Capítulo 1 PORCENTAGEM

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1 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Capítulo PORCETAGEM. PORCETAGEM A porcetagem ada mas é do que uma otação ( % ) usada para represetar uma parte de cem partes. Isto é, 20% lê-se 20 por ceto, que represeta a fra- 20 ção % lê-se 30 por ceto, que represeta a fração 00 Exemplos: Calcule: a. 0% de 200 b. 5% de 300 c. 25% de 400 a. A palavra, "de" deve ser etedda como produto. 0 0 % de b. 5 % de c. 25 % de Se eu comprar um objeto por R$ ,00 e vedê-lo por R$ ,00, qual será a mha porcetagem de lucro? Lucro: R$ ,00 R$ ,00 Lucro: R$ 5.000,00 Logo, para achar a porcetagem basta dvdr o lucro pela base, sto é, dvdr R$ 5.000,00 por R$ ,00: , % 03. Sabedo que um artgo de R$ ,00 fo veddo com um abatmeto de R$.600,00, ecotrar a taxa usada a operação. Basta dvdr o abatmeto pelo preço do produto, sto é : ,032 3,2 00 3,2% 04. Um produto fo veddo, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da ota, 0% correspodem a despesas. O lucro líqudo do comercate é de: amos supor, sem perda de geeraldade, que o preço cal do produto é 00. Preço cal - 00 Preço de veda com lucro de 20% 20 Despesa (0% de 20) 2 Preço com lucro líqudo Logo, lucro líqudo Agora vamos ver como são smples os problemas que evolvem porcetagem. 8 Logo, % do lucro líqudo 00 8% Estes problemas geralmete são ecotrados o osso cotdao. Exemplos: 0. A méda de reprovação em cocurso é de 82%. Quatas pessoas serão aprovadas em um cocurso públco com scrtos? Se a méda de reprovação é de 82%, vamos coclur que a méda de aprovação é de 8%. Logo, basta calcular: 8 8 % de aprovados Um clete obteve do comercate descoto de 20% o preço da mercadora. Sabedo-se que o preço de veda, sem descoto, é superor em 20% ao custo, pode-se afrmar que houve por parte do comercate um... : Preço de custo 00 (u.) Preço de veda s/desc 20 (u.) Preço de veda c/desc. 20 x 80% 96 (u.) Comparado o preço de custo com o preço de veda c/ descoto, temos: % 00 Houve um prejuízo de 4%

2 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 06. Mara vedeu um relógo por R$8.67,50 com prejuízo de 5,5% sobre o preço de compra. Para que tvessem um lucro de 25% sobre o custo, ela devera ter veddo por: Preço veddo: R$ 8.67,50 Preço de compra: x 84,5% x 8.67,50 x 8.67,50 0,845 x Para ter um lucro de 25%, Teremos: 2.500,25 R$ , Um lojsta sabe que, para ão ter prejuízo, o preço de veda de seus produtos deve ser o mímo 44% superor ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços de veda acrescetado 80% ao preço de custo, porque sabe que o clete gosta de obter descoto o mometo da compra. Qual é o maor descoto que ele pode coceder ao clete, sobre o preço da tabela, de modo a ão ter prejuízo? a. 0% b. 5% c. 20% d. 25% e. 36% Seja x preço de custo 08. João vedeu um fogão com prejuízo de 0% sobre o preço de veda. Admtdo-se que ele teha comprado o produto por R$ ,00 o preço de veda fo de: Seja: x preço de veda Como teve prejuízo de 0% sobre o preço de veda, temos: Preço de compra preço de veda + 0% preço de veda x + 0% x x + 0, x ,0 x,0 x x ,0 O preço de veda fo de R$ , Um terreo fo veddo por R$ 6.500,00, com um lucro de 0%; em seguda, fo reveddo por R$ ,00. O lucro total das duas trasações represeta, sobre o custo cal do terreo, um percetual de: Se um terreo fo veddo por R$ 6.500,00, com 0% de lucro, etão o preço cal fo de: 6.500, Logo, o lucro total fo: , 38% EXERCÍCIOS PROPOSTOS preço de veda sem prejuízo x,44 preço de veda com 80%,80 x x,44 Logo, x,80 0,8% 80% 0. A fração a ,004 é equvalete a : 0,65 b c. 50 Portato, preço de veda sem prejuízo 80% do preço de veda com 80% de acréscmo. Daí, o descoto máxmo será de 20%. d Resposta: B e

3 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 02. Efetuado-se obtém-se: a.,72 b.,74 c.,75 d.,78 e.,79 Resposta: D 2,70 + 8,80 + 0,86, Pelo pagameto atrasado da prestação de um carê, o valor de R$.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago fo: a. R$.250,00 b. R$.275,00 c. R$.290,00 d. R$.680,00 e. R$ 2.00,00 Resposta: C 04. Se uma pesssoa já lqudou os 6 7 do valor de uma dívda, a porcetagem dessa dívda que ada deve pagar é : a. 56,25% b. 56,5% c. 58,25% d. 58,5% e. 62,25% Resposta: A 05. Um lojsta comprou 80 caetas de um mesmo tpo e vedeu 20 delas pelo mesmo preço total pago pelas 80. Se veder cada uma das 60 caetas restates ao preço utáro das outras 20, a porcetagem de lucro desse lojsta, pela veda de todas as caetas, será de: a. 40% b. 50% c. 52% d. 55% e. 60% Resposta: B 06. Um título, o valor de R$ ,00, fo pago com 3 meses de atecedêca, sofredo um descoto comercal smples de R$.500,00. A taxa aual do descoto fo: a. 7,75% b. 7,5% c. 7,25% d. 6,5% e. 6,25% Resposta: B 07. (BAESPA) - Um pequeo slo de mlho perdeu 5% da carga pela ação de roedores. edeu-se /3 da carga restate e ada fcou com 42,5 toeladas. Portato, a carga cal em toeladas, ates da ação dos roedores, era: a. 6 b. 75 c. 87,5 d. 90 e. 05 Resposta: B 08. (TT) - um clube 2/3 dos assocados são mulheres. Se 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas têm flhos, o úmero de assocados do clube, sabedo-se que as mães casadas são em úmero de 360, é de: a b..752 c. 750 d e..25 Resposta: E 09. Sabedo que um artgo de R$ ,00 fo veddo com abatmeto de R$.600,00, ecotrar a taxa utlzada a operação. a. 3,2% b. 3,5% c. 3,8% d. 4,2% e. 2,3% Resposta: A 3

4 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 0. Calcular a taxa que fo aplcada a um captal de R$ 4.000,00, durate 3 aos, sabedo-se que se um captal de R$ 0.000,00 fosse aplcado durate o mesmo tempo, a juros smples de 5% a.a., redera mas R$ 600,00 que o prmero. A taxa é de: a. 8,0% a.a b. 7,5% a.a c. 7,% a.a d. 6,9% a.a e. 6,2% a.a Resposta: B. Dos captas estão etre s como 2 está para 3. Para que, em período de tempo gual, seja obtdo o mesmo redmeto, a taxa de aplcação do meor captal deve superar a do maor em: a. 20% b. 60% c. 40% d. 50% e. 70% Resposta: D 2. Um egocate comprou algus bombos por R$ 720,00 e vedeu-os a R$ 65,00 cada um, gahado, a veda de todos os bombos, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom fo de: a. R$ 2,00 b. R$ 75,00 c. R$ 60,00 d. R$ 40,00 e. R$ 5,00 Resposta: C Capítulo 2 2. DEFIIÇÕES 2... JURO ( J ) JURO Podemos defr juro como sedo a remueração do empréstmo de um recurso facero, sto é, podemos ecarar o juro como sedo o aluguel pago(ou recebdo) pelo uso de um recurso facero. Por exemplo, supohamos que pedmos um empréstmo de R$ 000,00 ao Baco da Praça, para pagameto de 0% de juro daqu a um mês. É evdete que o dhero ão é osso, porém ele está a ossa dsposção e podemos fazer o que bem etedermos com ele durate um mês. o fm do mês devemos devolver a quata de R$ 000,00 e pagar pela dspobldade dessa quata esse período; este pagameto, da dspobldade, é chamado de juro. (este caso é R$ 00,00) CAPITAL ( C ) Chamamos de Captal ou Prcpal ao recurso facero trasacoado. o exemplo ateror o captal fo a quata de R$.000, TAXA DE JURO ( ) É o valor do juro, em uma udade de tempo, e será expresso como porcetagem do captal, logo chamaremos de taxa de juro durate essa udade de tempo. Sedo assm, teremos: a. A taxa de juro de 0% a.d.(dez por ceto ao da) sgfca que o valor do juro é gual a 0% do captal, por da. b. A taxa de juro de 20% a.a.(vte por ceto ao ao) sgfca que o valor do juro é gual a 20% do captal, por ao. Sedo assm, teremos: J Juro C Captal Taxa de Juro expressa como porcetagem do captal. Daí, pela defção, temos: J C 4

5 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Observe que podemos coclur que juro em uma udade de tempo é o produto do captal pela taxa de juro, sto é: J C 2.2 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO Chamamos de regme de captalzação à maera como o motate evolu através de város períodos, aos quas a taxa ses refere. Sedo assm, teremos dos cocetos: MOTATE ( M ) Chamaremos de motate o captal acrescdo do juro, e deotaremos por M, sto é: RESUMO M C + J a. A defção de juro é equvalete ao pagameto de um aluguel de dhero. b. Observamos a defção taxa de juro(o sgular), em uma udade de tempo, sto é, taxa de juro é defda para uma udade de tempo. Qual o juro e o motate obtdo em uma aplcação de R$.000,00, durate um ao, a uma taxa de juro de 25% a.a.? Como a taxa de juro está expressa o período aual temos: C R$.000,00 25% a.a. Logo o juro em um ao será Ø J C J % 25 J J 0 25 J R$ 250, REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES É o regme em que a taxa de juro cde somete sobre o captal cal. Portato, em todos os períodos de aplcações, os juros serão sempre guas ao produto do captal pela taxa do período. EXEMPLO: Seja a aplcação de um captal de R$.000,00, à taxa de juro gual a 0% a.m., durate 3 meses. Qual os juros totas e qual o motate dessa aplcação, se o regme é o de captalzação smples? Seja J o juro o fm do prmero mês: J.000 0% J R$ 00,00 Seja J 2 o juro o fm do segudo mês: J % J 2 R$ 00,00 Seja J 3 o juro o fm do tercero mês: J % J 3 R$ 00,00 Assm teremos o Juro Total (J): J J + J 2 + J 3 J 00, , ,00 J R$ 300,00 Ø Motate será M C + J M M R$.250,00 O motate (M) será: M C + J M.000, ,00 M R$.300,00 5

6 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA C R$ ,00 É o regme em que a taxa de juro cde sobre o motate obtdo o período ateror, para gerar juros o período atual. Seja a aplcação de um captal de R$.000,00 à taxa de juro gual a 0% a.m., durate 3 meses, o regme de captalzação composta. o poto de vsta do comprador a dfereça etre a soma das saídas e o valor do carro, correspode ao juro relatvo ao empréstmo de R$ ,00, também represetada o gráfco C R$ ,00 o fm do º mês teremos o Juro e o Motate: J.000 0% J R$ 00,00 M R$.00,00 R$ ,00 o fm do 2º mês teremos o Juro e o Motate: J % J 2 R$ 0,00 M 2 R$.20,00 o fm do 3º mês teremos o Juro e o Motate: J % J 3 R$ 2,00 M 3 R$.33, FLUXO DE CAIXA É a represetação gráfca de um cojuto de etradas e saídas de dhero relatvas a um determado tervalo de tempo, a segute forma: a. Coloca-se a lha horzotal o período cosderado b. Represetam-se as etradas por setas de setdo para cma, e as saídas com setas de setdo para baxo. c. Evdetemete haverá sempre dos potos de vsta. Um carro, que custa RS ,00 é veddo a prazo por 5 prestações mesas e guas a R$ ,00, com a prmera prestação vecedo mês após a veda. o poto de vsta do vededor a dfereça etre a soma das etradas e o valor do carro, correspode aos juros relatvos à aplcação de R$ ,00, também represetada o gráfco. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. Qual o juro e o motate de uma aplcação de R$ 600,00, durate um ao a taxa de juro de 30% a.a.? Resposta: J R$ 80,00 e M R$ 780, Qual o juro e o motate de uma aplcação de R$ 900,00 durate um semestre a taxa de juro de 30% a.s.? Resposta: J R$ 270,00 e M R$.70, Qual a taxa de juro de uma aplcação aual, sabedo-se que aplque R$ 200,00 e resgate R$ 260,00? Resposta: 30% a.a. 04. Se gahe um juro de R$ 40,00 em uma aplcação mesal de R$ 00,00, qual a taxa de juro aplcada? Resposta: 40% a.m. 05. Qual o captal que produz um juro de R$ 80,00, durate um mês de aplcação a taxa de 5% a.m.? Resposta: C R$ 600, Qual o juro e o motate de uma aplcação de R$ 600,00, durate um mês a taxa de juro de 5% a.m.? Resposta: J R$ 30,00 e M R$ 630,00 6

7 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 07. Qual o captal que produz um juro aual de R$ 50,00, a taxa de 25% a.a.? Resposta: C R$ 200,00 Capítulo III JUROS SIMPLES 08. Qual a taxa de juro aual que duplca o captal após um ao? Resposta: 00% a.a. 09. Qual a taxa de juro mesal que trplca o captal após um mês? Resposta: 200% a.m. 3. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MOTATE Seja C um Captal (ou Prcpal) aplcado à taxa por período, durate um prazo de períodos cosecutvos, sob o regme de captalzação smples. Coforme vmos o capítulo ateror, os juros serão guas em todos os períodos, e, portato, teremos: 0. Um produto é veddo por R$ 20,00 a vsta ou com uma etrada de 25% e mas um pagameto de R$08,00 após um mês. Qual a taxa de juro mesal evolvda a operação? Resposta: 20% a.m.. Um produto é veddo por R$ 25,00 a vsta ou com uma etrada de 20% e mas um pagameto de R$0,00 após um ao. Qual a taxa de juro aual evolvda a operação? Resposta: 0% a.a. 2. Quas os juros e o motate de uma aplcação de R$ 00,00 durate três meses, a taxa de 0%a.m., o regme de captalzação smples? Resposta: J R$ 30,00 e M R$ 30,00 3. Quas os juros e o motate de uma aplcação de R$ 00,00 durate três meses, a taxa de 0%a.m., o regme de captalzação composto? Resposta: J R$ 33,0 e M R$ 33,0 4. Em duas aplcações dsttas de um captal durate um ao, a mesma taxa de juro aual, poderíamos dzer que o regme de captalzação composto o juro é maor do que o juro calculado o regme de captalzação smples? Resposta: É evdete que se a taxa aplcada referese ao ao etão em um ao ão temos captalzação e portato o juro é gual ao produto do captal pela taxa (J C ), logo a perguta ão tem setdo. J J 2 J 3... J Ode: J J 2 J 3... J C. daí, o Juro total os períodos será J J + J 2 + J J J C + C + C C J C Para o Motate teremos: M C + J M C + C Exemplos: M C [ + ] 0. Qual o valor dos juros obtdos por um empréstmo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabedo-se que a taxa de juros smples cobrada é de 5% ao mês? C R$ 2.000,00 5% a.m. 3 meses J C J % 3 5 J J J R$ 300,00 3 7

8 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 02. Um captal de R$ ,00 aplcado durate 5 meses, a juros smples, rede R$ 0.000,00. Determar a taxa de juros cobrada. C R$ ,00 5 meses J R$ 0.000,00 J C EXEMPLO: Qual a taxa mesal proporcoal à taxa de 36% a.a.? % 2 3% a.m ,4% a.m , TAXAS EQUIALETES JUROS SIMPLES Duas taxas são dtas equvaletes, a juros smples, se aplcadas a um mesmo captal e durate um mesmo tervalo de tempo, produzem os mesmos juros ou motates. 03. Calcular o motate da aplcação de R$ ,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros smples de 5% a.m. C R$ ,00 Sejam: : a taxa de juros smples aplcada o período de 0 a k : a taxa de juros smples aplcada a cada tervalo fracoáro do período. k 6 meses 5% a.m. M C [ + ] M [ + 5% 6] M [ + 30%] M R$ ,00 Se e k são equvaletes, temos: J C e J C k k etão: k k 3.2 TAXAS PROPORCIOAIS Duas taxas são dtas proporcoas se matverem etre s a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. Assm, a taxa a é proporcoal à taxa 2 a 2 se, e somete se: 2 2 Exemplos: 0. Qual a taxa mesal smples equvalete a 36% a.a.? k k 36% k 2 k 3% a.m. 8

9 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 02. Qual a taxa semestral smples equvalete à taxa de 0% a.m.?? a.s. k 0% a.m. K semestre 6 meses k k 0% 6 60% a.s. Obs.: Observe que o regme de captalzação smples, as taxas equvaletes produzem o mesmo coceto que as taxas proporcoas. 03. Calcular o juro smples de uma aplcação de R$.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durate o prazo de 6 meses. C R$.000,00 36% a.a. 6 meses Obs.: Observe que o período a que se refere a taxa (ao) ão é o mesmo período de aplcação (mês). Portato, a taxa mesal equvalete a 36% a.a. será 3% a.m. Logo: J.000 3% 6 3 J J R$ 80, JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDIÁRIO) Quado as aplcações ocorrem por algus das será coveete utlzarmos a taxa equvalete dára. esse caso teremos dos efoques: a. Ao Cvl: 365 das ou 366 das para ao bssexto e os meses com o úmero real de das. b. Ao Comercal: 360 das e os meses com 30 das. Os juros que seguem o efoque a são chamados de juros exatos. Os juros que seguem o efoque b são chamados de juros comercas (ou ordáros). Qual o juro exato de uma aplcação de R$ ,00, à taxa smples de 0% a.a. durate 0 das? C R$ ,00 0% a.a. 0 das 0% Taxa dára equvalete a 0% a.a. 365 J % 365 J.000 0% 0 J R$.000, MÉTODO HAMBURGUÊS a.d. Supohamos que k captas C, C 2, C 3,..., C k sejam aplcados a juros smples durate os períodos, 2, 3,..., k a taxa de juros smples. Etão o juro total obtdo pelas aplcações acma será: J C + C C C k k J [C + C C C k k ] k j C j j j A fórmula deduzda acma é cohecda por método hamburguês. Uma das aplcações comum é o cálculo dos juros cdetes sobre os cheques especas. Os valores C, C 2 2, C 3 3,..., C k k são cohecdos como úmero hamburguês. Exemplos: 0. Calcular o valor dos juros referetes às aplcações de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00, pelos prazos de 5 das, 0 das e 5 das, respectvamete, sabedo-se que a taxa de juros smples cosderada é de 80% a.a. 9

10 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Como o problema ão fez referêca ao crtéro do ao, vamos calcular o juro comercal: C R$ ,00 C 2 R$ ,00 C 3 R$ ,00 5 das 2 0 das 3 5 das 80% a.a. 2 80% a.a. 3 80% a.a. Taxa equvalete dára: 80% 0,5% a.d. 360 J 0,5% [ ] J 0,5% [ ] J 0,5% [ ] 0,5 J J R$ ,00 Como a taxa cosderada é 30% a.d., precsamos 30% achar a taxa dára % a.d., portato, o 30 juro sobre o saldo devedor, será: J % [ ] J % J R$ , SALDO MÉDIO a maora das sttuções faceras, é forecdo crédto aos cletes através da cocessão de cheques especas, empréstmos, cartões o-le, etc. Para defr o valor dessas lhas de crédto geralmete utlzamos o saldo médo da cota correte. Supoharos que temos os saldos C, C 2, C 3,..., C k, durate os prazos, 2, 3,..., k. O saldo médo é defdo por: 02. Um baco, de uma praça, cobra 30% a.m. de juros sobre os saldos devedores dos cheques especas. Um clete fatasma teve o segute extrato mesal: S m C + C C L ou + L + k + C k k DATA HISTÓRICO ALOR SALDO (D /C) 0/06 S aldo ateror C 05/06 Cheque comp. 5/06 Cheque comp. 7/06 Depósto 20/06 Cheque comp. 25/06 Depósto D D D D C C D D C C S M K j k C j j j j 29/06 Cheque comp D D Calcular o valor dos juros cdetes sobre o saldo devedor. este caso, podemos usar o método Hamburguês usado a segute tabela: o exemplo ateror, se cosderar apeas os saldos credores teremos: Portato o saldo médo sera: DATA HISTÓRICO ALOR (D/C) SALDO (D/C) de das º de das x saldo devedor 0/06 S aldo ateror C S m /06 Cheque comp. 5/06 Cheque comp. 7/06 Depósto 20/06 Cheque comp. 25/06 Depósto 29/06 Cheque comp D D D D C C D D C C D D S m S m R$ ,30 0

11 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 3.7 TAXA MÉDIA Supohamos que os captas C, C 2, C 3,..., C k sejam aplcados a juros smples durate períodos, a taxas, 2,..., k, a mesma udade de período. Queremos ecotrar uma taxa úca que produza o mesmo juro das aplcações acma. Etão teremos: O juro da aplcação acma é: C + C C C k k () Por outro lado, o juro a uma taxa úca dos captas C, C 2, C 3,..., C k, será: (C l + C 2 + C C k ) (2) 3.8 ALOR ATUAL E ALOR OMIAL Chamamos de alor omal de um título, ao seu valor a data de vecmeto. Também é cohecdo como valor face. Chamamos de alor Atual de um título, ao seu valor em qualquer data ateror ao seu vecmeto. o caso de captalzação smples, o valor atual de um título será o valor que aplcado, a juros smples, durate os períodos de atecpação ao seu vecmeto, produzrá como motate o valor omal do título. Chamado de o valor omal e o valor atual com períodos de atecpação teremos: Portato (2) é gual a (), logo temos: C + C2 2 C + C2 + C C3 + L L + + Ck Ck k A taxa é úca e substtu as taxas aterores, e portato chamamos de taxa méda a juros smples. Obs.: Observe que se os captas forem guas, a taxa méda será gual à méda artmétca etre as taxas. Dessa forma: [ + ] + Um vestdor aplcou seu captal de R$ ,00 da segute forma: R$ ,00 a 40% a.m. R$ ,00 a 60% a.m. R$ ,00 a 90% a.m. Qual sera a taxa úca, que podera aplcar seu captal, para obter o mesmo redmeto? % % % % ,55 O valor omal de um título é de R$.600,00 sedo que seu vecmeto ocorrerá daqu a 3 meses. Se a taxa de juros smples de mercado é de 20% a.m., determe o valor atual do título hoje. R$.600,00 20% a.m. 3 meses de atecpação + R$.000, % 3

12 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva EXERCÍCIOS RESOLIDOS 0. Calcule a taxa de juro mesal, proporcoal às segutes taxas: a. 300% a.a. b. 90% a.s. a. 300% 25% a.m b. 5% a.m. 6 Respostas: a. 25% a.m. b. 5% a.m. 02. Seja um captal de R$ ,00, vestdo durate 4 meses e a taxa de juros smples de 20% a.a.. Calcule: a. O juro obtdo b. O motate C R$ ,00 20% a.a. (equvalete a 0% a.m.) 4 meses a. J C J % 4 J R$ ,00 b. M C + J M M R$ ,00 Respostas: a. J R$ ,00 b. M R$ , Em que prazo R$ 2.000,00 rede R$.800,00, se a taxa de juros smples utlzada é 5% a.m.? C R$ 2.000,00 J R$.800,00 5% a.m. J C % meses % Resposta: 3 meses 04. Calcule a taxa de juros smples de uma aplcação, sabedo que aplque R$ 5.200,00 e resgate R$ 6.448,00, depos de 4 meses. C R$ 5.200, 00 M R$ 6.448, 00 4 meses J R$.248, 00 (por que?) (J M C) J C ,06 6% a.m. Resposta: 6% a.m Em quatos meses um captal de R$ ,00, aplcado a 3,6% a.m., a juros smples, rederá juro ecessáro para a formação de um motate de R$ ,00? C R$ ,00 M R$ ,00 3,6% a.m. J R$ 23.20,00 (por que?) J C ,6% meses ,6% Resposta: 8 meses 06. Um captal aplcado à taxa de juros smples de 8%a.m., trplca em que prazo? C Captal aplcado M 3 C (por que?) (trplca) 8% a.m. J 2 C (por que?) (J M C) Como: J C 2C C 8% 8% meses 8 Resposta: 25 meses 2

13 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 07. Um vestdor recebeu R$ ,00 por uma aplcação de R$ ,00 à taxa de juros smples de 0% a.m.. De quatos meses fo essa aplcação? M R$ ,00 C R$ ,00 0% a.m. J R$ ,00 (por que?) (J M C) J C % % 6 meses Resposta: 6 meses 08. Possuo uma letra de câmbo o valor omal de R$ ,00, que é resgatável daqu a 3 meses. Sabedo-se que a taxa de juros smples correte de mercado é de 0% a.m., quato devo pagar por esta letra hoje? R$ ,00 3 meses (período de atecpação) 0% a.m % 3 R$ ,00 Resposta: R$ ,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (BACE/uesp) a captalzação smples a taxa mesal que faz duplcar um captal, em 2 meses, vale a. 00% b. 50% c. 40% d. 30% e. 0% Resposta: B 02. (BACE/uesp) a captalzação smples, os juros correspodetes à aplcação de R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4% ao mês é? Resposta: R$ 60, (CM) Os captas de R$ 2.000,00, R$ ,00 e R$ 6.000,00 foram aolcados à mesma taxa de juros smples, durate 9, 5 e 8 meses, respectvamete. A soma desses captas, sto é, R$ ,00, para produzr um juro smples gual à soma dos juros produzdos por aqueles captas os prazos respectvos, devera ser aplcada durate quatos meses? a. 6 meses b. 7 meses c. 8 meses d. 9 meses e. 0 meses Resposta: B 04. (ISS/97) Dz-se que a taxa é equvalete à taxa se, ao fm de determado período, ambas produzrem o mesmo motate, quado aplcadas ao mesmo captal. Cosderado o regme de juros smples e a formação acma, julgue os tes que se seguem. Respoder: Certo (C) ou Errado (E) a. ( ) O Captal que, aplcado à taxa de juros de 2% a.a., trasforma-se, ao fal de 0 meses, em R$ 308,00 é superor a R$ 270,00. b. ( ) Um captal aplcado a 200% a.a. e captalzado semestralmete dobrará em 6 meses. c. ( ) A juros de 0% a.a., uma dívda que, ao fal de 2 aos, atgr R$.200,00 poderá ser medatamete lqudade por R$ 990,00. d. ( ) Se uma taxa mesal e uma taxa dára são equvaletes, etão 30. e. ( ) Três taxas mesas e cosecutvas de 2%, 3% e 5% equvalem a uma taxa trmestral de 0%. Resposta: a. (C) b. (C) c. (E) d. (C) e. (C) 3

14 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Captulo 4 JUROS COMPOSTOS 4. MOTATE mos o Capítulo I, que o regme de captalzação composta, o motate o fm de cada período é que gera juro para o período segute. Seja o captal C, aplcado a uma taxa de juros compostos, por período. Assm temos: o íco do prmero período C O motate após o prmero período: C ( + ) O motate após o segudo período: C ( + )² O motate após o tercero período: C ( + )³ geeralzado: O motate após o -ésmo período C ( + ) a. M C ( + ) M ,00 ( + 0%) 3 M ,00 (,33000) (ver tabela I, pág.42) M R$ ,00 b. J M C J J R$ , Durate quato tempo um captal de R$ ,00 deve ser aplcado a juros compostos, à taxa de 5% a.a., para que produza um motate de R$ ,00? C R$ ,00 5% a.a. M R$ ,00 M C ( + ) ,00 ( + 5%) ( + 5%) 2,0357 Cosultado a tabela I (ver pága 42) para 5% e resposta 2,0357 ecotramos: 5 aos Etão o motate da aplcação de um captal C, durate períodos será deotado por M e expresso por: M C ( + ) Obs.: O fator ( + ) é chamado de fator de captalzação, e ecotra-se tabelado para dversos valores de e. Exemplos: 0. Um captal de R$ ,00 é aplcado a juros compostos durate 3 aos, à taxa de 0% a.a.. a. Qual o motate? b. Qual o total de juros auferdos? Temos: C R$ % a.a. 3 aos Etão: 4.2 TAXAS EQUIALETES A JUROS COMPOSTOS Duas taxas são equvaletes a juros compostos, quado aplcadas um mesmo captal e durate um mesmo tervalo de tempo, produzem o mesmo motate. 03. Qual a taxa aual equvalete à taxa de 5 % a.m., sob o regme de captalzação composta? C captal Taxa mesal 5% a.m. taxa aual Motate durate ao será: C ( +5%) 2 Usado a taxa aual temos: C ( + ) Portato: ( + ) ( + 5%) 2 +, (ver tabela I - pag. 42) 79,58% a.a. 4

15 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 4.3 CASO EM QUE O PRAZO DE APLICAÇÃO DO CAPITAL ÃO É UM ÚMERO ITEIRO DE PERÍODOS Algumas vezes ão temos o prazo de aplcação,, como um úmero tero de períodos a que se refere a taxa de juro composto. esses casos é comum utlzar as coveções abaxo: COEÇÃO LIEAR Esta coveção cosdera que os juros compostos evoluem durate a parte tera de período, formado assm um motate; sobre este motate cdrá juros smples durate a parte fracoára do período. 04. Qual o motate de um captal de R$ ,00 aplcado durate três aos e meo, à taxa de juros compostos de 0% a.a. Durate os três aos temos: M C ( + ) M ,00 ( + l0%) 3 M R$ ,00 Durate o 0,5 ao temos: M C ( + ) M ,00 ( + 0% 0,5) M , ,00 Motate fal: R$ , COEÇÃO EXPOECIAL Esta coveção supõe que a fórmula M C ( + ) vale para qualquer valor de racoal postvo. 05. Cosderado o exemplo ateror e utlzado 3,5 aos, temos: M C ( + ) M ,00 ( + 0%) 3,5 M R$ , TAXA EFETIA E TAXA OMIAL Observamos que a fórmula do motate, tem como base a hpótese de que o período de captalzação cocde com o período da taxa. Porém a maora dos problemas esta stuação ão ocorre. este caso, adotaremos duas coveções: a. Taxa omal: será a taxa a qual o período de captalzação ão cocde com o período a que ela se refere. b. Taxa efetva: será a taxa que deverá ser aplcada à fórmula do motate, portato deverá cocdr com o período de captalzação. Seu cálculo será efetuado como sedo a taxa proporcoal à taxa omal. taxa proporcoal otação: taxa omal taxa efetva taxa equvalete taxa efetva taxa efetva 06. Um captal de R$ ,00 fo aplcado, a juros compostos, durate um ao, à taxa de 60% a.a., com captalzação mesal. Qual o motate dessa aplcação? C R$ ,00 ao 2 meses 60% a.a. (taxa omal) 5% a.m. (taxa efetva) Captalzação mesal M ,00 ( + 5%) 2 M ,00, (ver tabela I - pag. 42) M R$ , ALOR ATUAL E ALOR OMIAL Já vmos, a grosso modo, esses cocetos o Capítulo II. alor omal () de um título é o seu valor a data de vecmeto. alor Atual ou Presete () de um título, com períodos de atecpação é o valor que aplcado (o caso de juros compostos) durate períodos produz como motate o valor omal do título. 5

16 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva este caso teríamos: b. ( + ) 2 ( + 44%) 44,,20 20% a.s. ( + ) ode: é o úmero de períodos de atecpação. 07. Seja um título cujo valor omal é R$.60.50,00. Qual o seu valor atual (ou presete), se a taxa de juros compostos é de 0% a.m., e seu vecmeto é daqu a 5 meses. R$.60.50,00 0% a.m. 5 meses ( + ) ( + 0%) 5 (ver tabela I - pag. 42) R$ ,00 PROBLEMAS RESOLIDOS 0. Calcular a taxa semestral equvalete a juros compostos às taxas: a. 2% a.m. b. 44% a.a. a. ( + ) ( + 2%) 6 ( + 2%) 6,26 2,6% a.s. 02. Qual o motate da aplcação de R$ ,00, a juros compostos, durate 6 meses, à taxa de 36% a.a., captalzados mesalmete. C R$ ,00 6 meses Captalzação mesal 36% a.a. (Taxa omal) 3% a.m. (Taxa efetva) M ( + 3%) 6 M ,94052 M R$ , Determar o prazo de uma aplcação de R$ ,00 a juros compostos, se desejo obter um motate de R$ ,50, à taxa de juros de 5% a.m.. C R$ ,00 M R$ ,50 5% a.m. M C ( + ) ( + 5%) , ,00 ( + 5%) 2, meses 04. Qual a taxa efetva para que o captal de R$ ,00, aplcado durate 2 aos, com captalzação mesal, atja um motate de R$ ,88 C R$ ,00 M R$ ,88 Captalzação mesal 2 aos 24 meses M C ( + ) , ( + ) 24 ( + ) 24 6, Cosultado a tabela para 24, temos: 8% a.m. 6

17 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 05. Se o valor omal de um título é R$ ,00, qual o prazo de atecpação, sabedo que o seu valor presete é R$ 37.30,8 e a taxa efetva de juros compostos é 5% a.m. R$ ,00 R$ 37.30,8 5% a.m. ( + ) 03. (FTSC) Quato devo aplcar hoje para obter um redmeto de R$ 0,25 após ses meses, a taxa de juros compostos de 0% ao ao, com captalzação trmestral? Dado: (.025) 2, a. R$ 2.0,25 b. R$ 3.000,00 c. R$ 4.000,00 d. R$ 2.000,00 e. R$ 638,25 ( + ) , ,8 Resposta: D ( + 5%), Cosultado a tabela, temos: 6 meses 04. (ISS/98) Um aparelho de som é veddo à vsta por R$.275,00 ou a prazo, sem etrada e em duas parcelas bmestras guas. Se ataxa bmestral de juros compostos for 4%, o valor de cada parcela será a. R$ 676,00 b. R$ 684,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (BACE/uesp) A taxa de 4% ao mês, quado captalzada com juros compostos, correspode a uma taxa bmestral equvalete a a. 8% a.b. c. R$ 688,00 d. R$ 692,00 e. R$ 696,00 Resposta: A b. 8,6% a.b. c.,08% a.b. d.,086% a.b. e. 6% a.b. Resposta: B 02. (BACE/uesp) Um captal de R$ 4.000,00, aplcado à taxa de 2% ao mês, durate 3 meses, a captalzação composta, gera um motate de a. R$ 6.000,00 b. R$ 4.240,00 c. R$ 5.500,00 d. R$ 4.244,83 e. R$ 6.240,00 Resposta: D 7

18 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Capítulo 5 DESCOTOS SIMPLES E COMPOSTOS 5. DESCOTO Chamamos de valor descotado à dfereça etre o valor omal e o descoto. Logo, o descoto racoal temos que o valor descotado racoal é o valor aual do título. O gráfco abaxo dá uma déa clara do descoto racoal smples Chamamos de descoto ao abatmeto obtdo sobre o valor omal de um título quado é resgatado ates da data do vecmeto. Assm o descoto será a dfereça etre o valor omal de um título e o valor do título a data do seu resgate. Coforme o regme de captalzação, chamaremos o descoto de smples ou composto. Portato, é fácl ver que: 5.2 DESCOTO RACIOAL SIMPLES ( ) Chamamos de descoto racoal smples, ou também descoto real, ou ada descoto por detro, à dfereça etre o valor omal e o valor atual (ou presete) do título. Seja: alor omal do título alor atual com períodos de atecpação Etão: () Se a taxa de juros smples é, teremos: daí: (2) Por outro lado podemos achar outra fórmula: ( + ) (3) Portato temos as fórmulas, 2, e 3 para o cálculo do descoto racoal smples. Observado a fórmula (3), chegamos à coclusão de que o descoto racoal smples são juros smples devdos a aplcação do valor atual à taxa, e, durate os períodos de atecpação. ode: : Descoto Racoal Smples : alor Descotado Racoal Smples EXEMPLO: 0. Um título de valor omal de R$ 3.000,00 é resgatado 5 meses ates de seu vecmeto, à taxa de descoto racoal smples de 3% a.m. a. Qual o valor descotado racoal smples? b. Qual o descoto racoal? R$ 3.000,00 5 meses (períodos de atecpação) 3% a.m. a. Como o valor descotado racoal é o valor aual smples temos: ( + ) ( + 3% 5) 3.000,5 R$ 2.608, 69 8

19 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera b. Para achar o descoto racoal smples, basta aplcar qualquer das fórmulas, 2 ou 3. amos aplcar a fórmula, pos é medata: 3.000,00 2,608,69 39,3 Respostas: a. R$ 2.608,69 b. R$ 39,3 5.3 DESCOTO COMERCIAL SIMPLES (D C ) Chamamos de descoto comercal smples, ou descoto por fora, ao juro smples aplcado sobre o valor omal de um título, durate o úmero de períodos de atecpação. Seja: alor omal de um título d Taxa de descoto comercal (ou por fora) smples úmero de períodos de atecpação da dívda Etão: D C d (4) este caso, como sabemos que o valor descotado é a dfereça etre o valor omal e o descoto, temos que o valor descotado comercal smples será: D C (5) Usado 4 e 5 podemos chegar a outra fórmula: D C d portato: [ d ] (6) O alor descotado comercal smples as vezes é chamado de valor atual comercal e é expresso por. O gráfco abaxo lustra bem essa stuação. Portato, é fácl ver que: D C (7) ode: D C : Descoto comercal smples : valor descotado comercal (ou valor atual comercal) Obs.:. A partr deste poto usaremos a segute otação: R : alor atual (ou valor descotado racoal) : alor atual comercal (ou valor descotado comercal). 2. O valor descotado o Descoto Comercal, ão é o valor Atual como é defdo o Descoto Racoal. 02. Um título de valor omal de R$ 3.000,00 é resgatado 5 meses ates de seu vecmeto, à taxa de descoto comercal smples de 3% a.m.. a. Qual o valor descotado comercal? b. Qual o descoto comercal? R$ 3.000, 00 5 meses (período de atecpação) d 3% a.m. a. ( d) ( 3% 5) , ,00 b. Para achar o descoto comercal smples podemos aplcar qualquer das fórmulas 4 ou 7. amos aplcar a 7 pos é medata D C D C D C R$ 450,00 Resposta: a. R$ 2.550,00 b. R$ 450,00 C D C Obs: Como o valor omal é sempre maor que o valor atual temos que: D C > < R Cosderado a mesma taxa ( d) e lógco o mesmo período. 9

20 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 5.4 DESCOTO BACÁRIO SIMPLES (D B ) Geralmete as operações de descoto realzadas em sttuções faceras, seguem o crtéro do descoto comercal. Porém é comum a cobraça de uma taxa sobre o valor omal a título de despesas admstratvas. Ressaltamos que é comum usar o termo descoto bacáro para o descoto comercal vsto o tem ateror. Seja: alor omal de um título d taxa de descoto comercal b taxa admstratva úmero de períodos de atecpação D C D B Descoto comercal smples Descoto bacáro 5.5 RELAÇÃO ETRE TAXA DE DESCOTO RACIOAL SIMPLES () E TAXA DE DESCOTO COMERCIAL SIMPLES (d) Observamos, que o descoto racoal (ou por detro) é o descoto que devera ser aplcado, o poto de vsta matemátco. Isto é evdete pos a sua taxa cocde com a taxa de juros smples. Podemos formular uma questão: Quado usamos o descoto comercal smples (taxa d) ou bacáro smples (taxa d) qual é a taxa de juros smples real utlzada? Resposta: A taxa de juros smples utlzada a realdade cocdrá com a taxa de descoto racoal ( ). Esta taxa será tal que produza o descoto racoal gual ao descoto comercal, sto é: D B D C + b portato: D B d + b Colocado em evdêca, temos: D B d + b (8) Cotuado, podemos chamar a taxa d + b/ de d e obter a fórmula: D B g (9) ode g será chamada de taxa de descoto bacáro smples. O valor descotado bacáro smples será: B D B (0) ou ada: B ( g ) () 03. Uma ota promssóra cujo valor omal é R$ 3.000,00 fo resgatada 5 meses ates do seu vecmeto, à taxa de descoto comercal smples de 3% a.m., com 0% de taxa admstratva. Qual o descoto bacáro? R$ 3.000,00 5 meses (períodos de atecpação) d 3% a.m. b 0% logo: D B % D B R$ 750,00 Resposta: R$ 750,00 Daí temos: ou ada: D C d e DR + d (2) + d (3) - d o caso de descoto bacáro, teremos: g + ou g - g (4) (5) Obs.: A taxa de juro smples é chamada de taxa efetva de juro smples. 20

21 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 04. Qual a taxa efetva de juro smples cobrada pela sttução facera o exemplo 3. ( d b) g + ode: d 3% a.m. b 0% 5 meses g 5% a.m. logo: γ γ 5% 5% 5 5% 25% 6.67% a.m. Resposta: 6,67% a.m. 5.6 DESCOTO RACIOAL COMPOSTO (POR DETRO) A defção de descoto composto é aáloga à de descoto smples, a dfereça exste apeas o regme de captalzação. Da mesma maera que expusemos o descoto racoal smples, podemos expor o descoto racoal composto. Assm temos: : Descoto racoal composto : alor omal de um título : alor atual do título : Taxa de juros composto por período Etão: Como o regme de captalzação composta o valor atual tem a fórmula: ( + ) podemos substtur a fórmula acma, obtedo-se: é (+ ) -ù ê ú ëê (+ ) û ú (6) que é a fórmula para o descoto racoal composto. A fórmula 6 também pode ser escrta como: : é a otação que represeta o valor atual de uma audade utára peródca e temporára, com termos, cujos pagametos são postergados, à taxa de juros compostos por período. Este valor é tabelado, e se ecotra o fal deste materal 05. Um título de valor omal gual a R$ 0.000,00 é resgatado 2 meses ates de seu vecmeto, segudo o crtéro de descoto racoal composto. Sabedo-se que a taxa de juro composto é de 0% a.m., qual o valor do descoto? R$0.000,00 2 meses (períodos de atecpação) 0% a.m. Cosultado a tabela, temos:, %, R$.735,54 Resposta: R$.735,54 2

22 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva OUTRA SOLUÇÃO: Calculado o valor aual, temos: ( + ) ( + 0%) ,2000 ode: R$ 8.264,46 Logo, o valor descotado racoal composto é: R$ 8.264,46, daí o valor do descoto é: ,46 Logo: R$.735, DESCOTO COMERCIAL COMPOSTO (POR FORA) Trata-se de váras aplcações sucessvas do descoto comercal smples até se chegar à época da atecpação do pagameto do título. Sedo assm, temos: D C : Descoto comercal composto : alor omal do título : alor atual comercal (ou descotado) d : Taxa de descoto comercal Etão o valor atual do descoto comercal composto de um título com períodos de atecpação é expresso, por: ( d) (7) e o valor do descoto comercal composto será de: EXEMPLO: Dc [ ( d) ] (8) 06. Um título de valor omal gual a R$0.000,00 é resgatado 2 meses ates de seu vecmeto segudo o crtéro de descoto comercal composto. Sabedo-se que a taxa de descoto composto é 0% a.m., qual o valor do descoto? R$0.000,00 2 meses (período de atecpação) d 0% a.m ( d) 0.000,00 ( 0%) ² 0.000,00 (0,90) ² R$ 8.00,00 daí, o descoto comercal composto será: D C D C D C R$.900,00 Obs.: Dexamos a crtéro do letor, a demostração da relação etre taxa de descoto racoal e descoto comercal, o caso de captalzação composta e ressaltamos que o resultado é o mesmo mostrado este capítulo. PROBLEMAS RESOLIDOS 0. Um título va ser resgatado dos meses ates do seu vecmeto. Sabedo que fo adotado o crtéro do descoto racoal smples, à taxa de 5% a.m., qual o valor descotado e o descoto desse título de valor omal gual a R$ ,00? R$00.000,00 2 meses (períodos de atecpação) 5% a.m. alor descotado: + etão: % 2 daí; alor descotado: R$ ,08 Descoto Racoal Smples ,08 dode: R$ ,92 Respostas: R$ ,08 R$ ,92 22

23 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 02. Um título de valor omal de R$ ,00 va ser resgatado três meses ates do vecmeto, sob o regme de descoto racoal smples. Sabedo-se que a taxa de descoto racoal é de 96% a.a., qual o valor descotado e o valor do descoto? R$ ,00 3 meses (períodos de atecpação) 96% a.a. 8% a.m. alor descotado: % 3 R$ ,8 Descoto Racoal: ,8 R$ ,9 Respostas: R$ ,8 RS ,9 03. Um título va ser resgatado dos meses ates de seu vecmeto. Sabedo-se que fo adotado o crtéro do descoto comercal smples, à taxa de 5% a.m., qual o valor descotado e o valor desse título de valor omal gual a R$ ,00? R$ ,00 2 meses (períodos de atecpação) d 5% a.m. alor do descoto comercal smples: D C d D C % 2 D C R$ ,00 alor descotado comercal: D C R$ ,00 Respostas: D C R$ ,00 R$ , Um título de valor omal de R$ ,00 va ser resgatado três meses ates de seu vecmeto, sob o regme de descoto comercal smples. Sabedo-se que a taxa de descoto comercal é de 96% a.a., qual o valor descotado e o valor do descoto? R$ ,00 3 meses (períodos de atecpação) d 96% a.a. 8 % a.m. alor do descoto comercal smples: D C d D C R$ ,00 8% 3 D C R$ ,00 alor descotado comercal: D C R$ ,00 Resposta: D C R$ ,00 R$ , Qual o prazo de atecpação de pagameto de um título, sabedo-se que o valor descotado comercal smples é três vezes o valor do descoto comercal smples e que a taxa de descoto comercal é 5% a.m.? d 5% a.m. 3D C Sabedo-se que: ( d ) como: 3 D C temos: 3 D C ( d ), como: D C d temos: 3 d ( d ) etão: 3 d d 4 d 4 d 4 5% 5 meses Resposta: 5 meses de atecpação 23

24 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 06. Um título va ser resgatado dos meses ates de seu vecmeto. Sabedo que fo adotado o crtéro do descoto racoal composto, à taxa de 5% a.m., qual o valor descotado e o descoto desse título de valor omal gual a R$00.000,00? R$ ,00 2 meses (períodos de atecpação) 5% a.m. alor descotado (+ ) (+5%) , R$ 75.64,37 alor do descoto racoal composto: ,37 R$ ,63 Respostas: R$ 75.64,37 R$ ,63 OUTRA SOLUÇÃO: Lembre-se que % %, R$ ,63 logo: ,63 R$ 75.64,37 Resposta: R$ ,63 R$ 75.64, Um título de valor omal de R$ ,00 va ser resgatado três meses ates do vecmeto, sob o regme de descoto racoal composto. Sabedo-se que a taxa de descoto racoal é de 96% a.a., qual o valor descotado e o do descoto, cosderado captalzação mesal? R$ ,00 3 meses (períodos de atecpação) 96% a.a. (taxa omal) 8% a.m (taxa efetva) Captalzação mesal: alor do descoto racoal composto: % 2, R$ ,88 alor descotado racoal composto: ,88 R$ ,2 Respostas: R$ ,88 R$ ,2 08. Um título va ser resgatado dos meses ates de seu vecmeto. Sabedo-se que fo adotado o crtéro do descoto comercal composto, à taxa de 5% a.m., qual o valor descotado e o descoto desse título de valor omal gual a R$ ,00? RS ,00 2 meses (período de atecpação) d 5% a.m. alor descotado comercal: ( d) ( 5%) 2 R$ ,00 alor do descoto comercal: D C D C D C R$ ,00 Respostas: R$ ,00 D C R$ ,00 24

25 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 09. Um título de valor omal de R$ ,00 va ser resgatado três meses ates de seu vecmeto, sob o regme de descoto comercal composto. Sabedo-se que a taxa de descoto comercal é de 96% a.a., qual o valor descotado e o valor do descoto, cosderado captalzação mesal? R$ ,00 3 meses (períodos de atecpação) 96% a.a. (taxa omal) 8% a.m. (taxa efetva) Captalzação mesal: alor descotado comercal: ( d) ( 8%) (92%) 3 R$ alor do descoto comercal: D C D C D C 0.656,00 Resposta: R$ D C R$ 0.656,00 0. Calcule o prazo de atecpação de um título de valor omal de R$ ,00, sabedo-se que o valor do descoto racoal composto fo de R$ ,36 e a taxa de descoto fo de 5% a.m. R$00.000,00 R$ ,36 5% a.m. Como temos: % ,36 5, (valor próxmo ao da tabela) logo, cosultado a tabela para 5% temos 6 Resposta: 6 meses EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (ISS/97) Julgue os tes a segur, relatvos às dferetes maeras com que uma ota promssóra pode ser descotada. Respoder: Certo (C) ou Errado (E): a. ( ) Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segudo o descoto comercal será sempre meor que o valor atual segudo o descoto racoal. b. ( ) O descoto bacáro ada mas é do que o descoto comercal acrescdo de uma taxa a título de despesas bacáras. c. ( ) o descoto comercal, a taxa mplícta a operação é sempre meor que a estabelecda. d. ( ) A dfereça etre os descotos racoal e comercal, a uma mesma taxa, aumeta à medda que a data de descoto aproxmase da data do vecmeto. e. ( ) Se uma ota promssóra com valor de R$.000,00 a data de vecmetos, em 2 aos é descotada 2 aos ates do vecmeto, em um baco que pratca uma taxa de descoto bacáro smples de 8% a.a., etão a taxa aual de juros compostos que está sedo paga pelo clete é superor a 24% a.a. Resposta: a. (C) b. (C) c. (E) d. (C) e. (C) 02. (BACE/uesp) O valor do descoto smples por fora, de um título de R$ 2.000,00 com vecmeto para 20 das à taxa de 3% ao mês é, em reas, a. R$ 320,00 b. R$ 20,00 c. R$ 240,00 d. R$ 340,00 e. R$ 420,00 Resposta: C 03. (BACE/uesp) O valor do descoto composto racoal de um título o valor de R$ ,00, com prazo para 30 das para vecmeto e taxa cobrada de 4% ao mês, é, em reas, a. R$ 620,00 b. R$ 850,00 c. R$ 950,00 d. R$ 769,00 e. R$ 820,00 Resposta: D 25

26 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Capítulo 6 EQUIALÊCIA DE CAPITAIS 6. DEFIIÇÃO Supohamos que os captas, 2,..., m, deverão ser lqudados os prazos, 2,..., m, respectvamete, cotados a partr de uma época comum 0, sedo que a taxa de juros egocada aquela época era. Dzemos etão, que os captas serão equvaletes a época 0, se todos os valores auas a época 0 forem guas. Observamos, que o valor atual depede do regme de captalzação. Logo precsamos separar coceto por regme de captalzação e por tpo de descoto. Para que ajude a um etedmeto esboçamos o gráfco abaxo: m 2 3 m m m m ode: m são os valores atuas de, 2, 3,..., m 6.2 CAPITAIS EQUIALETES A JURO SIMPLES Os captas serão equvaletes a juros smples segudo dos tpos de descoto: a. Captas equvaletes a juros smples pelo descoto racoal (por detro) Cosderado o descoto racoal smples a taxa de descoto, teremos que os valores atuas, 2, 3,..., m satsfazem a relação: L m + m b. Captas equvaletes a juros smples pelo descoto comercal (por fora) Cosderado o descoto comercal smples a taxa d de descoto, teremos que os valores auas c, c2, c3,..., cm satsfazem a relação: ( d ) 2 ( d 2 )... m ( d m ) Obs.: Ressaltamos que o caso de captalzação smples, se os captas são equvaletes em determada data, ão serão equvaletes em outra data. 0. Qual será a taxa de descoto ecessáro, para que os captas de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00 vecíves daqu a 2 e 3 aos, respectvamete, sejam equvaletes a data atual pelo regme de captalzação smples? R$ 2.000,00 2 aos 2 R$ 2.200, aos Precsamos cosderar dos tpos de descoto: a. o caso do descoto racoal: ( + 3 ) ( + 2 ) daí: 2,5% a.a. b. o caso de descoto comercal: (l d ) 2 ( d 2 ) ( d 2) ( d 3) ( 2 d) ( 3 d) Resolvedo temos: d 7,69% a.a. Respostas: o caso de descoto racoal smples a taxa é de 2,5% a.a. o caso de descoto comercal smples a taxa é de 7,69% a.a. 6.3 CAPITAIS EQUIALETES A JUROS COMPOSTOS Os captas são equvaletes a juros compostos, segudo dos tpos de descotos: a. Captas equvaletes a juros compostos pelo descoto racoal (por detro) Cosderado o descoto racoal composto a taxa de descoto, teremos os valores atuas, 2,..., m satsfazedo a relação: 2 L m ( + ) ( + ) 2 ( + ) m 26

27 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera b. Captas equvaletes a juros, compostos pelo descoto comercal (por fora) Cosderado o descoto comercal composto a taxa d de descoto, teremos que os valores atuas c, c2,..., cm satsfazem a relação: (l d) 2 ( d) 2... m (l d) m Obs.: Ressaltamos que o caso de captalzação composta, quado cosderamos o descoto racoal composto (por detro), os captas são equvaletes em qualquer data. 6.4 ALOR ATUAL DE UM COJUTO DE CAPITAIS Supoharos os captas:, 2,..., m, as datas, 2,..., m, cotados a partr de uma época 0. Chamaremos de valor atual a época 0, desse cojuto de captas, a soma dos valores equvaletes desses captas a época 0. Assm temos: m 02. Qual será a taxa de descoto ecessára, para que os captas de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00 vecíves daqu a 2 e 3 aos, respectvamete, sejam equvaletes a data atual, sob o regme de captalzação composta? R$ 2.000,00 2 aos 2 R$ 2.200, aos Precsamos cosderar o tpos de descotos: a. o caso do descoto racoal: 2 2 ( + ) ( + ) ( + ) 2 ( + ) 3 Resolvedo, temos: ( + ),0 0% a.a. b. o caso de descoto comercal ( d) 2 ( d) ( d) ( d) 3 Resolvedo, temos: d 9,09% a.a. Resposta: Cosderado o descoto racoal composto a taxa é de 0% a.a. Cosderado o descoto comercal composto a taxa é de 9,09% a.a m Como os valores equvaletes depedem do regme de captalzação e do tpo de descoto, teremos város casos: a. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES a.. o caso de descoto racoal smples a taxa, teremos o valor aual do cojuto de captas (), da segute forma: L 2 m + m a.2. o caso de descoto comercal smples a taxa d, teremos o valor atual do cojuto de captas (), da segute forma: ( d ) + 2 ( d 2 ) m ( d m ) b. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: b.. o caso de descoto racoal composto a taxa, teremos o valor atual do cojuto de captas (), da segute forma: L 2 m ( + ) ( + ) 2 ( ) m + b.2. o caso de descoto comercal composto a taxa d, teremos o valor atual do cojuto de captas (), da segute forma: ( d) + 2 ( d) m ( d) m 27

28 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva 03. Um vídeo-game é veddo da segute forma: Etrada de R$ ,00 e duas prestações mesas guas a: R$ ,00. Se a loja opera com uma taxa de descoto gual a 20% a.m., qual o preço a vsta? Como a stuação ão dz qual é o regme de captalzação e qual é o tpo dedescoto, faremos os 4 casos: meses 0 2 O preço a vsta será o valor atual desse cojuto de captas, os segutes casos: a. Sob o descoto racoal smples: % + 20% 2 R$ ,33 b. Sob o descoto comercal smples: ( 20% ) ( 20% 2) R$ ,00 c. Sob o descoto racoal composto: R$ , ( + 20% ) ( + 20 % ) 2 d. Sob o descoto comercal composto: ( 20%) ( 20%) 2 R$ ,00 Respostas: O preço à vsta será Pelo regme de descoto racoal smples: R$ ,33 Pelo regme de descoto comercal smples: R$ ,00 Pelo regme de descoto racoal composto: R$ ,44 Pelo regme de descoto comercal composto: R$ , m m m m Se e 2 são os valores atuas dos cojutos de captas () e (2), a época 0, eles serão equvaletes se 2. Obs: Aos aluos que são caddatos a cocursos públcos, efatzamos que este capítulo e o próxmo são muto explorados. Etre váras aplcações do valor atual etre cojuto de captas está o problema de substtur um cojuto de títulos por um úco, como o caso de juros smples, os captas são equvaletes em apeas uma data, cosdera-se esses problemas, a data em que fo proposta a egocação como a data focal 0 para a equvalêca. Quado o regme for de juros compostos, cosdera-se o valor atual em qualquer data, pos são equvaletes sempre. PROBLEMAS RESOLIDOS 0. Um título de valor omal de R$ ,00 com vecmeto daqu a mês, precsa ser trocado por outro de valor omal de R$ ,00 com vecmeto daqu a 3 meses. Supodo o crtéro de descoto racoal smples, qual a taxa que deverá ser cosderada? R$ ,00 mês 2 R$ , meses Crtéro de descoto racoal smples: Usado o coceto de captas equvaletes, temos: ,% a.m ( + 3 ) ( + ) cojuto cojuto 2 Resposta: a taxa de descoto racoal é,% a.m. 28

29 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera 02. Um título de valor omal de R$ ,00 com vecmeto daqu a mês, precsa ser trocado por outro de valor omal de R$ ,00 com vecmeto daqu a 3 meses. Supodo o crtéro do decoto comercal smples, qual a taxa que deverá ser cosderada? R$ ,00 mês 2 R$ , meses Crtéro do descoto comercal smples: Usado o coceto de captas equvaletes, temos: (l d ) 2 ( d 2 ) ( d ) ( d 3) Resolvedo: d 7,69% Resposta: A taxa de descoto comercal é 7,69%.a.m. 03. Precsamos trocar três títulos com vecmeto daqu a, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ ,00, por dos outros títulos de mesmo valor omal com vecmeto daqu a 4 e 6 meses. Cosderado o regme de descoto comercal smples, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor omal desses títulos? O cojuto de títulos acma deve ser equvalete ao segute cojuto de título: Etão temos: alor aual do prmero cojuto de captas ( d ) + 2 ( d 2 ) + 3 ( d 3 ) ( 8%) ( 8% 2) ( 8% 3) R$ ,00 2 alor aual do segudo cojuto de captas 2 ( 8% 4) + ( 8% 6) 2,20 Como são equvaletes 2, Logo: R$ ,00 Resposta: O valor omal dos títulos deverá ser de R$ , Um egocate tem duas dívdas a pagar, uma de R$ 3.000,00, com 45 das de prazo, a outra de R$ 8.400,00 pagável em 60 das. O egocate quer substtur essas duas dívdas por uma úca, com 30 das de prazo. Sabedo-se que a taxa de descoto comercal é de 2% a.a., o valor omal dessa dívda será de quato? O cojuto de título acma tem que ser equvalete a: ( l%,5) ( l% 2) R$ ( % ) 2 0,99 Como: 2, temos: 0,99.87 R$.300, ,99 Resposta: O valor omal é de R$.300, Um egocate deve pagar três títulos: O prmero de R$ ,00 exgível em ao O segudo de R$ ,00 exgível em 2 aos O tercero de R$ ,00 exgível em 3 aos O egocate quer substtur esses três títulos por um úco título de R$ ,70. Admtdo-se o regme de juros compostos e uma taxa mesal de 5%, o prazo do ovo título é de? R$ ,00 2 meses 2 R$ , meses 3 R$ , meses O cojuto acma deve ser equvalete a: R$ ,70 ' Supodo o descoto racoal composto (descoto real), já que o problema omtu esta formação temos: ( + 5% ) 2 ( + 5% ) 24 ( + 5% ) 36 R$ 29.7,32 Por outro lado: ,70 ( + 5% ) Como: , ,70 ( + 5% ) ( + 5% ) 2, Cosultado a tabela: 5 meses Resposta: 5 meses + 29

30 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Capítulo 7 Um esboço do fluxo de caxa sera REDAS CERTAS OU AUIDADES 7. DEFIIÇÕES Tato pessoas físcas quato jurídcas evolvem-se com pagametos (ou recebmetos) sucessvos, para saldar ou receber facametos, esta seqüêca de pagametos chamamos de redas certas ou audades. Assm, temos T, T 2, T 3... como uma reda certa, correspodete às épocas t, t 2, t 3... : DIFERIDAS Chamamos de redas certas (ou audades) peródcas dferdas, de m períodos, quado o prmero pagameto só é efetuado o fm do período (m + ). Um esboço do fluxo de caxa sera Ø Se a reda certa possu um úmero fto de termos será chamada de temporára, caso cotráro será chamada de perpétua (ou perpetudade) Ø Se os termos da reda certa forem todos guas será chamada de reda certa de termo costate (ou reda certa uforme), caso cotráro será chamada de reda certa de termo varável. Quado as datas correspodetes aos termos das redas certas estverem defasadas pelo mesmo tervalo de tempo, dzemos que a reda certa é peródca. Caso cotráro, chamamos de ão peródca. 7.2 CLASSIFICAÇÃO DAS REDAS PERIÓDICAS eremos apeas as redas peródcas, pos são as que ocorrem a prátca com mas freqüêca. As redas certas (ou audades) peródcas se classfcam em: POSTECIPADAS Chamamos de redas certas (ou audades) peródcas postecpadas quado os pagametos dos termos ocorrem o fm de cada período respectvo. Logo, esse caso, ão há pagameto a época de orgem da trasação. O fluxo de caxa sera: 7.3 AÁLISE DAS REDAS CERTAS (OU AUIDADES) PERIÓDICAS DE TERMOS COSTATES E TEMPORÁRIOS Cosderamos a reda certa peródca de termo costate e temporára (T T 2 T 3... T T). Supohamos ada a taxa do juro composto por período de captalzação. Chamaremos de valor atual da reda certa (ou audade) a soma dos valores atuas de cada um dos seus termos. Dessa forma temos: REDA CERTA (OU AUIDADE) PERIÓDICA DE TERMO COSTATE POSTECIPADAS E TEMPORÁRIAS daí o valor atual da reda será: T T T T (+ ) (+ ) 2 (+ ) 3 (+ ) ATECIPADAS Chamamos de redas certas (ou audades) peródcas atecpadas, quado os pagametos dos termos ocorrem o íco de cada período respectvo. Colocado T em evdêca, temos: T (+ ) (+ ) 2 (+ ) 3 (+ ) Logo, esse caso, há pagameto a data de orgem. 30

31 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Aplcado a fórmula da soma de uma PG temos: ( + ) T ( + ) ( + ) O fator: é chamado de fator de valor (+ ) atual e é comumete deotado pelo símbolo: : que se lê a, catoera Cosultado a tabela (tabela II - pág. 42) temos: 3, ,3227 R$ 3.32,2 Resposta: O preço à vsta do carro é: R$ 3.32, REDA CERTA (OU AUIDADE) PERIÓDICA DE TERMO COSTATE ATECIPADA E TEMPORÁRIA (+ ) - ( + ) Obs.: a, catoera, pode ser calculada faclmete com o uso de uma calculadora ou smplesmete ser cosultada a tabela II a pág. 42. Em resumo: O valor atual da reda certa peródca postecpada de termo costate e temporára é: T Um carro é veddo a prazo em 4 pagametos guas e mesas de R$.000,00, vecedo-se a prmera prestação um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual o preço à vsta desse carro? Observe que temos aqu, a reda atecpada, duas partes:. T é o valor atual do prmero pagameto 2. Uma reda postecpada com termos de pagameto. Portato, o valor atual da reda atecpada de termo costate e temporára é: T + T Um carro é veddo a prazo em 4 pagametos mesas e guas de R$.000,00, vecedo a prmera prestação o ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual o preço à vsta desse carro? Reda postecpada 4 8% a.m. T R$.000 T.000 Reda postecpada 4 8% a.m. T R$.000 T + T , , R$ 3.577,09 Resposta: O preço à vsta é R$ 3.577,09 3

32 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva REDA CERTA (OU AUIDADE) PERIÓDICA DE TERMO COSTATE DIFERIDA DE m PERÍODOS TEMPORÁRIOS Calcularemos o valor atual dessa reda em duas etapas: a. Prmero calculamos o valor aual da reda a época m: T b. Agora traremos este valor atual para a época da orgem: 7.4 MOTATE DAS REDAS CERTAS (OU AUIDADES) PERIÓDICAS DE TERMOS COSTATES E TEMPORÁRIOS Cosderaremos ovamete a reda certa peródca de termo costate e temporáro: T T 2 T 3... T T Supohamos ovamete a taxa do juro composto por período de captalzação. Chamaremos de motate (M) da reda certa (ou audade), a data, ao captal úco que é equvalete a toda a reda certa. Assm, teremos: Reda certa (ou audade) peródca de termo costate, postecpados e temporáros. T ( + ) m Portato, esse é o valor atual da reda peródca de termo costate dferda de m períodos temporáros: Um carro é veddo a prazo em 4 pagametos mesas e guas de R$.000,00, vecedo a prmera prestação 3 meses após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m., qual o preço à vsta desse carro? Para calcular o motate M basta lembrar que o valor atual: T deve ser equvalete a M a devda data, portato temos: M ( + ) ode M satsfaz o esquema equvalete 4 m 2 (dferda de 2 meses) 8% a.m. T R$.000,00 T ( + ) m.000 ( + 8%)².000 3,3227 T ( + 8%) 2 T R$ 2.839,6 Resposta: O preço à vsta é R$ 2.839,6 Daí: M T ( + ) ( + ) Substtudo a expressão acma: ( + ) Temos: ( + ) M T 32

33 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera O fator: (+ ) - Será chamado de fator de acumulação de captal, e é dcado por: Lê-se S, catoera, o qual é tabelado o fal deste trabalho. Portato: 7.5 REDA CERTA PERIÓDICA PERPÉTUA (OU IFIITA) DE TERMOS COSTATES Cosderemos a reda certa peródca de termo costate e perpétuo T T 2 T 3... T T. Supohamos ada a taxa de juro composto, por período de captalzação. Cosderaremos o valor atual da reda certa (ou audade) como sedo a soma dos ftos valores atuas de cada um dos seus termos. Dessa forma teremos: M T REDA CERTA (OU AUIDADE) PERIÓDICA POSTECIPADAS DE TERMO COSTATE E PERPÉTUO Uma pessoa aplca mesalmete R$ 00,00 em um fudo que oferece remueração mesal à taxa de juro composto de 0% a.m.. Se a pessoa fzer 5 aplcações mesas, qual será o motate o mometo da últma aplcação? Daí o valor atual dessa reda será: T T T T ( + ) ( + ) 2 ( + ) 3 ( + ) O problema quer saber qual é o motate da pessoa o mês 5. Como: T % a.m. M T M 00 (ver tabela III - pág. 43) Cosultado a tabela: 6,0500 Daí temos: M 00 6,0500 M R$ 60,5 Resposta: O motate será R$ 60,5 Colocado T em evdêca, temos: é T ê ë + + ù... ú 2 3 ( ) ( ) ( ) û Chamado: Temos: g ( + ) T. [g + g 2 + g ] Observe que a soma: S g + g 2 + g Pode ser calculada da segute forma: Multplque S g + g 2 + g g por g, obtedo a segute expressão: g. S g 2 + g 3 + g Faça: S g + g 2 + g g S g 2 + g 3 + g ( g) S g 33

34 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Daí: g S g Substtudo g por: + S em temos oltado em T [ g + g2 + g ] , temos a S fórmula do valor atual da reda: EXEMPLO: T O valor aual da reda certa peródca postecpada de termo costate e perpétua a taxa de 5% a.m., com pagameto mesas de R$ ,00 é? T R$ ,00 5% T % Resposta: R$ , REDA CERTA (OU AUIDADES PERIÓDICAS DE TERMO COSTATE ATECIPADO E PERPÉTUO). Basta observar a dedução de fórmulas e costatar que: T + T T ( + ) Seja o esquema de pagametos: Qual o valor de para que o esquema abaxo seja equvalete ao esquema acma, cosderado a taxa de juro composto de 0% a.m. T 0 0% a.m. T ( + ) 0 ( + 0%) 0% 0% Resposta: REDA CERTA (OU AUIDADE) PERIÓDICA Temos: EXEMPLO: DE TERMO COSTATE DIFERIDA DE m PERÍODOS PERPÉTUA. T ( + ) m Qual o valor atual de reda certa peródca dferda de 4 meses, com termos costates guas a R$ ,00, perpétua, a taxa de juro composto de 0% a.m. T R$ m 4 meses 0% a.m. T ( + ) m ( + 0) 4 0% , , ,46 Resposta: O valor atual é R$ ,46 34

35 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Capítulo 8 AMORTIZAÇÃO 8. AMORTIZAÇÃO DE DÍIDAS Tato pessoas físcas quato jurídca evolvem-se com empréstmos, devdo a sto é muto comum esse assuto em algus cocursos públcos. Quado é cotraído uma dívda o pagameto dela correspode a quata emprestada prcpal com também os juros, que é fução do prcpal e o período de tempo do empréstmo. Fazemos questão de dzer que a amortzação de uma dívda gualmete é pactuada etre as partes evolvdas podedo assm exstr ftos métodos de amortzação. Porém o mas comum é cosderar o regme de captalzação composta e os métodos que veremos a segur. Um dvíduo cotra uma dvda de 4.355,26, que deverá ser amortzada, pelo método fracês, com 6 prestações auas, á taxa de 0% a.a. Qual o valor da prestação? R$ 4.355,26. 6 prestações auas 0% a.a. T? T T 4.355,26 T 4.355, SISTEMA FRACÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA) O método Fracês estpula que o devedor rá saldar a dívda através de prestações costates efetuadas perodcamete. Para fcar claro remos desevolver o modelo. Supohamos que um captal seja emprestado, a taxa de juros composta,e que a dívda será amortzada por uma sucessão de prestações peródca e guas a T. Supoha ada que o período a que se refere a taxa cocda com período de pagameto das prestações, etão teremos, do poto de vsta do credor. T 4.355,26 T R$.000, ,26 Cotuaremos etão estudado o modelo do método fracês. o state zero (0) do empréstmo temos: Dívda o state um (), mometo de pagameto da prmera prestação. Dívda + dívda: + (ates de ser paga) Prestação a ser paga: É evdete que temos uma reda certa peródca, uforme, postecpada Logo o valor da prestação será dada pela relação. T Portato a prestação será: T dívda: + - logo: a [ a -] é ù a ê -ú ëê a ûú ou T ou Observe que a prestação paga refere-se a duas parcelas [pagameto de juros ( ) e amortzação da dívda]. 35

36 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Logo seja a a prmera amortzação, etão teremos: a Logo: a [ a ] ou Logo: a k ( + ) k a Podemos calcular também o saldo devedor medatamete após da K-esma prestação. Seja k - saldo devedor após da K-éstma prestação. a a E fácl dzer que: k T Daí, teremos: Prestação o método fracês: - [ ] a a - a a ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a ou a Prmera amortzação o método fracês: - [ ] a a - é ù ou a ê -ú ëê a ûú ou a ou a Portato: a A K-esma amortzação o método fracês. a k ( + ) k a ou Saldo devedor após do pagameto da K-esma prestação. k T a Cotuado poderemos demostrar que: se a a prmera amortzação a 2 a seguda amortzação a 3 a tercera amortzação a k a K-ésma amortzação EXEMPLO: Com os dados do exemplo ateror, temos: R$ 4.355,26 6 T R$.000,00 0% a.a. a 4.355,26 7, ,48 Temos: a 2 ( + ) a a 3 ( + ) a 2... a k ( + ) a k a k ( + ) k a a 2 ( + 0%) 564,48 620,92 a 3 ( + 0%) 2 564,48 683,0 a 4 ( + 0%) 3 564,48 75,3 a 5 ( + 0%) 4 564,48 826,45 a 6 ( + 0%) 5 564,48 909,09 36

37 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Podemos agora costrur a tabela de amortzação a segur: Ao Estado da dívda Prestação Amortzação Juros , , ,48 435, , ,92 379, , ,0 36, , ,3 248, , ,45 73, ,09 90,9 Total ,26.644, SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO COSTATE (SAC) este sstema o pagameto das prestações são peródcas, sedo que a amortzação é costate. Sedo assm temos: Amortzação o SAC: a a a... a 2 3 Prmera prestação o SAC: T + [ + ( k ) ] 8.3 SISTEMA PRICE É um caso partcular do sstema de amortzação fracês com as segutes característcas. a. Os pagametos são mesas. b. A taxa de juros compostos é dada em um período aual. c. Usarmos a taxa efetva como sedo a taxa proporcoal a taxa aual dada. EXEMPLO: Um dvíduo efetuou uma dvda de R$ ,00 sabedo. que a taxa de juro cobrada pela sttução é de 2% a.a. que a dívda deve ser saldada em 6 meses calcule o valor das prestações pelo sstema prce. R$ ,00 6 meses 2% a.a. % T Saldo devedor ates de K-esma prestação. k (k ) Uma facera faz um empréstmo de R$ ,00 para ter pago pelo Sstema de Amortzação Costate em 5 prestações auas a taxa de 4% a.a. Mote o quadro de amortzação. R$ ,00 5 prestações 4% a.a. Amortzações: a a 2 a 3 a 4 a ,00 5 a a2 a3 a4 a 5 R$00.000,00 Prestações: Prmera: T ( + ) T R$ , ,00 5 ( + 4% 5) T ,79548 T R$ ,65 Obs: Chamamos de tabela Prce a tabela que cosdera a taxa proporcoal. Seguda: T2 T2 [ + ( 2 + ) ] ,00 5 T 2 R$ 6.000,00 [ + 4% (5 2 + ) ] 37

38 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Tercera: T 3 T 3 [ + ( 3 + ) ] ,00 5 T 3 R$ 2.000,00 Quarta: T 4 T 4 [ + 4% (5 3 + ) ] [ + ( 4 + ) ] ,00 5 T 4 R$ ,00 [ + 4% (5 4 + ) ] Ates da 5ª prestação R$ ,00 Logo teremos o quadro: Estado da Ao Dívda , ,00 Prestação Amortzação Juros Total Quta: T5 T5 [ + ( 5 + ) ] ,00 5 T 5 R$ ,00 Saldo devedor: Ates da ª prestação R$ ,00 Ates da 2ª prestação [ + 4% (5 5 + ) ] , ,00 2 R$ ,00 Ates da 3ª prestação , ,00 3 R$ ,00 Ates da 4ª prestação , ,00 4 R$ , SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) É o sstema que cosdera ás prestações como sedo a méda artmétca etre o sstema fracês e o sstema de amortzação costate. 8.6 SISTEMA AMERICAO DE AMORTIZAÇÃO (SAA) esse sstema de amortzação as prestações são apeas os juros do captal emprestada, sedo que este prcpal somete é resttuído o mometo da últma prestação. Geralmete o devedor quer evtar um desembolso de todo o captal o fm do prazo, podedo etão formar um fudo de amortzação de tal maera que a época da últma prestação o saldo desse fudo seja gual ao prcpal a pagar. A este fudo damos o ome de SIKIG FUD. EXEMPLO: Um dvíduo toma emprestado R$ ,00 pelo prazo de 4 meses, a taxa de 8% a.m. A sttução opera com o SAA. Sedo assm cra-se um SIKIG FUD com depóstos mesas de 6% a.m. Efetuar a plalha de amortzação e a do SIKWG FUD. 38

39 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera R$ ,00 4 meses 8% a.m. Os juros serão costates e guas a: J C % R$ ,00 Estado da Ao Dívda Prestação Amortzação Juros Isto é, a taxa que tora o fluxo de caxa gual a zero ( + ) ( + ) 2 ( + ) ( + ) 3 + L+ 0 A taxa será chamada de Taxa Itera de Retoro (TIR) Total Exemplos: 0. Seja o fluxo de caxa: 0 2 Evolução do SIKIG FUD M T T T ,37462 SIKIG FUD Meses Depóstos Saldo Qual a taxa tera de retoro? ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) , , , , , , , , TAXA ITERA DE RETORO (TIR) É a taxa que aula o valor presete líqudo. Seja o valor atual do fluxo de caxa abaxo: 290 ± Teremos etão que o úco valor possível para a taxa tera de retoro é 0%. Portato, a taxa que tora o fluxo de caxa acma gual a zero é TIR 0%. 02. Um vestdor possu duas alteratvas de aplcações de um captal durate um ao, coforme o fluxo de caxa abaxo: Ivestmeto : , meses 0 2 Cosderaremos como sedo a taxa que satsfaz a equação: 2 3 PL L + 3 ( + ) ( + ) 2 ( + ) ( + ) Ivestmeto 2: ,35 07,35 Qual dos vestmetos é o mas atratvo? 07, meses 39

40 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Quado comparamos dos vestmetos, o mas atratvo será o que possu a maor taxa tera de retoro. Etão, vamos calcular a taxa tera de retoro do vestmeto : T a 00 a 2 886,33 00 a 2 8,8633 a 2 a 8, Pela tabela 2 temos 5% a.m. Etão, TIR 5% a.m. Aalogamete, o vestmeto 2 temos: T a ,35 a 2 fábrca de barquhos de papel, temos etão que o custo de oportudade é R$ 0.000,00 em um ao. Etão, o fm do prmero ao, a empresa tem os segutes resultados: Receta:... R$ 0.000,00 Custo dos Produtos: Matéra Prma:... R$ 5.000,00 Mão-de-obra:... R$ ,00 Deprecação:... R$ 0.000,00 Aluguel:... R$ ,00 Impostos:... R$ 5.000,00 Outros:... R$ 5.000,00 (R$ ,00) Lucro:... R$ 5.000,00 Logo, cosderado o custo de oportudade de R$ 0.000,00, teríamos como resultado postvo R$ 5.000,00, que sera o gaho real acma do juro do captal vestdo. 8.9 TAXA EQUIALETE AO OER Icalmete vamos descrever algus títulos do govero, com a faldade de torar mas clara a utlzação da taxa equvalete ao over. Tas títulos são o BBC, CDB, RDB, etc. 8,3838 a 2 a 8, Pela tabela 2 temos 6% a.m. Etão, TIR 2 6% a.m. Logo, como TIR 2 > TIR, temos que o vestmeto 2 é o mas atratvo. 8.8 CUSTO DE OPORTUIDADE O custo de oportudade mede o recurso facero sacrfcado quado optamos por uma alteratva de vestmeto em lugar de outro. Por exemplo, o curso Pré-fscal decdu vestr seus recursos faceros este materal ddátco, etão o custo de oportudade deste vestmeto é quato dexou de gahar por ão ter aplcado seus recursos em algum outro vestmeto de títulos do govero. Grade parte dos cotadores e ecoomstas crtcam o uso do custo de oportudade a comparação dos vestmetos, pos a realdade os rscos fluem, torado ócua a comparação. Supohamos que um vestdor tem como retoro o mercado facero uma taxa de 0% a.a.. Supohamos ada que resolva aplcar o captal de R$ ,00 em uma BÔUS DO BACO CETRAL (BBC) Trata-se de um título emtdo pelo Baco Cetral (BACE), cujo objetvo é servr de strumeto de polítca moetára. Este título possu o valor omal múltplo de R$.000,00 (um ml reas), com retabldade sob forma de descoto e prazo múltplo de 7 (28, 35, 42, 49 e 56 das), mímo de 28 das. Os BBC s são colocados o mercado através de lelões as terças-feras (ou o º da útl subsequete) e os resgates sempre ocorrem as quartas-feras. Observação: cosderaremos os exercícos os resgates por: PU ( + ) 360 ode: PU Preço Utáro (preço pago pelas sttuções faceras) alor omal (resgate do BACE, múltplo de 000) prazo do título taxa aual 40

41 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera CERTIFICADO DE DEPÓSITO BACÁRIO (CDB) O CDB é uma promessa de pagameto a ordem, emtdo pelos bacos comercas, de vestmeto em favor dos respectvos depostates da mportâca depostada mas o valor de uma retabldade egocada. O prazo mímo é 30 (trta) das, atualmete, com remueração pré-fxada. Está prevsto também prazos mímos de quatro meses com remueração pós-fxada OBTEÇÃO DA TAXA OER Podemos obter a taxa over da segute maera: over dt du ( + ) Ode: over taxa over RECIBO DE DEPÓSITO BACÁRIO (RDB) Os RDB s são recbos de depóstos a prazo fxo emtdo também pelas mesmas sttuções faceras, com os mesmos prazos e retabldades aálogas, sedo que todos os títulos são omatvos - trasferíves e escrturas. Atualmete o mercado facero utlza a taxa Over as operações faceras, os certfcados de depóstos terbacáros (CDI) ou bôus do Baco Cetral. A taxa Over é omal em trta das com juros dáros calculados a quatdade de das útes do período das operações faceras. 0. Supohamos um custo efetvo do captal de,9% a.m., um spread de 2% a.m. com prazo total de 32 das e 20 das útes da operação. Isto é: efetvo,90% a.m. spread 2 % a.m. prazo total 32 das du das útes da operação 20 das Etão teríamos a taxa efetva + spread, calculada pela fórmula: ( + efetva ) ( + spread ) os osso exemplo temos: ( +,90%) ( + 2%) (,09) (,02) 3,94% a.m. (taxa efetva aexada do spread) Obs.: O que é spread? Segudo o professor Laurece J. Gtma, spread é a dfereça etre o que os bacos remueram os depóstos e o que cobram dos tomadores de empréstmos. dt prazo total du das útes Etão teremos: over over ( + 3,94% ) (,0394) over 20 over [,04208] 30 {, } 30 over 0, over 6,9% a. m. (omal) Logo teríamos 0, como coefcete dáro e 6,9% a.m. como taxa over. 02. Em um lelão efetuado pelo BACE, um baco adquru BBC com prazo de 28 das e taxa de juros de 36% a.a. Qual o preço pago pelo baco para cada R$000,00 de resgate? R$000,00 (resgate) 36% a.a. 28 das PU PU PU ( + ) ( + 36% ) , PU R$ 976,00 por lote de R$ 000,00 de resgate 4

42 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva T abela I Fator de Captalzação ( + ) / % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Tabela II Fatorde aloratual de uma Sére de Pagametos a ( ) + ( + ) / % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

43 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Tabela III Fator de Acumulação de Captal de uma Sére de Pagametos ( + ) / % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% s w O Descoto Racoal Smples são os juros smples da aplcação do valor atual durate os períodos de aplcação. w O Descoto Comercal Smples são os juros smples da aplcação do valor omal durate os períodos de aplcação. w Cosderado-se a mesma taxa de descoto, temos que em uma atecpação o descoto comercal smples é maor que o descoto racoal smples (D C > ). w Cosderado-se a mesma taxa de descoto, temos que em uma atecpação o valor descotado comercal smples é meor que o valor descotado racoal smples ( < ). w Tabela I ( + ) Fator de Captalzação. ( ) ( ) + w Tabela II a Fator de Cap- + talzação do alor Atual. S Fator de Acumulação de Captal. w Tabela III ( + ) (Tabela I) x (Tabela II) (Tabela III) 43

44 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva Aotações: 44

45 Professor Joselas Satos da Slva Matemátca Facera Matemátca Facera J Juros C Captal Taxa de Juro Prazo de Aplcação M Motate alor Atual ou alor Presete alor Descotado Comercal (por fora) alor omal ou alor Face Descoto Racoal (ou por detro) D C Descoto Comercal (ou por fora) d Taxa de Descoto Comercal (ou por fora) T Termo da Reda ( + ) Fator de Captalzação a a, catoera S S, catoera P et Preset alue PL alor Presete Líqudo PL > 0 Projeto vável PL 0 Idferete PL < 0 Projeto ão vável TIR Taxa Itera de Retoro r Taxa Real I Taxa de Iflação a Taxa Aparete FÓRMULAS Em uma udade de tempo: J C M C + J (Juro) FÓRMULÁRIO DE MATEMÁTICA FIACEIRA CURSO PRÉ-FISCAL (Motate) Juros Smples: J C (Juros) M C [ + ] (Motate) M C + J (Motate) k + (alor Atual) k (Taxa Equvalete) Descotos Comercal (ou por fora) Smples D C d D C (Descoto Comercal) (alor Descotado Comercal) [ d] (alor Descotado Comercal) Relação etre a Taxa e d : (Taxa efetva de Juros Smples) d d (Taxa Descoto Comercal) d + Descoto Racoal (ou por detro) Composto (Descoto Racoal) (alor Descotado Racoal) ( + ) Descoto Comercal (ou por fora) Composto (Descoto Comercal) D C (alor Descotado Comercal) ( d) (alor Descotado Comercal) C ( d) 45

46 Matemátca Facera Professor Joselas Satos da Slva alor Atual de uma Reda T T 2 T 3 T t t 2 t 3 t Motate de uma Reda T T T T T M 0 0 T + T 2 T 3 t t t2 ( + ) ( + ) ( + ) alor Atual de uma Reda Peródca, Temporára e Uforme T T a ( + ) ( + ) + Postecpada a T T T T T ( + ) ( + ) alor Atual de uma Reda Peródca, Temporára e Uforme Atecpada T T T T T T+ T ( ) + ( ) + Dferda de m Perodos FÓRMULÁRIO DE MATEMÁTICA FIACEIRA CURSO PRÉ-FISCAL T + T a T T T T m m+ m+2 m+3... m+ 0 T a ( + ) m T [ a a m + m ] M T ( + ) M T S alor Atual das Redas Perpétuas Postecpada T T T Atecpada T T T T T T + T ( + ) T Dferda de m Períodos T T T T m m+ m+2 m+3 m Taxa Aparete e Taxa Real T T... ( + ) m + + a ( + I) ( + r) a r + I (Taxa Real) MISCELÂEA 0 PL + 2 Taxa Itera de Retoro (TIR) L + ( + TIR) ( + TIR) 2 ( + TIR) 3 ( + TIR) PL>0 0 v TIR PL<0 TAXA 0 46