RESUMO E EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS ( )

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1 NÚMEROS COMPLEXOS Forma algébrca e geométrca Um úmero complexo é um úmero da forma a + b, com a e b reas e = 1 (ou, = -1), chamaremos: a parte real; b parte magára; e udade magára. Fxado um sstema de coordeadas o plao, o complexo z = a + b é represetado pelo poto P(a, b). O poto P é chamado de magem (ou afxo) do complexo z. O plao o qual represetamos os complexos é chamado de plao de Argad-Gauss. O exo dos x é chamado de exo real e o exo dos y é chamado de exo magáro. Em partcular o úmero complexo z = a + b, será chamado: magáro puro se a = 0 e b 0; magáro se a 0 e b 0; real se b = 0. POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA As potêcas de apresetam um comportameto teressate. Essas potêcas se repetem em cclos de 4 e para qualquer potêca atural de correspoderá a uma das segutes possbldades: 0 = 1; 1 = ; = 1; 3 =. Observe que pode ser escrto como = 4q + r, ode q é quocete e r é o resto da dvsão de por 4, assm: IGUALDADE ( ) 4q+ r 4q r 4 q r q r r = =. =. = 1. =. Os complexos z 1 = a 1 + b 1 e z = a + b são guas se, e somete se, a 1 = a e b 1 = b. OPERAÇÃO DE ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO Defem-se, o cojuto dos complexos, as operações usuas, váldas para os úmeros reas, sto é, para efetuarmos a adção/subtração etre complexos basta adcoar/subtrar as partes reas e magáras ordeadamete, para efetuarmos a multplcação etre complexos basta usarmos a dstrbutvdade etre seus elemetos. CONJUGADO O cojugado do complexo z = a + b, a e b reas, é o complexo z = a b. Os complexos cojugados tem mages smétrcas em relação ao exo real. Fazedo. z z obtemos a orma de z, um úmero real. DIVISÃO Para dvdr úmeros complexos, multplcamos dvdedo e dvsor pelo cojugado do dvsor, o que trasforma o problema em uma dvsão por um úmero real. Prof. Claudo Salda

2 EXERCÍCIOS EM SALA 1. (FUVEST) Sabedo que α é um úmero real e que a parte magára do úmero complexo a) -4 b) - c) 1 d) e) 4 + é zero, etão α é: α+. (UEL) Seja o úmero complexo z = x + y, com x e y reas. Se z.(1 ) = (1 + ), etão: a) x = y b) x y = c) x.y = 1 d) x + y = 0 e) y = x 3. Seja a matrz 34 z+ z A=, ode z = a + b é um úmero complexo. zz z z Sedo det A = 7, o valor de a + b é gual a... QUESTÕES PROPOSTAS 01 - (UFJF MG) A fgura abaxo mostra, o plao complexo, o círculo de rao 1, os afxos de cco úmeros complexos e as bssetrz dos quadrates. O úmero complexo z, ode é a udade magára e z é o cojugado de z, é gual a: ṛ ẓ s... w t a) z; b) w; c) r; d) s; e) t; Prof. Claudo Salda

3 0 - (UNICAMP) Um trâgulo eqülátero, scrto em uma crcuferêca de cetro a orgem, tem como um de seus vértces o poto do plao assocado ao úmero complexo 3+. a) Que úmeros complexos estão assocados aos outros dos vértces do mesmo trâgulo? Faça a fgura desse trâgulo. b) Qual a medda do lado desse trâgulo? 03 - (UNIFICADO) A fgura mostra, o plao complexo, o círculo de cetro a orgem rao 1, e as mages de cco úmeros complexos. O complexo 1/z é gual a:. r w. ż. s. t a) z b) w c) r d) s e) t 04 -(UEM) Seja a udade magára, a e b as raízes da equação x + x+ 1= 0, é correto afrmar que a) a parte real de a e a parte real de b são guas. b) a + b = a b c) a + b v = a+ b 3π 3π π π d) as raízes são cos + se e cos + se 6 e) ab = ab 05 -(UFSC) Dados z = 1+ 3, determe a soma dos úmeros assocados à(s) afrmações verdadera(s): 01. O cojugado de z é z= O quadrado de z é z² = (1 3) 04. O oposto de z é z= O produto de z pelo seu cojugado é z.z= A orma de z é 4. Prof. Claudo Salda

4 06 - (UERJ) O valor de a) +. b). c). d). e) é 07 - (IBMEC) Dada uma costate real k, cosdere a equação x kx + k + 1 = 0, a varável x. Para cada valor de k, a equação fo resolvda e suas soluções foram plotadas o plao complexo de Argad-Gauss. Detre as alteratvas abaxo, aquela que mas se assemelha à fgura obtda é a) b) c) d) e) Prof. Claudo Salda

5 08 - (UFOP MG) O cojuto-solução da equação z + (z) = 0 (ode z deota o cojugado do úmero complexo z) é represetado o plao complexo por: a) duas retas perpedculares. b) uma elpse. c) uma hpérbole. d) duas retas paralelas. 09 -(UEPG) Sabedo que = 1, assale as proposções corretas = Se é uma raz da equação x + bx = 0, etão b = 4 + a 04. Para que z= seja um úmero real, a = O termo médo do desevolvmeto do bômo ( + 1) 4 vale 4 7π 16. O argumeto do complexo z= 1 é rad (UFRN) O úmero complexo ( ) 5 é gual a: 1+ a) b) 1 c) 1 d) 11 -(FURG) Se u = 1 é um úmero complexo e u, seu cojugado, etão z = u + 3u é gual a a) 6 b) c) 6 d) 8 + e) (UNESP) Cosdere o úmero complexo z =, ode é a udade magára. O valor de a) 1 b) 0 c) 1 d) e) z z + z + z+ é z (UFJF MG) Se é a udade magára, etão = 1 a) 1 ; b) 1 + ; c) 0; d) 1 + ; e) 1. vale: Prof. Claudo Salda

6 14 - (UNIMEP) O valor de (1 + ) 10 ode é a udade magára, é: a) 64 b) 18 c) 3 d) -3 e) ehuma das aterores 15 - (ITA) Sejam x e y úmeros reas, com x 0, satsfazedo (x + y) = (x + y). Etão: a) x e y são úmeros rracoas. b) x > 0 e y < 0 c) x é uma raz da equação x 3 + 3x + x 6 = 0 d) x < 0 e y = x e) x + xy + y = 0, (UEPG) Sedo m o úmero que tora o complexo 4m z=, um magáro puro; etão o valor de N= 4m m é (UEL) Qual é o valor de a, real, para que a) b) 1 c) 0 d) 1 e) + a 1 seja um magáro puro? 18 - (UNIOESTE) Seja z um úmero complexo da forma a + b, ode a e b são escolhdos detre os elemetos do cojuto {0, 1,, 3, 4, 5}. a) Quatos úmeros complexos podem ser assm formados? b) Detre os úmeros formados, quas satsfazem a equação z + z=? 19 -(IME) Sejam z e w úmeros complexos tas que: w z = 4+ 1 z w= + 4 ode z e w represetam, respectvamete, os úmeros complexos cojugados de z e w. O valor de z + w é: a) 1 b) + c) 1 + d) e) + Prof. Claudo Salda

7 0 - (UEM) Cosderado z 1 e z dos úmeros complexos dsttos etre s, cujas represetações geométrcas em um sstema ortogoal de coordeadas são smétrcas em relação ao exo das abscssas, marque a(s) alteratva(s) correta(s). 01. Se z 1 = +, etão, z = z =. 1 z 04. z 1 + z = Se z 1 é a raz de um polômo com coefcetes reas, etão, z também é raz deste polômo. 16. Se O é a orgem do sstema ortogoal de coordeadas, etão, os potos que represetam O, z 1 e z, o sstema ortogoal, são potos coleares. GABARITO Udades Dezeas A * E C 9 A D A 31 1 D B E D C C 1 E * D a) ; A = 3+ ; B = - 3+ ; C = -. b) a) 36 b) 1, 1+, 1+, 1+3, 1+4, 1+5. Prof. Claudo Salda

8 Forma trgoométrca Represetaremos o complexo z = a + b, o plao de Argad-Gauss, ão mas como um poto P(a, b), mas como um vetor OP = (a, b). Assm o módulo de um úmero complexo z = a + b é defdo como sedo o módulo do vetor que o represeta, sto é, o valor da dstâca de sua magem P à orgem. Portato, z = a + b. Um argumeto de um complexo z 0, é por defção qualquer dos âgulos θ que o vetor OP forma com o sem-exo postvo dos x. O argumeto que pertece ao tervalo ]-π, π] é dto argumeto prcpal (a maora dos problemas quado exste referêca ao argumeto de um complexo é sobre este de que se trata). Usado a trgoometra temos que: a = z.cosθ; e b = z.seθ. Logo o complexo z = a + b pode ser escrto como: z = z.(cosθ +.seθ ). OPERAÇÕES Para efetuarmos as operações de multplcação e dvsão etre complexos usamos o segute teorema. Teorema: Se z = z ( α+ se α ) e = ( β+ β) 1 1. cos. z. cos. z se úmeros complexos etão: 1 1 ( ) z. z = z. z. cos( α+β ) +. se ( α+β) z z 1 1 e se z 0, =.( cos( α β ) +. se( α β) ) z z. Se é um úmero tero a potêca de um complexo é dada por: =.( cos( θ ) +. ( θ) ) cohecdo como Fórmula de Movre. z z se. Este resultado é Prof. Claudo Salda

9 Cálculo de raízes de um complexo Para calcular = z z.( cos θ+. se θ) devemos obter ω =.( cos θ+. θ) Fazedo ω= ω.( cos α+. se α), obtemos: z se. ( ω.( cos α+. α )) se = z.( cos θ+. seθ) ω.( cos( α ) +. se( α )) = z.( cos θ+. se θ) Como complexos guas tem módulos guas e argumetos cogruetes, temos: a) ω = z ω= b) α = θ + kπ z ; e θ+ kπ α=, k tero. Assm as raízes -ésmas de z são dadas por: θ+ kπ θ+ kπ ω k = z. cos +. se, com k = 0, 1,,..., (-1). Observe que: as mages das raízes de um complexo se stuam em uma crcuferêca de cetro a orgem e rao gual a z formado um polígoo regular scrto de lados (se >); os argumetos crescem em progressão artmétca de razão k. ( ) São formas equvaletes de se escrever um complexo: z= a+ b= z. cos θ+. seθ = z. e θ, respectvamete forma algébrca, trgoométrca e expoecal. EXERCÍCIOS EM SALA 1. (UFSC) Sedo θ o argumeto prcpal do úmero complexo z= +, etão o valor da quta parte de θ em graus, é:. (UEL) Sejam z 1 e z os úmeros complexos z 1 = 3.(cos 30º +.se 30º) e z = 5.(cos 45º +.se 45º). O produto de z 1 por z é o complexo: Prof. Claudo Salda

10 a) 15.(cos 1350º +.se 1350º) b) 8.(cos 75º +.se 75º) c) 8.(cos 1350º +.se 1350º) d) 15.(cos 15º +.se 15º) e) 15.(cos 75º +.se 75º) 3. (UFPR) Sedo a udade magára, o valor de 30 é: 4. (FGV) As raízes quadradas do úmero 3+4, ode represeta a udade magára, são: a) {+, } b) {1+, 1 } c) {3+, 3 } d) {4+, 4 } e) {1+, 1 } QUESTÕES PROPOSTAS 01 -(ITA) Cosdere os úmeros complexos z = + e w = Se a) 34 b) 6 c) 16 d) 4 e) w + 3z + 4 m=, etão m vale: 3 z + w (ITA) As raízes de ordem 4 do úmero z= e, ode é a udade magára, são: a) z k = cos θ k +. se θ k, ode θ = 1+ 4k k. π, com k = 0, 1,, 3. 8 b) z k = e θ k, ode θ = 1+ 3k k. π, com k = 0, 1,, 3 8 c) z k = e θ k, ode θ k = 4kπ, com k = 0, 1,, 3 d) z k = e θ k, ode θ = 1 4k k. π, com k = 0, 1,, 3 8 e).d.a π Prof. Claudo Salda

11 03 - (UNIFOR CE) Seja o úmero complexo z = x + 3, em que x é um úmero real egatvo. Se z = 6, etão a forma trgoométrca de z é a) π π 6.(cos +.se ) 3 3 b) 5π 5π 6.(cos +.se ) 6 6 c) 4π 4π 6.(cos +.se ) 3 3 d) 5π 5π 6.(cos +.se ) 3 3 e) 11π 11π 6.(cos +.se ) 6 6 5π 5π 04 -(UEM) Seja z = 3 cos + se um úmero complexo. 3 3 É correto afrmar que o cojugado de z é a) z = 3(1+ 3) b) 3 z = (1+ 3) c) 3 z= (1 3) d) 3 z = ( 1+ 3) e) z= 3(1 3) 05 -(UEM) Cosderado o polômo de varável complexa p(z) = z 1, assale o que for correto. π π 01. Pode-se afrmar que z = cos + se é uma raz para esse polômo. 1 1 π π 0. Pode-se afrmar que, se z = cos + se é uma raz para esse polômo, etão, para todo atural k, z k é 1 1 também raz desse polômo. kπ kπ 04. Pode-se afrmar que, se z k = cos + se, k, é uma raz para esse polômo, etão o polômo 1 1 tem ftas raízes. 08. As raízes desse polômo estão sobre a crcuferêca de cetro a orgem e rao1, dada por z = Como p(z) ( z 1)( z + 1) 1 =, cosdere apeas as raízes de q(z) = z 1. Essas raízes determam um polígoo 3 scrto a crcuferêca z = 1, cuja área é 3 u.a. 06 -(UEPG) Em relação aos úmeros complexos z 1 = +, z = 1 + e z 3 = 3, assale o que for correto z 1, z e z 3, esta ordem, formam uma P. G. de razão z 1, z e z 3, esta ordem, formam uma P.A. cuja razão é o cojugado de z = 1. π 04. O módulo e o argumeto de z 3 são, respectvamete, 3 e rd. 08. A soma dos quadrados dos módulos de z 1 e z é O valor de 6 z é Prof. Claudo Salda

12 07 - (CEFET) O úmero complexo, cujas raízes sextas estão represetadas a segur, é: 5 π 5 π a) 79 cos + se π 5 π b) 7 cos + se π 5 π c) 79 cos + se π 5 π d) 81 cos + se π 5π e) 7 cos + se (IME RJ/010) Cosdere o sstema abaxo, ode x 1, x, x 3 e Z pertecem ao cojuto dos úmeros complexos. (1+ )x1 x + x 3 = 0 x1 x x 3 = Z ( )x1+ x x 3 = 0 O argumeto de Z, em graus, para que x 3 seja um úmero real postvo é: a) 0 b) 45 c) 90 d) 135 e) 180 Obs.: = (UEM) Com relação aos úmeros complexos, assale o que for correto. 01. ( + ) 6 é um úmero magáro puro z= é um úmero cujo módulo é. 1+ z Se = 3, etão z=. z O poto, o plao complexo, correspodete ao úmero complexo z= está localzado o 4.º quadrate. 1+ 5π 5π cos + se é a forma trgoométrca do úmero complexo z= Prof. Claudo Salda

13 π π 7π 7π 10 -(UEM) Cosdere os úmeros complexos z 1 = (cos + se ) e z = (cos + se ) e as suas represetações o plao complexo xoy. Cosdere ada que, se z é um úmero complexo, etão z represeta o seu cojugado. Sobre o exposto, é correto afrmar que 01. z 1 = z ( z ) = 3(z. 1 ) 04. z 1 e z pertecem à crcuferêca de equação x + y =. 08. z 1 é solução da equação z z+ 4= a medda do segmeto que ue z1 e z é (1+ 3) udades de comprmeto (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados úmeros complexos z e w, chamados mra e alvo respectvamete. O tro certero de z em w é o úmero complexo t tal que tz = w. Cosdere a mra z e o alvo w dcados a fgura acma. Determe o tro certero de z em w. 1 -(UEPG) A respeto do úmero complexo z=1+, assale o que for correto. 01. z 10 = 3 0. z zé um úmero real ( z é o cojugado de z) 04. z é uma das raízes cúbcas de 4 π π 08. A forma trgoométrca de z é z = cos + se (UEM) Com relação aos úmeros complexos, assale a alteratva correta. kπ kπ a) Para todo k Z, z = cos + se é solução de x 1= 0, para qualquer N *. b) =. π π c) (cosθ+ seθ) = cos θ+ + se θ+, em que θ R. d) Se z = a + b, etão z + z = (a+ b)(a b), em que a,b R e z é o cojugado de z. 1 z e) Se z= 1, etão =, em que z é o cojugado de z. z Prof. Claudo Salda

14 14 - (UNESP) Cosdere o úmero complexo a) 1 3 b) + c) d) e) π π z= cos + se. O valor de z + z + z é: (UEM) Cosdere os úmeros complexos z 1 = 6+ 3 e z = No plao complexo (ou plao de Argad- Gauss), a curva defda pela equação z z = z z tersecta o exo y (ou exo magáro) em um poto Q. A ordeada de Q é (UFMS) Um úmero complexo é um úmero da forma z = x+ y, com x e y reas e = 1. Fxado um sstema de coordeadas o plao, o complexo z = x+ y pode ser represetado pelo poto ( x, y), chamado magem do complexo z. O cojugado do complexo z = x+ y é o úmero complexo z= x y. A fgura abaxo mostra, o plao complexo, uma crcuferêca de cetro a orgem e rao 1, e as mages de oto úmeros complexos z 1, z, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7 e z 8, que estão sobre os vértces de um octógoo regular scrto essa crcuferêca. Cosderado essas formações, assale a(s) proposção(ões) verdadera(s). 01. z = z8 0. z = 1 z3 7 z z3 z4 = z z 4 = cos135º se º z 0 z 6 = Prof. Claudo Salda

15 17 - (UEM) Deoma-se argumeto de um úmero complexo ão ulo z = x+ y um âgulo θ tal que y se θ =, em que r = z. Cosderado 0 θ< π, assale a alteratva correta. r π a) O argumeto de z= 3+ é 6 π 1 3 b) Se o argumeto de um úmero complexo z 0 é e o módulo de z0 é 1, etão z 0 = + 3 π c) Se z =, etão o argumeto de z é x cos θ = e r d) Se z = x+ y é um úmero complexo qualquer ão ulo, etão podemos escrevê lo como z= z (cosθ+ seθ), em que θé um argumeto z. e) Se o módulo de um úmero complexo z 0 é 5, etão z 0 = (UNESP) As soluções da equação z 3 =, ode z é um úmero complexo e = 1, são: 1 a) z= ± + ou z= 3 1 b) z= ± ou z= 3 1 c) z= ± + ou z= 1 d) z= ± ou z= 1 3 e) z= ± ou z= 19 - (UEPG) As represetações gráfcas dos complexos z tas que z 3 = 1 são os vértces de um trâgulo. Em relação a esse trâgulo assale o que for correto. 01. É um trâgulo equlátero de lado gual a 3 u.c. 0. É um trâgulo sósceles de altura gual a 4 3 u.c. 04. Um de seus vértces pertece ao º quadrate. 08. Seu perímetro é 3 3 u.c. 16. Sua área é u.a 0 -(UEM) Sobre os úmeros complexos, assale o que for correto ) Se z = 4 + e w=, etão zw = ) () 45 = ) z= é um úmero real ) Se z = + 3, etão z = 5. π π 16) Se z= 3+, etão z=. cos +. se ) Se z 1 = r 1 e α e z = r e β, etão z 1 z =r 1 r e (α+β). 64) Se z = re α etão z -1 = re -α. Prof. Claudo Salda

16 GABARITO Udades Dezeas A A B B 7 A E * 09 B D 35 1 E C t= 3 Prof. Claudo Salda