Capítulo 1: Erros em cálculo numérico

Transcrição

1 Capítulo : Erros em cálculo umérco. Itrodução Um método umérco é um método ão aalítco, que tem como objectvo determar um ou mas valores umércos, que são soluções de um certo problema. Ao cotráro das metodologas aalítcas, que coduzem a soluções eactas para os problemas, os métodos umércos produzem, em geral, apeas soluções apromadas. Por este facto, ates da utlzação de qualquer método umérco é ecessáro decdr qual a precsão dos cálculos com que se pretede obter a solução umérca desejada. A precsão dos cálculos umércos é também, como veremos, um mportate crtéro para a selecção de um algortmo partcular a resolução de um dado problema. A dfereça etre o valor obtdo (apromado) e o valor eacto chamase erro.. Fote e tpos de erros A resolução de um problema de egehara um computador utlzado um modelo umérco produz, em geral, uma solução apromada do problema. A trodução de erros a resolução do problema pode ser devda a város factores. Em fução da sua orgem, podemos cosderar quatro tpos de erros. ) Erros eretes ao modelo: Um modelo matemátco raramete oferece uma represetação eacta dos feómeos reas. Na grade maora dos casos são apeas modelos dealzados, já que ao estudar os feómeos da atureza vemo-os forçados, em regra geral, a acetar certas codções que smplfcam o problema de forma a torá-lo tratável.

2 ) Erros eretes aos dados: Um modelo matemátco ão cotém apeas equações e relações, também cotém dados e parâmetros que, frequetemete, são meddos epermetalmete, e portato, apromados. As apromações os dados podem ter grade repercussão o resultado fal. ) Erros de trucatura: Mutas equações têm soluções que apeas podem ser costruídas o setdo que um processo fto possa ser descrto como lmte da solução em questão. Por defção, um processo fto ão pode ser completado, por sso tem de ser trucado após certo úmero fto de operações. Esta substtução de um processo fto por um processo fto, resulta um certo tpo de erros desgado erro de trucatura. v) Erros de arredodameto: Quer os cálculos sejam efectuados maualmete quer obtdos por computador somos coduzdos a utlzar uma artmétca de precsão fta, ou seja, apeas podemos ter em cosderação um úmero fto de dígtos. O erro devdo a desprezar os outros e arredodar o úmero é desgado por erro de arredodameto. Erros eretes ao modelo e erros eretes aos dados são erros cas do problema, eterores ao processo de cálculo; Os erros de trucatura e erros de arredodameto ocorrem o processo de cálculo duma solução umérca. 3. Erros de trucatura Os erros de trucatura depedem do método umérco utlzado e por sso serão dvdualmete aalsados ao estudar os város métodos o decurso dos dferetes capítulos da dscpla. Vamos lmtar aqu a aálse a um eemplo cocreto que ajuda a uma melhor percepção deste tpo de erros.

3 A geeraldade dos métodos umércos, como veremos ao logo da dscpla, são baseados a apromação de fuções por polómos. Por essa razão, quado um erro de um método umérco é questoado, temos de verfcar a precsão com que o polómo aproma a verdadera fução. Sabemos que o desevolvmeto de Taylor, que é uma sére de potêcas fta, represeta de forma eacta uma fução o teror de um tervalo de covergêca. Comparado o desevolvmeto polomal da solução umérca com o desevolvmeto em sére de Taylor da solução eacta, partcularmete determado para que ordem ocorre a dscrepâca, tora-se possível avalar o erro de trucatura. Cosderemos uma fução f cotíua e com dervadas cotíuas, de qualquer ordem, as vzhaças de uma abcssa a, etão f pode ser represetada de forma eacta e úca em qualquer poto a vzhaça de a (mas eactamete, o tervalo ]a-r, ar[ deomado tervalo de covergêca; R é o rao de covergêca da sére para a) através da sére de potêcas: f ( ) f '( a)( a) f ''( a) ( a)...! desgada por represetação em sére de Taylor. ( ) ( a)...! A epasão de Taylor de uma fução para a (correspode a represetar a fução o tervalo ]-R, R[) é desgada por sére de MacLaur. f ( ) f () f '() f ''()!... ( ) f ()!... Eemplo: Represetação em sére de MacLaur de e, s() e cos(): 4 e cos( )...!!! 4!! ( ) ()! 3

4 s( ) ! 5! 7! ( ) ( )! Nas aplcações pratcas, a sére de Taylor tem de ser trucada após um termo de certa ordem pos é mpossível clur um úmero fto de termos. Se a sére de Taylor for trucada após o termo de ordem, será epressa como: ( ) f ''( a) f ( ) f '( a)( a) ( a)... ( a) R ( ) (.)!! em que R () represeta o erro orgado por trucar os termos de ordem e superores. O erro pode ser epresso por: ( ) ( ) ( ) f ξ R ( a) ( )! com a ξ. Como ξ ão pode ser determado de forma eacta, o erro é frequetemete apromado fazedo ξa. Fazedo h-a em (.) obtém-se: f ( h a) f '( a) h f ''( a) h...! ( )! h R ( ) Eemplo: Da aálse matemátca sabem que este o lmte lm ( ) e que o seu valor é o úmero rracoal e. Para que este úmero seja utlzado, é ecessáro cohecer o seu valor. Através da sua defção ão é possível calcular o seu valor eacto, tato pela compledade das operações a efectuar como pela mpossbldade de atgr o lmte. Recorre-se etão a um processo de cálculo mas smples, que forece um valor apromado desse úmero detro de um certo grau de precsão cosderado satsfatóro. Utlzado o desevolvmeto em sére de Taylor de e temos: 4

5 e e Trucado a sére, por eemplo, após os oto prmeros termos obtemos 7 e! 3!... 7! cujas prmeras quatro casas decmas cocdem com o valor eacto de e. Quatos mas termos da sére de Taylor tomarmos, mas os apromamos do valor eacto. O eemplo ateror lustra um método umérco para o cálculo do úmero e etre outros possíves. Utlzado a epasão em sére de Taylor, trucamos a sére fta, utlzado uma soma parcal. Este tpo de erro motvado por trucar uma sére - chamado erro de trucatura é erete à maora dos métodos umércos. 4. Erros de arredodameto Os erros de arredodameto estão assocados ao facto dos computadores utlzarem um úmero lmtado de dígtos para represetarem úmeros. 5. Valores apromados, erros e precsão Quado um úmero real ão pertece ao sstema de umeração dum computador é represetado por um úmero desse sstema por arredodameto. A dscrepâca etre o valor real e o valor arredodado é deomado erro de arredodameto. Duas meddas podem ser utlzadas para o quatfcar: o erro absoluto e o erro relatvo. Seja o valor apromado duma quatdade cujo valor eacto é. O erro de, defe-se como:. Defe-se ada erro absoluto de, como o valor absoluto de,. 5

6 Eemplo: π e π dode π.449 Nos úmeros aterores os... dcam que os úmeros possuíam mas dígtos, mas que ós ão queremos ou ão podemos cotuar a represetá-los. Uma stuação deste tpo ocorre sempre que um úmero ão pode ser represetado por um úmero eacto de casas decmas. Sempre que o decurso dos cálculos ocorra uma stuação aáloga temos que decdr com quatos dígtos queremos trabalhar. Este aspecto é de partcular mportâca quado de utlzamos computadores pos este retém apeas um úmero fo de algarsmos. Como estamos a ldar com apromações, é ecessáro estabelecer crtéros para avalar o seu grau de precsão. No eemplo ateror, se estvéssemos a trabalhar com 3 casas decmas π 3.4 e π <.5-3. Em geral, dzemos que é o valor apromado de, arredodado para k casas decmas correctas sse: k.5. A mportâca dum erro pode, em geral, ser melhor aprecada se o compararmos à quatdade a ser apromada, ou seja, utlzado o erro relatvo, r O erro relatvo como epressa o erro como fracção de está relacoado com o erro percetual, erro percetual ou percetagem de erro defe-se como r.

7 Na prátca o que se utlza é um lmte superor de qualquer dos erros, uma vez que para cohecermos ou r teríamos de cohecer o valor eacto de.. Propagação do erro O objectvo prmordal do cálculo de erros cosste em dados os erros de um cojuto de quatdades, determar o erro de uma dada fução dessas quatdades. Dada uma fução f(, y, z) das varáves, y, z determar um lmte superor do valor absoluto do erro que vem para o valor da fução, f, quado se utlzam os valores apromados, y, z. Este problema pode ser resolvdo com base a fórmula de propagação do erro: f f f f (, y, z) (, y, z) y (, y, z) y z z Eemplo: Determar um lmte superor do erro absoluto do volume de uma esfera, 3 V π d, se o dâmetro é d3.7±.5 cm e π 3.4. Resolução: Cosderado π e d como varáves, calculemos as dervadas parcas: Sedo π 3. 4 e d 3. 7 π V ( π, d ) π ( π, d ) d π d d 3 e d π d, utlzado a fórmula ateror temos que: 3 (3.7) e portato 3 3 V πd V ± V.58 ±.88 cm. 7