MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

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1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS I - INTRODUÇÃO O processo de medda costtu uma parte essecal a metodologa cetífca e também é fudametal para o desevolvmeto e aplcação da própra cêca. No decorrer do seu curso de Físca Básca a parte expermetal ressalta o processo de medda. Até este poto você tem empregado dversos cocetos como valor mas provável de uma gradeza desvo etc. fazedo apelos a oções tutvas a cada ovo coceto. Ou seja sem a preocupação de apresetar uma axomátca partdo de prcípos geras. Um prmero passo esta dreção está o que se chama de Prcípo dos Mímos Quadrados. Este processo de sstematzação da teora da medda permte como veremos obter bos resultados o ajuste de curvas. Embora possa ser utlzado o ajuste de outras curvas vamos apresetar este método e seu uso para o ajuste de retas por ser o mometo osso prcpal objetvo. II - PRINCÍPIO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Eucado do Prcípo dos Mímos Quadrados: Supoha que seja realzado um cojuto de meddas de uma mesma quatdade físca. Se essas meddas estão sujetas apeas a erros aleatóros etão o valor mas provável da quatdade medda é aquele que tora a soma dos quadrados dos erros um mímo. Este prcípo pode ser aplcado em váras stuações. Como exemplo vamos utlzá-lo para obter a melhor estmatva (valor mas provável) para uma gradeza medda váras vezes. Supoha que efetuamos o segute cojuto M { x1 x... x } de meddas de uma quatdade físca cujo valor verdadero é x. Etão os erros as meddas são: e a soma de seus quadrados é: x 1 1 x x x x x E( x) 1 E( x) k E( x) k k ( x k... x) (A) O valor verdadero x é uma quatdade descohecda que o expermeto vsa determar. Detre todos os possíves valores que x possa assumr o Prcípo dos Mímos Quadrados estabelece que a melhor escolha é a daquele valor que tora E E( x) um mímo. Ou seja devemos resolver a segute equação para x E( x) 0. (B) x A solução desta equação a ser deotada por x ~ x será a melhor escolha para x. Substtudo (A) em (B) temos 4

2 Etão teremos ( ) x x 0. x ( x x) ( x x)... ( x x) x 1 x x 0 ou ( x x) ( x x)... ( x x) 0 1 A solução desta equação do 1. grau é x x 0. x ~ 1 x x x 1 que é a méda artmétca (x) das meddas. Esta é a quatdade que você usou (tutvamete) como o valor mas provável de uma gradeza. Aqu este coceto fo deduzdo do Prcípo dos Mímos Quadrados. III - A MELHOR RETA Em dversas stuações um laboratóro os deparamos com quatdades que se relacoam etre s. Por exemplo a pressão de uma determada massa de gás depede da sua temperatura e do seu volume; a dstesão de uma mola depede da força aplcada. Deseja-se freqüetemete expressar essa relação sob forma matemátca por meo de uma equação que lgue as varáves. Para auxlar a determação de uma equação que relacoe as varáves um prmero passo cosste em colecoar dados que dquem os valores correspodetes das varáves cosderadas. Por exemplo seja x o deslocameto de uma mola causado por uma força aplcada para os quas temos o cojuto de meddas M {( x 1 ) ( x )... ( x 1 Em seguda locam-se estes potos um plao cartesao. O cojuto de potos resultate é deomado dagrama de dspersão (vde Fgura). Neste dagrama é possível freqüetemete vsualzar uma curva regular que se aproxme dos potos dados. Esta curva é deomada de ajustameto. A questão cetral para se determar a equação da curva é ecotrar a melhor curva regular de ajuste dos dados. Pode-se usar um crtéro dvdual para traçar uma curva de ajustameto que se adapte a um cojuto de dados (este crtéro você provavelmete já utlzou). Quado é cohecdo o tpo de equação dessa curva é possível obter suas costates medate a escolha de tatos potos da curva quatas sejam as costates da equação. Assm por exemplo se a equação é uma reta a x b () ) }. (1) 5

3 são ecessáros dos potos ( x ) e ( x ) escolhdos da curva (reta) de ajuste para se determar a e b. Se a equação é de uma parábola ax bx c serão ecessáros três potos. A desvatagem deste método é que observadores dferetes podem obter curvas e equações dferetes já que a escolha dos potos é arbtrára. Para evtar o crtéro dvdual de curvas de ajustameto que se adaptem a um cojuto de dados podemos utlzar o Método dos Mímos Quadrados que por se tratar de um método aalítco dcará uma e somete uma curva que melhor represeta um determado cojuto de potos. Nos deteremos ao ajuste somete de retas embora o método possa ser também aplcado a outros tpos de curvas. Supohamos que as gradezas x cujas meddas são dadas por (1) se relacoem learmete. Assm a eq. () será a melhor reta que se ajusta aos potos (1) a qual deseja-se determar. Devdo a erros de medda os valores ( x ) ão satsfazem exatamete à eq. () sto é ax b. Para que esta expressão se trasforme uma gualdade deveremos levar em cota os erros cometdos a medda. Assm Portato ( ax. ( a ( ax (4) ode é a dscrepâca ou erro cometdo a medda de. A soma dos quadrados das dscrepâcas é dada por E( a [ ] 1 ax1 b [ ax 1 b]... [ ax b] ax b. (5) Aplcado-se o Método dos Mímos Quadrados tem-se que os melhores valores para a e b (e portato a melhor reta) são aqueles que mmzam E ( a. Como E é uma fução de duas quatdades ( a e escrevemos esta codção de mímo como (3) E( a 0 e E( a 0 a b (6) ou seja a E( a ( x 1 ax bx ) 0 (7) E( a ( ax 0 b 1 Dessas equações (7) e (8) obtemos as chamadas equações ormas x ( bx ax ) (8) (9) ( ax (10) 6

4 Resolvedo (9) e (10) smultaeamete para a e b ecotramos a x x x x (11) b x x x ( x ) x (1) Como uma aplcação do Método dos Mímos Quadrados apresetamos a segur o ajuste de uma reta. Seja o cojuto de potos que desejamos ajustar. x De acordo com as equações (11) e (1) = 8; devemos agora calcular as somas de x x. e x x x = = 40 x x = 364 x x = 54 Logo pelas eqs. (11) e (1) teremos: a = 064 b = 055 = 064 x Esta equação defe uma reta que passa pelos segutes potos corrgdos: x Como dto a trodução o método pode ser utlzado o ajuste de outras curvas por exemplo um caso de um polômo de grau superor a um para sso basta resolver um sstema parecdo ao sstema (6) com umero superor de equações a depeder do grau do polômo e desta mesma forma se procede para outros tpos de curva. No etato mutas vezes ates de aplcar o método ada é possível learzar as curvas em outras escalas e deste modo pode-se cotuar utlzado o ajuste lear para dferetes curvas como os exemplos a segur: x ) Ajuste a uma curva expoecal do tpo =α 1 α Para justar uma tabela de potos que obedecem a tal curva basta fazer a segute trasformação: ' l l x b ax 1 l b a Observa-se que o ajuste deverá ser feto em uma escala moo-log. 7

5 ) Ajuste a uma curva geométrca =α 1 x α Para justar uma tabela de potos que obedecem a tal curva basta fazer a segute trasformação: ' l l l ' 1 x b ax b a x' Observa-se que o ajuste deverá ser feto em uma escala log-log. ) Ajuste a uma hpérbole 1 axb Para justar uma tabela de potos que obedecem a tal curva basta fazer a segute trasformação: ' 1 ax b IV - EXERCÍCIOS Exercíco 1 A partr das equações (9) e (10) demostre as equações (11) e (1). Exercíco - Ajuste uma reta ao segute cojuto de potos: x Exercíco 3 - Mostre que o ajuste de potos (x ) a uma reta passado pela orgem = x mplca em = (x )/ (x ). Exercíco 5 - A observação e as meddas de um feômeo de decameto radoatvo levaram aos segutes resultados para a taxa de cotagem radoatva (ou atvdade) o tempo: Tempo (h) Taxa evetos /m De posse destes dados determe a depedêca fucoal da atvdade radoatva A(t) da substâca com o tempo t. Para tato trace o gráfco de A(t) x t e observe o comportameto da curva obtda. Você verfca que a depedêca da atvdade com o tempo ão é lear; ou seja a curva obtda ão é uma reta. Trace etão um gráfco um papel log-log e em seguda um outro o papel sem-log. Recordado o que fo troduzdo a dscpla Físca Geral e Expermetal I o papel de gráfco log-log é aquele que tem marcado em ambos os exos uma escala logarítmca e o papel sem-log (ou l-log ou moo-log) é aquele que tem marcado o exo da abcssa uma escala lear e o exo da ordeada uma escala logarítmca. Assm use o exo da abcssa para represetar a varável depedete do feômeo e o exo da ordeada para represetar a atvdade. Como você descreve os resultados dos gráfcos log-log e sem-log? Determe pelo Método dos Mímos Quadrados a melhor reta que represeta o feômeo o papel sem-log. Compare esses resultados com os resultados obtdos dretamete do gráfco. Obteha a le que relacoa a atvdade com o tempo cosderado a relação etre o logartmo eperao (l) e o logartmo a base 10. Os exercícos mostram o uso de dferetes tpos de papel-gráfco (dferetes escalas) e como são obtdas as les que regem os feômeos observados. Das aálses dos dados expermetas 8

6 procura-se a depedêca fucoal etre as varáves observadas que permte extrar uma le físca. O uso da formátca tem possbltado o tratameto de dados de maera mas rápda e efcete. Em um mcrocomputador dotado de um aplcatvo com capacdade de tratar dados e gerar gráfcos - EXCEL LOTUS 13 ORIGIN etc. - é possível repetr os procedmetos dos exercícos deste expermeto. Tete trabalhar com eles e obter as relações e gráfcos aqu mostrados. V PROCEDIMENTO PÊNDULO Utlze um pêdulo para efetuar cco meddas do período (T) varado a dstâca etre o cetro de massa do objeto e o poto de sustetação (L) regulado para sto o comprmeto do fo do pêdulo. Essa dstâca deve varar em toro de 500 cm até 150 cm para que os resultados sejam satsfatóros. O objetvo é aplcar o método dos mímos quadrados para ecotrar a relação de depedêca etre o período de osclação do pêdulo e de suas característcas. 1. Para cada dstâca (L) meça o tempo de 10 osclações e dvda o tempo por 10 obtedo assm o período de uma osclação. Qual a vatagem em utlzar 10 osclações ao vés de uma para medr o período?. Faça a prmera medda com o meor tamaho possível do fo. 3. Agora vare o tamaho do fo de 100 em 100 cetímetros até completar o comprmeto máxmo de 150 cm. VI MATERIAL NECESSÁRIO 1. Barbate. Objeto cldrco 3. Croômetro ou relógo 4. Trea régua 5. Bases garras VII TRATAMENTO DOS DADOS 1. Com os valores determados costrua em papel mlmetrado o gráfco T x L.. Represete os mesmos dados o papel log-log. Que relação parece exstr etre T e L? 3. Ajuste os seus dados pelo método dos mímos quadrados aplcado aos logartmos das gradezas T e L. 4. Por que ão é dcado aplcar as expressões (11) e (1) obtdas pelo Método dos Mímos Quadrados dretamete às gradezas T e L? 9