Exercícios - Sequências de Números Reais (Solução) Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Exercícos - Sequêcas de Números Reas (Solução Prof Carlos Alberto S Soares 1 Dscuta a covergêca da sequẽca se(2. Calcule, se exstr, lm se(2. Solução 1 Observe que se( 2 é lmtada e 1/ 0, portato lm se(2 = 0. 2 Seja uma sequêca (x tal que exstam a, b R, sedo 0 < a < x < b a partr de um certo 0. Mostre que x 1/ 1. Solução 2 Temos a 1/ < x 1/ < b 1/ e daí o resultado segue. É teressate otar que se (x é uma sequêca tal que x a com a > 0 teremos x 1/ 1. De fato,este caso, exstem c e b tas que a partr de um certo 0 teremos 0 < b < x < c e daí segue. 3 Sedo r 1, r 2,..., r k úmeros reas dsttos, costrua uma sequêca que possua k subsequêcas covergetes, cada uma para cada um desses úmeros. Solução 3 O exercíco pode ser resolvdo de váras maeras. Uma delas, que acredto seja bem smples, sera tomar Z k = {0, 1,..., k}. Costrua agora uma sequêca (x tal que para os ídces em, x seja gual a r. 4 Costrua uma sequêca que teha subsequêca covergdo para cada úmero tero. Solução 4 Basta escrever N como uma uão eumerável de subcojutos dsjutos =1 N e costrur uma sequêca (x tal que para os ídces N todos os termos sejam guas a. Escrever N como uma uão dsjuta, pode ser feta faclmete usado, por exemplo, potêcas de prmos. 6 Seja (x uma sequêca de úmeros reas estrtamete postvos. Supoha que x +1 x r < 1. Mostre que x 0. Solução 5 Exste 0 tal que se 0 teremos x +1 x r. Note que x = x x 1... x 0 +1 x 1 x 2 x 0 x 0 e portato x r 0 x 0 e como x > 0 o resultado segue. 7 Seja (x uma sequêca de úmeros reas estrtamete postvos. Supoha que x +1 x r > 1. Mostre que x ão é lmtada e portato é dvergete. Solução 6 Aálogo ao ateror.

2 8 Seja (x uma sequêca de úmeros reas estrtamete postvos. Supoha que (x 1/ r < 1. Mostre que x 0. Solução 7 Exste 0 tal que se 0 teremos x 1/ r e portato Daí, o resultado segue. x r. 9 Seja (x uma sequêca de úmeros reas estrtamete postvos. Supoha que (x 1/ r > 1. Mostre que x ão é lmtada e portato é dvergete. Solução 8 Aálogo ao ateror. 10 Determe, se exstrem, os lmtes das sequêcas abaxo: (a (a /! (b (b / (c se( Solução 9 Exercícos a e b podem ser fetos faclmete usado os exercícos 6 e 7. No ítem (c ote que para cada k atural exste k N tal que 2kπ + π/6 < k < 2kπ + π/2 e sedo se( k lmtada, possu uma subsequêca covergdo para um úmero etre 1/2 e 1. Da mesma forma, exstem aturas k tas que 2kπ + π < k < 2kπ + 3π/2 e portato se( k possu uma subsequêca covergdo para um úmero etre 1 e 0. Logo se( é uma sequêca dvergete. 11 Se 0 < a b e se x = (a + b 1/, mostre que x b. Solução 10 Note que para todo atural teremos b < a + b < 2b e portato b < (a + b < 2 1/ b e daí o resultado segue. 12 Seja x 1 R tal que x 1 > 1 e x +1 = 2 1 x. Mostre que (x é moótoa e lmtada. Solução 11 A soluç é smples bastado mostrar, por dução, que 2 > x > 1 para todo e que x +1 x 0. Sedo (x moótoa e lmtada, segue que (x coverge e usamos lmte em ambos os membros para mostrar que seu lmte é gual a 1. 2

3 13 Sejam y 1 = 1 e y +1 = (2 + y 1/2. Mostre que (y é moótoa e lmtada. Determe, justfcado, seu lmte. Solução 12 Note que 0 < y < 2, N. Teremos ada que y 2 +1 y 2 0 y +1 y 0 1 y 2 e daí o resultado segue. O lmte determa-se como o exercíco ateror. 14 Mostre que um polômo p( = a k k +a k 1 k a 1 +a 0 tede a ± coforme seja a k postvo ou egatvo respectvamete. Solução 13 p( = k (a k + a k a 1 k 1 + a 0 k daí o resultado segue. 15 Seja p( como o exercíco ateror, com a k > 0. Mostre que exste 0 tal que p( > 0 para todo 0. Desta forma, fca defda a sequêca x = + 0 p( Mostre que x 1. Solução 14 Note que p( a k k > 0 e portato, pelo cometáro que se segue ao exercíco 2, teremos que e como o resultado segue. p( k 1 p( p( = k k 16 Mostre que 1 1+a 0 se a 0 17 Mostre que se x a e x b, etão a = b Ucdade do lmte! Feto o lvro. 18 Mostre que (1x a (2x a 0 (3 x a 0 Dreto da defção! 19 Mostre que se x a, et ão x a. Dê um exemplo mostrado que a recíproca ão é verdadera. Já dscutdo em sala! 3

4 20 Mostre que se sedo (x, (y, (z sequêcas e k R tas que y a, z b, x c e y x z se k. Etão a c b. Feto o lvro! 21 Sejam x a, y a, z a e N = N 1 N2 N3. Defmos x se N 1 w = y se N 2 z se N 3 Mostre que w a. Solução 15 Dado ϵ > 0 exstem úmeros aturas 1, 2, 3 tas que x a < ϵ desde que > 1, N 1, > 2, N 2 e > 3, N 3. Logo, se N e > max{ 1, 2, 3 } teremos x a < ϵ. 22 Seja t tal que 0 t 1 N. Se x a e y a, mostre que z a ode z = t x + (1 t y. Solução 16 z a = t x t y + y a = t (x y + y a. Como t é lmtada e x y 0, teremos t (x y 0 e, como, y a 0 o resultado segue. 23 Verfque a covergêca das sequêcas: (a a, 0 < a < 1 (b b, b > 1 (ca, 0 < a < 1 (d c, c > 0 (e b 23, b > 1 (f! 3 2 Exercícos que podem ser fetos faclmete usado os exercícos 6, 7, 8 ou 9! 24 Mostre que se x e (y é lmtada ferormete( exste k tal que y > k, etão (x + y. Solução 17 Teremos x + y x + k e daí o resultado segue. 25 Mostre que se x e exste c > 0 tal que y > c para todo N, etão x y Aálogo ao ateror! 1 26 Mostre que se x > 0 para todo, etão x 0 se, e somete se, x 27 Sejam (x e (y sequêcas de termos postvos. (a Mostre que se exste c > 0 tal que x > c para todo e y 0, tem-se x y (b Mostre que se (x é lmtada e y, etão x y 0. Aálogo aos aterores! 28 Euce e demoste resultados aálogos aos aterores para. 29 4

5 ode (a Mostre que se a, b R e é um úmero atural etão ( =!!(! (a + b = ( a b = ( (b Mostre que se a, b R e é um úmero atural, teremos 1 a b = (a b( a 1 b a b 30 Seja (x uma sequêca tal que x a > (<l. Mostre que exste 0 tal que x > (<l 0. Feto o lvro e dscutdo em sala! 31Dscutr a covergêca das segutes sequêcas: (aa+aq +aq aq (b a, 0 < a < 1 (c 1 p, p > 0 (d p, p > 0 (e (fse( Algus fetos em sala e outros exercícos aterores! 32 Mostre que 1. 5