Estatística - exestatmeddisper.doc 25/02/09

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1 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Meddas de Dspersão Itrodução ão meddas estatístcas utlzadas para avalar o grau de varabldade, ou dspersão, dos valores em toro da méda. ervem para medr a represetatvdade da méda. dspersão x x ejam as séres : a) 0, 0, 0 b) 5, 0, 0, 5, 30 Nos dos casos acma temos as segutes médas: 0 0 xa xb Observe que, apesar das séres terem médas guas, a sére a ão apreseta dspersão em toro da méda gual a 0, equato os valores da sére b apresetam dspersão em toro da mesma méda. Ampltude total É uma medda de dspersão dada pela dfereça etre o maor e o meor valor da sére. R x máx x mí Exemplo : Calcule a ampltude total da sére: 0,, 0,, 5, 33, 38. olução: R E Nemer / 0

2 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 A utlzação da ampltude total como medda de dspersão é lmtada, pos, sedo uma medda que depede apeas dos valores exteros, ão capta possíves varações etre esses lmtes. Varâca amostral Como se deseja medr a dspersão dos dados em relação à méda, é teressate aalsar os desvos de cada valor (x ) em relação à méda, sto é: d x x e os d forem baxos, teremos pouca dspersão, ao cotráro, se os desvos forem altos, teremos elevada dspersão. Pode-se verfcar que a soma dos desvos em toro da méda é zero, ou seja: d 0 Logo, o cálculo da varâca cosderam-se os quadrados dos desvos: d. A varâca,, de uma amostra de meddas é gual à soma dos quadrados dos desvos: d, dvdda por (-), assm: d ( x x) Para dados agrupados, tem-se que: d ( x x) Desevolvedo-se o quadrado das dfereças: ( x x) E somado-se os termos comus, ecotram-se as segutes fórmulas prátcas para o cálculo da varâca amostral: E Nemer / 0

3 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 x ( x ) ou x ( x ) Quato maor o valor de, maor a dspersão dos dados amostras. Exemplo : Calcular a varâca para as meddas amostras: 3, 7,,, 8. olução: Vamos determar pela fórmula básca. Para tato, é teressate a costrução da segute tabela: x d (x x) d (x x) 3 (3 4,)-,,44 7,8 7,84 -, 4,84-3, 0,4 8 3,8 4,44 Σ 0 38,80 A méda amostral será: Observe que a soma dos desvos em toro da méda é zero. x x 5 4, Logo, a varâca amostral será: x ( x ) ( ) ,7 Desvo padrão amostral Como vsto aterormete, o cálculo da varâca é obtdo pela soma dos quadrados dos desvos em relação à méda. Assm é que, se a varável sob aálse for medda em metros, a varâca deverá ser expressa em m (metros ao quadrado). Ou seja, a varâca é expressa pelo quadrado da E Nemer 3 / 0

4 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 udade de medda da varável que está sedo estudada. Para melhor terpretar a dspersão de uma varável, calcula-se a raz quadrada da varâca, obtedo-se o desvo padrão que será expresso a udade da medda orgal. Assm: O desvo padrão das cco meddas do Exemplo é dado por: 9,7 3, Iterpretação do desvo padrão amostral Vamos estudar aqu duas regras para terpretação do desvo padrão:. Regra empírca Para qualquer dstrbução amostral com méda e desvo padrão, tem-se que:. Itervalo: x ± O tervalo acma deve coter etre 60% e 80% de todas as observações amostras para uma dstrbução smétrca. Caso a dstrbução seja aproxmadamete smétrca, esta porcetagem aproxma-se de 70%. Caso a dstrbução seja fortemete assmétrca, essa porcetagem aproxma-se de 00%... Itervalo: x ± O tervalo acma deve coter aproxmadamete 95% das observações amostras para dstrbuções smétrcas e aproxmadamete 00% para dstrbuções com assmetra elevada. Itervalo: x ± 3 O tervalo acma cotém aproxmadamete 00% das observações amostras. E Nemer 4 / 0

5 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09. Teorema de Tchebycheff Para qualquer dstrbução amostral com méda e desvo padrão, tem-se que:. Itervalo: x ± O tervalo acma cotém, o mímo, 75% de todas as observações amostras.. Itervalo: x ± 3 O tervalo acma cotém, o mímo, 89% de todas as observações amostras. Exemplo 3: Calcular a varâca e o desvo padrão da segute dstrbução amostral: x olução: Vamos costrur a tabela abaxo para facltar o osso trabalho. x x x Σ x ( x ) ( 9) ,86 Logo, a varâca amostral é,86. E o desvo padrão amostral é dado por:,86,69 E Nemer 5 / 0

6 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Exemplo 4: Com os dados do osso exemplo com dades de 50 fucoáros, vamos determar a varâca, o desvo padrão e terpretar o desvo padrão obtdo, de acordo com as regras vstas olução: Com base os dados, obtvemos a segute tabela de dstrbução de freqüêcas: Classes Itervalos das classes X X X , , ,5 85 8, ,5 46, , , , , , ,5 9,50 596, , ,50 omas ,50 A méda amostral será gual a: x x 9 50 A varâca amostral será: 38,44 x ( x ) ( 9) 80456, ,8 E o desvo padrão será: 34,8, 58 aos Para verfcarmos as regras para terpretação do desvo padrão, precsamos executar os segutes cálculos: x ± 38,44 ±,58 E Nemer 6 / 0 (6,86 ; 50,0)

7 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Com auxílo da tabela de dades, cocluímos que etre 7 e 50 aos temos 33 elemetos, logo: (33/50) 00 66% das observações. Isto é: o tervalo compreeddo etre a méda meos um desvo padrão e a méda mas um desvo padrão cotém, esse exemplo, 66% das 50 dades. A regra empírca dca que o referdo tervalo deverá coter de 60% a 80% das observações. x ± 38,44 ± (,58) (5,8 ; 6,60) Com auxílo da tabela de dades, cocluímos que etre 6 e 6 aos temos 49 elemetos, logo: (49/50) 00 98% das observações. Isto é: o tervalo compreeddo etre a méda meos duas vezes o desvo padrão e a méda mas duas vezes o desvo padrão cotém, esse exemplo, 98% das 50 dades. A regra empírca dca que o referdo tervalo deverá coter aproxmadamete 00% das observações para dstrbuções com assmetra elevada. Portato, a dstrbução com que estamos trabalhado é acetuadamete assmétrca. Observe que o resultado de 98% também cofrma o crtéro de Tchebycheff que defe o mímo 75% de observações para o tervalo de x ±. Coefcete de varação de Pearso Trata-se de uma medda relatva de dspersão. Equato a ampltude total (R), varâca ( ) e o desvo padrão () são meddas absolutas de dspersão, o coefcete de varação (C.V.) mede a dspersão relatva. Assm: C. V. 00 x Ode: desvo padrão amostral x méda amostral E Nemer 7 / 0

8 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Abaxo, temos algumas regras empírcas para terpretações do coefcete de varação: e: C.V. < 5% e: 5% < C.V. < 30% e: C.V. < 5% tem-se baxa dspersão tem-se méda dspersão tem-se elevada dspersão Exemplo 5: Em uma empresa, o saláro médo dos homes é de $ 4.000, com desvo padrão de $.500, e o saláro médo das mulheres é de $ 3.000, com desvo padrão de $.00. A dspersão relatva dos saláros é maor para os homes? olução: Dos dados dos problemas, temos: Homes: xh H.500 Mulheres: xm M.00 Para os homes: Para as mulheres: C. V. 00 x ,5% 00 C. V % x 3000 Portato, os saláros das mulheres têm dspersão relatva maor do que os saláros dos homes. As duas dstrbuções apresetam elevada dspersão (C.V. 30%). Escore padrozado Outra medda relatva de dspersão é o escore padrozado para uma medda x. É dado por: Z x x Ode: desvo padrão amostral x méda amostral E Nemer 8 / 0

9 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Um escore Z egatvo dca que a observação x está a esquerda da méda, equato um escore postvo dca que a observação está a dreta da méda. Exemplo 6: ão dadas as médas e os desvos padrões das avalações de duas dscplas: Português: 6,5 P, xp Matemátca: xm 5,0 M 0,9 Relatvamete às dscplas Português e Matemátca, em qual delas obteve melhor performace um aluo com 7,5 em Português e 6,0 em Matemátca? olução: Vamos determar os escores padrozados para as otas obtdas: Nota de Português: Z P 7,5 6,5 0,83, Nota de Matemátca: Z M 6,0 5,0, 0,9 Portato, o melhor desempeho relatvo deu-se a dscpla Matemátca, pos Z m > Z p. Observe que, em termos absolutos, o aluo coseguu melhor ota em Português. E Nemer 9 / 0

10 Estatístca - exestatmeddsper.doc 5/0/09 Detectado outlers Nos trabalhos de coleta de dados, podem ocorrer observações que fogem das dmesões esperadas os outlers. Para detectá-los, pode-se calcular o escore padrozado (Z ) e cosderar outlers as observações cujos escores, em valor absoluto (em módulo), sejam maores do que 3. Exemplo 7: Os dados de uma pesqusa revelam méda 0,43 e desvo padrão 0,05 para determada varável. Verfcar se os dados 0,380 e 0,450 podem ser cosderados observações da referda varável. olução: Tem-se que: x 0,43 P 0,05 Para x 0,380: Z 0,380 0,43,63 0,05 Para x 0,455: Z 0,455 0,43 4,08 0,05 Portato, o dado 0,380 pode ser cosderado ormal, por outro lado, 0,455 pode ser um outlers, portato descartável. E Nemer 0 / 0