/2)) Coefficients: (Intercept)

8 assim ˆβ 0 = 1, Usando a equação 2, temos = Uma forma alternativa de obter, é realizar o ajuste baseado diretamente na relação da equação 1. Para isso basta usarmos um procedimento de ajuste de mínimos quadrados não lineares. Fazemos isso no R com os comandos abaixo, utilizando como valor de partida a estimativa de obtida pelo método acima: > mod.nlin <- nls(t ~ 2 * pi * sqrt(massas/), + start = list( = 4.27)) > mod.nlin Nonlinear regression model model: T ~ 2 * pi * sqrt(massas/) data: parent.frame() residual sum-of-squares: Onde vemos que obtemos a estimativa para um pouco maior de 4, 79. Na Figura 5 temos as retas no gráfico di-log para os dois ajustes diferentes. Os dois ajustes se aproximam razoavelmente dos valores observados, mas nenhum dos dois fica tão bom quanto o ajuste obtido no gráfico do experimento estático. Perído de osciliação T (s) método linear, = 4.27 método não linear, = Massa do objeto m (g) Figura 5: Comportamento do período de acordo com a massa do sistema oscilante, T m, com os dois ajustes de. 7

9 5 Discussão e conclusão Através desse experimento foi possível obter o valor da constante elástica da mola por meio de dois experimentos diferentes. Duas abordagens de análise no método estático, permitiram ainda obter duas estimativas diferentes para o valor de. Na Tabela 3 temos um resumo das estimativas obtidas. método estimativa estático 5, 81 ± 0, 02 dinâmico: linear 4, 27 ± 0, 02 dinâmico: não-linear 4, 79 ± 0, 01 Tabela 3: Estimativas obtidas para a constante elástica da mola, nesse experimento Consideramos que o melhor valor a ser adotado é o obtido no experimento estático, ou seja = 5, 81. Por razões analíticas, consideramos esse valor melhor pois como pudemos observar na Figura 3 a reta ajustada ficou muito mais próxima dos dados nesse caso. Outra razão para escolhermos essa estimativa é por motivos experimentais. No experimento estático as condições estavam melhor controladas, e haviam menos variáveis influenciadas pelos experimentadores. Bastava colocar uma dada massa no suporte da mola e medir o deslocamento x com a reta. No caso do experimento dinâmico era mais complicado conseguir obter medições confiáveis, principalmente no caso das massas menores, pois muitas vezes o sistema entrava em movimento de pêndulo, e tínhamos que começar a medição novamente para aquele objeto. Além disso, as medições ficavam sujeitas aos reflexos do operador do cronômetro, apesar desse efeito ser atenuado pelo uso de 10 oscilações para se obter a estimativa da medição do período. Referências [1] Máximo, A. e Alvarenga, B Curso de Física 1. São Paulo: Scipione. [2] Halliday, D., Resnic, R. e Waler, J Fundamentos de Física: Mecânica 1. Rio de Janeiro: LTC. [3] R Development Core Team, R: A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, (2004). Sobre A versão eletrônica desse arquivo pode ser obtida em net Copyright (c) Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa. É dada permiss~ao para copiar, distribuir e/ou modificar este documento sob os termos da Licença de Documentaç~ao Livre GNU (GFDL), vers~ao 1.2, publicada pela Free Software Foundation; Uma cópia da licença em está inclusa na seç~ao intitulada "Sobre / Licença de Uso". 8