(1) no domínio : 0 x < 1, : constante não negativa. Sujeita às condições de contorno: (2-a) (2-b) CC2: 0

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1 EXEMPLO MOTIVADO II EXEMPLO MOTIVADO II Método da Apromação Polomal Aplcado a Problemas Udrecoas sem Smetra. Equações Dferecas Ordáras Problemas de Valores o otoro Estrutura Geral do Problema: dy() d y() f y d d o domío : < : costate ão egatva. Sueta às codções de cotoro: dy() d : y dy() : d Propodo-se a apromação polomal de grau + em para y(): forma: ode: ( ) y() y () y :polômo em de grau + tal que: () (-a) (-b) para = [fução de Kröecker]; para () y y ( ) e Esta apromação satsfazedo a com pode também ser represetada a ( ) ( ) y() y () c c y() y () c c ( ) dy() dy () c c d u d dy() d obrgado esta apromação satsfazer a sto é: y resulta: c c c c c c c epressão de y (+) () resulta em: e (3) que substtuído a

2 EXEMPLO MOTIVADO II ( ) y ( c) 3 c c c (4) c c ode: c c Note que esta forma a apromação polomal y (+) () satsfaz às duas codções de cotoro assocadas ao problema! A substtução da apromação polomal y (+) () a equação dferecal () dá orgem à epressão do esíduo da apromação defdo por: ( ) ( ) ( ) dy ( c) d y ( c) ( ) ( c) f y ( c) d d Este resíduo mede a qualdade da apromação poto a poto do tervalo: < < para quatfcá-lo globalmete assoca-se a segute forma tegral: ( ) ( c) ( ) ( c) ( ) ( c) d para =... é chamado de ésmo esíduo Poderado da apromação ode o ésmo peso do resíduo e é o que caracterza o tpo do método detro da classe geral de métodos deomados como Métodos dos esíduos Poderados. Assm aos dos Métodos dos esíduos Poderados: (5) (6) é assoca-se

3 EXEMPLO MOTIVADO II ( ) y ( c) c Método dos esíduos Poderados para para para 3 Método dos Mometos Método de Galerk (7-a) (7-b) O valor do Valor Médo do Quadrado do esíduo será cosderado a avalação do desempeho do método sedo este valor dado por: quad ( c) c d (8) ( ) ( ) -) Método dos Mometos Neste caso: () ( ) ( ) c ( c) d para =... (9) Quado a fução: yu f y y sedo e costates f o ( ) resíduo ( c) será uma fução polomal em com o mesmo grau + de ( ) y ( c). Desta forma o tegrado de (9) ( ) ( c) será um polômo em de grau + como vara de a o maor grau assumdo por este termo é:. Desta forma a tegral em (9) pode o caso lear ser avalada eatamete por quadratura de Gauss- Lobatto resultado a epressão: ( ) ( c ) () 3

4 EXEMPLO MOTIVADO II ( ) para =... ode ( c) Ode: são as raízes de P () = + = e verfcado-se a costates gualdade caso: f y u f y y sedo e. As Eq. () dão orgem a um sstema lear de equações e + cógtas:. esolvedo este sstema em epressado-os em termos de e tem-se: V V para =... () ode: V G P sedo: G P Se a Equação () for satsfeta pode-se assegurar que todos os resíduos poderados () ( c) são apromadamete ulos sedo estes eatamete ulos se u yu f yu yu f ode e são costates. Substtudo em () as epressões dos resíduos m vsta de: ( ) ( ) y ( ) y ; dy ( c) A y d e ( ) d y ( c) d B y tem- ode: A B ( ) se: ( c) y f y e rearraado a epressão resultate resulta: y f y V f y V f y para () ode: V V ( ) Além destas equações tem-se em vsta de: y y ( ) y 4

5 EXEMPLO MOTIVADO II y ( ) ; dy() dy ( c) A y d d ( ) y ( ) y e dy() d ( ) dy ( c) A y que substtuídas em ( -a) e (-b) dá d orgem a: A y y e A y resulta o sstema algébrco ão lear de + equações e + cógtas [ y y y... y y + ] : A y y y f A y y V f y V f y que pode ser resolvdo pelo método de Newto-aphso. -) Método de Galerk Neste caso: ( ) ( c) d () ( c) para (3) ( ) ( c) d ( ) ( c) (4) ( ) ( c) Quado a fução: ( ) ( c) d para = 3... yu f y y sedo e costates f ( ) resíduo ( c) será uma fução polomal em com o mesmo grau + de y ( ) ( c) ( ). Desta forma o tegrado de (9) ( ) o c para > será 5

6 EXEMPLO MOTIVADO II um polômo em de grau ++ como vara de 3 a o maor grau assumdo por este termo é: +. Desta forma a tegral em (4) pode o caso lear ser avalada eatamete por quadratura de Gauss-Lobatto até gual a - resultado a epressão: ( ) ( ) c ( ) ( ) c (5) ( ) ( c ) para = ( ) ode ( c) O últmo resíduo poderado ão pode ser computado pela aplcação dreta do método de quadratura de Gauss-Lobatto pos o tegrado é este caso ( ) ( c) um polômo em de grau + cuo coefcete de + é: dp ode: odal () para p odal () e d ( ) p sedo: as raízes de P ( ) c () = + =. Assm: ( ) d e ( ) ( c).! d mas da epressão geral da quadratura de Gauss-Lobatto: f d f d f (t)! dt t d ) p ( assm: 6

7 EXEMPLO MOTIVADO II 7 d p d ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( c c. Idetfcado:!!!!! 3 d p e ; () ) ( tem-se: ) ( () () () ) ( c Deste modo é possível represetar os dos métodos a forma geral: ) ( ) ( G c para =... ode ) ( ) ( c (6) Os elemetos da matrz G são: Método dos Mometos G para =... Método de Galerk G G G para = () G O sstema lear (6) pode ser resolvdo em : resultado em:

8 EXEMPLO MOTIVADO II V V para =... ode: V Q P (7) sedo: Q G para e G G P G G G G esultado o sstema algébrco ão lear de + equações e + cógtas [ y y y... y y + ] : y f y V f y V f y para A y y A y (8) Ode: V V que pode ser resolvdo pelo método de Newto-aphso.. Equações Dferecas Parcas Parabólcas o Método das Lhas Estrutura Geral do Problema: y( t) y( t) y( t) f y t t o domío : < < e t >. Sueta às codções : odções de cotoro: y( t) :- y y( t) : para t> t y t f () (-a) (-b) 8

9 EXEMPLO MOTIVADO II odção Ical: y t y t c para < (-c) A aplcação do método da apromação polomal é o caso trasete aáloga à do caso estacoáro sto é: aplca-se a apromação polomal à varável y(t) a varável e a equação dferecal parcal orgal se trasforma em um sstema de equações dferecas ordáras em t acoplado a duas equações algébrcas relatvas às codções de cotoro e. Etão a apromação polomal de grau + em de y(t) será: ( ) y( t) y ( t) y Assm detfca-se a epressão do resíduo por: () () () () y ( y) y ( y) y ( y) () ( y) f y ( y) t t ( ) dy e de (3) tem-se: ( ) y t f y t dt y ode: A B. A aplcação do método do resíduo poderado aplcado à apromação polomal (3) dá orgem ao sstema de equações algébrco dferecas: dy t dy t dy t V V y t dt dt dt f y t V f y t V f y t para (5) A y t y t A y t sueto às codções cas: y () y para c Ode: V V e as demas matrzes evolvdas epressas e/ou calculadas de formas aálogas às apresetadas o caso estacoáro. t (3) (4) 9

10 EXEMPLO MOTIVADO II EXEÍIO DE TEINAMENTO esolver o problema (smulação da partda de um reator com dspersão aal e sotérmco): Sueta às codções : y( t) y( t) y( t) f y t t o domío : < < e t >. odções de cotoro: y( t) :- y t para t> y( t) : () (-a) (-b) odção Ical: y t para < t (-c) esolva seu problema por apromação polomal global para dferetes valores do parâmetro (aalse também os casos etremos: = e ). osdere as duas formas de f(y): Da y t (caso lear!) f y t m Da y t (reação rreversível de ordem m ) e dferetes valores de Da (úmero de Damköhler: parâmetro postvo!) e m (ordem da reação). Verfque em que casos as osclações os perfs de cocetração advdos da apromação polomal são sgfcatvas.