b) Teste a hipótese de efeito significante do tamanho da população sobre a venda do produto, na presença de renda per capita

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1 Exemplo 1 (continuação a Estime por intervalo de 95% de confiança, o aumento do número médio de lotes vendidos devido a 1000 pessoas a mais na população, mantendo a renda per capita fixa b Teste a hipótese de efeito significante do tamanho da população sobre a venda do produto, na presença de renda per capita c Refazer (a e (b para β 2

2 MRLM do Exemplo 1 y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ε i ε i ~ N(0, σ 2 Cov(ε i, ε j = 0 ; i, j = 1, 2,, n ; i j Resultados já encontrados: ^β =(3,453 0,496 0,009 ^σ 2 =122,669 (sem erros de arredondamento ^σ 2 =4,740

3 Teste de significância de β * Tabela da ANOVA Fonte GL SQ QM F p-valor Regressão (M 0 p - q SQReg(M 0 (M 1 - M 0 q SQExtra SQExtra/q Regressão (M 1 p SQReg(M 1 QMExtra QMRes(M 1 quantil da q F [n-(p+1] Resíduos (M 1 n - (p+1 SQRes(M 1 SQRes(M 1 [n-(p+1]

4 Apresentação alternativa dos cálculos parciais do Teste de significância de β * Tabela da ANOVA para M 1 Fonte GL SQ Regressão (M 1 Resíduo (M 1 n-(p+1 SQRes(M 1 p Total n-1 Teste de significância de β * na presença das demais covariáveis SQExtra = SQRes(M 0 SQRes(M 1 F= SQExtra /q SQRes(M 1 /[n ( p+1] Tabela da ANOVA para M 0 Fonte GL SQ Regressão (M 0 p-q F ~ q F [n-(p+1], sob H 0 Resíduo (M 0 n-(p+1-q SQRes(M 0 Total n-1

5 Exemplo 1 (cont. Usando o R, verifique pelo método da soma de quadrados extra a significância: a de β 1 na presença de X 2 b de β 2 na presença de X 1 c conjunta de β 1 e β 2 d da interação entre X 1 e X 2, no modelo hierárquico ###dados - Exemplo 1 x1 <- c(274, 180, 375, 205, 86, 265, 98, 330, 195, 53, 430, 372, 236, 157, 370 x2 <- c(2450, 3254, 3802, 2838, 2347, 3782, 3008, 2450, 2137, 2560, 4020, 4427, 2660, 2088, 2605 y <- c(162, 120, 223, 131, 67, 169, 81, 192, 116, 55, 252, 232, 144, 103, 212

6 a de β 1 na presença de X 2 #ajuste do modelo sem interação ajuste <- lm(y~x1+x2 #ajuste do modelo restrito ajuste0 <- lm(y~x2 #Metodo da soma de quadrados extra anova(ajuste0,ajuste Model 1: y ~ x2 Model 2: y ~ x1 + x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 b de β 2 na presença de X 1 #ajuste do modelo sem interação ajuste <- lm(y~x1+x2 #ajuste do modelo restrito ajuste0 <- lm(y~x1 #Metodo da soma de quadrados extra anova(ajuste0,ajuste Model 1: y ~ x1 Model 2: y ~ x1 + x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

8 c de (β 1, β 2 #ajuste do modelo sem interação ajuste <- lm(y~x1+x2 #ajuste do modelo nulo ajuste0 <- lm(y~1 #Metodo da soma de quadrados extra anova(ajuste0,ajuste Model 1: y ~ 1 Model 2: y ~ x1 + x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

9 d da interação #ajuste do modelo com interação ajuste <- lm(y~x1+x2+x1:x2 #ajuste do modelo sem interação ajuste0 <- lm(y~x1+x2 #Metodo da soma de quadrados extra anova(ajuste0,ajuste Model 1: y ~ x1 + x2 Model 2: y ~ x1 + x2 + x1 * x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F

10 * análise da saída do R para o comando anova com um único MRLM #ajuste do modelo com interação ajuste <- lm(y~x1+x2+x1:x2 anova(ajuste Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F x < 2.2e-16 *** x e-06 *** x1:x Residuals NOTE QUE a saída da função anova com um único MRLM apresenta uma sequencia de SQExtra para modelos escalonados: Linha 1: SQExtra para testar H 0 : β 1 = 0 (a inclusão de X 1 no modelo nulo é significativa Linha 2: SQExtra para testar H 0 : β 2 = 0 na presença de X 1 (a inclusão de X 2 no modelo com X 1 é significativa Linha 3: SQExtra para testar H 0 : β 3 = 0 na presença de X 1 e X 2 (a inclusão da interação entre X 1 e X 2 no modelo hierárquico não é significativa

11 * comparando as saídas do comando anova e summary ajuste <- lm(y~x1+x2+x1:x2 anova(ajuste Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F x < 2.2e-16 *** x e-06 *** x1:x Residuals summary(ajuste Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr( t (Intercept 4.901e e x e e e-09 *** x e e * x1:x e e