Medidas Numéricas Descritivas:

Transcrição

1 Meddas Numércas Descrtvas: Meddas de dspersão Meddas de Varação Varação Ampltude Ampltude Iterquartl Varâca Desvo absoluto Coefcete de Varação Desvo Padrão

2 Ampltude Medda de varação mas smples Dfereça etre o maor e o meor valor de um cojuto de dados: Ampltude = X maor X meor Exemplo: Ampltude = 4 - = 3 3 Desvatages da Ampltude Igora a forma como os dados são dstrbuídos Ampltude = - 7 = Ampltude = - 7 = 5 estva a valores extremos,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3,3,3,3,4,5 Ampltude = 5 - = 4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3,3,3,3,4,0 Ampltude = 0 - = 9 4

3 Ampltude Iterquartl (AI) Pode-se elmar os problemas com valores extremos com a ampltude terquartl AI = 3º quartl º quartl = Q 3 Q Esta medda de varação ão é afetada se uma fração pequea dos valores é muto pequea ou muto grade 5 Ampltude Iterquartl Exemplo: X mímo Q Medaa Q Q3 X máxmo 5% 5% 5% 5% Ampltude Iterquartl = = 7 6

4 Vamostroduzr o desvo deum valor x Desvo x x emrelação améda: Poderamos tetar medr adspersão em toro dos dados como asomados desvos. Etretato (x - x) 0 Exemplo: (x - x) X 6 (0-6) ( -6) (4-6) (4-6) 0 Resolve-se o problema usado o módulo! Desvo médo absoluto (DM) Usa a soma dos módulos dos desvos. DM x x Etretato, o valor absoluto dos desvos é mas dfícl de tratameto matemátco (o uso de dervadas, por exemplo)

5 Exemplo Amostra (X ) : X 6 DM x - x DM 6,6 0 Varâca amostral Mede a dspersão em toro da méda ode Varâca da amostra: X = méda (X - X) = tamaho da amostra X = -ésmo valor de X Note que se a varável x tem uma udade de medda, por exemplo qulograma, metro, reas,, a varâca tem o coveete de ter a udade da varável ao quadrado.

6 A fórmula para a varâca pode ser reescrta como: s (x x) - x () x Utlza apeas os valores dos dados Desvo-Padrão amostral Medda de varação mas utlzada Mostra a varação em toro da méda Raz quadrada da varâca Tem a mesma udade dos dados orgas Desvo-Padrão da amostra: s (x x) -

7 Exemplo Amostra (X ) : X 6 (0 - X) ( - X) (4 - X) - (4 - X) (0-6) ( -6) (4-6) 8 - (4-6) , s Varâca para dados agrupados em classes k (PM x) f k : úmero de classes PM x : poto médo da classe f : frequêca da classe k f PM (méda dos potos médos) Desvo padrão : s s

8 Mesurado a Varação Desvo-padrão pequeo Desvo-padrão grade Chap 3-5 Comparado Desvos-Padrão: os cojutos de dados abaxo tem todos a mesma méda. A dfereça está etre eles é a dspersão. ére A Méda = 5,5 s= 3,338 ére B ére C Méda = 5,5 s = 0,96 Méda = 5,5 s = 4,567 6

9 Vatages da Varâca e do Desvo Padrão Todos os valores do cojuto de dados são utlzados o cálculo Valores muto dstates da méda recebem peso dferecado 7 Coefcete de Varação Mede a varação relatva à méda Costuma-se ser dado em porcetagem (%) Pode ser utlzada para comparar duas ou mas séres de dados em udades dferetes CV X 00% 8

10 Comparado Coefcetes de Varação Cosdere o preço e a varação de duas ações do mercado Ação A: Preço médo o últmo ao = $50 Desvo-padrão = $5 CV A 00% X Ação B: $5 $50 00% 0% Preço médo o últmo ao = $00 Desvo-padrão = $5 $5 CV B 00% 00% 5% X $00 As duas ações possuem o mesmo desvo-padrão, mas o preço da ação B teve uma varação relatva meor. Escore Z Dfereça etre um valor e a méda, dvdda pelo desvopadrão X X Z Medda de dstâca da méda (por exemplo, um escore Z gual a sgfca que o valor está a desvos da méda) Um escore Z acma de 3 ou abaxo de -3 é cosderado um valor extremo (outler). Esse é um dos crtéros para ecotrar outler, mas ão sgfca que o valor seja um erro ou que ão devera fazer parte dos dados. gfca que deve ser examado. Usar meddas baseadas em ordeameto podem ser mas adequadas para dados com mutos valores extremos.

11 Exemplo: Escore Z e a méda é 4 e o desvo-padrão é 3, qual é o escore Z para o valor 8,5? Z x - x s 8,5-4 3,5 O valor 8,5 está a,5 desvo-padrão acma da méda Um escore Z egatvo sgfca que o valor é meor que a méda Forma da Dstrbução O hstograma mostra como os dados são dstrbudos E podem apresetar formas métrcas ou Assmétrcas métrca: Dados são smétrcos se a metade esquerda de seu hstograma é aproxmadamete a magemespelho da metade dreta. Assmétrca: Uma dstrbução de dados é assmétrca quado ão é smétrca.

12 Assmétrca a esquerda: Méda e medaa a esquerda da moda Assmétrca a dreta: Méda e medaa a dreta da moda Meddas Numércas Descrtvas para uma População Meddas umércas para uma população são chamadas parâmetros A méda da população é a soma dos valores que compõem a população, dvdda pelo tamaho da população (N) ode N N X X X μ = méda da população N = tamaho da população X = -ésmo valor de X N X N 4

13 Varâca da População Mede a dspersão em toro da méda Varâca da População: σ N (X N μ) ode μ = méda da população N = tamaho da população X = -ésmo valor de X 5 Desvo-Padrão da População Medda de varação mas utlzada Mostra a varação em toro da méda Raz quadrada da varâca Tem a a mesma udade dos dados orgas Desvo-Padrão da população: σ N (X N μ) 6

14 regra de Chebyshev -aplca-se a todos os cojutos de dados. -a proporção (ou fração) de qualquer cojuto de dados a meos de K desvos-padrão a cotar da méda é sempre pelo meos k, k é um úmero postvo maor do que -pelo meos 3/4 (75%) de todos os valores estão o tervalo que va de desvos-padrão abaxo da méda a desvos-padrão acma da méda ( 75% em x - s x x s ) -pelo meos 8/9 (89%) de todos os valores estão o tervalo que va de 3 desvos-padrão abaxo da méda até 3 desvos-padrão acma da méda. ( 89% em x - 3s x x 3s ) 7 Box-Plot (gráfco de caxa): represetação gráfca dos dados com base o resumo de 5 úmeros: Mímo -- Q -- Medaa -- Q3 -- Máxmo X Medaa mímo Q Q Q3 5% 5% 5% 5% X máxmo -o retâgulo do boxplot correpode aos 50% valores cetras da dstrbução. - Um box-plot pode ser represetado de forma vertcal ou horzotal. Ele da uma déa da dspersão, assmetra e da dstrbuçoes de dados. ão útes a comparação de cojutos de dados se desehados a mesma escala. 8

15 Relação etre Forma de Dstrbução e Box-Plot assmétrca à Esquerda métrca assmétrca à Dreta Q Q Q3 Q Q Q3 Q Q Q3 9 Exemplo de Box-Pot M Q Q Q3 Max box-plot : A dstrbução do valores é assmétrca a dreta. 30

16 Ajudam a escolha de meddas umércas descrtvas apropradas: (a) o propósto para o qual o resumo descrtvo dos dados é realzado. (b) Facldade de terpretação. (c) grau de sesbldade a valores extremos. (d) Potecal para uso em ferêca estatístca. Algumas coclusões geras sobre a descrção de dados (a) Um gráfco mostrado a forma que os dados são dstrbuídos é mportate para um resumo estatístco descrtvo ( hstograma, box-plot,...) (b) Quado váras meddas são compatíves com o propósto do resumo descrtvo é teressate apresetar todos (méda, medaa, ampltude, desvo padrão,...) (c) A forma da dstrbução é mportate a terpretação das meddas descrtvas. (d) Valores dscrepates (observações ão usuas) devem ser relatados (por exemplo, em ota de rodapé).

17 Dados Categórcos Multvarados Tabela de Cotgêca para opções de vestmetos Categora Ivestdor A Ivestdor B Ivestdor C Total Ações 46,5 55 7,5 9 Bods 3,0 44 9,0 95 RF 5,5 0 3,5 49 Poupaça 6,0 8 7,0 5 Total 0, ,0 34 (Os valores dvduas poderam ser expressos em %) 33 Podemos represetar os dados em um Gráfco de Barras Paralelas Comparado Ivestdores Poupaça Reda Fxa Bods Ações Ivestdor C Ivestdor B Ivestdor A Poderamos usar barras vertcas. 34

18 Exemplo: vedas por trmestre º TRI º TRI 3º TRI 4º TRI Vestuáro 0,4 7,4 59 0,4 Cosmétcos 30,6 38,6 34,6 3,6 Almetos 45,9 46, , Vestuáro Cosmétcos Almetos 0 0 º TRI º TRI 3º TRI 4º TRI 35 Correlação e Regressão Dados umércos bvarados: (x, y), (x,y), (x3,y3)...(x,y) Gráfco de Dspersão: utlzado para detfcar possíves relações etre duas varáves umércas O gráfco: Uma varável é represetada o exo vertcal (y) e a outra o exo horzotal (x) 36

19 Exemplo receta vedas No caso podemos detfcar uma relação aproxmadamete lear etre custo e volume de compras 37 Itesdade da relação lear r: Coefcete de correlação amostral ode : (x x) sx - são os desvos - padrão da s y varável x e y, (y y) - respectvamete.

20 se defrmos : xx yy xy (x (y (x x) y) ()s ()s x)(y y) x y Podemos escrever r como: propredade : - r Mede o quato o dagrama de dspersão é próxmo de uma reta.

21 Correlação ão mplca causaldade: que uma varável é a causa da outra Correlação espúra (falsa): correlação estatístca exstete etre duas varáves em que ão exste relação de causa e efeto etre elas. Podem ocorrer por mera cocdêca ou devdo a uma tercera varável que afeta as varáves em estudo, mas ão fo cluída. Mas se exste correlação sgfcatva e razões para usar uma varável para prever a outra, qual a equação da reta que melhor se ajusta ao gráfco de dspersão??? Ou seja, como obter os coefcetes e a partr dos valores amostras?

22 Melhor ajuste: método dos mímos quadrados: mmza se a soma poto amostral e a das dstâcas vertcal etre um reta procurada : (y ŷ ) (y βˆ 0 βˆ x ) olução: De volta ao exemplo receta vedas No caso podemos detfcar uma relação aproxmadamete lear etre custo e volume de compras 44

23 y y x x 6.8 y) x)(y (x y) (y 39.8 x) (x xy yy xx x β y β β r : Temos 0 xx xy yy xx xy y x