Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

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Maria Luiza Sintra Escobar
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Uversdade Tecológca Federal do Paraá Prof: Lauro Cesar Galvão Campus Curtba Departameto Acadêmco de Matemátca Cálculo Numérco Etrega: juto com a a parcal DATA DE ENTREGA: da da a PROVA (em sala de

1 Uversdade Tecológca Federal do Paraá Prof: Lauro Cesar Galvão Campus Curtba Departameto Acadêmco de Matemátca Cálculo Numérco Etrega: juto com a a parcal DATA DE ENTREGA: da da a PROVA (em sala de aula Atvdades Prátcas Supervsoadas (APS (EXERCÍCIOS: 0% da a parcal Coteúdo: Noções báscas sobre Erros, Zeros reas de fuções reas, Resolução de sstemas de equações leares e Iterpolação. Imprmr esta lsta FRENTE/VERSO. Etregar os eercícos com preechmeto maual. Escrever de forma clara e objetva. De prefereca, utlzar laps ou lapsera. Aluo:... Número:... Turma:... Curtba PARANÁ

2 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercícos da apostla Nos eercícos a segur, determar o valor de : Eercíco 0 0. Eercíco,0 0. Eercíco 0, 0. Eercíco 0,870. Eercíco 0,60.

3 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 6,0. Eercíco 7 000,00. 0 Eercíco 8 9,

4 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 9 Trasforme a medda 8 8 para mutos. DICA: :8, m h m seg Eercíco 0 DICA:,800. Trasforme,80 horas para horas, mutos e segudos. 60 Eercíco Eercíco. 0 Eercíco

5 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 0,00. 0 Eercíco 0,0. 0 Eercíco 6, Nos eercícos segutes, coverter os úmeros para a base bára, determado o valor da varável : Eercíco 7 70.

6 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco Eercíco 9 Determe com 6 dígtos: 0,70.

7 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 0 Determe com 8 dígtos:,70. 7 Eercíco Utlzado o método da bssecção, determar um valor apromado para, 0 com erro feror a. Determar é equvalete a obter o zero postvo da fução f ( =. a b f a f f b b 6 7 ( ( ( ( a / Portato

8 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 8 Eercíco Um taque de comprmeto tem uma secção trasversal o formato de um semcírculo com rao r (veja a fgura. Quado cheo de água até uma dstâca h do topo, o L volume V da água é: V = L [0, π r arcse ( h r h (r h ]. Supodo que L0 ft, r ft e V, ft, ecotre a profuddade da água o taque com precsão de 0,0 ft. h r h Para calcular a profuddade rh da água, substtu-se os valores de r, L e V a epressão ateror para obter a equação arcse(h + h h +, 0,π = 0 cuja raz é h. Assm, deve-se calcular o zero da fução f(h, utlzado o método da bssecção. f ( Pode-se costrur uma tabela de valores para e aalsar os sas: h 0 f (h Agora determa-se o úmero de terações ecessáras para se obter a precsão egda: log( b a log log Logo são ecessáras a 6 7 Assm, h h =... terações. b f (a f (h f (b (ba/

9 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 9 Eercíco Ecotrar o zero de com precsão, utlzado o método do poto fo. Pode-se costrur uma tabela de valores para ( e aalsar os sas: f ( f ( e f 0 6 Procurado uma fução de poto fo adequada pode-se fazer: Procura-se agora, o etremo do tervalo I=[...,...] mas prómo do zero de f(: 0 Portato, = Eercíco Ecotrar a solução para a equação = cos com precsão 0 6 utlzado o método de Newto-Raphso. Tome f( = cos e cosdere que o zero da fução está o tervalo fechado [0, π ]. Procura-se agora, o etremo do tervalo I=[0, π ] mas prómo do zero de f(: 0 Portato, =

10 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Comparação etre os métodos Nos eercícos segutes, cosderado cada método especfcado, determe uma apromação para o zero da fução. Eercíco Pelo método da Bssecção, determe uma apromação para (, da fução f( = e cos com apromação tal que ( b a /. ( a ( f (b Logo, 0 a b a f f (b / 0

11 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 6 Pelo método do Poto Fo ou Apromações Sucessvas, determe uma apromação para (, da fução f( = e cos com apromação ε = ε = 0 tal que f( < ε ou + < ε. Utlze 0,. 0 Logo, ( Parada f Eercíco 7 Pelo método de Newto-Raphso, determe uma apromação para (, da fução f( = e cos com apromação tal que ( ou + < ε. Utlze 0,. 0 f 0 Logo, f ( Parada

12 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 8 Resolver o sstema com arredodameto em duas casas decmas a matrz aumetada, utlzado elmação de Gauss. 8, 7, S, 0, A b Lha Multplcador m Matrz Aumetada ( 8,70,00 9,0,00 6,0 (0 m ( =,0-8,80,0 -,0-9,70 (0 m ( =,0-8,00 -,0,0-80,80 (0 m ( =,00-8,00 -,0,0-06,0 ( ( m ( = ( m ( = ( ( m ( = ( B 0 B B B Etão [ ] [ ]. S, 0 8, 8 8, 0 80, 9,,,, A b U c A b U c 0,,,, 6, 9, 7 808, 06, U c Logo:

13 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 9 Resolva com arredodameto em duas casas decmas a matrz aumetada, utlzado elmação de Gauss com pvoteameto completo. 8, 7, 0 9, 0, 6,, 8, 8,, 9, 7 b., 8, 0,, 808, 0, 80,,, 06, S A Lha Multplcador m Matrz Aumetada (0 m ( = 8,70,00 9,0,00 6,0 (0 m ( =,0-8,80,0 -,0-9,70 (,0-8,00 -,0,0-80,80 (0 m ( =,00-8,00 -,0,0-06,0 ( m ( = ( ( m ( = ( m ( = S B 0 B B ( B ( A b U c A b U c Etão [ ] [ ]. U c

14 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 0 Resolva o sstema lear a segur usado a fatoração LU: + + = { + + = = = ( Eercíco Resolva o sstema lear a segur usado a fatoração LU: 0,y 0,z =, { 0, + 7y 0,z = 7,8 0, 0,y + 0z =,

15 a APS: Eercícos Cálculo Numérco = ( Eercíco Cosdere a matrz. A = ( a Calcule a fatoração LU de A. b Usado a fatoração LU, calcule o determate de A.

16 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 6 Eercíco Aplcado-se o método da decomposção LU a matrz:??? A = ( 0 8? 0 0 Obtveram-se as matrzes:? 0???? L = (??? e U = (?? 0? 0? 0 0?? 0? 0 0 Preecha os espaços potlhados com valores adequados.

17 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 7 A = ( U = ( L = (

18 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 8 Eercíco Resolva o sstema a segur, utlzado o método de Gauss-Jacob, com 0 = 0 e ε = 0 = 0, A b F d F e d Neste caso a fórmula de recorrêca fca: ( F ( d Com e 0,0, o processo covergu com... terações para: ( ( ( (0 T ma ( (

19 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 9 Eercíco Resolva o sstema utlzado o método de Gauss-Sedel, com ε = 0, Eercíco 6 Resolva o sstema utlzado o método de Gauss-Sedel, com ε = 0, A b ( ( ( ( ( ( ( ( ma A b ( ( ( ( ( ( ( ( ma

20 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 0 Eercíco 7 Seja a equação Eercícos dversos f ( l( 0. a Isole o zero desta fução em um tervalo [ a, b ] de etremos teros cosecutvos (garata que o zero está realmete solado o referdo tervalo; f ( O zero procurado está solado o tervalo [, ] b Ache um valor apromado para o mesmo, utlzado o método da Bssecção e a tolerâca de. 0 a b f ( a f ( f (b (b a /

21 a APS: Eercícos Cálculo Numérco c Ache um valor apromado para o mesmo, utlzado o método de Newto-Raphso e a tolerâca para de. A fórmula de recorrêca é 0 ( 0, ( Eercíco 8 Seja a equação f ( e, e seu zero solado o tervalo [0,]. a Ache um valor apromado para o mesmo, utlzado o método do Poto Fo, com ( e 0 0, e a tolerâca para de , ( e

22 a APS: Eercícos Cálculo Numérco b Ache um valor apromado para o mesmo, utlzado o método de Newto- Raphso e a tolerâca para de. A fórmula de recorrêca é ( 0 0 0, a Eercíco 9 Mostre que a fórmula para determar caso especal da teração de Newto. a, com a > 0 é um Eercíco 0 Obteha uma fórmula semelhate a do eercíco ateror para calcular, com a > 0 e utlze esta fórmula para calcular 8, com 0, (preecha a tabela até =. a

23 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 0, ( Eercíco A fução f ( cos possu um zero real solado o tervalo cos. Cosderemos o processo teratvo defdo por ( com (. Seja o etremo de I mas prómo de. I [ 0, ] 0 a Verfque se as codções (, ( do teorema estão satsfetas, sto é: ( e ' são cotíuas em I. ( ma'(, I. b Determe o etremo do tervalo I mas prómo de.

24 a APS: Eercícos Cálculo Numérco c Efetuado arredodametos a a casa decmal obteha um valor apromado para. ( cos 0 6 d Utlzado a fórmula, obteha um lmtate superor para o erro cometdo a 6 a teração. Eercíco Utlzado o usado o método de elmação de Gauss (forma compacta, resolver o sstema S abao com arredodameto em duas casas decmas, a matrz aumetada. 7

25 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Lha Multplcador m Matrz Aumetada (,00,00,00,00 7,00 (,00 -,00,00 -,00,00 (,00,00 -,00 -,00,00 (,00,00,00,00,00 ( ( ( ( ( ( Assm, Eercíco o sstema S Utlzado a estratéga de pvoteameto completo (forma compacta, resolver abao com arredodameto em três casas decmas, a matrz aumetada. 7 Lha Multplcador m Matrz Aumetada (,000,000,000,000 7,000 (,000 -,000,000 -,000,000 (,000,000 -,000 -,000,000 (,000,000,000,000,000 Assm,

26 a APS: Eercícos Cálculo Numérco 6 Eercíco Resolva o sstema de equações leares abao, utlzado o método de Gauss- Jacob, cosderado (0, 0, 0, 0,0 e ITMAX: ( , ( ( ( ma ( ( [ ; ; ]. Eercíco Resolva o sstema de equações leares abao, utlzado o método de Gauss- (0 Sedel, cosderado (0, 0, 0, 0,0 e ITMAX: 6 0 6, ( ( ( ma ( ( [ ; ; ].

27 a APS: Eercícos Cálculo Numérco Eercíco 6 Dado o sstema abao: a Usado o crtéro de Sassefeld, verfque para que valores postvos de se tem garata de que o método de Gauss-Sedel va gerar uma seqüêca covergete para a solução do sstema. 7.[ a a ] a.[ a a ] a.[ a a ] a Logo o crtéro de Sassefeld é satsfeto para valores de... b Escolha o meor valor tero e postvo para (detre aqueles ecotrados o tem a e faça três terações do método de Gauss-Sedel para o sstema obtdo. Assm, usado... ( ( ( ma ( ( [ ; ; ].

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