MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Gilmar Boratto Material de apoio para o curso de Admiistração.

2 ÍNDICE CONCEITOS BÁSICOS CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO O CAPITAL E O JURO REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS EXERCÍCIOS PROPOSTOS JUROS SIMPLES CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: DESCONTOS SIMPLES INTRODUÇÃO Descoto comercial ou por fora: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: JUROS COMPOSTOS CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ESTUDO DAS TAXAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Iflação, Deflação e Atualização Moetária EXERCÍCIOS PROPOSTOS TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL EXERCÍCIOS PROPOSTOS: SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES INTRODUÇÃO: Série uiforme com pagametos postecipados Utilizado a fórmula SÉRIE UNIFORME COM PAGAMENTOS ANTECIPADOS SÉRIE UNIFORME DIFERIDA SÉRIE UNIFORME INFINITA (PERPETUIDADE) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA Valor Atual ou Valor Presete de um Fluxo de Caixa: Descoto de Fluxo de Caixa Fluxos de Caixa Equivaletes Valor Presete Líquido de um Fluxo de Caixa (VPL) Taxa Itera de Retoro de um Fluxo de Caixa EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Aálise de Alterativas de Ivestimetos pelo Método do Valor Presete Líquido (VPL) EXERCÍCIOS PROPOSTOS AMORTIZAÇÕES DE EMPRÉSTIMOS DEFINIÇÕES IMPORTANTES PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: B I B L I O G R A F I A

3 CONCEITOS BÁSICOS 1- CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA Fluxo de caixa (de uma empresa, de um fiaciameto, de um ivestimeto, etc.) é um cojuto de etradas e saídas de caixa (diheiro) ao logo do tempo. A represetação de um fluxo de caixa ao logo do tempo pode ser feita através de um diagrama, como mostra a figura abaixo: ode a escala horizotal represeta o tempo (em meses, trimestres, semestres, aos, etc.); as flechas para baixo correspodem a saídas de caixa ou despesas e terão siais egativos; as flechas para cima represetam etradas de caixa ou receitas e terão siais positivos. 2-A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS A matemática fiaceira é o ramo da matemática que estuda o comportameto do diheiro o tempo e tem por objetivo o mauseio, a trasformação e a comparação de fluxos de caixa. 3-MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO Os coceitos de matemática fiaceira desevolvidos este trabalho são exatamete os mesmos, tato para os fluxos de caixa sem iflação, expressos em moeda estável (tem o mesmo poder aquisitivo ao logo do tempo), como para os fluxos de caixa com iflação, expressos em moeda correte, que perde o seu poder aquisitivo ao logo do tempo. 4-O CAPITAL E O JURO Deomia-se capital a qualquer quatidade de moeda ou diheiro que uma pessoa, física ou jurídica, aplica ou empresta para outra durate certo tempo. O juro pode ser defiido como a compesação fiaceira coseguida por um aplicador durate certo tempo ou aida o custo do capital para uma pessoa, que durate certo tempo, usa o capital de outra. O juro é cobrado em fução de um coeficiete, chamado taxa de juro, que é dado geralmete em termos percetuais e sempre referido a um itervalo de tempo, tomado como uidade, deomiado período fiaceiro. A taxa de juro é a razão etre os juros recebidos (ou pagos) o fim de um período fiaceiro e o capital aplicado. Exemplo: Supohamos que a aplicação de R$ 150,00 teha produzido, ao fim de um mês, a quatia de R$ 4,50 de juros. Valor aplicado R$ 150,00 Juros obtidos R$ 4,50 4,50 Taxa de juro 0,03 3% ao mês 150,00 Observação: A taxa de juros pode ser represetada sob duas formas: - 2 -

4 taxa percetual: quado represetar os juros de 100 (cem) uidades de capital durate o período fiaceiro a que se refere; taxa uitária: quado represetar, as mesmas codições, os juros de uma uidade de capital. Exemplo: Seja a taxa de juros de 15% ao ao % = 100 = 0,15 15% ao ao taxa percetual 0,15 ao ao taxa uitária As taxas de juros, este trabalho, quado iseridas os euciados e as respostas dos exercícios serão, sempre, idicadas a forma percetual, porém, todos os cálculos e desevolvimeto de fórmulas serão feitos através da otação em fração decimal (taxa uitária). 5-REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO A sucessiva icorporação dos juros ao pricipal ao logo dos períodos fiaceiros, deomia-se capitalização. Regime de capitalização simples: quado os redimetos são devidos úica e exclusivamete sobre o pricipal, ao logo dos períodos fiaceiros a que se refere a taxa de juros. Regime de capitalização composta: quado ao fim de cada período de tempo, a que se refere a taxa de juros, os redimetos são icorporados ao capital aterior e passam, por sua vez, a reder juros o período seguite. 6-O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Do poto de vista da Matemática Fiaceira, R$ ,00 hoje ão são iguais a R$ ,00 em uma outra data qualquer, pois o diheiro cresce o tempo ao logo dos períodos, devido à preseça da taxa de juros. Assim, sob a ótica da Matemática Fiaceira devemos observar que: a) os valores presetes em uma mesma data são gradezas que podem ser comparadas e somadas algebricamete; b) os valores presetes em datas diferetes são gradezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamete após serem movimetadas para uma mesma data, com a devida aplicação de uma taxa de juros. 7-CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS Os juros são classificados em simples ou compostos, de acordo com o regime de capitalização em que se está trabalhado. 7.1-Exemplo Numérico de Juros simples: Supohamos que um idivíduo teha feito, hoje, uma aplicação o valor de R$ 100,00, em um baco que remuera suas aplicações a juros simples, à razão de 20% ao ao. Qual será seu saldo credor o fial de cada um dos próximos cico aos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL R$ 100, o ao R$ 100,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 120, o ao R$ 120,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 140, o ao R$ 140,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 160, o ao R$ 160,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 180, o ao R$ 180,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 200,00-3 -

5 É importate observar, que este caso, o baco sempre aplica a taxa de juros de 20%a.a. sobre o capital iicial de R$ 100,00, e ão permite que o idivíduo retire os juros produzidos em cada período. Assim, apesar dos juros estarem sempre à disposição do baco, eles ão são remuerados por parte da Istituição. 7.2-Exemplo Numérico de Juros Compostos: Vamos supor, agora, que a aplicação do exemplo aterior, teha sido feita a juros compostos. Qual seria o saldo credor do idivíduo ao fial de cada um dos próximos cico aos? PLANILHA DO CRESCIMENTO DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ESCALA FINAL DO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL R$ 100, o ao R$ 100,00 0,20 100,00 = 20,00 R$ 120, o ao R$ 120,00 0,20 120,00 = 24,00 R$ 144, o ao R$ 144,00 0,20 144,00 = 28,80 R$ 172, o ao R$ 172,80 0,20 172,80 = 34,56 R$ 207, o ao R$ 207,36 0,20 207,36 = 41,47 R$ 248,83 É importate observar, que este caso, o baco sempre aplicou a taxa de juros de 20%a.a. sobre o saldo existete o iício de cada período fiaceiro. Assim, após cada período, os juros são icorporados ao saldo aterior e passam, por sua vez, a reder juros o período seguite. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Um ivestidor aplicou R$ 2.000,00 uma istituição fiaceira que remuera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, o regime de juros simples. Mostrar o crescimeto desse capital o fial de cada trimestre, a cotar da data da aplicação dos recursos, e iformar o motate que poderá ser retirado pelo ivestidor o fial do quito trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.600,00 02) Um ivestidor aplicou R$ 2.000,00 uma istituição fiaceira que remuera seus depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, o regime de juros compostos. Mostrar o crescimeto desse capital o fial de cada trimestre, a cotar da data da aplicação dos recursos, e iformar o motate que poderá ser retirado pelo ivestidor o fial do quito trimestre, após a efetivação do depósito. Resposta: R$ 2.676,45 03) Supoha que a aplicação de R$ 5.000,00 teha produzido ao fial de um trimestre a quatia de R$ 190,00 de juros. Qual foi a taxa percetual trimestral da aplicação? Resposta: 3,8% a.t. JUROS SIMPLES 1- CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 1.1- Simbologia a ser adotada Como forma de simplificação e uiformização de procedimetos o desevolvimeto teórico dos juros simples, será usada a seguite otação: P = pricipal, valor presete, valor atual, ou seja, valor do capital o dia de hoje; i = taxa efetiva de juros por período de capitalização; = úmero de períodos de capitalização; j = valor dos juros; S = motate, valor futuro, ou seja, valor do capital o fim de períodos Expressão para o cálculo dos juros Os juros simples icidem uicamete sobre o pricipal e geram retabilidade ou custo, que são diretamete proporcioais ao capital e ao prazo da operação

6 Assim, o valor dos juros o fial do primeiro período é dado por Pi, o fial do segudo período por 2Pi, o fial do terceiro período por 3Pi e assim, sucessivamete. O total de juros acumulados o fial de períodos será dado, portato, pela fórmula: j = Pi Exemplo: Calcular os juros simples referetes a um empréstimo o valor de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao mês, durate 4 meses. P = R$ 8.000,00 i = 3% a.m. = 4 meses j = Pi j = ,03 4 j = R$ 960, Expressão para o cálculo do motate O motate S, ao fim de períodos, resultate da aplicação do capital P à taxa i de juros simples, é dado por: S = P + j, ou seja, Motate = Pricipal + juros. Logo, S = P + Pi Colocado-se P em evidêcia, resulta: S = P(1 + Exemplo: Determiar o motate, ao fim de 5 meses, correspodete a uma aplicação o valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, o regime de juros simples. P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. = 5 meses S = P(1 + S = (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200, Expressão para o cálculo do valor atual Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o motate (S) daqui a períodos a uma taxa ( de juros simples basta iverter a relação aterior, isto é: S P 1 i Exemplo: Qual o valor que se deve aplicar hoje para se obter o motate de R$ 8.000,00, daqui a 6 meses, a uma taxa de juros de 4% ao mês. S = R$ 8.000,00 I = 4% ao mês N = 6 meses P = S 1 i P = , = = 6.451,61 1,24-5 -

7 1.5- Juros Comerciais e Juros exatos Juros Comerciais: São os juros obtidos quado se cosidera o ao com 360 dias (ao comercial) e o mês com 30 dias (mês comercial) Juros Exatos: São os juros obtidos quado se cosidera o ao com 365 dias ou 366 dias (ao bissexto). Exemplo: Um capital de R$ ,00 esteve aplicado durate 45 dias à taxa de juros simples de 30% a.a. Determiar os juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação. Juros comerciais 45 j = , Juros exatos j = R$ 562,50 45 j = , j = R$ 554, Expressão para o cálculo da taxa o período da aplicação Fazedo = 1 (um período) a fórmula dos juros j = Pi, teremos: J = PI i = P j i = S P P i = S P S i = 1 P P P Exemplo: Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples, durate 5 meses, gerado um, motate de R$ ,00. a) Determie a taxa de juros do período da aplicação; b) Determie a taxa mesal de juros da aplicação. P = R$ ,00 S = R$ ,00 N = 5 meses S a) i = 1 i = 1 ou i = 0,075 = 7,5% (o período de 5 meses) P b) i = 7,5% 5 = 1,5% a.m. 2- TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 2.1- Coceitos Duas ou mais taxas de juros são proporcioais quado os seus valores e os períodos a que elas se referem estão a mesma razão meses Assim, 20% ao ao e 5% ao trimestre são taxas proporcioais, pois 5 3 meses Duas ou mais taxas de juros são equivaletes quado ao serem aplicadas a um mesmo pricipal, durate um mesmo itervalo de tempo, produzem o mesmo motate. Observação: É importate otar, que o regime de juros simples as taxas proporcioais são, também, equivaletes

8 Exemplo: Seja calcular o motate de uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de 6 meses, utilizado as taxas proporcioais 20% a.a. e 5% a.t., respectivamete. a) S = (1 + 0, ) S = R$ 5.500,00 b) S = (1 + 0,05 2) S = R$ 5.500,00 Coforme podemos observar, os dois motates são iguais e, portato, as taxas de 20% a.a. e 5% a.t. são, também, equivaletes Relações etre as taxas proporcioais. Iicialmete, vamos defiir: i a = taxa aual de juros. i s = taxa semestral de juros. i t = taxa trimestral de juros. i m = taxa mesal de juros. i d = taxa diária de juros. Com base o coceito de taxas proporcioais, podemos escrever: S = P(1 + i a 1) = P(1 + i s 2) = P(1 + i t 4) = P(1 + i m 12) = P(1 + i d 360). Simplificado os termos comus, cocluímos que: i a = 2i s = 4i t = 12i m = 360i d Aplicação: Determie a taxa mesal proporcioal a 45% ao ao. i a = 12i m 45% = 12i m i m = 45% = 3,75% 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01- Que capital deverá ser aplicado à taxa de 10% ao trimestre, para produzir ao fial de 2 aos, o motate de R$ ,00, o regime de capitalização simples? S = R$ ,00 i = 10 % a. t. = 2 aos = 8 trimestres P =? S = P ( 1 + i ) = P ( 1 + 0,10 8 ) P = 1,80 P = R$ 8.000, A que taxa mesal de juros simples deve-se aplicar o capital de R$ ,00 para que em 3 meses e 15 dias, produza o motate de R$ ,00? P = R$ ,00 S = R$ ,00 = 3 meses e 15 dias = 105 dias i =? S = P ( 1 + i ) = ( 1 + i ) = 1 + 3,5 i ,14 1,14 = 1 + 3,5 i 3,5i = 0,14 i = = 0,04 ou i = 4% a.m. 3,5-7 -

9 03- Durate quato tempo o capital de R$ ,00 deve ser empregado, a juros simples, à taxa de 54% ao ao, para produzir o motate de R$ ,00? P = R$ ,00 S = R$ ,00 i = 54 % a.a. =? S = P ( 1 + i ) = ( 1 + 0,54 ) ,36 = 1 + 0,54 1,36 = 1 + 0,54 0,54 = 0,36 = = 0, aos ,54 ou 0, = 8 = 8 meses. 04- Um título, cujo valor de resgate, daqui a 3 meses, é R$ 8.000,00, foi adquirido hoje, por um fudo, pelo valor de R$ 7.561,44. Qual a taxa de redimeto do papel o período? S = R$ 8.000,00 P = R$ 7.561,44 = 3 meses i =? S 8.000,00 i = 1 i = 1= 0,058 = 5,8% ao trimestre P 7.561, Uma aplicação fiaceira com prazo de 6 meses, rede juros simples à taxa de 30% ao ao. Sabedo-se que o imposto de reda, pago o resgate, é igual a 20% do juro produzido, perguta-se: a) Qual o motate líquido de uma aplicação de R$ ,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para produzir um motate líquido de R$ 8.750,00? a) Motate Líquido: S = P + j IR (ode IR = Imposto de Reda) j = Pi j = , = IR = 0, = 300 S = S = R$ ,00 b) Sedo P o capital procurado, segue-se que: = P + j IR = P + j 0,20j = P + 0,80j = P + 0,80 [ P(0,30) ( 12 6 ) ] = P + 0,12P = 1,12P P = = 7.812,50 P = R$ 7.812,50 1, Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa de 54% ao ao, o regime de capitalização simples, pelo prazo de 27 dias. Determiar o valor dos juros exatos dessa aplicação. P = R$ ,00 i = 54% a.a. = 27 dias j =? 27 j = Pi j = , j = R$ 1.997,26-8 -

10 07- Um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa de 30% ao ao, o regime de capitalização simples, pelo prazo de 45 dias: a) Determiar os juros exatos dessa aplicação; b) Determiar os juros comerciais dessa aplicação. P = R$ ,00 i = 30% a.a. = 45 dias j =? a) j = Pi 45 j = , b) j = Pi 45 j = , j = R$ 369,86 j = R$ 375,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Observação: Nos exercícios que seguem, a ão ser que seja dito explicitamete o cotrário, cosidere juros comerciais. 01- Determie os juros simples de uma aplicação de R$ 8.500,00 à taxa de 3 % ao mês, durate 5 meses. Resposta: R$ 1.275, Aplica-se R$ 5.000,00 a uma taxa mesal de 2,5%. Calcule os juros simples produzidos após 3 meses. Resposta: R$ 375, Aplica-se a quatia de R$ 5.400,00 à taxa de 2% ao mês, o regime de capitalização simples. Qual é o motate obtido ao fim de 4 meses? Resposta: R$ 5.832, Determie os juros e o motate de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização simples, os seguites casos: a) à taxa de 22% ao ao, após um ao; Resposta: R$ 2.200,00 e R$ ,00. b) à taxa de 30% ao ao, após 8 meses; Resposta: R$ 2.000,00 e R$ ,00. c) à taxa de 18% ao ao, após 45 dias; Resposta: R$ 225,00 e R$ ,00. d) à taxa de 2,5% ao mês, após 5 meses; Resposta: R$ 1.250,00 e R$ ,00. e) à taxa de 3,5% ao mês, após 21 dias; Resposta: R$ 245,00 e R$ ,00. f) à taxa de 2% ao mês, após um ao. Resposta: R$ 2.400,00 e R$ , A que taxa mesal de juros simples: a. o capital de R$ 8.000,00 produz, em um ao, R$ 3.648,00 de juros? Resposta:3,8% a.m b) o capital de R$ 6.500,00 produz, em 5 meses, R$ 845,00 de juros? Resposta: 2,6% a.m. c) o capital de R$ 5.000,00 produz, em 2 meses e 20 dias, R$ 1.000,00 de juros? Resposta: 7,5% a.m. 06- Paulo aplicou R$ 8.000,00 a juros simples à taxa de 22% ao ao. Se ele recebeu R$ 2.200,00 de juros, qual o prazo da aplicação? Resposta: 1 ao e 3 meses. 07- Qual o motate de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização simples, à taxa de 5% ao mês, após 3 meses? Resposta: R$ , Qual o motate de uma aplicação de R$ 7.500,00 ao fim de 6 meses e 17 dias, à taxa de 72% ao ao, o regime de capitalização simples? Resposta: R$ , Quato se deve aplicar hoje, para se obter um valor de resgate de R$ ,00, ao fim de 2 aos, à taxa de 4% ao mês, o regime de capitalização simples? Resposta: R$ 7.755, Que quatia se deve aplicar à taxa de 42% ao ao, durate 5 meses e 10 dias, o regime de capitalização simples, para se obter o motate de R$ 7.751,25? Resposta: R$ 6.531, Um aparelho de som é vedido à vista por R$ 820,00 ou por R$ 164,00 de etrada mais uma parcela de R$ 721,60 após 2 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada? Resposta: 5% ao mês

11 12- Uma geladeira é vedida à vista por R$ 1.500,00 ou etão a prazo com R$ 450,00 de etrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mesal de juros simples cobrada? Resposta: 3,57% a.m. 13- Certo capital acrescido dos juros simples, calculados à taxa de 22% ao ao, em um mês e dez dias, importa em R$ 7.376,00. Determie esse capital. Resposta: R$ 7.200, Um vestido de oiva é vedido à vista por R$ 2.400,00 ou, etão, a prazo com 20% de etrada mais uma parcela de R$ 2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mesal de juros simples cobrada? Resposta: 5,99% a.m. 15- Foi cotraído um empréstimo o valor de R$ ,00 o dia 02/06/1994. Qual foi o valor resgatado o dia 03/12/1994, se a taxa de juros simples cobrada foi de 8% ao mês? (Obs.: O tempo trascorrido etre duas datas deve ser cotado de forma exata). Resposta: R$ , Durate quato tempo um capital deve ser aplicado a juros simples, com taxa de 4% ao mês, para que o seu valor seja triplicado? Resposta: 4 aos e 2 meses. 17- Uma aplicação fiaceira com prazo de 4 meses, rede juros simples à taxa de 22% ao ao, porém o ivestidor deve pagar, o ato do resgate, um imposto de reda igual a 20% do valor dos juros auferidos: a) Qual o motate líquido (motate após o pagameto do imposto de reda) de uma aplicação de R$ ,00? Resposta: R$ ,00. b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um motate líquido de R$ ,00? Resposta: R$ , Uma pessoa aplicou 1/3 de seu capital a 42% ao ao e o restate a 36% ao ao. No fim de 2 aos, os juros simples obtidos somaram R$ 6.840,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ 9.000, A terça parte de um capital foi aplicada a 36% a.a., a quarta parte, a 42% a.a. e o restate a 30% a.a. No fim de 3 aos os juros simples obtidos somaram R$ ,00. Qual foi o capital aplicado? Resposta: R$ , Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples com taxa de 96% a.a..o resgate foi feito em 17 de setembro de Determie os juros exatos e os juros comerciais desta aplicação. (O úmero de dias decorridos foi de 544 ). Respostas: R$ 4.292,38 e R$ 4.352, Aplica-se R$ ,00 a 3,8% ao mês, pelo prazo de 180 dias, o regime de capitalização simples a)calcular os juros exatos; Resposta: R$ 2.810,96. b) Calcular os juros comerciais. Resposta: R$ 2.850, Calcular os juros simples exatos do capital R$ 3.800,00, colocado à taxa de 5% a.m., de 2 de jaeiro a 28 de maio do mesmo ao. Resposta: R$ 912, Um determiado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa aual, redeu R$ 240,00. Determie os juros auferidos esta aplicação se fossem juros comerciais. Resposta: R$ 243,

12 DESCONTOS SIMPLES 1-INTRODUÇÃO 1.1- Coceitos: descoto deve ser etedido como sedo o abatimeto que o devedor faz jus quado atecipa o pagameto de um título. título é um documeto usado para formalizar uma dívida que ão pode ser paga imediatamete mas que deverá ser liquidada detro de um determiado prazo previamete estipulado. 1.2-Taxa de Descoto e Taxa de Retabilidade Exemplo Numérico: Um baco realiza operações de descoto de Notas Promissórias de acordo com os seguites critérios: o prazo da operação é de 45 dias; a taxa cobrada pelo baco é de 6% ao mês; os juros são pagos atecipados. Assim, se o cliete desejar realizar uma operação de R$10.000,00, deverá assiar uma Nota Promissória esse valor, com vecimeto detro de 45 dias. O total dos juros a ser pago atecipadamete é: 45 j = ,06 j = R$ 900,00 30 Os dados dessa operação podem, etão, ser assim resumidos: pricipal P liberado pelo baco: R$ 9.100,00 prazo da operação: 45 dias motate S a ser pago o fial de 45 dias: R$ ,00 Esses valores podem ser relacioados pela expressão S = P(1 +, isto é: = 9.100(1 + i ) i = 0, ou i = 6,5934 % a.m. 30 A taxa i = 6,5934%a.m. é cohecida como taxa de retabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o pricipal de R$ 9.100,00, proporcioará uma retabilidade total de R$ 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o pricipal, pelo prazo que for estabelecido. A taxa i = 6 % a.m. é cohecida como taxa de descoto, pois, ao ser aplicada sobre o motate de R$ ,00, provocará um descoto de R$ 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o motate, pelo prazo que for estabelecido. 2- Descoto comercial ou por fora: 2.1-Coceitos: O descoto comercial ou por fora é amplamete utilizado as operações bacárias e comerciais. As pricipais variáveis dessa operação são as seguites: Descoto juros simples cobrado sobre o valor omial do título, o ato da liberação dos recursos. IOF imposto sobre operações fiaceiras cobrado com base o valor omial do título, o ato da liberação dos recursos. Prazo prazo de vecimeto do título cosiderado para o cálculo dos juros. Esse prazo é a difereça etre a data da liberação dos recursos e a data do vecimeto do título. Exemplo: Uma empresa descota, um baco, um título o valor de R$ ,00, o dia 10/06/97, com vecimeto para 15/07/97. A taxa de descoto simples cobrada pelo baco é de 6 % ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, determiar o custo efetivo desse empréstimo, em termos de taxa mesal

13 Diagrama da operação: Cálculo do valor líquido: 35 Juros = ,06 = 4.200,00 30 IOF = , = 86,10 Valor líquido = , ,00-86,10 = ,90 Cálculo do custo efetivo: S = P( ,00 = ,90 (1 + i ) i = 0, ou i = 6,59404 % a.m Cosiderações sobre o Saldo Médio: Para obter uma faixa de descoto de uma duplicata ou de uma promissória os bacos comerciais, ormalmete são cosideradas as reciprocidades que o cliete (tomador) oferece. A mais importate costuma ser o saldo médio, que ada mais é que a média diária dos saldos matidos em cota correte durate o período cosiderado. Quado o cliete precisa descotar uma ota promissória para obter diheiro emprestado será cosiderado pelo baco o seu saldo médio, isto é, se ão tiver saldo médio poderá ser difícil obter o empréstimo. Assim sedo, quado fazemos essa operação estamos pagado por osso próprio capital que está em reciprocidade o saldo médio. Por isso, esse saldo médio deve ser cosiderado como custo para quem opera freqüetemete com bacos, como é o caso de empresas que descotam títulos. Exemplo: Uma empresa descota um baco uma ota promissória o valor de R$ ,00, com prazo de 45 dias e taxa de descoto de 6 % ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, e, que o baco exige um saldo médio de 20 % do valor do título, determiar o custo efetivo desse empréstimo. Cálculo do custo efetivo: S = P(1 + Diagrama da operação: Valor do saldo médio 0, ,00 = 8.000,00 45 Valor do descoto (juros) ,00 0,06 = 3.600,00 30 IOF ,00 0, = 73,80 Valor dispoível , , ,00-73,80 = ,

14 Valor a ser desembolsado o vecimeto , ,00 = ,00 Cálculo da taxa mesal de custo efetivo: S = P ( 1 + i ) ,00 = ,20 ( 1 + i ) i = 0,08646 ou i = 8,646 % a.m Relação Etre Taxa de Descoto e Taxa de Retabilidade Simbologia a ser adotada: d = taxa de descoto por período i = taxa de retabilidade por período D c = descoto comercial N = valor omial do título (valor de face) P = pricipal, valor presete ou valor atual = úmero de períodos (prazo) Coforme podemos observar os exercícios ateriores, o descoto comercial equivale aos juros simples cobrados sobre o valor omial do título, isto é: D c = Nd é: O valor atual ou valor presete de um título é, por defiição, igual ao valor omial meos o descoto, isto P = N D c P = N - Sd P = N ( 1 d ) ( 1 ) A taxa de retabilidade i, é calculada através da fórmula do motate, isto é: N = P ( 1 + i ) P = N 1 i ( 2 ) Comparado as relações ( 1 ) e ( 2 ), podemos escrever: N ( 1 d ) = N 1 i, de ode se coclui que: d i (taxa de retabilidade i, a partir da taxa de descoto d, e do úmero de períodos ) 1 d d = i 1 i (taxa de descoto d, a partir da taxa de retabilidade i, e do úmero de períodos ) Aplicações: Cosideremos, como exemplo, o problema seguite, já mecioado ateriormete: Uma empresa descota, um baco, um título o valor de R$ ,00, o dia 10/06/97, com vecimeto para 15/07/97. A taxa de descoto cobrada pelo baco é de 6% a.m. Sabedo-se que a taxa de IOF é de 0,0041% ao dia, determiar: a) o valor do descoto comercial; b) o valor atual ou valor presete do título; c) a taxa de retabilidade do baco; d) o custo efetivo desse empréstimo para a empresa

15 N = R$ ,00 d = 6% a.m. = 35 dias Taxa de IOF = 0,0041% ao dia 35 a) D c = Nd D c = ,00 0,06 Dc = R$ 4.200, b) P = N (1 - d) P = ,00 (1-0,06 ) P = R$ ,00 30 c) i = d 1 d i = d ) IOF = 0,0041% a. d. ou 0, , ,123% a.m. i = 0,0, ou i = 6,4516 % a.m. Total tributado 0,123 % a.m. + 6 % a.m. = 6,123 % a.m. d 0,06123 i = i = 1 d , Operações com um cojuto de títulos: i = 0, ou i = 6,59404 % a.m. No caso de um cojuto de títulos, o valor atual comercial será dado pela soma dos valores atuais de cada título. Exemplo: Uma empresa apreseta o seguite borderô de duplicatas para serem descotadas um baco à taxa de descoto comercial de 4% a.m.. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Duplicata A Duplicata Valor Prazo A R$ ,00 45 dias B R$ ,00 60 dias C R$ ,00 75 dias 45 D c = ,04 = 600 Vliq = 9.400,00 30 Duplicata B D c = ,04 2 = V liq = ,00 Duplicata C 75 D c = ,04 = 1.400,00 Vliq = ,00 30 Resposta: V liq = = ,00 O total dos descotos é: D c = 600, , ,00 = 3.200, Taxa média - Prazo médio A importâcia do cohecimeto dos coceitos de taxa média, prazo médio se deve ao grade desevolvimeto verificado o mercado fiaceiro e o mercado de capitais, o Brasil, os últimos aos Taxa média A taxa média é a taxa com a qual se deve descotar um cojuto de títulos para se obter o mesmo descoto que seria obtido, caso esses títulos fossem descotados com suas respectivas taxas de descotos

16 A taxa média é obtida por meio da média poderada, ode o valor omial e o prazo represetam os pesos. Sejam: N 1, N 2, N 3,..., N h os valores omiais dos títulos com prazos iguais a 1, 2, 3,..., h descoto comercial iguais a d 1, d 2, d 3,..., d h, respectivamete. Chamado de d a taxa média de descoto, teremos: e taxas de N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h (N N N N h h ) d = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h d N d N 1 1 N 2 d 2 2 N 2 2 N 3 d 3 3 N N h d h h N h h Exemplo: Calcular a taxa média o descoto comercial do seguite cojuto de títulos: VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ 5.000,00 4 meses 3% a.m. R$ 2.000,00 5 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 6 meses 5% a.m. d = , , , d = = 0, ou 4,3590% a.m. Observação: Esta taxa média sigifica que, se os três títulos fossem descotados a uma taxa úica de 4,359% ao mês, produziriam o mesmo descoto que seria produzido caso esses títulos fossem descotados às taxas de 3% ao mês, 4% ao mês e 5% ao mês, respectivamete. Comprovação: a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais, taxas e prazos especificados para cada título. D D D , , , ,00 D c = R$ 3.400, , ,00 a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais e os prazos especificados em cada título e, a taxa média. D D D Prazo médio , , , ,90 D c = R$ 3.400, , ,32 O prazo médio é o prazo úico com o qual se deve descotar um cojuto de títulos para se obter o mesmo descoto que seria obtido caso os títulos fossem descotados com os seus respectivos prazos. O prazo médio é obtido pela média poderada, ode o valor omial e a taxa represetam os pesos. Assim, represetado por o prazo médio de um cojuto de títulos, o descoto comercial, temos: N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h Colocado em evidêcia, resulta: (N 1 d 1 + N 2 d 2 + N 3 d N h d h ) = N 1 d N 2 d N 3 d N h d h h = N 1 d 1 1 N 1 d 1 N 2 d 2 2 N 2 d 2 N 3 d 3 3 N 3 d N h d h h N h d h

17 Exemplo: Calcular o prazo médio do seguite cojuto de títulos o descoto comercial. VALOR NOMINAL PRAZO TAXA DE DESCONTO R$ ,00 4 meses 6% a.m. R$ 5.000,00 3 meses 4% a.m. R$ 8.000,00 5 meses 5% a.m. = , , , , , , ,00 600, ,00 = 600,00 200,00 400, ,00 = 4, ,00 Resposta.: O prazo médio é de 4,1667 meses ou 4 meses e 5 dias. Observação: Este prazo médio sigifica que, se os três títulos fossem descotados com um prazo úico de 4 meses e 5 dias, produziriam o mesmo descoto que seria produzido caso estes títulos fossem descotados com os prazos de 4 meses, 3 meses e 5 meses, respectivamete. Comprovação: a) Valor do descoto calculado com base os valores omiais, taxas e prazos especificados para cada título. D D D , , , ,00 D c = R$ 5.000, , ,00 b) Valor do descoto calculado com base os valores omiais e as taxas especificados em cada título e, o prazo médio. D ,06 4, ,00 D ,04 4, ,33 D c = R$ 5.000,00 D ,05 4, ,67 3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01-Uma empresa descota uma ota promissória o valor de R$ 9.000,00, 72 dias ates do vecimeto, em um baco, a uma taxa de descoto comercial de 5% ao mês. Sabedo-se que a taxa de IOF cobrada é de 0,0041% ao dia e que o baco cobra uma taxa admiistrativa de 0,5% sobre o valor omial do título para esse tipo de operação, determiar: a)o valor do descoto; b)o valor líquido recebido pela empresa; c)a taxa efetiva de juros da operação o período. a) D c = Nd 72 D c = ,05 = 1.080,00 30 b) IOF = , = 26,57 Desp. adm. = ,005 = 45,00 Valor Líq. = 9.000, ,57 45,00 = 7.848,

18 S 9.000,00 c) i = 1 i = 1 i = 14,67% em 72 dias. P 7.848,43 02-Diate da alterativa de substituir os três títulos abaixo por um úico, de valor igual à soma dos três. Pedese determiar o prazo de vecimeto do ovo título (prazo médio), de modo que o seu descoto comercial seja igual à soma dos descotos comerciais dos outros três. Cosiderar a taxa de descoto de 2,5% a.m. para essa operação: a) R$ 5.000,00, com vecimeto em 60 dias b) R$ 4.300,00, com vecimeto em 45 dias c) R$ 3.500,00, com vecimeto em 20 dias Observação: Sedo a taxa costate, isto é, a mesma para todos os títulos, podemos igorá-la para efeito de cálculo = 44, Resposta: 44,0234 dias 03-Cosiderado os títulos seguites, determiar: a) a taxa média; b) o prazo médio. VALOR NOMINAL TAXA DE DESCONTO PRAZO R$ ,00 6,0% a.m. 3 meses R$ ,00 6,5% a.m. 4 meses R$ ,00 4,5% a.m. 6 meses R$ ,00 5,4% a.m. 2 meses a) d = , , , , d = = = 0, ou 5,2793% a.m. b) = = , , , , , , , , = = 3,8085 meses ou 24 dias 3008 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Uma duplicata de valor omial igual a R$ 1.800,00 é descotada 3 meses ates do vecimeto, com taxa de descoto de 5% ao mês. Pede-se: a) o descoto comercial do título; Resposta R$ 270,00. b) o valor atual comercial do título; Resposta: R$ 1.530,00. c) a taxa efetiva de juros simples da operação. Resposta: 5,88 % a.m. 02- Uma duplicata é descotada 50 dias ates do vecimeto. Sabedo-se que a taxa de descoto comercial é de 6% ao mês, que o valor omial do título é R$ ,00, que a taxa de IOF é de 1,5% a.a. e que a taxa de serviço cobrada pelo baco é de 0,5%, pede-se: a) o descoto comercial do título; Resposta: R$ 4.000,00. b) o valor líquido recebido pelo tomador; Resposta: R$ ,67 c) a taxa efetiva de juros simples da operação. Resposta: 7,20% a.m. d) a taxa de retabilidade mesal da operação para o baco. Resposta: 7,04% a.m

19 03- O descoto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotado-se uma taxa de descoto de 30% ao ao. Quato tempo faltaria para o vecimeto do título se o seu valor omial fosse de R$ 4.000,00? Resp.: 45 dias. 04- Determie o valor a ser pago hoje por um título de R$ ,00, cujo vecimeto ocorrerá daqui a quatro meses, supodo que a taxa de descoto comercial simples seja de 4,8% ao mês. Resposta:R$ , Uma pessoa precisa de R$ ,00 para saldar um compromisso. Que valor deverá pedir emprestado em um baco que cobra 4,5% ao mês de descoto comercial, mais uma taxa de serviço de 2% sobre o valor omial do título, com prazo de 60 dias? Resposta: R$ , Uma duplicata o valor de R$ 5.000,00 foi descotada em um baco, 45 dias ates do seu vecimeto, à taxa de descoto comercial de 4,5% ao mês. Determiar o valor creditado ao cliete, sabedo-se que a taxa de IOF é de 1,5% ao ao. Resposta:R$ 4.653, (QC-MM) Para pagar uma dívida de R$ 4.027,50, certo comerciate jutou um cheque ao portador de R$ 1.332,50 à importâcia líquida (valor atual) produzida pelo descoto comercial de uma letra de R$ 2.750,00, vecível em três meses. A que taxa aual foi calculado o descoto do referido título? Resposta.: 8% a.a. 08- Uma letra do Tesouro Nacioal está sedo egociada com um prazo de 48 dias, com taxa de descoto comercial de 7% a.m. Calcule o valor da taxa de retabilidade mesal do papel. Resposta: 7,88% a.m. 09- Foram aplicados, a mesma data, os seguites valores, a juros simples: R$ 2.400,00, com taxa de 4,5% ao mês, em quatro meses; R$ 5.000,00, com taxa de 4% ao mês, em seis meses e R$ 3.500,00, com taxa de 5% ao mês, em três meses. Objetivado estabelecer um vecimeto úico para as três aplicações, calcular o prazo médio, ou seja, em quato tempo esses valores colocados com suas respectivas taxas rederão o mesmo total de juros? Resposta: 4 meses e 14 dias, aproximadamete. 10- (TCI-RJ) Um título com 180 dias a decorrer até seu vecimeto está sedo egociado, o regime de juros simples, com uma taxa de descoto comercial de 15% ao ao. Determie o valor da aplicação, que proporcioa um resgate de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 1.850,

20 JUROS COMPOSTOS 1-CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS E EXEMPLOS 1.1-Coceito Diz-se que um capital está aplicado a juros compostos ou o regime de capitalização composta, quado, o fim de cada período fiaceiro, previamete estabelecido, os juros são adicioados ao capital aterior e passam a reder juros o período seguite. 1.2-Expressão para o cálculo do motate O valor dos juros em cada período fiaceiro, o regime de juros compostos, é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o saldo existete o iício do período correspodete. Assim, cosiderado-se o pricipal P aplicado a juros compostos à taxa i durate períodos, segue-se que: o valor dos juros o fim do primeiro período é dado por: j 1 = Pi O valor do motate S o fim desse período será: S 1 = P + Pi S 1 = P 1 + No fial do segudo período os juros acumulados serão represetados por: j 2 = S 1.i, isto é: j 2 = P1 + ii O motate o fial do segudo período será, portato, represetado por: S 2 = S 1 + j 2, isto é: S 2 = P1 + i + P1 + ii S 2 = 1 + i 2. Por idução, podemos cocluir que a expressão geérica para o cálculo do motate S, à taxa i de juros compostos, o fim do período será represetada por: S = P 1 + i A expressão acima mostra que, o regime de capitalização composta, o motate cresce de forma expoecial ao logo do tempo. Para simplificar a avaliação umérica, o termo 1 + i será deomiado FATOR DE CAPITALIZAÇÃO e será represetado por FPS ( i,. Assim, podemos escrever: FPS ( i, = 1 + i E, como coseqüêcia imediata temos : S = P FPS ( i, ) Observação: Os valores do fator de capitalização FPS ( i, ) estão cotidos as tabelas fiaceiras Expressão para o cálculo do valor atual A expressão S = P(1 + i ) os permite escrever: S P = 1 i ou P = S 1 + i - A expressão acima permite determiar o pricipal P, que aplicado à taxa i de juros compostos, durate períodos, produz o motate S. O termo 1 + i - é deomiado FATOR DE VALOR ATUAL e, será represetado por FSP ( i,, isto é, FSP ( i, = 1 + i - E, como coseqüêcia imediata temos : P = S FSP ( i, Observação: Os valores do fator de valor atual FSP ( i, ) estão cotidos as tabelas fiaceiras

21 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01- Um ivestidor aplicou R$ ,00 por 8 meses, à taxa de 6% ao mês, o regime de juros compostos. Calcular o motate ao fim desse prazo. P = R$ ,00 i = 6% a.m. = 8 meses S =? Utilizado a fórmula S = P(1+ S = ( 1 + 0,06) 8 S = R$ ,40 Utilizado a tabela fiaceira: S = P FPS ( i, ) S = FPS (6%, 8 ) S = , S = R$ , Quato se deve ivestir hoje, para produzir R$ ,00 de motate, em 2 aos, o regime de capitalização composta, à taxa de 5,5% ao mês? S = R$ ,0 i = 5,5% a.m. = 2 aos = 24 meses P =? Utilizado a fórmula P = S ( 1 + i ) - P = ( 1 + 0,055) 24 P = R$ ,84 Utilizado a tabela fiaceira: P = S FSP ( i, P = FSP ( 5,5%, 24 ) P = , P = R$ , Você recebe uma proposta para ivestir hoje a importâcia de R$ ,00 para receber R$ ,42 ao fim de 5 meses. Qual a taxa de retabilidade mesal desse ivestimeto? P = R$ ,00 S = R$ ,42 = 5 meses i =? S = P( 1 + i ) ,42 = i i 5 = 1 + i 5 = 1, i = 5 1, i = 0,08 ou i = 8% a.m. 04- Determiar o prazo de uma aplicação de R$ ,00, o regime de capitalização composta, à taxa de 7% ao mês, cujo resgate foi de R$ ,80. P = R$ ,00 S = R$ ,80 i = 7% a.m. =?

22 Utilizado a fórmula S = P 1 + i ) ,80 = ,07 1,07 = , (1,07) = 1, log (1,07) 0, = log 1, log 1,07 = log 1, = = 4 meses 0, Utilizado a tabela fiaceira: S = P FPS ( i, ) 0, ,80 = FPS (7%, FPS (7%, ) = = 1, , Durate quato tempo ficou aplicado o capital de R$ ,00, à taxa de 2% a.m., o regime de juros compostos, se ao fim desse prazo o motate resgatado foi de R$ ,24? P = R$10.000,00 S = R$10.247,24 i = 2% a.m. =? S = P(1 + (1 + = P S log (1 + = log P S log (1 + = log P S ou = S log P log ,24 log Logo, = log 0,02) = log1, log1,02 0, = = 1, meses = 37 dias 0, Aplicações Com Períodos Fracioários No regime de capitalização composta, quado o período é fracioário podem ser usadas duas coveções: Coveção Expoecial Neste caso, remuera-se a aplicação, com juros compostos, durate todo o período (iteiro + fração). O motate cresce segudo uma curva expoecial. Exemplo: O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 60% ao ao, capitalizada trimestralmete, pelo prazo de 8 meses. Determie o motate. P = R$ ,00 i = 60% a.a., capitalizados trimestralmete = 15% a.t. = 8 meses = 3 8 trimestres = 2, trimestres S =? S = P ( 1 + i ) S = ( 1 + 0,15 ) 2, S = , S = R$ ,

23 Coveção liear Neste caso, a parte iteira do período é remuerada a juros compostos. O motate assim obtido é, etão, remuerado a juros simples, o período correspodete à parte fracioária. Exemplo: O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 60% ao ao, capitalizada trimestralmete, durate 8 meses. Determie o motate. P = R$ ,00 i = 60% a.a., capitalizados trimestralmete = 15% a.t. = 8 meses = 3 8 trimestres = 2, trimestres S =? S = P ( 1 + i ) (1 + i q p ) S = (1 + 0,15 ) 2 (1 + 0,15 0, ) S = R$ ,00 Observação: O motate obtido através da coveção liear é sempre um pouquiho maior que o motate obtido pela coveção expoecial 1.5- Taxas Equivaletes: Duas ou mais taxas são ditas equivaletes quado, ao serem aplicadas a um mesmo pricipal durate um mesmo prazo, produzem um mesmo motate acumulado o fial desse prazo, o regime de juros compostos. O coceito de taxas equivaletes está, portato, diretamete ligado ao regime de juros compostos. Exemplo: Sejam as taxas de juros compostos de 69,58814 % ao ao e 4,5 % ao mês. Cosiderado-se uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de dois aos, o regime de juros compostos, temos: a) S = , = ,07 b) S = , = ,07 Logo, o regime de capitalização composta, 69,58814 % a.a. e 4,5 % a.m. são taxas equivaletes Relações etre as taxas equivaletes Por defiição de taxas equivaletes, temos: S = P1 + i a 1 = P1 + i s 2 = P1 + i t 4 = P1 + i m 12 = P1 + i d 360 Ode, simplificado as igualdades,teremos: Aplicações: 1 + i a 1 = 1 + i s 2 = 1 + i t 4 = 1 + i m 12 = 1 + i d o ) Determie a taxa aual equivalete a 8% ao mês, o regime de juros compostos. Solução 1 + i a 1 = 1 + i m i a 1 = 1 + 0,08 12 i a = 151,817% a.a. Observação: Para facilitar os cálculos, devemos utilizar a taxa correspodete ao maior prazo, o primeiro membro da igualdade. 2 o ) Determie a taxa mesal equivalete a 48% a.a., o regime de juros compostos

24 1 + i a 1 = 1 + i m 12 (1 + i m 12 = 1 + 0, i m = 12 1, i m = 1, i = 3,3210% a.m. 3 o ) Dada a taxa de 8% em 45 dias, calcule a taxa equivalete para 72 dias, o regime de juros compostos. i 45 = 8% i 72 =? 1 = 45 dias 2 = 72 dias (1 + i 72 ) 1 = (1 + i 45 ) 72/45 (1 + i 72 ) 1 = (1+ 0,08) 72/ i 72 = 1, i 72 = 0, ou i 72 = 13,1040% 1.6- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA COM TAXAS DE JUROS VARIÁVEIS Seja calcular o motate de uma aplicação de R$ 8.000,00 à taxa 8% ao mês, pelo prazo de um ao, o regime de juros compostos. S = 8.000(1 + 0,08) 12 = ,36 No problema acima, supomos uma taxa costate de 8% ao mês ao logo dos 12 meses do ao. Cotudo, é fácil determiar o motate quado a taxa de juros varia em cada período. Seja calcular o motate de um capital P, aplicado a juros compostos, com as seguites taxas por período de capitalização: i 1 o 1 o período i 2 o 2 o período i 3 o 3 o período e, assim, sucessivamete, até o período. S 1 = P(1 + i 1 ) S 2 = S 1 (1 + i 2 ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 ) S 3 = S 2 (1 + i 3 ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) S = S -1 (1 + i ) = P(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i -1 )(1 + i ) Assim, ao fial de períodos de capitalização, teremos: S = P (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i 3 ) (1 + i -1 )(1 + i ) 1.7- Cálculo da Taxa Acumulada e da Taxa Média A taxa acumulada o período é dada pela expressão: i = S - 1, isto é: P i = [(1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i 3 ) (1 + i ) 1] 100 A taxa média é calculada com a relação de equivalêcia, isto é: i m = [(1 + i t ) 1/ 1 ]

25 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01- Seja, por exemplo, calcular o motate resultate da aplicação do capital de R$ ,00 que esteve aplicado durate 3 meses, o regime de juros compostos, às taxas de 3,45%, 2,28% e 4,32%, respectivamete. S = (1 + 0,0345) (1 + 0,0228) (1 + 0,0432) S = ,0345 1,0228 1,0432 S = R$ , Em quatro meses sucessivos um fudo de ivestimetos redeu 1,6%, 1,8%, 1,5% e 2%, respectivamete. Qual a taxa de retabilidade acumulada o período? Qual a taxa média mesal de redimeto do fudo? a) i AC = (1 + 0,016)(1 + 0,018)(1+ 0,015)(1 + 0,02) 1 i AC = 0, ou i AC = 7,0798% b) i m = [(1 + 0,070798) 1/4 1] 100 i m = 1,7248% a.m. 03- O capital de R$ 5.000,00 esteve aplicado durate dois meses e quize dias a juros compostos de 2% a.m. Calcular o motate: b. utilizado a coveção expoecial; c. utilizado a coveção liear P = R$ 5.000,00 I = 2% a.m. = 2 meses e 15 dias = 75 dias a) S = 5.000(1 + 0,02) 75/30 S = ,02 2,5 S = , S = R$ 5.253,76 b) S = 5.000(1 + 0,02) 2 (1 + 0,02 0,5) S = , ,01 S = R$ 5.254, Em jaeiro, fevereiro, março e abril de certo ao, o preço de um produto teve respectivamete os seguites aumetos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. a) Qual a taxa acumulada o quadrimestre? b) Qual a taxa média mesal de aumeto do produto? a) i = [(1 + 0,02)(1 + 0,05)(1 + 0,036)(1 + 0,07) 1] 100 i = 18,7225% o quadrimestre b) i m = [(1 + 0,187225) 1/4 1] 100 i m = 4,3838% a.m. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Determiar o motate que um ivestimeto de R$ ,00 produzirá em dois semestres, à taxa de 15% ao trimestre, o regime de capitalização composta. Resposta : R$ , Você vai adquirir dois títulos, o primeiro tem valor de resgate de R$ ,00 e prazo de resgate 6 meses; o segudo tem valor de resgate de R$ ,00 e prazo de resgate de 9 meses. Qual o valor da aplicação, se a istituição fiaceira está oferecedo uma taxa de 6% ao mês, o regime de juros compostos? Resposta: R$ , Quatos períodos serão ecessários para triplicar um capital, a juros compostos, à taxa de 10% ao período? Resposta: 11,

26 04- Qual a taxa mesal de juros compostos que trasforma um capital de R$ ,00 em R$ ,21 em dois aos? Resposta: 8,5% a.m. 05- O capital de R$ ,00 colocado a juros compostos, capitalizados mesalmete durate 8 meses, elevou-se, o fial desse prazo, a R$ ,83. Calcular a taxa de juros aplicada. Resposta: 5,8% a.m. 06- Determiar o prazo ecessário para que uma aplicação o valor de R$ ,00 se trasforme em R$ ,83, à taxa de 12% ao mês, o regime de juros compostos. Resposta: 5 meses. 07- Ricardo fez uma aplicação de R$ ,00 por 15 meses à taxa de 45% a.a., o regime de juros compostos. Determie o motate recebido, utilizado as coveções liear e expoecial. Resposta: R$ ,88 pela coveção liear; R$ ,19 pela coveção expoecial. 08- O redimeto das caderetas de poupaça atigiu o período de abril a agosto de 1989 os seguites percetuais: Abril 11,52%; Maio 10,48%; Juho 29,40%; Julho 25,45%; Agosto 29,99%. a) Determie o percetual de redimeto acumulado esse período as caderetas de poupaça. Resposta: 159,9868%. b) Determie a taxa média mesal de redimeto das caderetas de popaça esse período. Resposta: 21,06% a.m. 09- Em quatro meses sucessivos um fudo de reda fixa redeu 1,2%, 1,4%, 1,5% e 1,6%. Qual a taxa de retabilidade acumulada deste fudo o período? Resposta.: 5,8225%

27 2- ESTUDO DAS TAXAS 2.1- Taxa Efetiva Taxa efetiva é aquela em que a uidade de referêcia coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: a) 4 % ao mês capitalizados mesalmete; b) 10 % ao trimestre capitalizados trimestralmete. Em geral, omite-se o período de capitalização. Em vez de 15% a.a., capitalizados aualmete, diz-se, apeas, 15 % ao ao Taxa Nomial Taxa omial é aquela em que a uidade de tempo de referêcia ão coicide com a uidade de tempo do período de capitalização. A taxa omial, apesar de bastate utilizada, ão represeta uma taxa efetiva. O que se deve buscar é a taxa efetiva cotida a taxa omial. Eemplos: 1 o ) 60% a.a., capitalizados mesalmete, represeta uma taxa efetiva de 5% a.m. 2 o ) 50% a.a.,capitalizados semestralmete, represeta uma taxa efetiva de 25% a.s. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01- Determiar a taxa efetiva aual equivalete à taxa omial de 192% a.a., capitalizada mesalmete? Taxa efetiva mesal = 192% 12 = 16% a.m. (1 + i a ) 1 = (1 + 0,16 ) i a = 5, i a = 4, i a = 493,6027% a.a. 02- Determiar a taxa aual com capitalizações mesais que é equivalete à taxa efetiva de 493,6027% a.a. Primeiramete, deve-se calcular a taxa efetiva do período de capitalização, isto é, a taxa mesal. (1 + 4,936027) = (1 + i m ) i m = 12 5, i m = 1,16 i m = 0,16 ou 16% a.m. A seguir, multiplica-se a taxa do período de capitalização pelo úmero de períodos, isto é: I a = 16% 12 = 192% Resposta: A taxa omial é 192% ao ao com capitalizações mesais. 03- Qual o motate que você terá detro de 2 aos se aplicar R$ ,00 à taxa de 72% a.a., capitalizada trimestralmete? P = R$ ,00 72% i = = 18% a.t. 4 = 2 aos = 8 trimestres S =? S = P(1+ S = ( 1 + 0,18 ) 8 S = R$ ,

28 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01- Obter a taxa de juros aual equivalete à taxa mesal de 5%, o regime de juros compostos, com aproximação de duas casas decimais. Resposta: 79,59% a.a. 02- Qual a taxa efetiva aual, com aproximação de duas casas decimais, de um fiaciameto à taxa omial de 36% ao ao com capitalização mesal? Resposta: 42,58% a.a. 03- Qual a taxa de juros aual equivalete à taxa de juros omial de 8% ao ao com capitalização semestral? Resposta: 8,16% a.a. 04- Qual a taxa de juros trimestral equivalete à taxa de juros omial de 40% ao bimestre, com capitalização mesal? Resposta: 72,80% ao trimestre. 05- (ATE-MS) Um capital é aplicado à taxa de juros omial de 24% ao ao com capitalização mesal. Qual a taxa de juros aual efetiva da aplicação desse capital, com aproximação de duas casas decimais? Resposta: 26,82% ao ao. 06- (SUSEP) Um capital é aplicado à taxa de juros omiais de 24% ao ao com capitalização mesal, durate dezoito meses. Calcule o juro obtido ao fial do prazo como porcetagem do capital iicial. Resposta: 42,82%. 07- Qual a taxa omial ao ao, capitalizada trimestralmete, que equivale à taxa efetiva de 21,55% ao ao? Resposta: 20% a.a. 08- Qual a taxa omial ao ao, capitalizada bimestralmete, que é equivalete à taxa omial de 31,5% ao semestre, capitalizada quadrimestralmete? Resposta: 60%. 09- Um baco cocede empréstimos pessoais, cobrado juros compostos à taxa de 54% ao semestre, com capitalização trimestral. Qual o motate a ser pago por um empréstimo de R$ ,00 pelo prazo de 6 meses? Resposta: R$ , Um capital aplicado a juros compostos, à taxa omial de 36% ao ao, com capitalização mesal, atigiu um motate de R$ ,00, ao fim de um trimestre. Determiar o valor desse capital.resposta: R$ 9.975, (AG.FISCAL P.ALEGRE) O motate de R$ ,00 foi obtido através do resgate de um capital iicial de R$ ,00, aplicado a uma taxa omial de 12% ao ao, capitalizada trimestralmete. Qual o período da aplicação? Resposta: 4 aos e 6 meses. 12- (ACE) O capital de R$ ,00, aplicado a juros compostos com capitalização trimestral, produziu o motate de R$ ,31 ao fim de um ao. Calcular a taxa de juros omial aual, com aproximação de uma casa decimal. Resposta: 20,0%. 13- Determie o motate da aplicação de R$ ,00, o fim de um ao, com juros compostos de 48% a.a., capitalizados semestralmete. Resposta: R$ , Qual o valor dos juros pagos, o caso do empréstimo de R$ ,00 à taxa de 21% ao semestre, capitalizada bimestralmete, pelo prazo de 10 meses, o regime de juros compostos? Resposta: R$ , Certo capital foi colocado a juros compostos à taxa de 32% a.a., capitalizada trimestralmete, durate 3 aos. Sabedo que redeu a importâcia de R$ 4.617,00 de juros, calcule o motate. Resposta: R$ 7.658, (TCI) Uma pessoa aplicou um capital de R$ ,00 durate quatro aos à taxa omial de 14% ao ao, capitalizada semestralmete. Ao térmio desse período, somete os juros gahos foram reaplicados por 15 meses à taxa omial de 12% ao ao, capitalizada mesalmete. Qual foi o redimeto dessa última aplicação? Resposta: R$ 2.312, Uma pessoa deposita R$ ,00 em um baco por 3 aos, a 22% a.a. Calcular o motate sabedo que o primeiro ao os juros são capitalizados semestralmete, o segudo ao trimestralmete e, o terceiro ao, bimestralmete. Resposta: R$ , Uma pessoa aplica hoje R$ ,00 e R$ ,00 cico meses mais tarde. Qual será o motate total, um ao após a primeira aplicação? Cosidere taxa de juros de 5% ao mês, o regime de juros compostos. Resposta: R$ , (ESAF) Uma pessoa aplicou 60% de seu capital a Fiaceira X, a 16%a.a., com capitalização trimestral. O restate aplicou a Fiaceira Y, a 18% a.a., com capitalização semestral. Depois de três aos recebeu R$ ,58 de juros compostos da Fiaceira Y. Nessas codições, o valor dos juros que recebeu a Fiaceira X foi de (desprezar os cetavos o resultado fial). a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,

29 20- (CONTADOR-RJ) Um capital foi iicialmete aplicado por dois aos à taxa omial de 24% ao ao com capitalização trimestral. Termiado esse prazo, o redimeto da aplicação foi aplicado por três aos à taxa omial de 12% ao ao com capitalização semestral. Se o redimeto dessa seguda aplicação foi de R$ 2.485,38, qual o capital iicial aplicado? (despreze os cetavos). a) R$ 9.000,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 d) R$ , Um ivestidor aplicou 20% de seu capital à taxa de juros compostos de 36% a.a., capitalizada trimestralmete e o restate a 45% a.a., capitalizada semestralmete. Ao fial de um ao retirou o motate de R$ ,64. Calcule o capital aplicado. Resposta: R$ , Qual o motate de uma aplicação de R$ ,00 à taxa de 84% a.a., capitalizada trimestralmete, o fim de um ao e cico meses, o regime de capitalização composta? Calcule pela coveção liear e expoecial. Resposta: R$ ,66 pela coveção liear; R$ ,16 pela coveção expoecial. 23- (AFTN) Uma pessoa aplicou R$ ,00 a juros compostos de 15% a.a. pelo prazo de três aos e oito meses. Admitido-se a coveção liear, o motate da aplicação ao fial do prazo era de: (despreze os cetavos). a) R$ ,00 b) ,00 c) ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 24-FTE-PA) Um capital é aplicado a juros compostos durate dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o motate em relação ao capital iicial, cosiderado a coveção liear para o cálculo do motate. a) 150% b) 157,74% c) 158,4% d) 160% e) 162% 25- Em um empréstimo a juros compostos de R$ ,00, a taxa foi de 2% a.m. e prazo de 90 dias. No etato, havia uma cláusula cotratual estabelecedo a coveção liear para o fato de o pagameto ser feito com atraso. Se o pagameto foi feito com um atraso de 17 dias, qual o valor do motate? Resposta: R$ ,

30 3- Iflação, Deflação e Atualização Moetária 3.1-Itrodução A iflação e a deflação são duas codições ecoômicas que afetam o valor do diheiro de uma ação. Um período iflacioário é uma época de preços em elevação, equato que um período de deflação é uma época de preços em declíio. A iflação pode ser etedida como uma elevação geeralizada e permaete dos íveis de preços do sistema ecoômico, resultado em deterioração do poder aquisitivo da moeda e depreciação dos valores dos ativos. A complexidade do cálculo da iflação decorre da ecessidade de aferir a variação de preços de produtos distitos fisicamete, e de serviços, que variam a taxas difereciadas. Para o cumprimeto dessa tarefa, existem diversos ídices de preços que procuram medir a iflação em toda a cadeia de produção e de comercialização, ou em partes relevates da mesma. Daí a existêcia de ídices gerais, o atacado (idústria e agricultura), o varejo ( cosumidores) e a costrução (isumos e materiais de costrução). O cálculo da iflação é efetuado por meio de uma média da variação dos preços pesquisados para os diferetes produtos, poderada pelas quatidades produzidas, cosumidas ou comercializadas dos bes, a partir de parâmetros primários obtidos das pesquisas de orçametos familiares e até de matrizes de relações iter-setoriais. Os ídices de preços mais importates do país são aqueles produzidos pela Fudação Getúlio Vargas (FGV), pelo IBGE e pela Fudação Istituto de Pesquisas Ecoômicas da Uiversidade de São Paulo (FIPE- USP) Ídices de Preços Ídices de preços são úmeros que agregam e represetam os preços de uma determiada cesta de produtos. Sua variação mede, portato, a variação média dos preços dos produtos da cesta. Podem se referir a, por exemplo, preços ao cosumidor, preços ao produtor, custos de produção ou preços de exportação e importação. A cocepção dos ídices varia de coformidade com a abragêcia geográfica da pesquisa, com o uiverso dos cosumidores (classe de reda), com o período a que se refere, além de outros fatores específicos para cada ídice Por que existem tatos ídices de preços o Brasil? O logo período de covivêcia com iflação o Brasil fez com que se criassem diversos ídices agregados de preços para medi-la, bem como mecaismos de atualização moetária, que fucioavam como repositores do poder aquisitivo da moeda, perdido o período aterior. Os ídices de preços foram costruídos ao logo do tempo com diferetes fialidades. O IPC-Fipe, por exemplo, foi criado pela Prefeitura do Muicípio de São Paulo com o objetivo de reajustar os salários dos servidores muicipais. O IGP-M foi criado para ser usado o reajuste de operações fiaceiras, especialmete as de logo prazo, e o IGP-DI para balizar o comportameto dos preços em geral da ecoomia. O INPC é o ídice balizador dos reajustes de salários, equato o IPCA corrige os balaços e demostrações fiaceiras trimestrais e semestrais das compahias abertas, além de ser o medidor oficial da iflação o país. Apesar dessa variedade, os ídices calculados o país se classificam em três grupos pricipais: os ídices de preços ao cosumidor de cobertura acioal apurados pelo Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)( os ídices gerais de preços apurados pelo Istituto Brasileiro de Ecoomia da Fudação Getúlio Vargas (FGV)( e os ídices de preços ao cosumidor de São Paulo, apurado pela Fudação Istituto de Pesquisas Ecoômicas ( 3.4-Pricipais Ídices Agregados de Preços o Brasil IGP: Ídice Geral de Preços, calculado pela Fudação Getúlio Vargas. É uma média poderada do ídice de preços o atacado (IPA), com peso 6; de preços ao cosumidor (IPC) o Rio e SP, com peso 3; e do custo da costrução civil (INCC), com peso 1. Usado em cotratos de prazo mais logo, como aluguel

31 IGP-DI: O Ídice Geral de Preços - Dispoibilidade Itera, da FGV, reflete as variações de preços de todo o mês de referêcia. Ou seja, do dia 1 ao 30 de cada mês. Ele é formado pelo IPA (Ídice de Preços por Atacado), IPC (Ídice de Preços ao Cosumidor) e INCC (Ídice Nacioal do Custo da Costrução), com pesos de 60%, 30% e 10%, respectivamete. O idicador apura as variações de preços de matérias-primas agrícolas e idustriais o atacado e de bes e serviços fiais o cosumo. IGP-M: Ídice Geral de Preços do Mercado, também da FGV. Metodologia igual à do IGP-DI, mas pesquisado etre os dias 21 de um mês e 20 do seguite. O IGP tradicioal abrage o mês fechado. O IGP-M é elaborado para cotratos do mercado fiaceiro IGP-10: Ídice Geral de Preços 10, também da FGV e elaborado com a mesma metodologia do IGP e do IGP-M. A úica difereça é o período de coleta de preços: etre o dia 11 de um mês e o dia 10 do mês seguite IPC-RJ: Cosidera a variação dos preços a cidade do Rio de Jaeiro. É calculado mesalmete pela FGV (Fudação Getúlio Vargas) e toma por base os gastos de famílias com reda de um a 33 salários míimos IPCA. IPC-Fipe: Ídice de Preços ao Cosumidor da Fudação Istituto de Pesquisas Ecoômicas, da USP, pesquisado o muicípio de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias com reda de 1 a 20 salários míimos. Divulga também taxas quadrissemaais. ICV-Dieese: Ídice do Custo de Vida do Departameto Itersidical de Estatística e Estudos Socioecoômicos, também medido a cidade de São Paulo. Reflete o custo de vida de famílias com reda média de R$ (há também ídices para a baixa reda e a itermediária) INPC: Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor, média do custo de vida as 11 pricipais regiões metropolitaas do país para famílias com reda de 1 até 8 salários míimos, medido pelo IBGE (Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística) IPCA: Ídice de Preços ao Cosumidor Amplo, também do IBGE, calculado desde 1980, semelhate ao INPC, porém refletido o custo de vida para famílias com reda mesal de 1 a 40 salários míimos. A pesquisa é feita as mesmas 11 regiões metropolitaas. Foi escolhido como alvo das metas de iflação ("iflatio targetig") o Brasil INCC: Ídice Nacioal do Custo da Costrução, um dos compoetes das três versões do IGP, o de meor peso. Reflete o ritmo dos preços de materiais de costrução e da mão-de-obra o setor. Utilizado em fiaciameto direto de costrutoras/icorporadoras 3.5-Variação dos Ídices A variação ou correção de um determiado período é dada pela variação percetual etre o ídice o fial do período idicado e o ídice o fial do período aterior, ou seja: ídice período idicado C ídice período aterior 1 Quado temos os ídices de correção de vários períodos, procedemos da forma seguite: C a = (1 + c 1 ) (1 + c 2 ) (1 + c 3 )... (1 + c ) 1 A taxa média de iflação ou de atualização moetária é dada por: C m = [(1 + i a ) 1/ -1]

32 Exemplo: Cosiderado os dados de iflação da tabela abaixo, calcule a correção do semestre e a taxa média mesal de iflação. PERÍODO MENSAL ÍNDICE Dezembro 100,00 Jaeiro 15,50% 115,50 Fevereiro 17,00% 135,14 Março 12,00% 151,35 Abril 15,00% 174,05 Maio 20,00% 208,86 Juho 22,55% 255,96 Fazedo-se o cálculo pela comparação dos ídices acumulados teremos: 255,96 C = 1 100,00 C = 1,5596 ou C = 155,96% o semestre C m = [(1 + 1,5596) 1/6 1] 100 C m = 16,96% a.m. Nota: É importate otar que a variação porcetual do ídice de um mês em relação ao do mês aterior é igual à taxa de iflação do mês. Assim, por exemplo, a iflação do mês de fevereiro, a tabela aterior, poderia ser calculada por: 135,14 C = [ 1 ] 100 C = 0, = 17,00% 115,50 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01- Cosidere que o mês base o preço médio de uma cesta básica seja R$ 200,00, e os meses subseqüetes seja R$ 210,00, R$ 220,00 e R$ 240,00. Obteha as taxas de iflação de cada mês, em relação ao mês aterior, e os respectivos ídices. Respostas: 5%, 4,76% e 9,09% e 1,05, 1,10 e 1, Qual a taxa média mesal de iflação que deverá vigorar em cada um dos próximos 12 meses, de modo que a taxa acumulada o período seja 18%? Resposta: 1,39% 03- A tabela abaixo cotém os valores mesais do IGP-M de dezembro de 1998 a dezembro de 1999, sedo o mês base agosto de Mês IGP-M Dezembro/ ,291 Jaeiro/ ,533 Fevereiro/ ,933 Março/ ,325 Abril/ ,459 Maio/ ,996 Juho/ ,573 Julho/ ,060 Agosto/ ,603 Setembro/ ,997 Outubro/ ,861 Novembro/ ,939 Dezembro/ ,099 Com base os dados da tabela, calcule:

33 a) a taxa de iflação de outubro de 1999; Resposta: 1,70% b) a taxa de iflação de dezembro de 1999; Resposta: 1,81% c) a taxa de iflação acumulada o primeiro semestre de 1999; Resposta: 8,28% d) a taxa de iflação acumulada em Resposta: 20,10% 4- TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL 4-1- Itrodução Quado ocorre o aumeto persistete dos preços de bes e serviços, a moeda perde o seu poder aquisitivo ao logo do tempo gerado um feômeo cohecido como iflação. A iflação ocorre devido a vários fatores, como por exemplo, a escassez de produtos, o déficit orçametário do govero com emissão descotrolado de diheiro, o desequilíbrio da balaça de pagametos, etc. Em época de iflação elevada é fudametal a aálise dos efeitos das taxas de iflação os resultados das aplicações fiaceiras, pois a perda rápida do poder aquisitivo da moeda pode fazer com que estas aplicações produzam resultados meramete ilusórios. Etede-se por taxa aparete aquela que vigora as operações corretes. A taxa aparete, portato, é a taxa total paga ou recebida uma operação fiaceira. Em períodos iflacioários, devemos distiguir, a taxa aparete, uma parte relativa à correção e outra relativa aos juros reais pagos ou recebidos. A taxa real é calculada depois de expurgados os efeitos iflacioários Fórmula da taxa real de juros Seja: i = taxa aparete c = taxa de iflação r = taxa real de juros Coforme já vimos ateriormete, se um capital P é aplicado durate um certo período de tempo à taxa i por período, o motate, ao fim desse prazo é dado por: S = P(1 +. Se, o mesmo período, tivermos uma taxa c de iflação, o capital P, corrigido moetariamete pela iflação, será: S = P + cp = P(1 + c) Chamamos de gaho real a difereça (S S ), que poderá ser positiva, ula ou egativa (que este caso se deomia perda real). O motate com correção e juros será dado por: Simplificado esta última expressão, teremos: Dode se coclui que: S = S (1 + r) ou P(1 + = P(1 + c) (1 + r) (1 + = (1 + c) (1 + r) i = (1 + c) (1 + r) i c = 1 1 r 1i r = 1 1 c Exemplos: 1 o ) Um capital foi aplicado, por um ao, à taxa de juros compostos de 18% a.a.. No mesmo período a taxa de iflação foi de 12,5%. Qual a taxa real de juros? i = 18% a.a. c = 12,5% a.a. 1 0,18 Logo, r = - 1 r = 0,0489 = 4,89% a.a. 1 0,125 2 o ) Um capital foi aplicado, por um ao, à taxa de juros compostos de 15% a.a. Neste mesmo período, a taxa de iflação foi de 18%. Qual a taxa real da aplicação?

34 i = 15% a.a. c = 18% a.a. 1,15 Logo: r = - 1 r = - 0,0254 = - 2,54% a.a. 1,18 Portato, a aplicação teve uma perda real de 2,54% a.a. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- (F.R.-MS) A taxa de iflação acumulada em 1999 medida pelo IGP-M foi de 20,10%. Um ivestidor afirma ter auferido, em uma aplicação fiaceira, um redimeto real de 12% ao logo de 1999, usado o IGP-M como ídice de iflação. Sua taxa efetiva de juros auferida em 1999 foi de aproximadamete: a) 34,5% b) 33,8% c) 33,1% d) 32,1% 02- (METRÔ-RJ) Um capital foi aplicado por dois meses à taxa composta efetiva de 50% a.m. Nestes dois meses a iflação foi de 40% o primeiro e de 50% o segudo. Pode-se cocluir que a taxa real de juros este bimestre foi de, aproximadamete: a) 7,1% b) 8,1% c) 9,1% d) 10,1% 03- (ICMS-SP) Cosiderado-se uma taxa de iflação mesal de 0,8%, para que a taxa real o mês seja de 1%, o valor assumido pela taxa efetiva, a capitalização composta, é: a) 1,81% b) 1,20% c)1,46% d) 0,20% e) 2,80% 04- Um ivestidor aplicou R$ 8.000,00 uma letra de câmbio resgatado-a, um mês mais tarde, por R$ 8.160,00. Sabedo-se que este mesmo período a taxa de iflação foi de 1,3%, determiar a taxa real de juros da aplicação. Resposta: 0,69% a. m. 05- Uma empresa levata um empréstimo para capital de giro pelo prazo de 3 meses à taxa de 7% a.t.. Qual deverá ser a taxa de iflação o período para que a taxa real de juros seja de 2,6% a.t? Resposta: 4,29% a. t. 06- Uma fiaceira deseja auferir 1,5% a.m. de taxa real de juros para empréstimos por 6 meses. Qual deverá ser a taxa de juros a ser cobrada, se a iflação estimada o período é de 8%? Resposta: 18,09% a. s. 07- Durate dois semestres cosecutivos as taxas de iflação foram de 9% e 12%. Se um ivestidor aplicou seu diheiro o mesmo período a uma taxa de juros de 19% ao ao, qual sua taxa real de perda? Resposta: 2,52% a.a. 08- (ICMS-SP) A iflação acumulada os dois últimos aos foi de 18%. Etão, a queda em poder de compra (perda real) de um trabalhador que teve apeas 6% de reajuste salarial durate esse tempo foi de, aproximadamete: a) 12% b) 11% c) 10% d) 9% e) 8% 09- (QC-MM) A que taxa de juros real um beeficiário coseguiria um empréstimo, sabedo-se que a iflação semestral é de 6% e que uma istituição fiaceira empresta diheiro à taxa de juros de 14,61% ao ao? a) 2,65% b 2,33% c) 2,16% d) 2,00% e) 1,85% 10- Uma pessoa aplicou R$ ,00 um CDB prefixado de 60 dias e recebeu como motate R$ ,00. No primeiro mês, a taxa de iflação foi de 0,8% e o segudo, de 0,9%. a)qual a taxa de juros auferida o período? b)qual a taxa de iflação acumulada o período? c)qual a taxa real de juros o período? d)qual o gaho real expresso em valores moetários? Respostas: a) 3,20% b) 1,71% c) 1,46% d) R$ 746,

35 SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES 1- INTRODUÇÃO: 1.1- Coceito de Série Defie-se auidade, reda certa ou série a uma sucessão de pagametos ou recebimetos exigíveis em épocas pré-determiadas, destiada a extiguir uma dívida ou costituir um capital Simbologia a ser adotada: P = Valor presete, capital o dia de hoje (pricipal). S = Valor futuro, capital o fim do período (motate). i = Taxa de juros por período de capitalização. = Número de períodos de capitalização (úmero de pagametos) R = Cada um dos termos da série de pagameto ou recebimeto. 2- Série uiforme com pagametos postecipados Nas séries uiformes com termos postecipados, os pagametos ou recebimetos são efetuados o fim de cada itervalo de tempo a que se refere a taxa de juros cosiderada. Diagrama da operação 2.1- Fator de Acumulação de Capital: Problema: Determiar o motate S a partir da Série de pagametos R S = R( R( R( R( R Colocado-se R em evidêcia e ivertedo-se a ordem das parcelas, resulta: S = R 1 + ( ( ( ( O fator etre colchetes correspode à soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de razão (1 +, logo, S = R [ 1] 1 1 S R i 1 O fator, deomiado FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL e, represetado por FRS ( i, ), i permite determiar o motate S sedo dado o valor de R, isto é: S = R FRS ( i, )

36 Exemplo: Determie o motate que será obtido o fim de dois aos, com 24 depósitos mesais iguais de R$ 5.000,00, à taxa de 6% ao mês, o regime de juros compostos. Solução R = R$ 5.000,00 i = 6% a.m. = 24 depósitos S =? Utilizado a fórmula S = R 1 i S = ,06) ,06 S = R$ ,89 Utilizado da tabela fiaceira: S = R FRS (i, ) S = FRS ( 6%, 24) S = , S = R$ , Fator de Formação de Capital Problema: Determiar o valor do pagameto R capaz de formar o motate S o fim do período. 1 Partido-se da fórmula S = R i e explicitado o valor de R, resulta: i R S 1 O fator i (1, deomiado FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL e, 1 represetado por FSR ( i, ), permite calcular o valor de R sedo cohecido o valor de S, isto é: R = S FSR ( i, ) Exemplo: Quato uma pessoa terá que aplicar mesalmete um Fudo de Reda Fixa, durate um ao, para que possa resgatar R$ ,00 ao fim deste prazo, sabedo que o Fudo proporcioa um redimeto de 6% ao mês? S = R$ ,00 i = 6% a.m. = 12 R =? Utilizado a fórmula R = S i 1 R = ,06 0,06) 12 1 R = R$ 1.185,54 Utilizado da tabela fiaceira: R = S FSR (i, ) R = FSR ( 6%, 12) R = , R = R$ 1.185,

37 2.3- Fator de Valor Atual Problema: Determiar o valor presete P que deve ser aplicado para que se possa retirar R em cada um dos períodos subseqüetes. Partido-se da expressão S = R 1 i e substituido-se S por P(1 +, resulta: P(1 + = R 1 i 1 P R i(1 1 O fator i, deomiado FATOR DE VALOR ATUAL e, represetado por FRP(i, ), permite calcular o valor do pricipal P sedo cohecido o valor de R, isto é: P = R FRP (i, ) Exemplo: Uma pessoa, possuidora de 10 títulos, com vecimetos mesais e sucessivos, sedo o vecimeto do primeiro de hoje a 30 dias, vede estes títulos com descoto de 8% ao mês, o regime de juros compostos. Quato apurou com a veda, se o valor omial de cada título é de R$ 2.500,00? R = R$ 2.500,00 = 10 i = 8% a. m. P =? Utilizado a fórmula P = R 1 i P = ,08) ,08 0,08) 10 P = R$ ,20 Utilizado a tabela fiaceira: P = R FRP ( i, ) P = FRP ( 8%, 10) P = , P = R$ , Fator de Recuperação de Capital Problema: Determiar a quatia R que deve ser retirada em cada período para que se recupere o ivestimeto P. Cosiderado a fórmula P = R 1 i, e explicitado o valor de R, resulta: i(1 R P (1 1 i O fator (1, deomiado FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL e, represetado por FPR ( i, ), 1 permite calcular o valor de R sedo cohecido o valor de P, isto é: R = P FPR ( i, )

38 Exemplo: Qual o valor da prestação mesal que amortiza, em 6 meses, uma dívida de R$ ,00 a juros compostos de 4,5% a.m.? P = R$ ,00 = 6 i = 4,5 % a. m. R =? Utilizado a fórmula R = P i 1 R = ,045 0,045) 6 0,045) 6 1 R = R$ 2.326,54 Utilizado a tabela fiaceira: R = P FPR ( i, ) R = FPR ( 4,5%, 6) R = , R = R$ 2.326, Cálculo da taxa de juros por Iterpolação Liear Exemplo: Uma calculadora é vedida à vista por R$ 160,00 ou a prazo em 4 prestações mesais iguais de R$ 45,49 cada uma, vecedo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros compostos do fiaciameto? P = R$ 160,00 R = R$ 45,49 = 4 i =? Utilizado a tabela fiaceira R = P FPR (i; 4) 45,49 = 160 FPR (i; 4) ou FPR (i, 4) = 45,49 = 0, Pesquisado a tabela fiaceira, para = 4, ão ecotramos o valor 0, Isto quer dizer que i ão é uma taxa tabelada, porém, deve estar etre 5% e 5,5%, pois FPR (5%, 4) = 0, e FPR (5,5%, 4) = = 0, Graficamete, temos: Fig. 1 Fig

39 O procedimeto usual para se determiar a taxa de juros cosiste em se fazer uma iterpolação liear, que sigifica supor o arco AB (fig. 1) como um segmeto de reta AB (fig. 2). Os triâgulos ABD e ACE (fig. 2) são semelhates (possuem dois âgulos respectivamete iguais), logo, AE CE, isto é, AD BD i - 5 0, ,5 5 0, , , i - 5 0, i - 5 0, i 5 = 0, ou 0,5 0, ,5 i = 5, i = 5,35% a.m. 3- SÉRIE UNIFORME COM PAGAMENTOS ANTECIPADOS Nas séries uiformes com termos atecipados, os pagametos ou recebimetos são efetuados o iício de cada itervalo de tempo a que se refere a taxa de juros cosiderada. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida o mometo zero, ou seja, a data do cotrato, do empréstimo, do fiaciameto ou de qualquer outra operação que implique pagametos ou recebimetos de prestações. Diagrama da operação 3.1-Cálculo do motate S sedo cohecido o valor de R Problema: Determiar a quatia S acumulada o fim do período, a uma taxa i de juros compostos, a partir de parcelas iguais a R, de pagametos atecipados. Diagrama da operação S = R(1 + + R( R( R(1 + 1 S = R[(1 + + ( ( (1 + 1 ] S = R[( ( ( (1 + ] S = R [ 1] 1 ou 1 S R i Como 1 i = FRS ( i, ) e (1 + = FPS ( i, 1), segue-se que: S = R FPS ( i, 1) FRS ( i, )

40 Exemplo: Qual o motate, o fim do décimo mês, resultate da aplicação de 10 parcelas mesais iguais e cosecutivas de R$ 5.000,00, à taxa de 4% a.m., de juros compostos, sabedo-se que a primeira aplicação é feita o iício do primeiro mês? = 10 i = 4% a.m. R = R$ 5.000,00 S =? Utilizado a fórmula: 1 S R i S = (1 + 0,04) Utilizado da tabela fiaceira: S = R FPS (i, 1) FRS (i, ) S = FPS (4%, 1) FRS (4%, 10) 0,04) ,04 S = R$ ,7 S = , ,00611 S = R$ , Cálculo de R sedo cohecido o motate S Partido-se da fórmula : S = R(1 + 1 i e explicitado-se o valor de R, teremos: Como i 1 i R S 1 1 = FSR (i, ) e (1 + 1 = FSP ( i, 1), segue-se que: R = S FSP ( i, 1) FSR ( i, ) Problema: Quato terei de aplicar mesalmete, a partir de hoje, para acumular, o fial de 12 meses, um motate o valor de R$ ,00, sabedo-se que a taxa de juros compostos a ser firmada é de 3% a.m., e que as aplicações serão iguais e em úmero de 12? = 12 S = R$ ,00 i = 3% a.m. P =? Utilizado a fórmula R = S(1 + 1 i 1 R = (1 + 0,03) 1 0,03 0,03) 12 1 R = R$ 2.052,29 Utilizado a tabela fiaceira: R = S FSP (i, 1) FSR (i, ) R = FSP ( 3%, 1) FSR ( 3%, 12) R = , , R = R$ 2.052,

41 3.3- Cálculo do valor atual P sedo cohecido o valor de R 1 Cosiderado-se a fórmula: S = R(1 +, e substituido-se o valor de S por P(1 +, i teremos: P(1 + 1 = R(1 +, ode, explicitado-se o valor de P, resulta i 1 P R i Como, (1 + = FPS ( i, 1) e 1 i = FRP ( i, ), segue-se que: P = R FPS ( i, 1) FRP ( i, ) Exemplo: Um equipameto está sedo oferecido, o crediário, para pagameto em 8 prestações mesais iguais e cosecutivas de R$ 5.800,00. Sabedo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 10% ao mês e que a primeira prestação deve ser paga o ato da compra, determiar o preço a vista desse equipameto. R = R$ 5.800,00 i = 10 % a. m. = 8 P =? Utilizado a fórmula: P = R(1 + 1 i P = (1 + 0,10) Utilização da tabela fiaceira: 0,10) 8 1 0,10 0,10) 8 P = R$ ,83 P = R FPS (i, 1) FRP (i, ) P = FPS (10%, 1) FRP (10%, 8) P = , , P = R$ , Cálculo do valor de R sedo cohecido o pricipal P Partido-se da fórmula: P = R(1 + 1 i, e explicitado-se o valor de R, resulta: 1 i R P 1 Como, (1 + 1 = FSP ( i, 1) e i 1 = FPR ( i, ), segue-se que: R = P FSP ( i, 1) FPR ( i, )

42 Exemplo: Um aparelho de TV, o valor de R$ 420,00, é fiaciado por uma loja, para pagameto em 12 prestações mesais iguais e cosecutivas. Determiar o valor da prestação sabedo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 9,5% a.m. P = R$ 420,00 i = 9,5 % a. m. = 12 R =? Utilizado a fórmula: 1 i R P(1 1 R = 420 (1 + 0,095) 1 Utilizado da tabela fiaceira: R = P FSP (i, 1) FPR (i, ) 12 0,095(1 0,095) 12 0,095) 1 R = R$ 54,92 R = 420 FSP (9,5%, 1) FPR (9,5%, 12) R = 420 0, , R = R$ 54,92 4- SÉRIE UNIFORME DIFERIDA Tem-se uma série diferida ou com carêcia, quado o primeiro pagameto só ocorre depois de decorridos m períodos de tempo a que se refere a taxa de juros cosiderada (m 2). As séries diferidas evolvem apeas cálculos relativos a valor atual, pois o motate é igual ao motate de uma série de pagametos iguais com termos vecidos, uma vez que durate o prazo de carêcia, ão há pagametos e capitalizações. 4.1-Cálculo do valor atual P sedo cohecido o valor de R Cosidere o seguite fluxo de caixa, de uma série com m períodos de carêcia: Para o cálculo do valor atual (P) procede-se da seguite maeira: 1 o ) Calcula-se, iicialmete, o valor de P a data m com a fórmula do valor atual de uma série uiforme postecipada, isto é: P m 1 R ou P m = R FRP(i; ) i 2 o ) Calcula-se o capital P (a data 0) equivalete ao valor futuro P m, isto é: P = P m (1 + m ou P = P m FSP(i ; m) Substituido o valor de P m, resulta: P = 1 m R ou P = R FRP(i ; ) FSP(i ; m) i

43 Problema: Calcular o valor atual de uma série de 10 pagametos mesais iguais e cosecutivos, de R$ ,00, com carêcia de 3 meses, à taxa de 4,5% ao mês, o regime de juros compostos. R = R$ ,00 = 10 m = 3 i = 4,5% a.m. Utilizado a fórmula: P = R 1 i (1 + m P = ,045) ,045 0,045) 10 (1 + 0,045) 3 P = R$ ,76 Utilizado a tabela fiaceira: P = R FRP(i, ) FSP(i, m) P = FRP(4,5%, 10) FSP(4,5%, 3) P = , , P = R$ , Cálculo do valor de R sedo cohecido o valor de P Para o cálculo do valor de R procede-se da seguite maeira: 1 o ) Iicialmete, calcula-se o valor de P a data m, isto é: P m = P(1 + m ou P m = P FPS(i ; m) 2 o ) Calcula-se o valor de R correspodete ao valor P m, isto é: R = P m i 1 ou R = P m FPR(i ; ) Substituido o valor de P m, resulta: i R = P (1 + m ou R = P FPR(i ; ) FPS(i ; m) 1 Problema: Um empréstimo de R$ ,00 vai ser amortizado com 12 prestações mesais iguais, com 5 meses de carêcia. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% a.m., o regime de juros compostos. P = R$ ,00 = 12 m = 5 i = 4,5% a.m. Utilizado a fórmula: i R = P (1 + m 1 R = (1 + 0,045) 5 0,045 0,045) 12 0,045) 12 1 R = R$ 1.366,

44 Utilizado a tabela fiaceira: R = P FPS(i, m) FPR(i, ) R = FPS(4,5%, 5) FPR(4,5%, 12) R = , , R = R$ 1.366,64 5- SÉRIE UNIFORME INFINITA (PERPETUIDADE) Se um ivestimeto P é feito à taxa i para gerar redimetos R idefiidamete, temos, etão, o que se deomia perpetuidade Valor atual de uma série perpétua Cosidere uma série uiforme de pagametos com pagametos postecipados e com úmero ifiito de termos. P = R( R( R( R(1 + -(-1) + R( Coforme pode-se observar, o valor atual da série é o limite da soma dos valores atuais de seus termos quado o úmero destes tede ao ifiito, isto é: P = lim R i 1 Cosiderado que 1 = i 1 i 1 1 i, segue-se que: P = lim R 1 = R i 1 1 i 10 1 = R R i i P = R i Exemplo: Quato devemos ivestir hoje para criar uma fudação que irá premiar, aualmete, o melhor aluo de matemática fiaceira de uma Istituição de Esio com a quatia de dólares? A fudação terá duração ifiita e a taxa de juros compostos para este tipo de aplicação é de 10% ao ao. R P = P = i 0, 10 = dólares

45 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Quato uma pessoa obterá o fim de 6 meses, se aplicar mesalmete a importâcia de R$ ,00 em um ivestimeto cuja remueração é de 7% a.m., o regime de juros compostos? Resposta: R$ , Quato uma pessoa acumulará o fim de 24 meses, se depositar mesalmete a importâcia de R$ 5.000,00 em uma istituição que paga juros compostos à taxa de 8% ao mês? Resposta: R$ , Se uma pessoa deseja acumular a quatia de R$ ,00 o fim de 12 meses, quato deverá depositar mesalmete em um baco que paga a taxa de juros compostos de 6,5% a.m.? Resposta: R$ 2.993, Quato um ivestidor deverá oferecer por uma série de 20 títulos mesais e o valor de R$ 5.000,00 cada um, para auferir uma retabilidade de 9% a.m.? Resposta: R$ , Um fiaciameto foi cocedido a uma taxa de juros compostos de 5% a.m., para ser pago em 12 prestações mesais iguais e sucessivas, o valor de R$ ,00 cada. Qual o valor do pricipal desse fiaciameto? Resposta: R$ , Qual o meor ivestimeto que devemos fazer hoje, a uma taxa de 5,5% a.m., o regime de juros compostos, para podermos receber a importâcia de R$1.500,00 o fial de cada um dos próximos 8 meses? Resposta: R$ 9.501, Uma empresa fiacia a veda de suas máquias e equipametos por um prazo de 12 meses, a uma taxa efetiva de 8% a.m., o regime de juros compostos. Determiar o valor da prestação mesal para a veda de uma máquia cujo preço a vista é de R$ ,00. Resposta: R$ 2.653, Qual é o úmero de depósitos que deverá ser efetuado para se obter um motate de R$ ,50, depositado-se mesalmete a importâcia de R$ 3.735,22 a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês? Resposta: Um empréstimo cujo valor do pricipal é de R$ ,00 foi realizado com taxa de juros compostos de 96% ao ao, capitalizada trimestralmete e deverá ser liquidado mediate o pagameto de 8 prestações trimestrais iguais e sucessivas. Determiar o valor dessas prestações. Resposta: R$3.507, Uma pessoa pode dispor, mesalmete, de apeas R$ 2.000,00 para pagar as 12 prestações mesais iguais e sucessivas, relativas ao fiaciameto de um equipameto, cujo valor à vista é de R$ ,00. Calcular o valor que deverá ser dado de sial, a título de etrada, para que o fiaciameto possa ser efetuado a uma taxa de 8% ao mês. Resposta: R$ 2.927, Um foro microodas é vedido em 6 prestações mesais iguais de R$ 91,33, sedo a primeira o ato da compra (prestações atecipadas). Se a taxa de juros compostos for de 8% a.m., qual o valor a vista desse foro? Resposta: R$ 456,00 12-Um freezer é vedido a vista por R$ 658,00 ou em 5 prestações mesais iguais, sedo a primeira dada o ato da compra como etrada. Calcular o valor de cada prestação sabedo que a taxa de juros compostos é de 9% a.m. Resposta: R$ 155, Uma coleção de livros é vedida por R$ 650,00 a vista ou em 6 prestações mesais iguais e cosecutivas, sedo a primeira o ato da compra. Cosiderado-se a taxa de juros compostos de 8% a.m., determiar o valor das prestações. Resposta: R$ 130, Quato acumularia um ivestidor o fim de dois aos e meio se fizesse, a partir de hoje, 30 depósitos mesais de R$ 2.000,00, em uma istituição que paga juros compostos à taxa de 6% a.m.? Resposta: R$ , Uma mercadoria é oferecida para pagameto em 6 prestações mesais iguais e atecipadas de R$ ,00, com taxa de juros compostos de 8% a.m. Determie o valor a vista (valor presete) dessa mercadoria. Resposta: R$ , Quato se deve depositar, o iício de cada trimestre, uma istituição fiaceira que paga juros compostos de 10,5% ao trimestre, para costituir um motate o valor de R$ ,38, ao fim de 2 aos. Resposta :R$ 8.500, Um videocassete é vedido a vista por R$ 509,00 ou em 4 prestações mesais iguais de R$ 147,55, sedo a primeira paga o ato da compra. Determiar a taxa de juros compostos do fiaciameto. Resposta: 10,86% a.m. 18- Uma loja de automóveis fiacia, itegralmete, um veículo o valor de R$ ,00, em 12 parcelas iguais, mesais e cosecutivas, de R$ 2.093,10. Calcular a taxa mesal de juros compostos cobrada, sabedo-se que a primeira prestação é paga o ato da compra. Resposta: 8,76% a.m

46 19-Uma loja vede determiado tipo de televisor em seis prestações mesais iguais de R$ 93,93, sedo a primeira prestação paga o ato da compra. Se o preço a vista desse televisor é de R$ 450,00, qual é a taxa mesal de juros compostos cobrada. Resposta: 10% a.m. 20- Um empréstimo de R$ ,00 é amortizado em 12 prestações mesais iguais, vecedo a primeira o fim de 5 meses após a assiatura da promissória. Se a taxa de juros compostos cotratada é de 7% ao mês, qual é o valor do pagameto mesal? Resposta: R$ 3.135, O Baco do Brasil fiacia a compra de máquias e equipametos para a empresa rural, em 15 pagametos mesais iguais, a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mesalmete, com carêcia de 6 meses. Determiar o valor da prestação de uma máquia cujo preço a vista é de R$ ,00. Resposta: R$ 6.197, Um cosumidor adquire uma geladeira pelo sistema de crediário para pagameto em 6 prestações mesais iguais de R$ 83,80. Sabedo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 6% a.m., e que a primeira prestação será paga o fial do quito mês (4 meses de carêcia). Determiar o valor do fiaciameto. Resposta: R$ 326, Uma pessoa obtém um fiaciameto, para a compra de um veículo, a ser liquidado em 18 meses, com carêcia de 4 meses. Sabedo-se que o valor de cada uma das 8 primeiras prestações é de R$ 1.800,00 e que o valor de cada uma das 10 últimas é de R$ 2.500,00, calcular o valor fiaciado para uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Resposta: R$ , Determiar o valor da prestação mesal perpétua que remuera um ivestimeto de R$ ,00 com taxa de juros compostos de 1,8% ao mês. Resposta: R$ 2.160, Determiar o ivestimeto ecessário para garatir um recebimeto trimestral de R$ 2.000,00, de forma perpétua, sabedo-se que esse ivestimeto é remuerado com uma taxa efetiva de 4% ao trimestre, o regime de juros compostos. Resposta: R$ ,

47 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 1-Valor Atual ou Valor Presete de um Fluxo de Caixa: Deomia-se valor atual (ou valor presete) de um fluxo de caixa à soma dos valores atuais de suas parcelas futuras, descotadas com uma determiada taxa de juros. Portato, o valor atual é um capital que a data 0(zero) é equivalete ao cojuto de capitais futuros que compõem o fluxo de caixa em questão. Assim, dado o fluxo de caixa: Chamado de P o valor atual e cosiderado uma taxa i de juros compostos, segue-se que: P = C 0 + C 1 C C C Exemplos: P = C o + C 1 ( C 2 ( C 3 ( C (1 + - P = C 0 + C 1 FSP(i; 1) + C 2 FSP(i; 2) + C 3 FSP(i; 3) C FSP(i; ) 1 o ) Determiar o valor atual do fluxo de caixa a seguir, utilizado a taxa de 2% a.m., o regime de juros composto. Utilizado a fórmula: P = ,02) ,02) ,02) ,02) 4 P = , , , ,54 P = 2.494,22 Utilizado da tabela fiaceira: P = FSP(2%; 1) FSP(2%; 2) FSP(2%; 3) FSP(2%; 4) P = , , , , P = , , , ,54 P = 2.494,22 2 o ) Uma loja vede determiado tipo de videocassete as seguites codições: Uma parcela de R$ 120,00 de etrada, mais três parcelas de R$ 80,00 o fial de 30, 60 e 90 dias, respectivamete. Qual o valor a vista do videocassete se a taxa de juros compostos cobrada é de 6% ao mês? DIAGRAMA DA OPERAÇÃO

48 Utilizado a fórmula: P = ,06) ,06) ,06) 3 P = , , ,17 P = R$ 333,84 Utilizado da tabela fiaceira: P = FSP(6%; 1) + 80 FSP(6%; 2) + 80 FSP(6%; 3) P = , , , P = , , ,17 = R$ 333,84 Observação.: Neste caso poderíamos, aida, utilizar o fator FRP(6%,3), isto é: P = FRP(6%, 3) P = , P = ,84 P = R$ 333,84 2-Descoto de Fluxo de Caixa 3.1- Deomia-se descoto de fluxo de caixa a operação pela qual se calcula o seu valor atual ( ou Valor presete). 3.2-Taxa de descoto de um fluxo de caixa é a taxa de juros usada o descoto deste fluxo de caixa. 3- Fluxos de Caixa Equivaletes Dois ou mais fluxos de caixa são equivaletes uma determiada taxa de juros compostos, se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Exemplo: Verifique se os fluxos (A) e (B), dados a seguir, são equivaletes à taxa de 12% ao mês, o regime de juros compostos P A = ,05 FRP(12%, 10) = ,05 5, = , , ,14 P B = ,12) 0,12) ,14 0,12) ,14 0,12) P B = , , , ,46 = ,00 Logo, como P A = P B, segue-se que os fluxos (A) e (B) são equivaletes a taxa de 12% ao mês. A importâcia e a utilização dos fluxos de caixa equivaletes residem as defiições de diversas opções de pagametos de empréstimos, compras fiaciadas, substituições de saldos devedores por outros de maior coveiêcia, reescaloameto de dívidas, etc. Exemplo: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor omial igual a R$10.000,00 e outro de valor omial igual a R$12.000,00, vecíveis, respectivamete, detro de 2 e 6 meses, por um úico título vecível em 4 meses. Sedo a taxa de juros compostos igual a 10% ao mês, qual o valor do ovo título?

49 DIAGRAMA DA OPERAÇÃO SOLUÇÃO: P(A) = (1 + 0,10) (1 + 0,10) -6 = ,15 P(B) = x.(1 + 0,10) -4 = x(0,683013) Fazedo-se P(A) = P(B), temos: x(0,683013) = ,15 x = R$ ,36 4- Valor Presete Líquido de um Fluxo de Caixa (VPL) O Valor Presete Líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presete de suas parcelas futuras (que são descotadas com uma determiada taxa de descoto), somado algebricamete com a gradeza colocada o poto zero. Normalmete, a gradeza colocada o poto zero correspode ao ivestimeto iicial e tem sial egativo, uma vez que represeta uma saída de caixa. Exemplo: Determie o valor presete líquido do seguite fluxo de caixa, com uma taxa de descoto de 3% ao mês. VPL = 500 FRP(3%, 5) FSP(3%, 6) VPL = 500 4, , = 2.289, , = 459,84 5-Taxa Itera de Retoro de um Fluxo de Caixa Deomia-se taxa itera de retoro de um fluxo de caixa a taxa de juros compostos que aula o seu valor atual. A taxa itera de retoro de um fluxo de caixa represeta a taxa de juros compostos segudo a qual os ecaixes (vetores para cima) se igualam aos desecaixes (vetores para baixo), em uma determiada data. A determiação da taxa itera de retoro é bastate trabalhosa e, por isso, adotamos com freqüêcia um valor aproximado que é obtido por iterpolação liear etre duas taxas de juros que delimitam o valor procurado. Exemplos: 1 o ) Se um ivestimeto igual a R$ ,00, produz uma taxa itera de retoro de 4% ao mês, teremos, após um ao, o motate de R$ ,32, isto é: S = (1 + 0,04) 12 S = R$ ,

50 O valor presete líquido do fluxo de caixa será: P = , ,32 FSP(4%, 12) P = , ,32 0, P = , ,00 = 0 2 o ) Determiar a taxa itera de retoro do ivestimeto represetado pelo fluxo de caixa seguite: P = , ,93 FRP(i, 4) = , ,93 FRP(i, 4) = ,00 FRP(i, 4) = = 3, ,93 Com o auxílio das tabelas fiaceiras, podemos observar que a taxa procurada está etre 3,5% e 4%, pois: FRP(3,5%, 4) = 3, e FRP(4%, 4) = 3, Feita esta observação, podemos escrever: 3, ,50% 3, i 3,629895%... 4,00% 3, , ,00 3,50 3, , ,00 i i = 3,80% a. m. 3 o ) Um empreedimeto exige ivestimetos iiciais da ordem de R$ ,00 e proporcioa retoros de R$ 5.000,00 o fial do primeiro ao, R$ ,00 o fial do segudo ao e R$ 8.000,00 o fial do terceiro ao. Qual a taxa itera de retoro desse ivestimeto? P( = Como as etradas são diferetes, devemos, iicialmete, chutar uma taxa a tetativa de igualarmos o segudo membro da igualdade a zero. P(5%) = , 105, 105, P(5%) = , , ,70 = 2.556,95 Coforme podemos observar, quato maior a taxa de descoto, meor será o valor atual do fluxo. Assim, utilizado uma taxa maior (8% por exemplo), teremos: P(8%) = ,08 1,08 1,08 P(8%) = , , ,66 = 1.268,3 Aumetado, aida mais a taxa de descoto, (10% por exemplo) teremos: P(10%) = ,10 1,10 1,10 P(10%) = , , ,52 = 473,

51 Devemos cotiuar o processo até coseguirmos um valor egativo. P(11%) = ,11 1,11 1,11 P(11%) = , , ,53 = 93,50 P(12%) = ,12 1,12 1,12 P(12%) = , , ,24 = - 275,14 A taxa itera de retoro é a taxa que aula o valor atual, logo, podemos cocluir que a taxa procurada está compreedida etre 11% e 12%., isto é: 11%... 93,50 i... 0,00 12% ,14 Fazedo-se uma iterpolação liear, com esses valores, obtemos: i , ,14 93,50 i 11 = 0, i = 11,25% a.a. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: i. Qual o valor atual do fluxo de caixa abaixo, para uma taxa de juros compostos de 10,5% ao mês? Resposta: R$ , Determiar o valor atual do seguite fluxo de caixa, para uma taxa de juros compostos de 6,5% ao mês. Resposta: R$ , Calcular o valor de K para que os fluxos de caixa (A e B) seguites sejam equivaletes a uma taxa de 3,5% a. m. de juros compostos. Resposta: K = R$ 7.869,

52 04- Uma determiada istituição de crédito realiza operações fiaceiras com uma taxa efetiva de 2% ao mês. O fiaciameto pode ser pago de duas maeiras, ou seja: a) em prestações mesais iguais; b) em prestações trimestrais iguais. Determie o valor dessas prestações para um fiaciameto de R$ 1.500,00 que será amortizado em 12 meses. Resposta: a) R$ 141,84 b) R$ 434,0 05- Um idivíduo deseja veder um terreo de sua propriedade por R$ ,00 à vista, porém, cocorda em fiaciar 50% do valor, em um ao, a juros de 1% a. m., através de um dos seguites plaos de pagameto. a) doze prestações mesais de R$ 8.000,00 e mais duas parcelas semestrais iguais a serem determiadas; b) duas parcelas semestrais de R$ ,00 e mais doze prestações mesais iguais a serem determiadas. Calcular os valores descohecidos os dois plaos para que os mesmos sejam equivaletes, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Resposta: a) R$ ,96 b) R$ 6.229, Uma empresa toma por empréstimo R$ ,00, com juros compostos de 10% ao mês. Após 2 meses, a empresa propõe pagar R$ ,00 imediatamete e liquidar o saldo devedor o fim de 3 meses, a partir daquela data. Calcular o valor desse pagameto. Resposta: R$ , Um fiaciameto cujo valor do pricipal é de R$ ,00, deve ser liquidado através do pagameto de duas parcelas, uma o fial do mês 2 e outra o fial do mês 5. Determiar o valor desses pagametos, sabedo-se que a última parcela é três vezes maior que a primeira, e, que a taxa de juros compostos desse fiaciameto é de 8% ao mês. Resposta: R$ , Uma empresa devedora de três títulos de R$ ,00 cada um e cujos vecimetos são, hoje e daqui a 2 e 5 meses, deseja substituí-los por um úico título com vecimeto para 6 meses. Determiar o valor deste título para uma taxa de juros compostos de 6% ao mês. Resposta: R$ ,96 10-Uma dívida, que cosiste em três pagametos mesais: R$ ,00 o fim do mês um, R$ ,00 o fim do mês dois e R$ ,00 o fim do mês três, deve ser substituída por uma série de pagametos mesais de 12 prestações iguais, sedo a primeira paga a data zero. Sabedo-se que a taxa de juros compostos acertada é de 9,5% ao mês, calcular o valor das prestações. Resposta: R$ ,87 11-Um gravador pode ser vedido para pagameto em três parcelas mesais iguais sem acréscimo, sedo a primeira dada como etrada e as outras duas após 30 e 60 dias, respectivamete. Se o pagameto for feito a vista, será dado um descoto de 6%. Qual a melhor alterativa para o comprador se a taxa de juros compostos do mercado for de 5% ao mês? (Cosidere um valor arbitrário qualquer para o preço do gravador). Resposta: É melhor a compra a vista. 12- Uma dívida deverá ser resgatada em quatro parcelas de R$ ,00, R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 o fial dos meses 1, 2, 3 e 4, respectivamete. Se a taxa de juros compostos é de 4% ao mês, qual o valor atual dessa dívida? Resposta: R$ , Uma pessoa ivestiu R$ ,00 a data zero e obteve etradas iguais de R$ ,90 os três meses subseqüetes. Qual a taxa itera de retoro dessa aplicação? Resposta: 5% a. m. 14 Um empreedimeto exige ivestimetos iiciais da ordem de R$ ,00 e proporcioa um retoro de R$15.773,54 em cada um dos quatro meses seguites. Qual a taxa itera de retoro desse empreedimeto? Resposta: 10% a. m. 15- Uma istituição fiaceira aucia que depósitos de R$ ,00 mesais forecerão após 10 meses uma quatia de R$ ,97. Qual é a taxa de retoro mesal oferecida? Resposta: 4,8% a.m. 16- Um equipameto é vedido a vista por R$ ,00, ou, etão, por R$ 3.600,00 de etrada, uma parcela de R$ 9.000,00 após 6 meses e uma parcela de R$ ,00 após 12 meses. Qual a taxa de juros do fiaciameto? Resposta: 7,715% a.m. 17-Um ivestidor dispõe de um capital de R$ ,00, podedo aplicá-lo um empreedimeto que lhe proporcioará um retoro mesal de R$ 5.744,10 os cico primeiros meses após a aplicação. Existe outra alterativa que é aplicar os R$ ,00 e receber R$ ,20 ao fial do quito mês após a aplicação. Com o auxílio da taxa itera de retoro, verifique qual a melhor alterativa para o ivestidor. Resposta: A primeira, pois apreseta maior taxa itera de retoro

53 6- Aálise de Alterativas de Ivestimetos pelo Método do Valor Presete Líquido (VPL) 5.1-Itrodução Os critérios de avaliação de ivestimetos levam em cosideração apeas fatores ecoômicos, objetivado escolher alterativas de maior retabilidade, ou meor custo, embora a meta do ivestidor possa ão ser somete esta. O fato de que em sempre as propostas de ivestimeto mais retáveis possam ser realizadas, geralmete por causa de limitação dos recursos, faz com que o resultado de estudos puramete ecoômicos ão seja o úico fator a ser cosiderado a decisão fial. A aálise de dispoibilidade de recursos, dos ecargos fiaceiros assumidos, etc., deve ser feita paralelamete; é o que se deomia aálise fiaceira dos ivestimetos em perspectiva. Há outros fatores a serem aalisados e que ão podem ser reduzidos a valores moetários, ão sedo, portato, cosiderados um estudo puramete ecoômico. São os chamados fatores impoderáveis. Esses fatores deverão ser cosiderados também a tomada de decisão, sedo sua avaliação subjetiva e puramete depedete do julgameto pessoal daqueles que têm a resposabilidade da escolha Cosiderações Sobre a Taxa Míima de Atratividade Devido à escassez do capital, o sistema de oferta e procura da ecoomia forece um preço para o seu uso; assim, o capital tem, de um modo geral, uma remueração ou retabilidade de garatia. Isto faz com que mesmo sedo usado pelo próprio doo ele apresete um custo, o custo da oportuidade perdida, ou seja: ao usá-lo, o seu possuidor deixa de auferir pelo meos a retabilidade oferecida pelo mercado. Coclui-se que para um determiado ivestimeto ser atrativo, deve reder mais que as oportuidades de ivestimeto perdidas devido ao ivestimeto o projeto escolhido. Taxa míima de atratividade é a taxa míima que uma proposta de ivestimeto deverá produzir para ser atrativa. A taxa míima de atratividade é um parâmetro subjetivo e espelha a política de ivestimeto da Istituição. Este parâmetro é uma fução do risco de ivestimeto, da dispoibilidade de capital, do custo de capital, etc Método do Valor Atual ou Valor Presete Liquido (VPL) No método do valor presete líquido calcula-se o valor atual do fluxo de caixa, com o uso da taxa míima de atratividade; se este valor for positivo, a proposta de ivestimeto é atrativa. No caso de duas ou mais alterativas de ivestimeto com a mesma duração, escolhe-se a de maior valor atual. Quado as propostas têm vidas diferetes, ão basta comparar simplesmete os fluxos de caixa. Devese avetar alguma hipótese sobre o que seria feito etre os térmios dos projetos de meor e maior duração. Uma hipótese utilizada é repetir os projetos até o míimo múltiplo comum de suas vidas. Outra hipótese utilizada é calcular o valor residual do projeto de maior duração o último período de vida do projeto de meor duração. De um modo geral a data escolhida para o cálculo do valor atual é a do iício do horizote em estudo. Etretato, qualquer que seja a data usada, ão haverá reversão da decisão. Em todo ivestimeto o valor atual calculado com a taxa itera de retoro é ulo. Assim, um valor atual positivo idica que o projeto tem uma taxa itera de retoro superior à taxa míima de atratividade.o iverso ocorre com valores atuais egativos. O valor atual de um fluxo de caixa é igual ao máximo ivestimeto que se estará disposto a fazer para se obter o fluxo de caixa em questão. Em algus projetos deseja-se comparar alterativas que forecem o mesmo beefício. Neste caso, iteressa a comparação dos custos das alterativas, sedo melhor a que apresetar meor custo. O valor atual dos custos das alterativas servirá, etão, para compará-las

54 Exemplos: 1 o ) Verificar se o ivestimeto represetado pelo fluxo de caixa seguite deve ou ão ser aceito, caso se cosidere uma taxa míima de atratividade de 2,5% a.m. P = ,025) ,025) 2 = , ,88 = 121,95 P(2,5%) > 0, logo o ivestimeto é atrativo e deve ser aceito. 2 o ) Um ivestidor dispõe de um capital de R$ ,00 podedo aplicá-lo um empreedimeto que lhe proporcioará redimetos de R$ ,00 em cada um dos próximos 12 meses. Outra alterativa para o ivestidor é aplicar os mesmos R$ ,00 e receber 4 parcelas trimestrais iguais, o valor de R$ ,00 cada uma. Cosiderado uma taxa míima de atratividade de 3% a.m., determie qual das duas alterativas é a melhor para o ivestidor. 0,03) 1 P 1 = , , ,03 0,03) P 1 = , ,06 = 4.287, , , , ,00 P 2 = , ,03) 0,03) 0,03) 0,03) P 2 = , , , , ,23 = 4.580,27 Logo P 2 > P 1. Assim sedo, a 2 a alterativa é melhor. 12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01- Um carro é vedido à vista por R$ ,00 ou a prazo, com etrada de R$ 9.600,00 mais 5 prestações mesais iguais e cosecutivas de R$ 4.850,00 cada uma. Qual a melhor alterativa para o comprador, se a taxa míima de atratividade é de 3% a.m., o regime de juros compostos? Resposta: É melhor comprar a prazo, pois o valor atual das seis parcelas é meor que o pagameto a vista. 02- Um ivestidor dispõe de um capital de R$ ,00 e pode aplicá-lo um empreedimeto que lhe proporcioará um redimeto de R$ ,00 em cada um dos próximos quatro aos e R$ ,00 em cada um dos dois aos seguites. Uma outra alterativa para o ivestidor é aplicar os mesmos R$ ,00 e receber R$ ,00 após seis aos. Cosiderado uma taxa míima de atratividade de 15% ao ao, qual a melhor alterativa para o ivestidor? Resposta: a primeira alterativa é melhor (apreseta maior valor presete líquido). 03- Uma empresa deve ivestir R$ ,00 um projeto de ampliação da capacidade produtiva, para obter beefícios das etradas de caixa de R$ ,00 por ao durate os próximos 6 aos. Se a taxa de atratividade da firma for 6% a.a., o projeto deve ou ão ser aceito? Resposta: O projeto deve ser aceito

55 AMORTIZAÇÕES DE EMPRÉSTIMOS 1- DEFINIÇÕES IMPORTANTES a) Mutuate ou credor: aquele que forece o empréstimo. b) Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. c) Amortizar uma dívida: sigifica dimiuir gradualmete, até a extição total, o pricipal de uma dívida. d) Parcelas de amortização: correspode às parcelas de devolução do capital emprestado. e) Prazo de amortização; é o itervalo de tempo, durate o qual são pagas as amortizações. f) Prestação: é a soma da amortização com os juros e outros ecargos, pagos em dado período. g) Plailha: é um quadro, padroizado ou ão, ode são colocados os valores referetes ao empréstimo, ou seja, o croograma dos valores de recebimeto e de pagametos. h) Saldo devedor: é o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determiado istate de tempo. Período de amortização: é o itervalo de tempo existete etre duas amortizações sucessivas. 2- PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 2.1-Pagameto o Fial Os juros são capitalizados o fial de cada período fiaceiro e o empréstimo só é pago o fial do prazo. Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 deverá ser amortizado em 24 meses com juros de 2% ao mês, o regime de juros compostos. Determiar o valor do resgate pelo Sistema de Pagameto o Fial. S = P(1 + S = (1 + 0,02) 24 = , = ,74 S = R$ , Sistema Fracês de Amortização (Price) Detalhameto do Sistema O empréstimo é pago em prestações periódicas iguais e postecipadas. Cada prestação é costituída pela soma da amortização do pricipal com os juros do período. A amortização é obtida por difereça etre os valores da prestação e os juros do período. Os juros decrescem com o tempo. O pricipal o iício de cada período vai se torado cada vez meor e as amortizações vão crescedo de modo que a soma dessas parcelas permaeça costate ao logo do tempo. Exemplo: Um fiaciameto de R$ ,00 deverá ser amortizado, através do Sistema Fracês de Amortização, em 8 prestações mesais, com juros compostos de 2% ao mês. Calcule o valor da prestação; Calcule o saldo devedor após o pagameto da terceira prestação; Calcule as parcelas de juro e de amortização da quita prestação; Calcule o total de juros e de amortização acumulados até a quarta prestação; Calcule o total de juros e de amortização acumulados da quarta à sétima prestações; Faça uma plailha com o desevolvimeto mesal das prestações, os juros pagos, a evolução das quotas de amortização e o saldo devedor. P = R$ ,00 = 8 prestações i = 2% a.m. Cálculo da prestação 8 0,02(1 0,02) R ,02) 1 R= , R =R$ 2.730,

56 Cálculo do saldo devedor após o pagameto da terceira prestação. Ao efetuar o pagameto da prestação de ordem t ficará restado (-t) prestações a serem pagas, coforme mostra o diagrama abaixo. Assim, o saldo devedor P t, aquele istate, será represetado pelo valor atual das prestações restates. P t = R t i 1 t Assim, o saldo devedor após o pagameto da terceira prestação será: P 3 = 2.730,20 0,02) 5 1 0,02 0,02) 5 P 3 = 2.730,20 4, = ,69 Cálculo das parcelas de juro e de amortização da quita prestação Para se obter as parcelas de juros e de amortização da prestação de ordem t, calcula-se iicialmete o saldo devedor após o pagameto da prestação de ordem (t 1). Assim, para calcular as parcelas de juros e de amortização da quita prestação deve-se, iicialmete, calcular o saldo devedor após o pagameto da quarta prestação, isto é: P 4 = 2.730,20 0,02) 8-4 0,02 0,02) ,02) 1 P 4 = 2.730,20 4 0,02 0,02) 4 = 2.730,20 3, = ,86 j 5 = 0, ,86 = 207,92 e A 5 = 2.730,20 207,92 = 2.522,28 Plailha do fiaciameto PRESTAÇÕES R JUROS j t = i SD t-1 AMORTIZAÇÕES A t = R j t SALDO DEVEDOR SD t = SD t-1 - A t , ,20 400, , , ,20 353, , , ,20 305, , , ,20 257, , , ,20 207, , , ,20 157, , , ,20 106, , , ,20 53, ,67-0, Sistema de Amortização Costate (SAC) Detalhameto do Sistema No sistema SAC o fiaciameto é pago em prestações liearmete decrescetes, sedo cada uma delas igual à soma da amortização do pricipal com os juros do período. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do iício de cada período. A amortização é o quociete etre a dívida iicial e o úmero de prestações. No sistema SAC os juros são uiformemete decrescetes ao logo do tempo, devido às amortizações acumuladas do pricipal. Como todas as amortizações são iguais, as prestações periódicas são, também, uiformemete decrescetes. Exemplo: O fiaciameto de R$ ,00 deverá ser amortizado, através do Sistema de Amortização Costate SAC, em 8 prestações mesais, com juros compostos de 2% ao mês. Faça uma plailha com o

57 desevolvimeto mesal das prestações, os juros pagos, a evolução das quotas de amortização e o saldo devedor. Parcela de Amortização = Plailha do fiaciameto ,00 = 2.500, 8 PRESTAÇÕES R t = j t + A JUROS j t = SD t-1 i AMORTIZAÇÕES A SALDO DEVEDOR SD t = SD t-1 - A , ,00 400, , , ,00 350, , , ,00 300, , , ,00 250, , , ,00 200, , , ,00 150, , , ,00 100, , , ,00 50, ,00-0- Cálculo do Saldo Devedor após o pagameto da prestação de ordem t P t = P t (a parcela de amortização) Exemplo: No problema aterior, o saldo devedor após o pagameto da 4 a prestação é dado por: P 4 = = = Sistema Americao de Amortização Detalhameto do Sistema No sistema americao, o devedor obriga-se a pagar periodicamete apeas os juros do capital emprestado e a restituí-lo, itegralmete, o fial do prazo estabelecido. Com a fialidade de evitar o desembolso violeto o fial do prazo combiado, o devedor procura formar, por sua cota e, mediate depósitos periódicos de parcelas costates, um fudo de amortização (sikig fud) com o qual, o fim do prazo, possa pagar a dívida sem maiores problemas. Exemplo: Uma pessoa toma emprestada a quatia de R$ ,00 com a codição de pagar mesalmete os juros à taxa de juros compostos de 2,5% a.m., e a restituí-la itegralmete o fial de 10 meses. O devedor pretede costituir um fudo de amortização com quotas mesais, calculadas à taxa de juros compostos de 2% a.m. Calcular o seu dispêdio mesal e formar a plailha de reembolso. P = R$ ,00 = 10 meses i = 2,5% a.m. Cálculo dos juros mesais j = ,00 0,025 = 375,00 Cálculo da Quota Mesal do Fudo de Amortização R = FSR (2%, 10) = , = 1.369,90 Cálculo do dispêdio mesal Juros + quota de amortização = 375, ,90 = 1.744,

58 Plailha do fiaciameto QUOTA MENSAL DO FUNDO DE AMORTIZAÇÃO JUROS DISPÊNDIO FUNDO DE CAPITAL NÃO MENSAL AMORTIZAÇÃO RECONSTITUÍDO , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , , , ,90 375, , ,00-0- EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01- Um fiaciameto de R$ ,00 deve ser amortizado pelo Sistema Fracês em 6 prestações trimestrais, com taxa de juros compostos de 10% ao trimestre. a) Determiar o valor da prestação trimestral; Resposta: R$ ,89 b) Costruir a plailha do fiaciameto; c) Determiar as parcelas de juros e amortização da quarta prestação; Respostas:R$ 6.851,99 e R$ ,90. d) Determiar o saldo devedor após o pagameto da terceira prestação. Resposta: R$ , Um baco fiacia um equipameto o valor de R$ ,00, em 24 prestações mesais, sem carêcia, à taxa de 2,5% ao mês, o regime de juros compostos. Utilizado o Sistema Fracês de Amortização, determiar: a) o valor da prestação; Resposta: R$ ,82. b) as parcelas de juros e amortização referetes à 15 a prestação; Respostas:R$ 2.691,44 e R$ 9.609,38. c) o saldo devedor após o pagameto da 10 a prestação. Resposta: R$ , A Quatia de R$ ,00 foi fiaciada em 30 prestações mesais através do Sistema Fracês de Amortização, com taxa de juros compostos de 2% a.m. Nestas codições, pede-se: a)o valor da prestação mesal; Resposta: R$ 1.116,25. b) o saldo devedor após o pagameto da 18 a prestação; Resposta: R$ ,64. c) a quota de amortização e os juros pagos com a 20 a prestação. Respostas: R$ 897,76 e R$ 218, Um empréstimo de R$ ,00 será amortizado através do sistema fracês de amortização em 6 prestações mesais, com juros compostos de 3% ao mês. a) calcule o valor da prestação mesal; Resposta: R$ 2.215,17. b) orgaize uma plailha com o desevolvimeto mesal das prestações, dos juros pagos, das quotas de amortização e do saldo devedor. 05- Orgaize a plailha do problema aterior utilizado o sistema SAC. 06- Uma pessoa toma por empréstimo a quatia de R$ ,00 com a codição de pagar mesalmete os juros compostos, à razão de 3% ao mês, e de restituí-la itegralmete o fim de 8 meses. O devedor pretede costituir um fudo de amortização com quotas mesais calculadas à taxa de 2,5% ao mês de juros compostos. a) calcule o seu dispêdio mesal; Resposta: R$ 2.311,48. b) orgaize o plao teórico de reembolso

59 B I B L I O G R A F I A ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas,1992. CAMPOS FILHO, Ademar. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, FARO, Clovis de. Pricípios e Aplicações do Cálculo Fiaceiro. 2.ed. Rio de Jaeiro: LTC. FRANCISCO, Valter De. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, HAZZAN, Samuel / Pompeu, José Nicolau. Matemática Fiaceira. 5.ed. São Paulo: Saraiva, HIRSCHFELD, Herique. Egeharia Ecoômica e Aálise de Custos. São Paulo: Atlas. JUER, Milto. Matemática Fiaceira Aplicações. o Mercado de Títulos. Rio de Jaeiro:IBEMEC, KUHNEN, Osmar Leoardo / Bauer, Udibert Reiold.Matemática Fiaceira Aplicada e Aálise de Ivestimetos. 3.ed. São Paulo: Atlas, MATIAS, Washigto Fraco / Gomes, José Maria. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, PLATO, Ricardo Atôio de. Matemática Fiaceira Aplicada às Operações o Sistema Fiaceiro Brasileiro. São Paulo: Livraria Nobel S/A Editora. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Fiaceira Objetiva e Aplicada. 6.ed. São Paulo: Saraiva, SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Fiaceira, Aplicações à Aálise de Ivestimeto. 3.ed. São Paulo: Pretice Hall, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Fiaceira. 2.ed. São Paulo: Atlas ZENTGRAF, WALTER. Calculadora fiaceira HP-12C. 1.ed. 1993; 4a tiragem. São Paulo: Atlas. POLO, EDISON FERNANDES. Egeharia das operações fiaceiras pela HP-12C: Editora Atlas S/A TOSI, ARMANDO JOSÉ. Matemática fiaceira com utilização do Excel 2000 São Paulo: Atlas,