Sumário. Mecânica. Sistemas de partículas

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1 Sumáro Udade I MECÂNICA 2- Cetro de massa e mometo lear de um sstema de partículas - Sstemas de partículas e corpo rígdo. - Cetro de massa. - Como determar o cetro de massa dum sstema de partículas. - Vetor posção, vetor velocdade e vetor aceleração do cetro de massa. APSA 2 Cetro de massa Sstemas de partículas No estudo que temos vdo a fazer tratámos os objetos, como, por exemplo, blocos de madera, automóves, etc. como partículas. De um modo geral, um corpo ão se pode reduzr a uma partícula, só em determadas crcustâcas é que sso se pode fazer. Neste capítulo remos estudar sstemas de partículas (a) e as razões pelas quas, em determadas codções, se podem estudar os seus movmetos pelo respetvo cetro de massa (b).

2 Movmeto dos corpos Um corpo, ão é propramete uma partícula, mas sm, um sstema de partículas que pode ter város tpos de movmeto. Quas são os tpos de movmeto que os corpos podem ter? - movmeto de traslação; - movmeto de rotação; - movmetos combados de traslação e de rotação (maora dos movmetos). Movmeto dos corpos No movmeto de traslação dos corpos as suas partículas têm todas a mesma velocdade. No movmeto de rotação dos corpos as suas partículas têm velocdades dferetes, exceto as que se matêm sobre o exo de rotação, cuja velocdade de rotação é ula. Neste caso, as partículas têm trajetóras crculares de raos dferetes (rotação pura). 2

3 Movmeto dos corpos No caso do movmeto de traslação, este poderá ser de traslação retlíea; Ou, de traslação curvlíea. Cetro de massa de um sstema de partículas Quado um corpo só tem movmeto de traslação ão é ecessáro estudar cada partícula, pos todas elas têm a mesma velocdade, descrevedo a mesma trajetóra, sedo portato, acetável tratá-lo como uma partícula. Dz-se que o sstema é redutível a uma partícula. Um corpo que teha apeas movmeto de traslação pode ser represetado pelo seu Cetro de Massa (CM). 3

4 Corpo rígdo e sstema dscreto de partículas Corpo rígdo ou corpo deformável é um sstema de partículas cujas posções relatvas permaecem sempre costates, depedetemete do movmeto ou da teração a que o corpo está sujeto. Por exemplo o martelo da fgura e os rebuçados são cosderados corpos rígdos ou deformáves. Sstema dscreto de partículas é um cojuto costtuído por um úmero fto de partículas cujas dstâcas relatvas varam o decurso do movmeto. Sgfcado de cetro de massa O Cetro de Massa (CM) de um sstema de partículas, é um poto ode se supõe estar cocetrada toda a massa do corpo e ode se cosdera aplcada a resultate das forças que atuam esse sstema. 4

5 Cetro de massa de um sstema de partículas Num sstema de partículas o movmeto de cada partícula é, em geral, complcado. Porém, há um poto, assocado a cada sstema de partículas, que possu, quase sempre, um movmeto smples: É o Cetro de Massa (CM) do sstema. Cetro de massa de um sstema de partículas Neste exemplo complcado de movmeto, o Cetro de Massa, CM, descreve smplesmete uma parábola. O CM, tem o movmeto que tera uma partícula com a massa da saltadora e ode atuasse a resultate das forças exterores exercdas sobre a saltadora. 5

6 Como se determa expermetalmete o CM de corpos rígdos sem smetra? Pedura-se o objeto por um poto qualquer (poto A, por exemplo) e marca-se o objeto uma lha vertcal que passe por esse poto. Pedura-se depos o objeto por um outro poto, B, por exemplo, e, de ovo, marca-se a lha vertcal que passa agora por B. A tersecção das duas lhas dca a posção do cetro de massa (claro que o cetro de massa está o teror do objeto e ão a sua superfíce!). CM de corpos rígdos com smetra Se o corpo for homogéeo e apresetar smetra, o cetro de massa stuar-se-á sobre esse elemeto de smetra. O CM de uma chapa retagular, homogéea, cocde com o cetro geométrco. O CM de uma esfera homogéea stua-se o cetro geométrco da esfera. O CM de um ael está o cetro geométrco e ão pertece ao corpo. 6

7 Como calcular o CM de duas partículas? Expermetalmete, verfca-se que o CM está à dstâca l e l 2 das partículas de massas m e m 2, de tal modo, que dstâcas e massas satsfazem a segute codção: m l = m 2 l 2 m > m 2 l < l 2 Como calcular o CM de duas partículas? Vamos determar a posção do CM um referecal em que o exo dos xx passa pelas duas partículas: 7

8 Como calcular o CM de duas partículas? Da relação m l = m 2 l 2 e substtudo as relações aterores vem: Geeralzado para um sstema de partículas 8

9 Como calcular o vetor de posção, r, do CM? Se tvermos um sstema formado por partículas de massas m, m 2,..., m, localzadas pelos vetores posção, r, a posção do seu r r,,..., 2 cetro de massa é obtda a partr da segute expressão: r CM mr m2r2... m r m m... m 2 m r m S Em que r CM = x CM e x + y CM e y + z CM e z Velocdade do cetro de massa Cosderemos o vetor posção do CM de um sstema. r CM mr m2r2... m r m m... m Se dervarmos em ordem ao tempo a expressão ateror vem: 2 m r m S v CM mv m2v 2... mv m m... m 2 m v m S que é a expressão da velocdade do cetro de massa. 9

10 Aceleração do cetro de massa Se dervarmos ovamete em ordem ao tempo, vem: a CM ma m2a2... ma m m... m 2 m a m S que é a expressão da aceleração do cetro de massa. TPC Exercícos da APSA 2 que que fcarem por fazer. 0