2. MODELO DETALHADO: Relações de Recorrência. Exemplo: Algoritmo Recursivo para Cálculo do Fatorial Substituição Repetida

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1 . MODELO DETALHADO: Relações de Recorrêca Exemplo: Algortmo Recursvo para Cálculo do Fatoral Substtução Repetda T T ( ) ( ) t 1, T ( + t, > T ( ) T ( + t T ( ) ( T( ) + t + t ) + t T ( ) T ( ) T ( ) + t + t ( T ( 3) + t) T ( ) T( 3) + 3t T ( ) T ( k) + kt. MODELO DETALHADO: Relações de Recorrêca Exemplo: Algortmo Recursvo para Cálculo do Fatoral Substtução Repetda T ( ) T ( k) + kt Sedo cohecdo, podemos repetr o processo de substtução até obtermos T() do lado dreto: -k à k T ( ) T() + t T ( ) t + t 1 4

2 3. MODELO SIMPLIFICADO: Ex. Somat. Sére Geométrca Para o cálculo ateror, fo utlzada a segute gualdade: ( + Portato: ( + ( + )( + 3. MODELO SIMPLIFICADO: Ex. Somat. Sére Geométrca Demostração da gualdade por Idução Matemátca: ( + Passo (: Mostrar que a gualdade vale para ( + 5

3 3. MODELO SIMPLIFICADO: Ex. Somat. Sére Geométrca Demostração da gualdade por Idução Matemátca: ( + Passo (a): Supor que a gualdade vale para k (Hpótese) k k ( k + 3. MODELO SIMPLIFICADO: Ex. Somat. Sére Geométrca Passo (a): Supor que a gualdade vale para k (Hpótese) k k ( k + Passo (b): Provar que a gualdade vale para k+1 k + 1 k + ( k + k ( k + + ( k + k( k + + ( k + ( k + ( k + ) ( k + (( k + + 6

4 ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W 4. NOTAÇÃO Q 5. ANÁLISE ASSINTÓTICA DE ALGORITMOS 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO Sejam A e B dos algortmos para resolver um certo problema. T A () e T B () os respectvos tempos de processameto. A varável é uma medda do tamaho do problema. Como detfcar o melhor algortmo? Comparado as fuções: T A () e T B () O que sgfca T A () ser melhor do que T B () ou vce-versa?

5 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO Supoha que coheçamos o tamaho do problema:. Se T A ( ) < T B ( ) etão certamete A é melhor do que B. Em geral ão cohecemos o tamaho do problema. Se pudermos mostrar que T A () T B () para todo ³, etão certamete A é melhor do que B. Nem sempre uma fução é meor ou gual a outra para qualquer valor de. Portato, devemos cosderar o comportameto asstótco das fuções: valores de arbtraramete GRANDES. ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W 4. NOTAÇÃO Q 5. ANÁLISE ASSINTÓTICA DE ALGORITMOS 3

6 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Def. O (Bg O): Seja f() fução ão egatva para todo, ³. Dzemos de f() é O(g()), se: Exstem um tero e uma costate c > tas que: Para todo ³, f() cg() Notação: f()o(g()). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Exemplo: Mostrar que f() é O( ) Devemos dcar um tero e uma costate c > tas que: f() c Por exemplo, tomemos c1: f ( ) c ( 16 )( + 8) Como + 8 ³, sempre (pos ³ ), temos que: - 16 ³ Þ ³ 16 Isto é, este caso deve ser, o mímo, 16 4

7 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Exemplo: Mostrar que f() é O( ) Assm, para 16 e c 1, temos que: Para todo ³, f() c, ou seja, f() O( ) é maor que f() à dreta de 16. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Idque se são Verdaderas ou Falsas as Afrmações: Se f() O(g()) e h() O(g()) Etão f() h() FALSA!!! Cotra-Exemplo: Sejam f() e h(), f() ¹g() f() O( ) e h() O( ) 5

8 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Idque se são Verdaderas ou Falsas as Afrmações: Se f() O(g()) Etão g() O -1 (f()) FALSA!!! A expressão g()o -1 (f()) ão tem setdo: O é apeas uma otação matemátca e ão possu versa!!!. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Idque se são Verdaderas ou Falsas as Afrmações: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Etão f 1 () + f () O(max{g 1 (), g ()}) VERDADEIRA!!! Trata-se de um Teorema!!! Demostração: Como f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()), exstem 1,, c 1 e c, tas que: f 1 () c 1 g 1 (), para ³ 1 f () c g (), para ³ 6

9 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.1: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Demostração: Etão f 1 () + f () O(max{g 1 (), g ()}) Como f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()), exstem 1,, c 1 e c, tas que: f 1 () c 1 g 1 (), para ³ 1 f () c g (), para ³ Cosdere max ( 1, ) e c max(c 1, c ) Cosdere ada a soma: f 1 () + f (), para ³. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.1: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Etão f 1 () + f () O(max{g 1 (), g ()}) Demostração (cot.): max ( 1, ) e c max(c 1, c ) e f 1 () + f (), para ³ f 1( ) + f ( ) c1g 1( ) + c g ( ) c c c g1( ) + g ( ) ( g1( ) + g ( )) c (max( g1( ), g ( )) + max( g1( ), g ( ))) c (max( g1( ), g ( ))) c max( g1( ), g ( )) 7

10 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.1: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Etão f 1 () + f () O(max{g 1 (), g ()}) Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f (), f() O( ) e h() 3, h() O( 3 ) Etão pelo teorema 3.1: f() + h() O(max(, 3 ))O( 3 ). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.: Se f() f 1 () + f () ode f 1 () e f () são ão egatvas tas que: f ( ) lm L, L f1( ) Etão f() O(f 1 ()) Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f (), f() O( ) e h() 3, h() O( 3 ) f ( ) lm lm 3 h( ) Etão aplcado o teorema 3.: h() + f() 3 + O(h()) O( 3 ) lm 1 8

11 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.3: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Demostração: Etão f 1 () x f () O(g 1 () x g ()) Como f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()), exstem 1,, c 1 e c, tas que: f 1 () c 1 g 1 (), para ³ 1 f () c g (), para ³ Cosdere max ( 1, ) e c c 1 c Cosdere ada a soma: f 1 () x f (), para ³. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.3: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Etão f 1 () x f () O(g 1 () x g ()) Demostração (cot.): max ( 1, ) e c c 1 c e f 1 () x f (), para ³ f 1( ) f ( ) c1g 1( ) c g ( ) c 1cg1( ) g ( ) c( g1( ) g ( )) Portato, f 1 () x f () O(g 1 () x g ()) 9

12 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.3: Se f 1 () O(g 1 ()) e f () O(g ()) Etão f 1 () x f () O(g 1 () x g ()) Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f () + + 1, f() O( ) e h() , h() O( 3 ) Etão pelo teorema 3.3: f() h() O( 3 )O( 5 ), OBS: Dedução sem o cálculo do produto f() h(). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.4: Se f 1 () O(g 1 ()) e g () uma fução ão egatva, Etão f 1 () x g () O(g 1 () x g ()) Demostração: Como f 1 () O(g 1 ()), exstem, e c, tas que: f 1 () c g 1 (), para ³ f 1( ) g ( ) ( c g 1( )) g ( c ( g 1( ) g ( )) ) Assm f 1 () x g () O(g 1 () x g ()) 1

13 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.4: Se f 1 () O(g 1 ()) e g () uma fução ão egatva, Etão f 1 () x g () O(g 1 () x g ()) Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f () + + 1, f() O( ) e h() 3 Etão pelo teorema 3.4: f() h() O( 3 )O( 5 ),. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Demostração: Teorema 3.5: Se f() O(g()) e g() O(h()) Etão f() O(h()) Como f() O(g()) e g() O(h()), exstem 1,, c 1 e c, tas que: f() c 1 g(), para ³ 1 g() c h(), para ³ Cosdere max ( 1, ) e c c 1 c 11

14 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.5: Se f() O(g()) e g() O(h()) Etão f() O(h()) Demostração (cot.): max ( 1, ) e c c 1 c. Para ³ f ( ) c1 g ( ), 1 c 1 g ) c1c h ( ), ( c 1c h ( ) c h ( ) Assm: f() O(h()). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.5: Se f() O(g()) e g() O(h()) Etão f() O(h()) Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f () 5 3, f() O( 3 ) e h() 3, queremos saber O(f() + h()) Pelo teorema 3.: f() + h() O(f()) Como f()o( 3 ), pelo teorema 3.5, f() + h() O( 3 ) 1

15 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.6: Seja um polômo em da forma: Etão f() O( m ) f ( ) m a, a m > Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f () Etão, aplcado o teorema 3.5: f() O( 3 ). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Teorema 3.7: Para todo tero k ³ 1: log k O ( ) Obs: Apesar de que log dverge a medda em que cresce, log <, para todo tero ³. Obs: Aplcado os teoremas 3.5 e 3.3, e o fato de que O() temos: log() O() log() O( ), 13

16 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O A otação O(.) caracterza o comportameto asstótco de uma fução estabelecedo um lmte superor quato ao crescmeto desta fução em relação ao tamaho do problema. A otação O(.) ão forma o quão próxmo do lmte está o comportameto real da fução. Def. (Justeza): Seja f() O(g()). Se para toda fução h() tal que f() O(h()), também for verdade que g() O(h()), Etão g() é um lmte asstótco justo (ou estreto) para f(). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Exemplo: f() Vmos que f() O( ). Pelo Teo 3.6 (polômos): f() O() O() é um lmte mas justo para f() do que O( ) Demostração pela defção de justeza (e redução ao absurdo): g() é um lmte estreto de f() se para toda fução h() tal que f()o(h()), também seja verdade que g()o(h()) Supohamos por absurdo que g() ão seja um lmte estreto para f()8+18o(h()). Portato, g() ¹O(h()). 14

17 . UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Exemplo: f() Demostração pela defção de justeza (e redução ao absurdo): Supohamos por absurdo que g() ão seja um lmte estreto para f()8+18o(h()). Portato, g() ¹O(h()). Como, 8+18 O(h()), exstem e c tas que: 8+18 c h(), para ³ É fato que para todo, ³, Assm, g() 8+18 c h(), para ³ à g() c h() Pela def.: g()o(h()), o que é um absurdo. Logo g() é um lmte estreto para f(). UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O Coveções para as Expressões de O(.) Escrever expressão de O(.), sem os termos meos sgfcatvos Exemplo: O( + log() + ) à O( ) Descosderar coefcetes costates Exemplos: O(3 ) à O( ), O(14) à O( Expressões Comus: 15

18 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W Def. Ômega (W): Seja f() fução ão egatva para todo, ³. Dzemos de f() é Ômega g(), se: Exstem um tero e uma costate c > tas que: Para todo ³, f() ³ cg() Notação: f()w(g()) 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W Exemplo: Mostrar que f() é W( ) Devemos dcar um tero e uma costate c > tas que: f() ³ c Por exemplo, tomemos c1: f ( ) c ( 8) Como ( 8) > sempre, temos que: pode ser Þ

19 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W Exemplo: Mostrar que f() é W( ) Assm, para e c 1, temos que: Para todo ³, f() ³c, ou seja, f() W( ) é meor que f() à dreta de 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W Teorema 3.8: Seja um polômo em da forma: Etão f() W( m ) f ( ) m a, a m > Exemplo de Aplcação Prátca: Sedo: f () Etão, aplcado o teorema 3.8: f() W( 3 ) 3

20 ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W 4. NOTAÇÃO Q 5. ANÁLISE ASSINTÓTICA DE ALGORITMOS 4. NOTAÇÃO Q Def. Teta (Q): Seja f() fução ão egatva para todo, ³. Dzemos de f() é Teta g(), se: f() O(g()) e f() W(g()), ao mesmo tempo Notação: f()q(g()) 4

21 4. NOTAÇÃO Q Exemplo: Mostrar que todo polômo em de grau m é Q( m ) Seja um polômo de grau m: f ( ) m a, a m > Pelo teorema 3.6 : f()o( m ) Pelo teorema 3.8 : f()w( m ) Portato, pela defção ateror : f()q( m ) 4. NOTAÇÃO Q Def. o ( o pequeo): Seja f() fução ão egatva para todo, ³. Dzemos de f() é o(g()), se: f() O(g()), mas f() ão for W(g()) Notação: f()o(g()) 5

22 4. NOTAÇÃO Q Exemplo: Mostrar que f() + 1 é o( ) Claramete: f()o( ) (basta tomar e c Por outro lado, para grade, depedete da escolha de c>: + 1 uca será superor a c. Portato, f() ¹W( ). Cocludo: f()o( ) mas f() ¹W( ). Logo f()o( ) ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO. UM LIMITE ASSINTÓTICO SUPERIOR NOTAÇÃO O 3. UM LIMITE ASSINTÓTICO INFERIOR NOTAÇÃO W 4. NOTAÇÃO Q 5. ANÁLISE ASSINTÓTICA DE ALGORITMOS 6