MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Gilmar Boratto Material de apoio para o curso de Admiistração.

2 ÍNDICE CONCEITOS BÁSICOS CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO O CAPITAL E O JURO REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS EXERCÍCIOS PROPOSTOS JUROS SIMPLES CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: DESCONTOS SIMPLES INTRODUÇÃO Descoto comercial ou por fora: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: JUROS COMPOSTOS CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ESTUDO DAS TAXAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Iflação, Deflação e Atualização Moetária EXERCÍCIOS PROPOSTOS TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL EXERCÍCIOS PROPOSTOS: SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES INTRODUÇÃO: Série uiforme com pagametos postecipados Utilizado a fórmula SÉRIE UNIFORME COM PAGAMENTOS ANTECIPADOS SÉRIE UNIFORME DIFERIDA SÉRIE UNIFORME INFINITA (PERPETUIDADE) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA Valor Atual ou Valor Presete de um Fluxo de Caixa: Descoto de Fluxo de Caixa Fluxos de Caixa Equivaletes Valor Presete Líquido de um Fluxo de Caixa (VPL) Taxa Itera de Retoro de um Fluxo de Caixa EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Aálise de Alterativas de Ivestimetos pelo Método do Valor Presete Líquido (VPL) EXERCÍCIOS PROPOSTOS AMORTIZAÇÕES DE EMPRÉSTIMOS DEFINIÇÕES IMPORTANTES PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: B I B L I O G R A F I A

3 CONCEITOS BÁSICOS 1- CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA Fluxo de caixa (de uma empresa, de um fiaciameto, de um ivestimeto, etc.) é um cojuto de etradas e saídas de caixa (diheiro) ao logo do tempo. A represetação de um fluxo de caixa ao logo do tempo pode ser feita através de um diagrama, como mostra a figura abaixo: ode a escala horizotal represeta o tempo (em meses, trimestres, semestres, aos, etc.); as flechas para baixo correspodem a saídas de caixa ou despesas e terão siais egativos; as flechas para cima represetam etradas de caixa ou receitas e terão siais positivos. 2-A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS A matemática fiaceira é o ramo da matemática que estuda o comportameto do diheiro o tempo e tem por objetivo o mauseio, a trasformação e a comparação de fluxos de caixa. 3-MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO Os coceitos de matemática fiaceira desevolvidos este trabalho são exatamete os mesmos, tato para os fluxos de caixa sem iflação, expressos em moeda estável (tem o mesmo poder aquisitivo ao logo do tempo), como para os fluxos de caixa com iflação, expressos em moeda correte, que perde o seu poder aquisitivo ao logo do tempo. 4-O CAPITAL E O JURO Deomia-se capital a qualquer quatidade de moeda ou diheiro que uma pessoa, física ou jurídica, aplica ou empresta para outra durate certo tempo. O juro pode ser defiido como a compesação fiaceira coseguida por um aplicador durate certo tempo ou aida o custo do capital para uma pessoa, que durate certo tempo, usa o capital de outra. O juro é cobrado em fução de um coeficiete, chamado taxa de juro, que é dado geralmete em termos percetuais e sempre referido a um itervalo de tempo, tomado como uidade, deomiado período fiaceiro. A taxa de juro é a razão etre os juros recebidos (ou pagos) o fim de um período fiaceiro e o capital aplicado. Exemplo: Supohamos que a aplicação de R$ 150,00 teha produzido, ao fim de um mês, a quatia de R$ 4,50 de juros. Valor aplicado R$ 150,00 Juros obtidos R$ 4,50 4,50 Taxa de juro 0,03 3% ao mês 150,00 Observação: A taxa de juros pode ser represetada sob duas formas: - 2 -

4 taxa percetual: quado represetar os juros de 100 (cem) uidades de capital durate o período fiaceiro a que se refere; taxa uitária: quado represetar, as mesmas codições, os juros de uma uidade de capital. Exemplo: Seja a taxa de juros de 15% ao ao % = 100 = 0,15 15% ao ao taxa percetual 0,15 ao ao taxa uitária As taxas de juros, este trabalho, quado iseridas os euciados e as respostas dos exercícios serão, sempre, idicadas a forma percetual, porém, todos os cálculos e desevolvimeto de fórmulas serão feitos através da otação em fração decimal (taxa uitária). 5-REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO A sucessiva icorporação dos juros ao pricipal ao logo dos períodos fiaceiros, deomia-se capitalização. Regime de capitalização simples: quado os redimetos são devidos úica e exclusivamete sobre o pricipal, ao logo dos períodos fiaceiros a que se refere a taxa de juros. Regime de capitalização composta: quado ao fim de cada período de tempo, a que se refere a taxa de juros, os redimetos são icorporados ao capital aterior e passam, por sua vez, a reder juros o período seguite. 6-O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Do poto de vista da Matemática Fiaceira, R$ ,00 hoje ão são iguais a R$ ,00 em uma outra data qualquer, pois o diheiro cresce o tempo ao logo dos períodos, devido à preseça da taxa de juros. Assim, sob a ótica da Matemática Fiaceira devemos observar que: a) os valores presetes em uma mesma data são gradezas que podem ser comparadas e somadas algebricamete; b) os valores presetes em datas diferetes são gradezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamete após serem movimetadas para uma mesma data, com a devida aplicação de uma taxa de juros. 7-CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS Os juros são classificados em simples ou compostos, de acordo com o regime de capitalização em que se está trabalhado. 7.1-Exemplo Numérico de Juros simples: Supohamos que um idivíduo teha feito, hoje, uma aplicação o valor de R$ 100,00, em um baco que remuera suas aplicações a juros simples, à razão de 20% ao ao. Qual será seu saldo credor o fial de cada um dos próximos cico aos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL R$ 100, o ao R$ 100,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 120, o ao R$ 120,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 140, o ao R$ 140,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 160, o ao R$ 160,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 180, o ao R$ 180,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 200,00-3 -

5 É importate observar, que este caso, o baco sempre aplica a taxa de juros de 20%a.a. sobre o capital iicial de R$ 100,00, e ão permite que o idivíduo retire os juros produzidos em cada período. Assim, apesar dos juros estarem sempre à disposição do baco, eles ão são remuerados por parte da Istituição. 7.2-Exemplo Numérico de Juros Compostos: Vamos supor, agora, que a aplicação do exemplo aterior, teha sido feita a juros compostos. Qual seria o saldo credor do idivíduo ao fial de cada um dos próximos cico aos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL R$ 100, o ao R$ 100,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 120, o ao R$ 120,00 0,20 120,00 = 24,00 R$ 144, o ao R$ 144,00 0,20 144,00 = 28,80 R$ 172, o ao R$ 172,80 0,20 172,80 = 34,56 R$ 207, o ao R$ 207,36 0,20 207,36 = 41,47 R$ 248,83 É importate observar, que este caso, o baco sempre aplicou a taxa de juros de 20%a.a. sobre o saldo existete o iício de cada período fiaceiro. Assim, após cada período, os juros são icorporados ao saldo aterior e passam, por sua vez, a reder juros o período seguite. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Um ivestidor aplicou R$ 2.000,00 uma istituição fiaceira que remuera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, o regime de juros simples. Mostrar o crescimeto desse capital o fial de cada trimestre, a cotar da data da aplicação dos recursos, e iformar o motate que poderá ser retirado pelo ivestidor o fial do quito trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.600,00 02) Um ivestidor aplicou R$ 2.000,00 uma istituição fiaceira que remuera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, o regime de juros compostos. Mostrar o crescimeto desse capital o fial de cada trimestre, a cotar da data da aplicação dos recursos, e iformar o motate que poderá ser retirado pelo ivestidor o fial do quito trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.676,45 03) Supoha que a aplicação de R$ 5.000,00 teha produzido ao fial de um trimestre a quatia de R$ 190,00 de juros. Qual foi a taxa percetual trimestral da aplicação? Resposta: 3,8% a.t. JUROS SIMPLES 1- CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 1.1- Simbologia a ser adotada Como forma de simplificação e uiformização de procedimetos o desevolvimeto teórico dos juros simples, será usada a seguite otação: P = pricipal, valor presete, valor atual, ou seja, valor do capital o dia de hoje; i = taxa efetiva de juros por período de capitalização; = úmero de períodos de capitalização; j = valor dos juros; S = motate, valor futuro, ou seja, valor do capital o fim de períodos Expressão para o cálculo dos juros Os juros simples icidem uicamete sobre o pricipal e geram retabilidade ou custo, que são diretamete proporcioais ao capital e ao prazo da operação

6 Assim, o valor dos juros o fial do primeiro período é dado por Pi, o fial do segudo período por 2Pi, o fial do terceiro período por 3Pi e assim, sucessivamete. O total de juros acumulados o fial de períodos será dado, portato, pela fórmula: j = Pi Exemplo: Calcular os juros simples referetes a um empréstimo o valor de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao mês, durate 4 meses. P = R$ 8.000,00 i = 3% a.m. = 4 meses j = Pi j = ,03 4 j = R$ 960, Expressão para o cálculo do motate O motate S, ao fim de períodos, resultate da aplicação do capital P à taxa i de juros simples, é dado por: S = P + j, ou seja, Motate = Pricipal + juros. Logo, S = P + Pi Colocado-se P em evidêcia, resulta: S = P(1 + Exemplo: Determiar o motate, ao fim de 5 meses, correspodete a uma aplicação o valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, o regime de juros simples. P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. = 5 meses S = P(1 + S = (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200, Expressão para o cálculo do valor atual Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o motate (S) daqui a períodos a uma taxa ( de juros simples basta iverter a relação aterior, isto é: S P 1 i Exemplo: Qual o valor que se deve aplicar hoje para se obter o motate de R$ 8.000,00, daqui a 6 meses, a uma taxa de juros de 4% ao mês. S = R$ 8.000,00 I = 4% ao mês N = 6 meses P = S 1 i P = , = = 6.451,61 1,24-5 -

7 1.5- Juros Comerciais e Juros exatos Juros Comerciais: São os juros obtidos quado se cosidera o ao com 360 dias (ao comercial) e o mês com 30 dias (mês comercial) Juros Exatos: São os juros obtidos quado se cosidera o ao com 365 dias ou 366 dias (ao bissexto). Exemplo: Um capital de R$ ,00 esteve aplicado durate 45 dias à taxa de juros simples de 30% a.a. Determiar os juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação. Juros comerciais 45 j = , Juros exatos j = R$ 562,50 45 j = , j = R$ 554, Expressão para o cálculo da taxa o período da aplicação Fazedo = 1 (um período) a fórmula dos juros j = Pi, teremos: J = PI i = P j i = S P P i = S P S i = 1 P P P Exemplo: Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples, durate 5 meses, gerado um, motate de R$ ,00. a) Determie a taxa de juros do período da aplicação; b) Determie a taxa mesal de juros da aplicação. P = R$ ,00 S = R$ ,00 N = 5 meses S a) i = 1 i = 1 ou i = 0,075 = 7,5% (o período de 5 meses) P b) i = 7,5% 5 = 1,5% a.m. 2- TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 2.1- Coceitos Duas ou mais taxas de juros são proporcioais quado os seus valores e os períodos a que elas se referem estão a mesma razão meses Assim, 20% ao ao e 5% ao trimestre são taxas proporcioais, pois 5 3 meses Duas ou mais taxas de juros são equivaletes quado ao serem aplicadas a um mesmo pricipal, durate um mesmo itervalo de tempo, produzem o mesmo motate. Observação: É importate otar, que o regime de juros simples as taxas proporcioais são, também, equivaletes

8 Exemplo: Seja calcular o motate de uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de 6 meses, utilizado as taxas proporcioais 20% a.a. e 5% a.t., respectivamete. a) S = (1 + 0, ) S = R$ 5.500,00 b) S = (1 + 0,05 2) S = R$ 5.500,00 Coforme podemos observar, os dois motates são iguais e, portato, as taxas de 20% a.a. e 5% a.t. são, também, equivaletes Relações etre as taxas proporcioais. Iicialmete, vamos defiir: i a = taxa aual de juros. i s = taxa semestral de juros. i t = taxa trimestral de juros. i m = taxa mesal de juros. i d = taxa diária de juros. Com base o coceito de taxas proporcioais, podemos escrever: S = P(1 + i a 1) = P(1 + i s 2) = P(1 + i t 4) = P(1 + i m 12) = P(1 + i d 360). Simplificado os termos comus, cocluímos que: i a = 2i s = 4i t = 12i m = 360i d Aplicação: Determie a taxa mesal proporcioal a 45% ao ao. i a = 12i m 45% = 12i m i m = 45% = 3,75% 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01- Que capital deverá ser aplicado à taxa de 10% ao trimestre, para produzir ao fial de 2 aos, o motate de R$ ,00, o regime de capitalização simples? S = R$ ,00 i = 10 % a. t. = 2 aos = 8 trimestres P =? S = P ( 1 + i ) = P ( 1 + 0,10 8 ) P = 1,80 P = R$ 8.000, A que taxa mesal de juros simples deve-se aplicar o capital de R$ ,00 para que em 3 meses e 15 dias, produza o motate de R$ ,00? P = R$ ,00 S = R$ ,00 = 3 meses e 15 dias = 105 dias i =? S = P ( 1 + i ) = ( 1 + i ) = 1 + 3,5 i ,14 1,14 = 1 + 3,5 i 3,5i = 0,14 i = = 0,04 ou i = 4% a.m. 3,5-7 -

9 03- Durate quato tempo o capital de R$ ,00 deve ser empregado, a juros simples, à taxa de 54% ao ao, para produzir o motate de R$ ,00? P = R$ ,00 S = R$ ,00 i = 54 % a.a. =? S = P ( 1 + i ) = ( 1 + 0,54 ) ,36 = 1 + 0,54 1,36 = 1 + 0,54 0,54 = 0,36 = = 0, aos ,54 ou 0, = 8 = 8 meses. 04- Um título, cujo valor de resgate, daqui a 3 meses, é R$ 8.000,00, foi adquirido hoje, por um fudo, pelo valor de R$ 7.561,44. Qual a taxa de redimeto do papel o período? S = R$ 8.000,00 P = R$ 7.561,44 = 3 meses i =? S 8.000,00 i = 1 i = 1= 0,058 = 5,8% ao trimestre P 7.561, Uma aplicação fiaceira com prazo de 6 meses, rede juros simples à taxa de 30% ao ao. Sabedo-se que o imposto de reda, pago o resgate, é igual a 20% do juro produzido, perguta-se: a) Qual o motate líquido de uma aplicação de R$ ,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para produzir um motate líquido de R$ 8.750,00? a) Motate Líquido: S = P + j IR (ode IR = Imposto de Reda) j = Pi j = , = IR = 0, = 300 S = S = R$ ,00 b) Sedo P o capital procurado, segue-se que: = P + j IR = P + j 0,20j = P + 0,80j = P + 0,80 [ P(0,30) ( 12 6 ) ] = P + 0,12P = 1,12P P = = 7.812,50 P = R$ 7.812,50 1, Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa de 54% ao ao, o regime de capitalização simples, pelo prazo de 27 dias. Determiar o valor dos juros exatos dessa aplicação. P = R$ ,00 i = 54% a.a. = 27 dias j =? 27 j = Pi j = , j = R$ 1.997,26-8 -

10 07- Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa de 30% ao ao, o regime de capitalização simples, pelo prazo de 45 dias: a) Determiar os juros exatos dessa aplicação; b) Determiar os juros comerciais dessa aplicação. P = R$ ,00 i = 30% a.a. = 45 dias j =? a) j = Pi 45 j = , b) j = Pi 45 j = , j = R$ 369,86 j = R$ 375,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Observação: Nos exercícios que seguem, a ão ser que seja dito explicitamete o cotrário, cosidere juros comerciais. 01- Determie os juros simples de uma aplicação de R$ 8.500,00 à taxa de 3 % ao mês, durate 5 meses. Resposta: R$ 1.275, Aplica-se R$ 5.000,00 a uma taxa mesal de 2,5%. Calcule os juros simples produzidos após 3 meses. Resposta: R$ 375, Aplica-se a quatia de R$ 5.400,00 à taxa de 2% ao mês, o regime de capitalização simples. Qual é o motate obtido ao fim de 4 meses? Resposta: R$ 5.832, Determie os juros e o motate de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização simples, os seguites casos: a) à taxa de 22% ao ao, após um ao; Resposta: R$ 2.200,00 e R$ ,00. b) à taxa de 30% ao ao, após 8 meses; Resposta: R$ 2.000,00 e R$ ,00. c) à taxa de 18% ao ao, após 45 dias; Resposta: R$ 225,00 e R$ ,00. d) à taxa de 2,5% ao mês, após 5 meses; Resposta: R$ 1.250,00 e R$ ,00. e) à taxa de 3,5% ao mês, após 21 dias; Resposta: R$ 245,00 e R$ ,00. f) à taxa de 2% ao mês, após um ao. Resposta: R$ 2.400,00 e R$ , A que taxa mesal de juros simples: a. o capital de R$ 8.000,00 produz, em um ao, R$ 3.648,00 de juros? Resposta:3,8% a.m b) o capital de R$ 6.500,00 produz, em 5 meses, R$ 845,00 de juros? Resposta: 2,6% a.m. c) o capital de R$ 5.000,00 produz, em 2 meses e 20 dias, R$ 1.000,00 de juros? Resposta: 7,5% a.m. 06- Paulo aplicou R$ 8.000,00 a juros simples à taxa de 22% ao ao. Se ele recebeu R$ 2.200,00 de juros, qual o prazo da aplicação? Resposta: 1 ao e 3 meses. 07- Qual o motate de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização simples, à taxa de 5% ao mês, após 3 meses? Resposta: R$ , Qual o motate de uma aplicação de R$ 7.500,00 ao fim de 6 meses e 17 dias, à taxa de 72% ao ao, o regime de capitalização simples? Resposta: R$ , Quato se deve aplicar hoje, para se obter um valor de resgate de R$ ,00, ao fim de 2 aos, à taxa de 4% ao mês, o regime de capitalização simples? Resposta: R$ 7.755, Que quatia se deve aplicar à taxa de 42% ao ao, durate 5 meses e 10 dias, o regime de capitalização simples, para se obter o motate de R$ 7.751,25? Resposta: R$ 6.531, Um aparelho de som é vedido à vista por R$ 820,00 ou por R$ 164,00 de etrada mais uma parcela de R$ 721,60 após 2 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada? Resposta: 5% ao mês

11 12- Uma geladeira é vedida à vista por R$ 1.500,00 ou etão a prazo com R$ 450,00 de etrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mesal de juros simples cobrada? Resposta: 3,57% a.m. 13- Certo capital acrescido dos juros simples, calculados à taxa de 22% ao ao, em um mês e dez dias, importa em R$ 7.376,00. Determie esse capital. Resposta: R$ 7.200, Um vestido de oiva é vedido à vista por R$ 2.400,00 ou, etão, a prazo com 20% de etrada mais uma parcela de R$ 2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mesal de juros simples cobrada? Resposta: 5,99% a.m. 15- Foi cotraído um empréstimo o valor de R$ ,00 o dia 02/06/1994. Qual foi o valor resgatado o dia 03/12/1994, se a taxa de juros simples cobrada foi de 8% ao mês? (Obs.: O tempo trascorrido etre duas datas deve ser cotado de forma exata). Resposta: R$ , Durate quato tempo um capital deve ser aplicado a juros simples, com taxa de 4% ao mês, para que o seu valor seja triplicado? Resposta: 4 aos e 2 meses. 17- Uma aplicação fiaceira com prazo de 4 meses, rede juros simples à taxa de 22% ao ao, porém o ivestidor deve pagar, o ato do resgate, um imposto de reda igual a 20% do valor dos juros auferidos: a) Qual o motate líquido (motate após o pagameto do imposto de reda) de uma aplicação de R$ ,00? Resposta: R$ ,00. b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um motate líquido de R$ ,00? Resposta: R$ , Uma pessoa aplicou 1/3 de seu capital a 42% ao ao e o restate a 36% ao ao. No fim de 2 aos, os juros simples obtidos somaram R$ 6.840,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ 9.000, A terça parte de um capital foi aplicada a 36% a.a., a quarta parte, a 42% a.a. e o restate a 30% a.a. No fim de 3 aos os juros simples obtidos somaram R$ ,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ , Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples com taxa de 96% a.a..o resgate foi feito em 17 de setembro de Determie os juros exatos e os juros comerciais desta aplicação. (O úmero de dias decorridos foi de 544 ). Respostas: R$ 4.292,38 e R$ 4.352, Aplica-se R$ ,00 a 3,8% ao mês, pelo prazo de 180 dias, o regime de capitalização simples a)calcular os juros exatos; Resposta: R$ 2.810,96. b) Calcular os juros comerciais. Resposta: R$ 2.850, Calcular os juros simples exatos do capital R$ 3.800,00, colocado à taxa de 5% a.m., de 2 de jaeiro a 28 de maio do mesmo ao. Resposta: R$ 912, Um determiado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa aual, redeu R$ 240,00. Determie os juros auferidos esta aplicação se fossem juros comerciais. Resposta: R$ 243,

12 DESCONTOS SIMPLES 1-INTRODUÇÃO 1.1- Coceitos: descoto deve ser etedido como sedo o abatimeto que o devedor faz jus quado atecipa o pagameto de um título. título é um documeto usado para formalizar uma dívida que ão pode ser paga imediatamete mas que deverá ser liquidada detro de um determiado prazo previamete estipulado. 1.2-Taxa de Descoto e Taxa de Retabilidade Exemplo Numérico: Um baco realiza operações de descoto de Notas Promissórias de acordo com os seguites critérios: o prazo da operação é de 45 dias; a taxa cobrada pelo baco é de 6% ao mês; os juros são pagos atecipados. Assim, se o cliete desejar realizar uma operação de R$10.000,00, deverá assiar uma Nota Promissória esse valor, com vecimeto detro de 45 dias. O total dos juros a ser pago atecipadamete é: 45 j = ,06 j = R$ 900,00 30 Os dados dessa operação podem, etão, ser assim resumidos: pricipal P liberado pelo baco: R$ 9.100,00 prazo da operação: 45 dias motate S a ser pago o fial de 45 dias: R$ ,00 Esses valores podem ser relacioados pela expressão S = P(1 +, isto é: = 9.100(1 + i ) i = 0, ou i = 6,5934 % a.m. 30 A taxa i = 6,5934%a.m. é cohecida como taxa de retabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o pricipal de R$ 9.100,00, proporcioará uma retabilidade total de R$ 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o pricipal, pelo prazo que for estabelecido. A taxa i = 6 % a.m. é cohecida como taxa de descoto, pois, ao ser aplicada sobre o motate de R$ ,00, provocará um descoto de R$ 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o motate, pelo prazo que for estabelecido. 2- Descoto comercial ou por fora: 2.1-Coceitos: O descoto comercial ou por fora é amplamete utilizado as operações bacárias e comerciais. As pricipais variáveis dessa operação são as seguites: Descoto juros simples cobrado sobre o valor omial do título, o ato da liberação dos recursos. IOF imposto sobre operações fiaceiras cobrado com base o valor omial do título, o ato da liberação dos recursos. Prazo prazo de vecimeto do título cosiderado para o cálculo dos juros. Esse prazo é a difereça etre a data da liberação dos recursos e a data do vecimeto do título. Exemplo: Uma empresa descota, um baco, um título o valor de R$ ,00, o dia 10/06/97, com vecimeto para 15/07/97. A taxa de descoto simples cobrada pelo baco é de 6 % ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, determiar o custo efetivo desse empréstimo, em termos de taxa mesal

13 Diagrama da operação: Cálculo do valor líquido: 35 Juros = ,06 = 4.200,00 30 IOF = , = 86,10 Valor líquido = , ,00-86,10 = ,90 Cálculo do custo efetivo: S = P( ,00 = ,90 (1 + i ) i = 0, ou i = 6,59404 % a.m Cosiderações sobre o Saldo Médio: Para obter uma faixa de descoto de uma duplicata ou de uma promissória os bacos comerciais, ormalmete são cosideradas as reciprocidades que o cliete (tomador) oferece. A mais importate costuma ser o saldo médio, que ada mais é que a média diária dos saldos matidos em cota correte durate o período cosiderado. Quado o cliete precisa descotar uma ota promissória para obter diheiro emprestado será cosiderado pelo baco o seu saldo médio, isto é, se ão tiver saldo médio poderá ser difícil obter o empréstimo. Assim sedo, quado fazemos essa operação estamos pagado por osso próprio capital que está em reciprocidade o saldo médio. Por isso, esse saldo médio deve ser cosiderado como custo para quem opera freqüetemete com bacos, como é o caso de empresas que descotam títulos. Exemplo: Uma empresa descota um baco uma ota promissória o valor de R$ ,00, com prazo de 45 dias e taxa de descoto de 6 % ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, e, que o baco exige um saldo médio de 20 % do valor do título, determiar o custo efetivo desse empréstimo. Cálculo do custo efetivo: S = P(1 + Diagrama da operação: Valor do saldo médio 0, ,00 = 8.000,00 45 Valor do descoto (juros) ,00 0,06 = 3.600,00 30 IOF ,00 0, = 73,80 Valor dispoível , , ,00-73,80 = ,

14 Valor a ser desembolsado o vecimeto , ,00 = ,00 Cálculo da taxa mesal de custo efetivo: S = P ( 1 + i ) ,00 = ,20 ( 1 + i ) i = 0,08646 ou i = 8,646 % a.m Relação Etre Taxa de Descoto e Taxa de Retabilidade Simbologia a ser adotada: d = taxa de descoto por período i = taxa de retabilidade por período D c = descoto comercial N = valor omial do título (valor de face) P = pricipal, valor presete ou valor atual = úmero de períodos (prazo) Coforme podemos observar os exercícios ateriores, o descoto comercial equivale aos juros simples cobrados sobre o valor omial do título, isto é: D c = Nd é: O valor atual ou valor presete de um título é, por defiição, igual ao valor omial meos o descoto, isto P = N D c P = N - Sd P = N ( 1 d ) ( 1 ) A taxa de retabilidade i, é calculada através da fórmula do motate, isto é: N = P ( 1 + i ) P = N 1 i ( 2 ) Comparado as relações ( 1 ) e ( 2 ), podemos escrever: N ( 1 d ) = N 1 i, de ode se coclui que: d i (taxa de retabilidade i, a partir da taxa de descoto d, e do úmero de períodos ) 1 d d = i 1 i (taxa de descoto d, a partir da taxa de retabilidade i, e do úmero de períodos ) Aplicações: Cosideremos, como exemplo, o problema seguite, já mecioado ateriormete: Uma empresa descota, um baco, um título o valor de R$ ,00, o dia 10/06/97, com vecimeto para 15/07/97. A taxa de descoto cobrada pelo baco é de 6% a.m. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, determiar: a) o valor do descoto comercial; b) o valor atual ou valor presete do título; c) a taxa de retabilidade do baco; d) o custo efetivo desse empréstimo para a empresa

15 N = R$ ,00 d = 6% a.m. = 35 dias Taxa de IOF = 0,0041% ao dia 35 a) D c = Nd D c = ,00 0,06 Dc = R$ 4.200, b) P = N (1 - d) P = ,00 (1-0,06 ) P = R$ ,00 30 c) i = d 1 d i = d ) IOF = 0,0041% a. d. ou 0, , ,123% a.m. i = 0,0, ou i = 6,4516 % a.m. Total tributado 0,123 % a.m. + 6 % a.m. = 6,123 % a.m. d 0,06123 i = i = 1 d , Operações com um cojuto de títulos: i = 0, ou i = 6,59404 % a.m. No caso de um cojuto de títulos, o valor atual comercial será dado pela soma dos valores atuais de cada título. Exemplo: Uma empresa apreseta o seguite borderô de duplicatas para serem descotadas um baco à taxa de descoto comercial de 4% a.m.. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Duplicata A Duplicata Valor Prazo A R$ ,00 45 dias B R$ ,00 60 dias C R$ ,00 75 dias 45 D c = ,04 = 600 Vliq = 9.400,00 30 Duplicata B D c = ,04 2 = V liq = ,00 Duplicata C 75 D c = ,04 = 1.400,00 Vliq = ,00 30 Resposta: V liq = = ,00 O total dos descotos é: D c = 600, , ,00 = 3.200, Taxa média - Prazo médio A importâcia do cohecimeto dos coceitos de taxa média, prazo médio se deve ao grade desevolvimeto verificado o mercado fiaceiro e o mercado de capitais, o Brasil, os últimos aos Taxa média A taxa média é a taxa com a qual se deve descotar um cojuto de títulos para se obter o mesmo descoto que seria obtido, caso esses títulos fossem descotados com suas respectivas taxas de descotos

16 A taxa média é obtida por meio da média poderada, ode o valor omial e o prazo represetam os pesos. Sejam: N 1, N 2, N 3,..., N h os valores omiais dos títulos com prazos iguais a 1, 2, 3,..., h descoto comercial iguais a d 1, d 2, d 3,..., d h, respectivamete. Chamado de d a taxa média de descoto, teremos: e taxas de N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h (N N N N h h ) d = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h d N d N 1 1 N 2 d 2 2 N 2 2 N 3 d 3 3 N N h d h h N h h Exemplo: Calcular a taxa média o descoto comercial do seguite cojuto de títulos: VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ 5.000,00 4 meses 3% a.m. R$ 2.000,00 5 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 6 meses 5% a.m. d = , , , d = = 0, ou 4,3590% a.m. Observação: Esta taxa média sigifica que, se os três títulos fossem descotados a uma taxa úica de 4,359% ao mês, produziriam o mesmo descoto que seria produzido caso esses títulos fossem descotados às taxas de 3% ao mês, 4% ao mês e 5% ao mês, respectivamete. Comprovação: a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais, taxas e prazos especificados para cada título. D D D , , , ,00 D c = R$ 3.400, , ,00 a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais e os prazos especificados em cada título e, a taxa média. D D D Prazo médio , , , ,90 D c = R$ 3.400, , ,32 O prazo médio é o prazo úico com o qual se deve descotar um cojuto de títulos para se obter o mesmo descoto que seria obtido caso os títulos fossem descotados com os seus respectivos prazos. O prazo médio é obtido pela média poderada, ode o valor omial e a taxa represetam os pesos. Assim, represetado por o prazo médio de um cojuto de títulos, o descoto comercial, temos: N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h Colocado em evidêcia, resulta: (N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h ) = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h = N 1 d 1 1 N 1 d 1 N 2 d 2 2 N 2 d 2 N 3 d 3 3 N 3 d N h d h h N h d h

17 Exemplo: Calcular o prazo médio do seguite cojuto de títulos o descoto comercial. VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ ,00 4 meses 6% a.m. R$ 5.000,00 3 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 5 meses 5% a.m. = , , , , , , ,00 600, ,00 = 600,00 200,00 400, ,00 = 4, ,00 Resposta.: O prazo médio é de 4,1667 meses ou 4 meses e 5 dias. Observação: Este prazo médio sigifica que, se os três títulos fossem descotados com um prazo úico de 4 meses e 5 dias, produziriam o mesmo descoto que seria produzido caso estes títulos fossem descotados com os prazos de 4 meses, 3 meses e 5 meses, respectivamete. Comprovação: a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais, taxas e prazos especificados para cada título. D D D , , , ,00 D c = R$ 5.000, , ,00 b) Valor do descoto calculado com base os valores omiais e as taxas especificados em cada título e, o prazo médio. D ,06 4, ,00 D ,04 4, ,33 D c = R$ 5.000,00 D ,05 4, ,67 3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01-Uma empresa descota uma ota promissória o valor de R$ 9.000,00, 72 dias ates do vecimeto, em um baco, a uma taxa de descoto comercial de 5% ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF cobrada é de 0,0041% ao dia e que o baco cobra uma taxa admiistrativa de 0,5% sobre o valor omial do título para esse tipo de operação, determiar: a)o valor do descoto; b)o valor líquido recebido pela empresa; c)a taxa efetiva de juros da operação o período. a) D c = Nd 72 D c = ,05 = 1.080,00 30 b) IOF = , = 26,57 Desp. adm. = ,005 = 45,00 Valor Líq. = 9.000, ,57 45,00 = 7.848,

18 S 9.000,00 c) i = 1 i = 1 i = 14,67% em 72 dias. P 7.848,43 02-Diate da alterativa de substituir os três títulos abaixo por um úico, de valor igual à soma dos três. Pedese determiar o prazo de vecimeto do ovo título (prazo médio), de modo que o seu descoto comercial seja igual à soma dos descotos comerciais dos outros três. Cosiderar a taxa de descoto de 2,5% a.m. para essa operação: a) R$ 5.000,00, com vecimeto em 60 dias b) R$ 4.300,00, com vecimeto em 45 dias c) R$ 3.500,00, com vecimeto em 20 dias Observação: Sedo a taxa costate, isto é, a mesma para todos os títulos, podemos igorá-la para efeito de cálculo = 44, Resposta: 44,0234 dias 03-Cosiderado os títulos seguites, determiar: a) a taxa média; b) o prazo médio. VALOR NOMINAL TAXA DE DESCONTO PRAZO R$ ,00 6,0% a.m. 3 meses R$ ,00 6,5% a.m. 4 meses R$ ,00 4,5% a.m. 6 meses R$ ,00 5,4% a.m. 2 meses a) d = , , , , d = = = 0, ou 5,2793% a.m. b) = = , , , , , , , , = = 3,8085 meses ou 24 dias 3008 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Uma duplicata de valor omial igual a R$ 1.800,00 é descotada 3 meses ates do vecimeto, com taxa de descoto de 5% ao mês. Pede-se: a) o descoto comercial do título; Resposta R$ 270,00. b) o valor atual comercial do título; Resposta: R$ 1.530,00. c) a taxa efetiva de juros simples da operação. Resposta: 5,88 % a.m. 02- Uma duplicata é descotada 50 dias ates do vecimeto. Sabedo-se que a taxa de descoto comercial é de 6% ao mês, que o valor omial do título é R$ ,00, que a taxa de IOF é de 1,5% a.a. e que a taxa de serviço cobrada pelo baco é de 0,5%, pede-se: a) o descoto comercial do título; Resposta: R$ 4.000,00. b) o valor líquido recebido pelo tomador; Resposta: R$ ,67 c) a taxa efetiva de juros simples da operação. Resposta: 7,20% a.m. d) a taxa de retabilidade mesal da operação para o baco. Resposta: 7,04% a.m

19 03- O descoto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotado-se uma taxa de descoto de 30% ao ao. Quato tempo faltaria para o vecimeto do título se o seu valor omial fosse de R$ 4.000,00? Resp.: 45 dias. 04- Determie o valor a ser pago hoje por um título de R$ ,00, cujo vecimeto ocorrerá daqui a quatro meses, supodo que a taxa de descoto comercial simples seja de 4,8% ao mês. Resposta:R$ , Uma pessoa precisa de R$ ,00 para saldar um compromisso. Que valor deverá pedir emprestado em um baco que cobra 4,5% ao mês de descoto comercial, mais uma taxa de serviço de 2% sobre o valor omial do título, com prazo de 60 dias? Resposta: R$ , Uma duplicata o valor de R$ 5.000,00 foi descotada em um baco, 45 dias ates do seu vecimeto, à taxa de descoto comercial de 4,5% ao mês. Determiar o valor creditado ao cliete, sabedo-se que a taxa de IOF é de 1,5% ao ao. Resposta:R$ 4.653, (QC-MM) Para pagar uma dívida de R$ 4.027,50, certo comerciate jutou um cheque ao portador de R$ 1.332,50 à importâcia líquida (valor atual) produzida pelo descoto comercial de uma letra de R$ 2.750,00, vecível em três meses. A que taxa aual foi calculado o descoto do referido título? Resposta.: 8% a.a. 08- Uma letra do Tesouro Nacioal está sedo egociada com um prazo de 48 dias, com taxa de descoto comercial de 7% a.m. Calcule o valor da taxa de retabilidade mesal do papel. Resposta: 7,88% a.m. 09- Foram aplicados, a mesma data, os seguites valores, a juros simples: R$ 2.400,00, com taxa de 4,5% ao mês, em quatro meses; R$ 5.000,00, com taxa de 4% ao mês, em seis meses e R$ 3.500,00, com taxa de 5% ao mês, em três meses. Objetivado estabelecer um vecimeto úico para as três aplicações, calcular o prazo médio, ou seja, em quato tempo esses valores colocados com suas respectivas taxas rederão o mesmo total de juros? Resposta: 4 meses e 14 dias, aproximadamete. 10- (TCI-RJ) Um título com 180 dias a decorrer até seu vecimeto está sedo egociado, o regime de juros simples, com uma taxa de descoto comercial de 15% ao ao. Determie o valor da aplicação, que proporcioa um resgate de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 1.850,

20 JUROS COMPOSTOS 1-CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS 1.1-Coceito Diz-se que um capital está aplicado a juros compostos ou o regime de capitalização composta, quado, o fim de cada período fiaceiro, previamete estabelecido, os juros são adicioados ao capital aterior e passam a reder juros o período seguite. 1.2-Expressão para o cálculo do motate O valor dos juros em cada período fiaceiro, o regime de juros compostos, é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o saldo existete o iício do período correspodete. Assim, cosiderado-se o pricipal P aplicado a juros compostos à taxa i durate períodos, segue-se que: o valor dos juros o fim do primeiro período é dado por: j 1 = Pi O valor do motate S o fim desse período será: S 1 = P + Pi S 1 = P 1 + No fial do segudo período os juros acumulados serão represetados por: j 2 = S 1.i, isto é: j 2 = P1 + ii O motate o fial do segudo período será, portato, represetado por: S 2 = S 1 + j 2, isto é: S 2 = P1 + i + P1 + ii S 2 = 1 + i 2. Por idução, podemos cocluir que a expressão geérica para o cálculo do motate S, à taxa i de juros compostos, o fim do período será represetada por: S = P 1 + i A expressão acima mostra que, o regime de capitalização composta, o motate cresce de forma expoecial ao logo do tempo. Para simplificar a avaliação umérica, o termo 1 + i será deomiado FATOR DE CAPITALIZAÇÃO e será represetado por FPS ( i,. Assim, podemos escrever: FPS ( i, = 1 + i E, como coseqüêcia imediata temos : S = P FPS ( i, ) Observação: Os valores do fator de capitalização FPS ( i, ) estão cotidos as tabelas fiaceiras Expressão para o cálculo do valor atual A expressão S = P(1 + i ) os permite escrever: S P = 1 i ou P = S 1 + i - A expressão acima permite determiar o pricipal P, que aplicado à taxa i de juros compostos, durate períodos, produz o motate S. O termo 1 + i - é deomiado FATOR DE VALOR ATUAL e, será represetado por FSP ( i,, isto é, FSP ( i, = 1 + i - E, como coseqüêcia imediata temos : P = S FSP ( i, Observação: Os valores do fator de valor atual FSP ( i, ) estão cotidos as tabelas fiaceiras

21 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01- Um ivestidor aplicou R$ ,00 por 8 meses, à taxa de 6% ao mês, o regime de juros compostos. Calcular o motate ao fim desse prazo. P = R$ ,00 i = 6% a.m. = 8 meses S =? Utilizado a fórmula S = P(1+ S = ( 1 + 0,06) 8 S = R$ ,40 Utilizado a tabela fiaceira: S = P FPS ( i, ) S = FPS (6%, 8 ) S = , S = R$ , Quato se deve ivestir hoje, para produzir R$ ,00 de motate, em 2 aos, o regime de capitalização composta, à taxa de 5,5% ao mês? S = R$ ,0 i = 5,5% a.m. = 2 aos = 24 meses P =? Utilizado a fórmula P = S ( 1 + i ) - P = ( 1 + 0,055) 24 P = R$ ,84 Utilizado a tabela fiaceira: P = S FSP ( i, P = FSP ( 5,5%, 24 ) P = , P = R$ , Você recebe uma proposta para ivestir hoje a importâcia de R$ ,00 para receber R$ ,42 ao fim de 5 meses. Qual a taxa de retabilidade mesal desse ivestimeto? P = R$ ,00 S = R$ ,42 = 5 meses i =? S = P( 1 + i ) ,42 = i i 5 = 1 + i 5 = 1, i = 5 1, i = 0,08 ou i = 8% a.m. 04- Determiar o prazo de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização composta, à taxa de 7% ao mês, cujo resgate foi de R$ ,80. P = R$ ,00 S = R$ ,80 i = 7% a.m. =?

22 Utilizado a fórmula S = P 1 + i ) ,80 = ,07 1,07 = , (1,07) = 1, log (1,07) 0, = log 1, log 1,07 = log 1, = = 4 meses 0, Utilizado a tabela fiaceira: S = P FPS ( i, ) 0, ,80 = FPS (7%, FPS (7%, ) = = 1, , Durate quato tempo ficou aplicado o capital de R$ ,00, à taxa de 2% a.m., o regime de juros compostos, se ao fim desse prazo o motate resgatado foi de R$ ,24? P = R$10.000,00 S = R$10.247,24 i = 2% a.m. =? S = P(1 + (1 + = P S log (1 + = log P S log (1 + = log P S ou = S log P log ,24 log Logo, = log 0,02) = log1, log1,02 0, = = 1, meses = 37 dias 0, Aplicações Com Períodos Fracioários No regime de capitalização composta, quado o período é fracioário podem ser usadas duas coveções: Coveção Expoecial Neste caso, remuera-se a aplicação, com juros compostos, durate todo o período (iteiro + fração). O motate cresce segudo uma curva expoecial. Exemplo: O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 60% ao ao, capitalizada trimestralmete, pelo prazo de 8 meses. Determie o motate. P = R$ ,00 i = 60% a.a., capitalizados trimestralmete = 15% a.t. = 8 meses = 3 8 trimestres = 2, trimestres S =? S = P ( 1 + i ) S = ( 1 + 0,15 ) 2, S = , S = R$ ,

23 Coveção liear Neste caso, a parte iteira do período é remuerada a juros compostos. O motate assim obtido é, etão, remuerado a juros simples, o período correspodete à parte fracioária. Exemplo: O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 60% ao ao, capitalizada trimestralmete, durate 8 meses. Determie o motate. P = R$ ,00 i = 60% a.a., capitalizados trimestralmete = 15% a.t. = 8 meses = 3 8 trimestres = 2, trimestres S =? S = P ( 1 + i ) (1 + i q p ) S = (1 + 0,15 ) 2 (1 + 0,15 0, ) S = R$ ,00 Observação: O motate obtido através da coveção liear é sempre um pouquiho maior que o motate obtido pela coveção expoecial 1.5- Taxas Equivaletes: Duas ou mais taxas são ditas equivaletes quado, ao serem aplicadas a um mesmo pricipal durate um mesmo prazo, produzem um mesmo motate acumulado o fial desse prazo, o regime de juros compostos. O coceito de taxas equivaletes está, portato, diretamete ligado ao regime de juros compostos. Exemplo: Sejam as taxas de juros compostos de 69,58814 % ao ao e 4,5 % ao mês. Cosiderado-se uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de dois aos, o regime de juros compostos, temos: a) S = , = ,07 b) S = , = ,07 Logo, o regime de capitalização composta, 69,58814 % a.a. e 4,5 % a.m. são taxas equivaletes Relações etre as taxas equivaletes Por defiição de taxas equivaletes, temos: S = P1 + i a 1 = P1 + i s 2 = P1 + i t 4 = P1 + i m 12 = P1 + i d 360 Ode, simplificado as igualdades,teremos: Aplicações: 1 + i a 1 = 1 + i s 2 = 1 + i t 4 = 1 + i m 12 = 1 + i d o ) Determie a taxa aual equivalete a 8% ao mês, o regime de juros compostos. Solução 1 + i a 1 = 1 + i m i a 1 = 1 + 0,08 12 i a = 151,817% a.a. Observação: Para facilitar os cálculos, devemos utilizar a taxa correspodete ao maior prazo, o primeiro membro da igualdade. 2 o ) Determie a taxa mesal equivalete a 48% a.a., o regime de juros compostos

24 1 + i a 1 = 1 + i m 12 (1 + i m 12 = 1 + 0, i m = 12 1, i m = 1, i = 3,3210% a.m. 3 o ) Dada a taxa de 8% em 45 dias, calcule a taxa equivalete para 72 dias, o regime de juros compostos. i 45 = 8% i 72 =? 1 = 45 dias 2 = 72 dias (1 + i 72 ) 1 = (1 + i 45 ) 72/45 (1 + i 72 ) 1 = (1+ 0,08) 72/ i 72 = 1, i 72 = 0, ou i 72 = 13,1040% 1.6- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA COM TAXAS DE JUROS VARIÁVEIS Seja calcular o motate de uma aplicação de R$ 8.000,00 à taxa 8% ao mês, pelo prazo de um ao, o regime de juros compostos. S = 8.000(1 + 0,08) 12 = ,36 No problema acima, supomos uma taxa costate de 8% ao mês ao logo dos 12 meses do ao. Cotudo, é fácil determiar o motate quado a taxa de juros varia em cada período. Seja calcular o motate de um capital P, aplicado a juros compostos, com as seguites taxas por período de capitalização: i 1 o 1 o período i 2 o 2 o período i 3 o 3 o período e, assim, sucessivamete, até o período. S 1 = P(1 + i 1 ) S 2 = S 1 (1 + i 2 ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 ) S 3 = S 2 (1 + i 3 ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) S = S -1 (1 + i ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i -1 )(1 + i ) Assim, ao fial de períodos de capitalização, teremos: S = P (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i 3 ) (1 + i -1 )(1 + i ) 1.7- Cálculo da Taxa Acumulada e da Taxa Média A taxa acumulada o período é dada pela expressão: i = S - 1, isto é: P i = [(1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i 3 ) (1 + i ) 1] 100 A taxa média é calculada com a relação de equivalêcia, isto é: i m = [(1 + i t ) 1/ 1 ]

25 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01- Seja, por exemplo, calcular o motate resultate da aplicação do capital de R$ ,00 que esteve aplicado durate 3 meses, o regime de juros compostos, às taxas de 3,45%, 2,28% e 4,32%, respectivamete. S = (1 + 0,0345) (1 + 0,0228) (1 + 0,0432) S = ,0345 1,0228 1,0432 S = R$ , Em quatro meses sucessivos um fudo de ivestimetos redeu 1,6%, 1,8%, 1,5% e 2%, respectivamete. Qual a taxa de retabilidade acumulada o período? Qual a taxa média mesal de redimeto do fudo? a) i AC = (1 + 0,016)(1 + 0,018)(1+ 0,015)(1 + 0,02) 1 i AC = 0, ou i AC = 7,0798% b) i m = [(1 + 0,070798) 1/4 1] 100 i m = 1,7248% a.m. 03- O capital de R$ 5.000,00 esteve aplicado durate dois meses e quize dias a juros compostos de 2% a.m. Calcular o motate: b. utilizado a coveção expoecial; c. utilizado a coveção liear P = R$ 5.000,00 I = 2% a.m. = 2 meses e 15 dias = 75 dias a) S = 5.000(1 + 0,02) 75/30 S = ,02 2,5 S = , S = R$ 5.253,76 b) S = 5.000(1 + 0,02) 2 (1 + 0,02 0,5) S = , ,01 S = R$ 5.254, Em jaeiro, fevereiro, março e abril de certo ao, o preço de um produto teve respectivamete os seguites aumetos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. a) Qual a taxa acumulada o quadrimestre? b) Qual a taxa média mesal de aumeto do produto? a) i = [(1 + 0,02)(1 + 0,05)(1 + 0,036)(1 + 0,07) 1] 100 i = 18,7225% o quadrimestre b) i m = [(1 + 0,187225) 1/4 1] 100 i m = 4,3838% a.m. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Determiar o motate que um ivestimeto de R$ ,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15% ao trimestre, o regime de capitalização composta. Resposta : R$ , Você vai adquirir dois títulos, o primeiro tem valor de resgate de R$ ,00 e prazo de resgate 6 meses; o segudo tem valor de resgate de R$ ,00 e prazo de resgate de 9 meses. Qual o valor da aplicação, se a istituição fiaceira está oferecedo uma taxa de 6% ao mês, o regime de juros compostos? Resposta: R$ , Quatos períodos serão ecessários para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao período? Resposta: 11,

26 04- Qual a taxa mesal de juros compostos que trasforma um capital de R$ ,00 em R$ ,21 em dois aos? Resposta: 8,5% a.m. 05- O capital de R$ ,00 colocado a juros compostos, capitalizados mesalmete durate 8 meses, elevou-se, o fial desse prazo, a R$ ,83. Calcular a taxa de juros aplicada. Resposta: 5,8% a.m. 06- Determiar o prazo ecessário para que uma aplicação o valor de R$ ,00 se trasforme em R$ ,83, à taxa de 12% ao mês, o regime de juros compostos. Resposta: 5 meses. 07- Ricardo fez uma aplicação de R$ ,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., o regime de juros compostos. Determie o motate recebido, utilizado as coveções liear e expoecial. Resposta: R$ ,88 pela coveção liear; R$ ,19 pela coveção expoecial. 08- O redimeto das caderetas de poupaça atigiu o período de abril a agosto de 1989 os seguites percetuais: Abril 11,52%; Maio 10,48%; Juho 29,40%; Julho 25,45%; Agosto 29,99%. a) Determie o percetual de redimeto acumulado esse período as caderetas de poupaça. Resposta: 159,9868%. b) Determie a taxa média mesal de redimeto das caderetas de popaça esse período. Resposta: 21,06% a.m. 09- Em quatro meses sucessivos um fudo de reda fixa redeu 1,2%, 1,4%, 1,5% e 1,6%. Qual a taxa de retabilidade acumulada deste fudo o período? Resposta.: 5,8225%

27 2- ESTUDO DAS TAXAS 2.1- Taxa Efetiva Taxa efetiva é aquela em que a uidade de referêcia coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: a) 4 % ao mês capitalizados mesalmete; b) 10 % ao trimestre capitalizados trimestralmete. Em geral, omite-se o período de capitalização. Em vez de 15% a.a., capitalizados aualmete, diz-se, apeas, 15 % ao ao Taxa Nomial Taxa omial é aquela em que a uidade de tempo de referêcia ão coicide com a uidade de tempo do período de capitalização. A taxa omial, apesar de bastate utilizada, ão represeta uma taxa efetiva. O que se deve buscar é a taxa efetiva cotida a taxa omial. Eemplos: 1 o ) 60% a.a., capitalizados mesalmete, represeta uma taxa efetiva de 5% a.m. 2 o ) 50% a.a.,capitalizados semestralmete, represeta uma taxa efetiva de 25% a.s. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01- Determiar a taxa efetiva aual equivalete à taxa omial de 192% a.a., capitalizada mesalmete? Taxa efetiva mesal = 192% 12 = 16% a.m. (1 + i a ) 1 = (1 + 0,16 ) i a = 5, i a = 4, i a = 493,6027% a.a. 02- Determiar a taxa aual com capitalizações mesais que é equivalete à taxa efetiva de 493,6027% a.a. Primeiramete, deve-se calcular a taxa efetiva do período de capitalização, isto é, a taxa mesal. (1 + 4,936027) = (1 + i m ) i m = 12 5, i m = 1,16 i m = 0,16 ou 16% a.m. A seguir, multiplica-se a taxa do período de capitalização pelo úmero de períodos, isto é: I a = 16% 12 = 192% Resposta: A taxa omial é 192% ao ao com capitalizações mesais. 03- Qual o motate que você terá detro de 2 aos se aplicar R$ ,00 à taxa de 72% a.a., capitalizada trimestralmete? P = R$ ,00 72% i = = 18% a.t. 4 = 2 aos = 8 trimestres S =? S = P(1+ S = ( 1 + 0,18 ) 8 S = R$ ,