ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

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1 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO Quado se cosderam oservações de ou mas varáves surge um poto ovo: O estudo das relações porvetura estetes etre as varáves. A aálse de regressão e correlação compreedem a aálse de dados amostras para saer se e como um certo cojuto de varáves está relacoado com outra varável. Aálse de regressão: estuda o relacoameto etre uma varável chamada a varável depedete e outras varáves chamadas varáves depedetes. Este relacoameto é represetado por um modelo matemátco, sto é, por uma equação que assoca a varável depedete com as varáves depedetes. Este modelo é desgado por modelo de regressão lear smples se defe uma relação lear etre a varável depedete e uma varável depedete. Se em vez de uma, forem corporadas váras varáves depedetes, o modelo passa a deomar-se modelo de regressão lear múltpla.

2 Aálse de correlação: dedca-se a ferêcas estatístcas das meddas de assocação lear que se seguem: coefcete de correlação smples: mede a força ou grau de relacoameto lear etre varáves. coefcete de correlação múltplo: mede a força ou grau de relacoameto lear etre uma varável e um cojuto de outras varáves. As téccas de aálse de correlação e regressão estão tmamete lgadas.

3 ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO SIMPLES Notação: Y varável depedete X varável depedete Eemplos:. Relação etre o peso e a altura de um homem adulto (X altura; Y peso). Relação etre o preço do vho e o motate da colheta em cada ao (X motate da colheta; Y preço do vho) Pode suceder que dos homes adultos teham a mesma altura e pesos dferetes e vceversa. No etato, em méda, quato maor for a altura maor será o peso. Relatvamete ao segudo eemplo, pode tamém suceder que a colhetas guas correspodam preços dferetes e vce-versa. No etato, em méda, quato maor for a colheta meor será o preço do vho. É essa varação em méda que va ser estudada. 3

4 A Regressão Lear Smples costtu uma tetatva de estaelecer uma equação matemátca lear (recta) que descreva o relacoameto etre duas varáves. O MODELO de Regressão Lear Smples: Y β + β X + ε Y varável depedete X varável depedete β + β β ordeada a orgem β declve da recta ε varável erro β compr altura β altura/comp A partr dos dados dspoíves estmamos β e β e susttuímos estes parâmetros teórcos pelas suas estmatvas e para oter a equação de regressão estmada. 4

5 DIAGRAMAS DE DISPERSÃO Os dados para a aálse de regressão e correlação smples são da forma: (, ), (, ),, (, ),, (, ) Com os dados costró-se o dagrama de dspersão, este deve er uma tedêca lear para que se possa usar a regressão lear. Portato este dagrama permte decdr emprcamete se um relacoameto lear etre X e Y deve ser assumdo. Por aálse do Dagrama de Dspersão pode-se tamém coclur (emprcamete) se o grau de relacoameto lear etre as varáves é forte ou fraco, coforme o modo como se stuam os potos em redor de uma recta magára que passa através do eame de potos. A correlação é tato maor quato mas os potos se cocetram, com pequeos desvos, em relação a essa recta. Mas, se o declve da recta é postvo, cocluímos que a correlação etre X e Y é postva,.e., os feómeos varam o mesmo setdo. Ao cotráro, se o declve é egatvo, etão a correlação etre X e Y é egatva,.e., os feómeos varam em setdo verso. 5

6 Sugerem uma regressão ão lear (.e., a relação etre as duas varáves poderá ser descrta por uma equação ão lear) Y Y X X Sugerem uma regressão lear (.e., a relação etre as duas varáves poderá ser descrta por uma equação lear) Y - Peso Y - Preço X - Altura Estêca de correlação postva (em méda, quato maor for a altura maor será o peso) X - Colheta Estêca de correlação egatva (em méda, quato maor for a colheta meor será o preço) 6

7 EXEMPLO: Queremos estudar a relação etre a qulometragem de um carro usado e o seu preço de veda Carros Total Preço de veda Y Qulometragem X ( Km) (dezea de Euros) Preço Dagrama de dspersão Qulometragem Os dados sugerem uma relação lear etre a qulometragem e o preço de veda. Este uma correlação egatva: em méda, quato maor for a qulometragem meor será o preço de veda. 7

8 ESTIMAÇÃO DOS COEFICIENTES DE REGRESSÃO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Pretede-se determar a recta de regressão que melhor se ajusta ao cojuto de dados Y Qual a recta que melhor se ajusta? Y (,) d d (, ) d (, ) + ˆ + é o valor dado pela recta d -( + ) resíduos 8

9 Ojectvo: determar e de modo a que os resíduos sejam tão pequeos quato possível. ) ( ˆ d + -ésmo resíduo, sto é, a dstâca vertcal do poto (, ) à recta de regressão O método dos mímos quadrados cosste em escolher e de modo a mmzar a soma dos quadrados dos resíduos d. Desta forma estamos essecalmete a escolher a recta que se aproma o mas possível de todos os potos dos dados smultaeamete. Soma dos quadrados dos resíduos d SSE ) ( Para determar e de modo a mmzar SSE: SSE SSE ) ( ) ( L méda dos valores oservados de X méda dos valores oservados de Y 9

10 Ateção: Um cojuto de potos dá evdêca de leardade apeas para os valores de X coertos pelo cojuto de dados. Para valores de X que saem fora dos que foram coertos ão há qualquer evdêca de leardade. Por sso é arrscado usar uma recta de regressão estmada para predzer valores de Y correspodetes a valores de X que saem fora do âmto dos dados. Y âmto dos dados X O pergo de etrapolar para fora do âmto dos dados amostras é que a mesma relação possa ão mas se verfcar.

11 EXEMPLO: Estmação dos coefcetes de regressão Carros Total Qulometragem X ( Km) Preço de veda Y (dezea de Euros) XY X Y

12 Recta de regressão estmada: O preço esperado para um carro é de 934 dezeas de Euros meos dezeas de Euros por cada ml Km que o carro teha adado. Por eemplo, para um carro que teha adado Km, a equação sugere o preço: Ateção: ˆ dezeas de Euros O coefcete de regressão estmado (estmatva de β ), estma o efeto sore o valor médo da varável depedete Y de uma alteração utára da varável depedete X. Assm, em méda, por cada km que o carro teha adado, o preço de veda aa dezeas de Euros 934 ão pode ser terpretado como sedo o preço prevsto para um carro ovo, Km, pos este valor de qulometragem ecotra-se fora do âmto dos dados. Trata-se de uma relação méda, assm um carro com determada qulometragem ão oterá ecessaramete o preço de veda eacto dcado pelo equação

13 QUALIDADE DO AJUSTAMENTO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E DE DETERMINAÇÃO Seja a méda dos valores oservados para a varável depedete. Uma medda útl assocada à recta de regressão é o grau em que as predções aseadas a equação de regressão, ŷ, superam as predções aseadas em. Isto é, se as predções aseadas a recta ão são melhores que as aseadas o valor médo, etão ão adata dspormos de uma equação de regressão. Se a dspersão (erro) assocada à recta é muto meor que a dspersão (erro) assocada a, as predções aseadas a recta serão melhores que as aseadas em. Dspersão em toro de - Varação Total: SST( ) (Soma dos quadrados totas) Dspersão em toro da recta de regressão Varação ão eplcada: SSE ( ˆ ) d (Soma dos quadrados dos resíduos) O ajustameto será tato melhor quato mas pequeo for SSE relatvamete a SST. 3

14 Pode-se mostrar que: ( ) ( ˆ ) + ( ˆ ) SST SSE + SSR SST Soma dos quadrados totas Varação Total SSE Soma dos quadrados dos resíduos Varação ão eplcada SSR Soma dos quadrados da regressão Varação eplcada Isto é: Varação total de Y à volta da sua méda Varação que o ajustameto ão cosegue eplcar + Varação eplcada pelo ajustameto 4

15 Coefcete de determação r SSR SST SSE SST SST r é a proporção de varação da varável depedete Y que é eplcada pelo modelo, sto é, pela equação de regressão ajustada, ou equvaletemete, é a proporção da varação de Y eplcada em termos leares pela varável depedete. Note que: r ; SSE SST r (prómo de ) sgfca que grade parte da varação de Y é eplcada learmete pela varável depedete. r (prómo de ) sgfca que grade parte da varação de Y ão é eplcada learmete pela varável depedete. Neste setdo este coefcete pode ser utlzado como uma medda da qualdade do ajustameto, ou como medda da cofaça depostada a equação de regressão como strumeto de prevsão: r modelo lear muto pouco adequado r modelo lear astate adequado 5

16 r pode ser calculado a partr da segute fórmula: r + À raz quadrada de r dá-se o ome de coefcete de correlação smples r ± r (com o sal do declve ) É uma medda do grau de assocação lear etre as varáves X e Y. - r ; r> (postvo) dca que as duas varáves tedem a varar o mesmo setdo, sto é, em méda um aumeto a varável X provocará um aumeto a varável Y; r< (egatvo) dca que as duas varáves tedem a varar em setdo verso, sto é, em méda um aumeto a varável X provocará uma dmução a varável Y; r e r- dcam a estêca de uma relação lear perfeta etre X e Y, postva e egatva respectvamete; r dca a estêca de qualquer relação ou tedêca lear etre X e Y podedo o etato estr uma relação ão lear etre elas. Isto é, é possível que as duas varáves estejam fortemete assocadas (movmetos uma varável estão assocados a movmetos a outra) sem que o relacoameto seja lear. 6

17 r Y X r- Y X 7

18 EXEMPLO: Determação dos coefcetes de correlação e determação Carros Total Qulometragem X ( Km) Preço de veda Y (dezea de Euros) XY X Y r

19 r.89 apromadamete 8% da varação o preço de veda dos carros está relacoada learmete com a varação a qulometragem rodada,.e., 8% dessa varação é eplcada por varações a qulometragem. 9% ão é eplcada por varações a qulometragem e é resultate de outros factores ão cosderados (que podem flur o preço de veda), como por eemplo: as codções geras do carro; a localzação/reputação do vededor; a ecessdade que o comprador tem do carro; o º de regstos de propredade do carro etc. r dca que o grau de relacoameto lear etre as varáves é forte. A correlação é egatva, pos um acréscmo a qulometragem é, tedecalmete, acompahado por um decréscmo do preço de veda. 9