Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M.

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1 Módulo: Bômo de Newto e o Trâgulo de Pascal Bômo de Newto e o Trâgulo de Pascal ao do EM

2 Módulo: Bômo de Newto e o Trâgulo de Pascal Bômo de Newto e o Trâgulo de Pascal Exercícos Itrodutóros Exercíco Para cada um dos úmeros bomas abaxo, ecotre outro de mesmo valor e a mesma lha do Trâgulo de Pascal Por exemplo, a b c d 7 0 Exercíco Calcule os úmeros Bomas abaxo: a b c d Exercíco Determe o coefcete de a x o desevolvmeto de x + ; b x o desevolvmeto de x + ; c x o desevolvmeto de x + ; d x o desevolvmeto de x + Exercíco + : + a Se b Se c Se d Se Em cada tem abaxo, determe o valor de e ; + e 6; + 8 e 6; + 6 e 6 + Exercíco Determe o valor de + + se: a + 6 e 9; + b + e 66; + c + e + + Dca: Use que Exercíco 6 Determe o coefcete de x o desevolvmeto de x + Veja exercíco 0 Exercíco 7 Determe o coefcete de x o desevolvmeto de x + Exercíco 8 Determe o úmero de termos o desevolvmeto de cada um dos bômos abaxo: a x + y b x + y c x + y 7 d x + y Exercíco 9 No desevolvmeto de x + y 00, qual o vgésmo termo se o desevolvmeto for feto em potêcas de expoetes crescetes em x? Exercíco 0 Determe o coefcete depedete de y o desevolvlmeto dos segutes bômos: a y + y b c y + y 6 y + y Exercíco Ecotre a soma dos possíves valores de p que satsfazem: a p + p b p + p c p + 6 p d p + p Exercícos de Fxação Exercíco Qual o coefcete de x + o desevolvmeto de x + x? Exercíco Quatos termos racoas aparecem o desevolvmeto de + 0? Exercíco Calcule aproxmadamete, 00 0 usado o Teorema Bomal Exercíco Calcule aproxmadamete, 00 0 usado o Teorema Bomal Exercíco 6 Calcule o valor da soma: S Exercíco 7 Determe o termo cetral do desevolvmeto de x 8 x Exercíco 8 Determe o coefcete de x o desevolvmeto de x + x matematca@obmeporgbr

3 Exercíco 9 Para que valores de o desevolvmeto de x x possu um termo depedete de x Exercícos de Aprofudameto e de Exames Exercíco 0 Exercíco + Mostre que + Mostre que + +!!! Exercíco O termo depedete de x o desevolvmeto de x 0 x é gual a: a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 Exercíco Desevolvedo-se o bômo Px + x, podemos dzer que a soma de seus coefcetes é a 6 b c d 0 e 8 Exercíco A expressão + é gual a: a 60 b 690 c 7 d 8 e 60 Exercíco A soma dos coefcetes de todos os termos do desevolvmeto de x y 0 é gual a: a 0 b c 9 d e 9 Exercíco 6 Sedo um úmero real postvo, o tercero termo do desevolvmeto de x +, ordeado segudo expoetes decrescetes de x, é 66x 0 Assm, é correto afrmar que é gual a:, deter- a /66 b /6 c /8 d / e / Exercíco 7 Se + 6 me o valor de a b 6 c 9 d e 8 Exercíco 8 O termo depedete de x o desevolvmeto do bômo x x é x Exercíco 9 Sabedo que x e y são úmeros postvos x y e x + x y + 6x y + xy + y 6, podemos coclur que: a x 7/6 b x 6/ c x / d x / e x / Exercíco 0 A respeto das combações a e b, temos que, para cada,,, a dfereça a b é gual a:! a + a b e + a Exercíco + a c + a d + a Sabedo que é de 0 a soma dos coefcetes do polômo em x e y, obtdo pelo desevolvmeto do bômo x + y m, temos que o úmero de arrajos sem repetção de m elemetos, tomados a, é: a 80 b 90 c 70 d 00 e 60 Exercíco cos x 0 Em [0, π], se α é a maor raz da equação cos x + cos x cos x + 0, etão se α vale: a b c 0 d / e / Exercíco Cosdere a equação, o cojuto dos úmero reas, x + x + x x + x + 7x etão x 6 vale: a 6 b 0 c 6 d 6 6 e 6 Exercíco No desevolvmeto de [x + /x], N, os coefcetes bomas do quarto e do décmotercero termos são guas Etão o termo depedete de x é o: a décmo b décmo-prmero c oo d décmo-segudo e sexto Exercíco Para cada, temos que + + é gual a: a 79 b 97 c 89 e 6 7 d 76 a b c d + e + matematca@obmeporgbr

4 Exercíco 6 A soma de todos os coefcetes do desevolvmeto de x y 7 é: a 0 b c d 7 e 9777 Exercíco 7 O coefcete de x o polômo px x x + é: a 0 b 0 c 00 d 0 e 80 Exercíco 8 Se o tercero termo do desevolvmeto de a + b é a b, etão o sexto termo é: a a b b a b c a b d 7ab 6 e 7a b Exercíco 9 Sejam α e β úmeros reas Supoha que ao desevolvermos αx + βy, os coefcetes dos moômos x y e x y sejam guas a 0 e 70, respectvamete Nestas codções, assale a opção que cotém o valor de α β a / b / c / d e / Exercíco 0 Todas as captas de um país estão terlgadas por estradas pavmetadas, de acordo com o segute crtéro: uma úca estrada lga duas captas Com a cração de duas ovas captas, fo ecessára a costrução de mas de estradas pavmetadas para que todas as captas cotuassem lgadas com o mesmo crtéro Determe o úmero cal de estradas Exercíco Um cofre eletrôco possu um pael com dez teclas umércas e pode ser aberto por meo da dgtação, em qualquer ordem, de três teclas dsttas detre ses habltadas prevamete pelo fabrcate Cosdere o úmero máxmo de cojutos de três teclas que abrem o cofre Na fgura em destaque, as teclas azus represetam as habltadas prevamete Exercíco Mostre que: m m r r r m r Se o fabrcate reduzsse para cco o úmero de teclas habltadas, havera etre elas um total de m cojutos dsttos de três teclas dsttas para abrr o cofre Calcule o valor de m Exercíco Desevolvedo-se a expressão [x + /xx /x] 6, obtém-se como termo depedete de x o valor: matematca@obmeporgbr

5 a 9 7 a 7 b 6 c 6 d Respostas e Soluções b c d a Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por 6 b Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por 8 c Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por 90 d Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por 80 Pela relação de Stfel, temos: Portato, basta somar os valores dados em cada tem a 70 b c 8 d Usado a dca, segue que: Temos etão a 9 66 b 6 c 6 6 Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por 7 Pelo desevolvmeto de Newto, o coefcete de x é dado por Como a + b a b, o desevolvmeto 0 de tal bômo possu + termos Portato, as respostas são: a b 6 c 8 d 9 Desevolvedo em potêcas de expoete crescete, temos x + y x y 00 Portato, o vgésmo 0 00 termo é x 9 y a b c No desevolvmeto do Bômo de Newto, o termo geérco será da forma y y Assm o termo depedete ocorre quado, ou seja, 6 Portato o coefcete procurado é No desevolvmeto do Bômo de Newto, o termo 6 geérco será da forma y y 6 Assm o termo depedete ocorre quado 6, ou seja, 6 Portato o coefcete procurado é 6 60 No desevolvmeto do Bômo de Newto, o termo geérco será da forma y y Assm o termo depedete ocorre quado, ou seja, 96 Portato o coefcete procurado é Para que temos l ou l, sso l os gera tpcamete dos casos em cada equação: a b No prmero caso, p + p, ou seja, p No segudo caso, p + p, ou seja, p Portato a soma procurada é 7; No prmero caso, p + p, ou seja, p No segudo caso, p + p, ou seja, p Portato a soma procurada é ; matematca@obmeporgbr

6 c d No prmero caso, p + 6 p, ou seja, p No segudo caso, p + 6 p, ou seja, p Portato a soma procurada é ; No prmero caso, p + p, ou seja, p No segudo caso p + p, ou seja, p 6 Portato a soma procurada é ; Em vrtude da multplcação por x, todos os termos do desevolvmeto de x + x terão expoete pelo meos a varável x Portato, se <, o coefcete de x + será zero Se, o coefcete de x + o produto dado é gual ao coefcete de x + x em x +, ou seja, No desevolvmeto do Bômo de Newto, o termo 0 geérco terá a forma 0 Quado é par, tato quato 0 são racoas Quado é ímpar, , 0 sedo 9 racoal Como 0 é rracoal, o produto ateror também é um úmero rracoal Portato, os termos do desevolvmeto são racoas apeas quado é par e, cosequetemete, exstem 6 termos racoas o desevolvmeto bomal Se a e h 0, 00, temos, 00 0 a + h 0 0 a 0 + a 9 h + 0 a 0 + a 9 h, 00 0 a 8 h + Fzemos a aproxmação ateror usado que as potêcas h, com >, estão muto próxmas de zero bem como os termos geércos 0 a0 h assocados a elas Usado uma calculadora, ote que, 00 0, 0077 Repetdo a estratéga do exercíco ateror, se a e h 0, 00, temos, 00 0 a + h 0 0 a 0 + a 9 h + 0 a 0 + a 9 h, 0 0 a 8 h + Fzemos a aproxmação ateror usado que as potêcas h, com >, estão muto próxmas de zero bem como os termos geércos 0 a0 h assocados a elas Usado uma calculadora, ote que, 00 0, Pelo desevolvmeto bomal de Newto: S O termo geérco do desevolvmeto bomal é dado por x x 8 O x termo cetral pode ser obtdo fazedo 8/ e é 8 dado por x 70x 8 Temos x + x x + x + x + x x + x + x + x Basta etão determarmos o coefcete de x em cada um dos termos aterores No prmero, seu coefecete é No segudo, é e o tercero é Portato, o coefcete de x o produto é O termo geérco do desevolvmeto bomal é dado por x x x Para que exste um termo depedete de x, devemos ter da forma para algum tero ão egatvo 0 Prmera Solução + + +! +!! + +!!! matematca@obmeporgbr

7 Seguda Solução Cosdere um grupo de + craças e o segute problema: De quatas formas podemos escolher + delas para partcparem de uma vagem sabedo que uma das escolhdas também receberá um prêmo especal extra? Podemos resolver esse problema de duas formas A prmera delas é escolher calmete as + craças, sso + pode ser feto de formas, e posterormete, escolher detre as selecoadas aquela que receberá o prêmo, + sso pode ser feto de + formas Pelo prcípo multplcatvo, temos + escolhas possíves A + + seguda forma sera calmete escolher a craça que gahará o prêmo e que evtavelmete estará a vagem, sso pode ser feto de + formas, e em seguda, escolhermos as outras craças, detre as que sobraram, de formas Novamete, pelo prcípo multplcatvo, o total de escolhas possíves é + Portato, como as duas cotages devem produzr úmeros guas, temos Basta agora dvdr equação por + para coclurmos o desejado Aplcado o exercíco ateror, podemos escrever: +! 0!!! Extraído da Ama 0 O termo geérco do desevolvmeto bomal é da forma 0 0 x x x 0 Para o termo depedete de x, devemos ter 0 0, ou seja, Portato, o coefcete procurado é Resposta letra B Extraído da FGV 0 O termo geérco do desevolvmeto bomal é da forma x Ao substturmos x por, obteremos apeas o coefcete e, cosequetemete, a soma de todos eles é dada por + Resposta letra C ITA 00 Se a e b, temos a + b a b a b a b a b b + a b + a b FGV 008 O termo geérco do desevolvmeto 0 bomal é da forma x y 0 Ao substturmos x e y por, obteremos apeas o coefcete de cada termo e, cosequetemete, a soma de todos eles é dada por 0 Resposta letra B 6 FGV 007 O desevolvmeto pelo Bômo de Newto ordeado segudo expoetes decrescetes de x é: x + x + x + x 0 + Igualado o tercero termo forecdo o eucado ao ecotrado a expressão ateror, temos 0 66, ou seja, /0 Como é postvo, devemos ter / e a resposta é a letra E 7 FGV 00 Pela relação de Stfel, Para ocorrer tal gualdade etre elemetos de uma mesma lha do Trâgulo de Pascal, devemos ter 6, ou seja, 8 Resposta letra E 8 ITA 00 O termo geérco do desevolvmeto bomal é dado por x x x /6 x / 6 matematca@obmeporgbr

8 Para o termo depedete de x, devemos ter 0, ou seja, Portato, o coefcete procurado é: Resposta letra E 9 FGV 00 Temos / x + x y + 6x y + xy + y x + y Como x e y são reas postvos, segue que x + y Resolvedo o sstema: x + y x y ecotramos como soluções x / e y / Resposta letra E 0 ITA 00 Prmera Solução a b!!!!! +!! +!! + a Seguda Solução Pelo exercíco 0, temos a b a ITA 00 Para ecotrarmos a soma dos coefcetes da expasão bomal de x + y m, basta fazermos x y, obtedo + m m Sabedo que tal valor é 0, podemos coclur que m 0 Portato o úmero de arrajos sem repetção de 0 elemetos tomados dos a dos é Resposta letra B Maceze 999 Pelo desevolvmeto do Bômo de Newto, a expressão dada é equvalete a cos x 0, ou seja, cos x No tervalo [0, π], a maor solução é α π Portato, se α se π Resposta letra A Pelo desevolvmeto do Bômo de Newto, o membro do lado esquerdo é equvalete a x + x Portato, x 7x, ou seja, x e x 6 0 Resposta letra B Maceze 999 A gualdade dada etre os coefcetes bomas mecoados o eucado os permte coclur que Portato, + O termo geérco do desevolvmeto bomal possu a etão a forma x x O termo x depedete de x ocorre quado 0, ou seja, e o termo depedete de x é o sexto Resposta letra E ITA 99 Se, temos j0 j0 j + j j + j j + j0 j+ j j + j0 Como é úmero real, podemos coclur que j0 j0 j j j + A resposta é a letra A j 0 6 FEI 99 Basta fazer x y, obtedo 7 Resposta letra B 7 matematca@obmeporgbr

9 7 UFCE Os termos de grau e o desevolvmeto bomal x + são x e x Pela propredade de dstrbutvdade, o termo de grau o produto dado é x x 80x Portato, o coefcete procurado é 80 8 PUC-RS O tercero termo, segudo potêcas crescetes de b, é da forma a b Comparado com o coefcete dado, temos, ou seja 7 O 7 sexto termo é dado por a b a b a b Resposta letra C 9 UFCE Pelo desevolvmeto do Bômo de Newto, temos xα yβ 0x y xα yβ 70x y Dvddo os coefcetes da prmera equação pelos da seguda, obtemos Resposta letra E α β α β O termo depedete de x ocorre quado 0, ou 6 seja, Portato, o coefcete procurado é 0 Iremos provar a gualdade usado uma cotagem dupla Cosdere o problema de cotarmos o úmero de maeras de escolhermos m bolas, detre um grupo de bolas guas, para serem ptadas de preto e, em seguda, escolhermos r dessas m bolas que serão ptadas de preto para receberem também uma lstra da cor azul O úmero de maeras de escolhermos as bolas que serão ptadas de preto é Em seguda, o úmero m de maeras de escolhermos m dessas bolas que serão m ptadas de preto para receberem a lstra azul é r Pelo prcípo multplcatvo, o total de escolhas é m m r Outra maera de resolver o problema é calmete escolhermos logo as r bolas que serão ptadas de preto e que vão receber a lstra azul, sso pode ser feto de r maeras Em seguda, das r bolas restates, basta escolhermos as m r bolas que serão ptadas apeas r de preto Isso pode ser feto de Pelo prcípo m r r multplcatvo, o total de escolhas é r m r Como as duas cotages devem produzr úmeros guas, obtemos assm o resultado do eucado 0 UERJ 0 Adaptado Cada uma das ovas cdades deverá ser lgada a cada uma das cdades e assm de cada uma delas partrão ovas estradas Além dsso, precsamos ur essas duas ovas por uma estrada Portato, +, ou seja, 0 O total de estradas o íco era 0 6 e m UERJ 00 Temos 6 m FGV-SP Temos Portato, [x + /xx /x] 6 x x x x 6 x Produzdo por Arqumedes Curso de Eso cotato@cursoarqumedescom 8 matematca@obmeporgbr