Regressão Linear e Multilinear

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1 Regressão Lear e Multlear Deleameto Expermetal Mestrado em Sstemas de Produção em Agrcultura Medterrâca

2 Modelo de Regressão Lear Smples X Varável Idepedete Y Varável Depedete y =β +β x +ε β ordeada a orgem β coefcete de regressão ε erro ou resíduo aleatóro A partr de pares de observações (x, y ) podemos estmar β e β através do método dos mímos quadrados. mmzação da soma dos quadrados dos desvos das observações à recta de regressão = = ( ) = ε = β β SQE y x

3 Método dos Mímos Quadrados dsqe = ( y β β x) = y = β +β x dβ = = = dsqe = ( y β β x ) x = x y =β x +β x d = = = = β Os estmadores de mímos quadrados são: ( x )( ) x y y = β = = x x β = = y β ( ) x S S xy Recta de Regressão ŷ = β +β x

4 Pressupostos Resíduos ε : Dstrbução ormal Valor médo ulo Varâcas guas ( σ ) Idepedetes

5 Coefcete de Determação ( y y) = ( y y ) + ( y y) = = = Varaçao Total Varaçao Nao Explcada Varaçao Explcada ( ) ( ) = = ( ) y y y y = = R = = = y y y y ( ) SQE S YY Percetagem da varação total que é explcada pela relação lear etre X e Y. R = R = Varação total de Y é explcada totalmete pela varação de X Varação de X ão cotrbu em ada para explcar a varação de Y

6 Iferêca x β N β, σ + S β N β, σ S ( y y ) = σ = = = SQE QME β β x QME S + t β β QME S t

7 Iferêca Itervalo de cofaça de ível (-α)% para β x x β t, α/ QME +, β + t, α/ QME + S S Itervalo de cofaça de ível (-α)% para β QME β t, β + t, α/, α/ S QME S Testes de Hpóteses para β e β H : β =β β β x QME + S T= t H : β =β β β T= t QME S

8 Predção Estmação potual para uma ova observação x ŷ =β +β x Itervalo de Cofaça para E( Y x ) de ível (-α).% ( x ) ( ) x x x y t, α/ QME +, y + t, α/ QME + S S Itervalo de Predção para y de ível (-α).% ( x ) ( ) x x x y t, α/ QME + +, y+ t, α/ QME + + S S

9 Aálse de Resíduos

10 Exemplo: X Preço Y Quatdade Quatdade Preço Model ŷ = x Model Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate,9 a,846,87 6,967 a. Predctors: (Costat), Preço Coeffcets a Model (Costat) Preço Ustadardzed Coeffcets a. Depedet Varable: Quatdade Stadardzed Coeffcets 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error Beta t Sg. Lower Boud Upper Boud 66,5 4,84 3,687, 55,88 77,4 -,83,3 -,9-6,63, -,95 -,53 Regresso Stadardzed Resdual Scatterplot Depedet Varable: Quatdade,5,,5, -,5 -, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5, Regresso Stadardzed Predcted Value Expected Cum Prob Normal P-P Plot of Regresso St Depedet Varable: Quatdade,,8,5,3,,,3,5,8, Observed Cum Prob

11 Modelo de Regressão Múltpla X, X,...X k Varáves Idepedetes Y Varável Depedete y =β +β x+β x β kxk +ε Y X... X β ε k Y X... X k β ε Y = ; X= ; ; β = ε = Y X... X β ε k k Y = Xβ+ε A partr de >k observações podemos estmar β (=,,,..., k) através do método dos mímos quadrados. T = ε =ε ε= β β = T ( ) ( ) SQE Y X Y X

12 Estmação de Parâmetros T XX XY β = ( T ) Matrz de Varâca-Covarâca /Σ β= σ XX ( ) ( T ) T T T SQE = Y Y β X Y σ SQE = k = QME

13 Sgfcâca do Modelo ( y y) = ( y y ) + ( y y) = = = SQTot SQE SQReg Coefcete de Determação SQReg = = SQTot R SQE S YY H : β = β =... β k = H : β, para pelo meos um (=,,..., k) OV GL SQ QM F Regressão k T T β XY y = SQReg k F = QM Reg QME Erro Total -k- - YY β T YY XY T T T = y SQE k

14 Cotrbuções Parcas Determar se as varáves X,X,...X cotrbuem r sgfcatvamete para o modelo de regressão. β β =, β ~r e β ~ ( k r) β Y = X β + X β + ε H : β = H: β Ajustar o modelo assumdo H :β = Verdadera ( β ) T ( ) Y = X β + ε β = X X X Y SQReg T = β X Y T ( β β ) = ( β ) ( β) SQReg SQReg SQReg ( β β ) SQReg / r Rejetar H ao vel α sse F= > f α r, -k-, -

15 Iferêca Itervalo de cofaça de ível (-α)% para β j ( ) β t j k, α σ C, β + t C / jj j k, α σ / jj C jj elemeto da matrz (X T X) - Testes de Hpóteses para β j H : β =β j j E.T. T= t β β j j C jj σ k

16 Iferêca Itervalo de cofaça de ível (-α) % para E(Y ) E(Y ) y x x x x T = = β = k ( ) y ± t σ x X X x T T k, α/ Predção de Novas Observações y t x ( X X) ± σ + x T T k, α/

17 Exemplo : X Fertlzate; X Precptação Y Produção de um cereal (kg/ha) Model (Costat) Fertlzate Precp. a. Depedet Varable: Produção Model Coeffcets a Ustadardzed Stadardzed Coeffcets Coeffcets 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error Beta t Sg. Lower Boud Upper Boud 6,34 8,94,694,58-34,3 593,939,78,6,463 3,66,5,6,337,3,4,547 4,76,8,4,65 Regresso Resdual Total ANOVA b Sum of Squares df Mea Square F Sg ,36 66,68, a 9,8 5 3, a. Predctors: (Costat), Precp., Fertlzate b. Depedet Varable: Produção Model Summary b Descrptve Statstcs Model Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate,995 a,99,987 47,574 a. Predctors: (Costat), Precp., Fertlzate b. Depedet Varable: Produção Produção Fertlzate Precp. Mea Std. Devato 63,5 43,53 45, 44, ,5 9,686 Correlatos Pearso Correlato Sg. (-taled) N Produção Fertlzate Precp. Produção Fertlzate Precp. Produção Fertlzate Produção Fertlzate Precp.,,978,983,978,,94,983,94,.,,,.,,,

18 Exemplo (Cot.),5 Scatterplot Depedet Varable: Produção Regresso Stadardzed Resdual,,5, -,5 -, -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5 Regresso Stadardzed Predcted Value, Normal P-P Plot of Regresso St Depedet Varable: Produção,8 Expected Cum Prob,5,3,,,3,5,8, Observed Cum Prob

19 Regressão Não-Lear Modelo Potêca (Log-log) Ŷ= β X β Modelo Expoecal (Log-l) Modelo Logarítmco (L-log) Ŷ= β + β lx Modelo Iverso Modelo Log-Iverso Ŷ= e β +β Ŷ = β + β Ŷ= e β +β X X X