AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY

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1 APOSTILA EDIÇÃO: AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY

2 ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 3 2. JUROS SIMPLES Coceitos e Cálculos Descoto Simples Descoto Simples Bacário Descoto Simples Racioal JUROS COMPOSTOS Coceitos e Cálculos Cálculo do motate para período fracioário Coveção Expoecial Coveção Liear Descoto Composto Descoto Composto Racioal, ou Por Detro Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 28 6 ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES Auidade com Parcelas Postecipadas Valor Futuro ou Motate Auidade com Parcelas Atecipadas Valor Futuro ou Motate Reda Perpétua AMORTIZAÇÕES Sistema Fracês de Amortização SFA - (Sistema Price) Caso com Período de Carêcia: Sistema de Amortização Costate SAC (Sistema Hamburguês) FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Fluxo de Caixa Taxa Míima de Atratividade Método do Valor Presete Líquido (VPL) Método do Valor Presete Líquido para Períodos Diferetes de Ivestimetos Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) 51 Maurício R. Cury Edição

3 8.5 Comparação etre os Métodos da TIR e do VPL TIR Modificada (TIRM) DEPRECIAÇÃO 62 APÊNDICE A RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 67 Maurício R. Cury Edição

4 1. Itrodução A Matemática Fiaceira tem como poto fudametal o cálculo de valores moetários em diversas datas trasportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remueração pelo capital emprestado ou aplicado. A partir daí é possível desevolver várias aplicações tais como cálculo de motate, de descoto de títulos, de fiaciametos, aplicações, redas, aálise de ivestimetos, depreciação e etc. Basicamete existem dois tipos de capitalização: [Capitalização é a soma dos juros devidos ao pricipal, ampliado-se o mesmo e formado o motate] Capitalização Simples e Capitalização Composta. A Capitalização Simples (ou Juros Simples) cosiste o cálculo de juros de maeira que seu crescimeto, ao logo do tempo, ocorre liearmete. Os juros são calculados sobre o Capital Iicial. Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são calculados sobre o motate do período aterior, que já possui juros capitalizados. O crescimeto dos juros, ao logo do tempo, ocorre expoecialmete. Na capitalização composta, portato, paga-se mais juros que a capitalização simples (cosiderado mesma taxa de juros e mesmo período), exceto o caso do primeiro período de capitalização ode os juros são iguais. O Período de Capitalização é o período o qual os juros são capitalizados ou icorporados ao pricipal. Exemplo: se o período de capitalização é mesal etão os juros são icorporados ao capital a cada trita dias. A taxa de juros é o ídice que permite calcular os juros. Ela é geralmete expressa em percetual e deve, obrigatoriamete, refereciar o período de capitalização. Exemplos: 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ao. Serão abordados, esta apostila, os seguites tópicos: cálculo de capital, juros, períodos, motate e taxa de juros para os regimes de capitalizações simples e composta. Descotos simples e compostos (bacários e racioais). Taxas de juros omiais, proporcioais, efetivas e equivaletes. Equivalêcia de capitais. Auidade ou série de pagametos uiformes. Amortizações: Sistema Price e Sistema de Amortização Costate (SAC), e aida é desevolvido um modelo de amortização o regime de capitalização simples. Aálise de Ivestimetos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor Presete Líquido e pela Taxa Itera de Retoro. Maurício R. Cury Edição

5 Em cada tópico estudado serão resolvidos algus exercícios e propostos outros com seus respectivos resultados. Nomeclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os cohecidos uiversalmete e utilizados as calculadoras fiaceiras e plailhas eletrôicas. Os pricipais símbolos são: Símbolo Símbolo Defiição Alterativo C [Preset Value] Valor Presete, Capital Iicial M [Future Value] Valor Futuro, Motate J INT {Iterest] Juros i t Taxa de Juros Tempo, Período, Número de Prestações PMT [Paymet] Pagameto, Prestação VPL N [Net Preset Value] Valor Presete Líquido TIR IRR [Iteral Rate of Retur] Taxa Itera de Retoro Maurício R. Cury Edição

6 2. Juros Simples 2.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor pricipal (ou capital iicial). Os juros acumulados crescem, ao logo do tempo, de maeira liear coforme uma progressão aritmética. Observe o seguite diagrama, ode o capital iicial aplicado é 1.000, a taxa de juros simples é i1% por período (O período poderá estar em qualquer uidade de tempo: dia, semaa, mês, semestre, ao, etc.) INT 1 10 INT 2 10 INT 3 10 INT Períodos Em qualquer período (1 ou 2 ou 3 ou 4) o juro é sempre calculado sobre o capital iicial (valor presete), 1% de 1.000, INT j 10. Cosiderado : capital iicial ou valor presete motate ou valor futuro i taxa de juros úmero de períodos que os juros serão capitalizados INT juros calculados o período Fórmulas para capitalização simples: j j1 INT j j + j 1 INTj i No exemplo acima, os valores para cada período são: Maurício R. Cury Edição

7 Período Juros Juros Capital Acumulados Note que o capital cresce segudo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e motate correspodetes à uma aplicação de um capital de R$ durate 55 dias à uma taxa de 15% ao ao? Pela fórmula: INT , , , ,50 Observações: - foi cosiderado ao comercial (de 360 dias). Note que o uso da fórmula, e i tem a mesma periodicidade. No caso de ao exato (de 365 dias): 55 INT , , , ,41 Caso esteja omisso, adota-se o ao comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias).. As fórmulas utilizadas para o regime de capitalização simples são: 1 ( + i ) 1 ( + i ) 1 i Maurício R. Cury Edição

8 1 i Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade coforme a uidade de. Por exemplo: se estiver em meses, a taxa deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ao etão deve estar em aos. Exercícios: 1. Um capital de $ foi aplicado durate 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Motate após este período. 2. Quato tempo deve ficar aplicado um capital de $ para formar um motate de $ se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ao? 3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de 4,2% ao trimestre, durate 14 meses, e formou um motate de $6.697,60. Calcular este capital. 4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um capital de $ , durate 28 bimestres, gera um motate de $ Um capital de $ foi aplicado durate 10 meses à uma taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o motate foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de 1,24% ao mês. Calcular o motate após este período. 6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado para que, após dois aos, ele triplique de valor? 7. Um certo capital foi aplicado durate 6 trimestres à uma taxa de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o motate foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultado um motate de $ Perguta-se qual foi o capital iicialmete aplicado? 8. Quato tempo será ecessário para que um capital quituplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês? 9. O que rede mais: Alterativa I: aplicar um capital durate dois aos, à uma taxa de juros de simples de 3,2% ao mês; Alterativa II: aplicar, durate dois aos, 30% deste capital à uma taxa de 5% ao mês e o restate à uma taxa de 2,8% ao mês Maurício R. Cury Edição

9 10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de $5.000 durate um ao forma um motate de $5.900? Repetir o cálculo cosiderado taxa de juros mesal. 2.2 Descoto Simples Por muitas vezes as empresas ecessitam de recursos fiaceiros de terceiros. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação cohecida como descoto de título de crédito. O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de alguém com a empresa para o pagameto em uma determiada data. A empresa ecessitado da atecipação deste diheiro recorre à uma istituição fiaceira que aplica um descoto o valor do título. Este descoto é o juro cobrado pela istituição fiaceira pela atecipação do diheiro. Chama-se Valor de Face, ou Valor Nomial do título, o valor omialmete expresso este título. O Valor de Resgate é o valor atecipado pelo Baco após ser aplicado o descoto. A Taxa de Descoto é o ídice usado para calcular o descoto e o Período de Atecipação é em quato (tempo) o título foi atecipado. Chama-se Descoto Simples por ser calculado detro do regime de capitalização simples. O Descoto pode ser de dois tipos : (I) Descoto Simples Bacário, ou Comercial ou Por Fora e (II) Descoto Simples Racioal, ou Por Detro. A omeclatura utilizada é: Valor de Resgate (ou Valor Presete, pois ocorre ates de ) Valor de Face ou Valor Nomial i Taxa de Descoto (taxa de juros e deve ser expressa com um determiada periodicidade). Período de atecipação D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal Descoto Simples Bacário Também chamado de Descoto Por Fora, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o Valor de Face do título. Db i Maurício R. Cury Edição

10 Db Destas duas fórmulas vem: i i 1 ( i ) ou 1 ( i ) i 1 1 i Exercícios: 11. Qual o valor do descoto de um título de $ descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples bacário de 2,8% ao mês? 12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples bacário utilizada foi de 3,2% ao mês? 13. Um título de $ foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $ Calcular a taxa de descoto simples bacário utilizada. 14. Um título de $ foi resgatado por $ sedo aplicada uma taxa de descoto simples bacário de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $ e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 16. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por Maurício R. Cury Edição

11 descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples bacário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Valor Vecimeto Nomial Título 1 $ dias Título 2 $ dias Título 3 $ dias Título 4 $ dias Título 5 $ dias Título 6 $ dias Descoto Simples Racioal Também chamado de Descoto Por Detro, pois a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate. Dr Dr i i 1 1 ( + i ) ( + i ) 1 i 1 i Exercícios: 17. Qual o valor do descoto de um título de $ descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto simples racioal de 2,8% ao mês? Maurício R. Cury Edição

12 18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias ates do seu vecimeto por $1.280 sabedo-se que a taxa de descoto simples racioal utilizada foi de 3,2% ao mês? 19. Um título de $ foi resgatado 45 dias ates do seu vecimeto por $ Calcular a taxa de descoto simples racioal utilizada. 20. Um título de $ foi resgatado por $ sedo aplicada uma taxa de descoto simples racioal de 7,9% ao trimestre. Calcule quato tempo o pagameto deste título foi atecipado. 21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90 dias ates do seu vecimeto, por $ e aplicou este valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Perguta-se se esta operação foi vatajosa. 22. Uma empresa possui 6 títulos de diferetes valores e vecimetos coforme tabela abaixo. Ela decide por descotá-los um baco que aplica taxa de descoto simples racioal de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total resgatado pela empresa. Título Valor Vecimeto Nomial Título 1 $ dias Título 2 $ dias Título 3 $ dias Título 4 $ dias Título 5 $ dias Título 6 $ dias Maurício R. Cury Edição

13 3. Juros Compostos 3.1 Coceitos e Cálculos No regime de juros compostos os juros calculados um período serão acrescidos ao capital pricipal para o cálculo dos juros o próximo período. Por esta razão diz-se, o caso de regime de capitalização composta, juros sobre juros. Observe o diagrama abaixo, ode é aplicado um capital de $ durate períodos à uma taxa de 1% por período , ,10+10, ,30+10,30 INT 1 10 INT 2 10,10 INT 3 10,20 INT 4 10, Períodos No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital gerado juros INT 1 10 e formado o motate (1), No segudo período a taxa de juros foi aplicada sobre o motate do período aterior (1), , gerado juros de INT 2 10,10 e formado o motate ,10. E assim sucessivamete a cada período. Revedo : de Valor Presete ou Capital Iicial de Valor Futuro ou Motate INT de Juros i de taxa de juros de período ou tempo O Motate pode ser calculado pela seguite fórmula: + j 1 j INTj j ou i) i) i)... ( i) vezes Maurício R. Cury Edição

14 ( i) 1 + Da mesma maeira, para calcular o Valor Presete: 1 ( + i) Os Juros são calculados pela fórmula: INT- No exemplo acima, para cada período: Período Juro Capital , , , , , , , , ,60 Note que o capital e os juros crescem segudo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa: i) 1+ i i) 1 i 1 1 Para o cálculo do úmero de períodos: Maurício R. Cury Edição

15 i) i) ( + i) l ou log i) l 1 l 1 log ( + i) l ou log i) log l l i) ou log log 1 ( + i) Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado durate 4 aos à uma taxa de 12% ao ao? (1 + 0,12) , ,18 2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 10 meses para produzir um motate de $5.800? ,03) , ,74 3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durate 3 aos? Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar 3 aos para 6 semestres. +INT , ,56 Maurício R. Cury Edição

16 i , , ,045 4,5% a. s. 4. Durate quato tempo devo aplicar um capital de $ , à uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mesalmete, para obter um motate de $ ,51? ,51 l l , , 50 ( + i) l 0,015) l 1 0, meses Exercícios: 23. Calcular o motate de um capital de $ aplicado durate 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 24. Um capital de $ foi aplicado durate 2 semestres à uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre, capitalizável semestralmete. Após este período, o capital resultate foi aplicado por mais 3 aos à uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizável trimestralmete. Calcular o valor do motate após este período. 25. Quato de capital é ecessário aplicar hoje, para que daqui a 16 bimestres forme um motate de $3.950,67 sabedo-se que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao bimestre, capitalizável bimestralmete? 26. Qual a taxa de juros compostos ecessária para que um capital de $ forme um motate de $ durate 7 meses? 27. Em quato tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao mês triplica um determiado capital? 28. Numa determiada data foram aplicados dois capitais: um de $ à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês e outro de à uma taxa de juros compostos de 2,45% ao mês. Após quato tempo os motates das duas aplicações ficaram iguais? 29. Qual ivestimeto é mais retável: aplicar $ e resgatar $ após 7 meses ou, aplicar $ e resgatar $ após 12 meses? 30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2 aos? Maurício R. Cury Edição

17 31. Se a cadereta de poupaça rede 0,5% ao mês, quato deverei aplicar para que ela reda juros de $ após 6 semestres? 32. Uma loja está vededo um televisor por $1.500 a vista ou em duas parcelas mesais de $766,50 cada, sedo a primeira de etrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabedo que daqui a um mês esta aplicação me rederá $75,00 de juros, qual a maeira mais vatajosa para mim se eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacado todo o diheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacado o suficiete para dar a etrada e deixar o restate aplicado durate um mês para depois pagar a seguda prestação? 3.2 Cálculo do motate para período fracioário Quado o úmero de períodos de capitalização for um úmero fracioário, existem dois critérios para se calcular o motate Coveção Expoecial Neste caso são usados juros compostos tato para a parte iteira como para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: 1 k + ( + i) m ode é a parte iteira do úmero de períodos e k/m é parte fracioária do úmero de períodos. Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização mesal, temos 7 e k/m15/300,5. Ou para um período de 1 ao e 20 dias e capitalização aual temos 1 e k/m20/3600, Exemplos: 1. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmete, durate 310 dias? Para passar o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias 5, k/m ,03) , , Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? Maurício R. Cury Edição

18 Neste caso 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias) ( 1 + 0,02) , , Coveção Liear Neste segudo critério são usados juros compostos para a parte iteira e juros simples para a parte fracioária do período. Adota-se a seguite fórmula: i) 1+ i k m Utilizado os dados do exemplo 2 aterior: 2. Qual o motate gerado por um capital de $ aplicado à uma taxa de 2% ao mês, capitalizável mesalmete, durate 6 meses e 10 dias? 6, k10 e m30 (1 mês tem 30 dias) Exercícios: ,02) 1+ 0, , , , 25 Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados: 33. Calcular o motate de um capital de $ aplicado durate 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmete. 34. Um capital de $ foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 18,4% ao ao, capitalizável aualmete, durate 6 aos e 3 trimestres. Calcular o motate. 35. Um capital de $ foi aplicado à uma taxa de juros compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável quadrimestralmete, durate 2 aos e 2 trimestres. Calcular o motate. Maurício R. Cury Edição

19 3.3 Descoto Composto Os coceitos de descoto composto são os mesmos que os de descoto simples, vistos ateriormete. A difereça é que o descoto composto está o regime de capitalização composta. Ele pode ser Descoto Composto Bacário (ou por Fora) ou Descoto Composto Racioal (ou por Detro), sedo este segudo o mais utilizado pelas istituições fiaceiras. Os termos utilizados esta operação são os mesmos do descoto simples. Relembrado: - Valor Nomial ou Valor de Face do título () é o valor do título a data do seu vecimeto; - Valor de Resgate do título () é o valor atecipado recebido pelo credor; - Descoto (D) é o valor cobrado pela istituição que realizou a operação; D b Descoto Bacário D r Descoto Racioal - Período de Atecipação () é em quato tempo o baco adiatou o pagameto; - Taxa de Descoto (i) é a taxa de juros, com determiada periodicidade, cobrada pela istituição fiaceira Descoto Composto Racioal, ou Por Detro Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de resgate do título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas o item sobre Juros Compostos, exceto a primeira: Dr ( i) ( + i) i 1 1 Maurício R. Cury Edição

20 l l i) Exemplos: 1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descotado 2 meses ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto racioal composto de 3,5% ao mês? Qual o valor do descoto? i) 0,035) , ,85 D r ,85319,15 O valor de resgate é de R$4.480,85 e o descoto é de R$319,15 2. Qual a taxa de descoto racioal composto foi aplicada a uma duplicata de R$2.100 resgatada 90 dias ates do seu vecimeto por R$1.924,60? i , ,0295 2,95% a. m Descoto Composto Comercial ou Bacário ou Por Fora Neste caso a taxa de descoto é aplicada sobre o valor de face do título. As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir: Db 1 1 ( i) ( i) Maurício R. Cury Edição

21 i 1 1 l l 1 ( i) Exemplos: 1. Quato tempo foi atecipado um título de R$ resgatado por R$12.507,53, sabedo que o baco aplica uma taxa de descoto composto comercial de 3,25% ao mês? a) pela fórmula: l l ,53 l ( i) l( 1 0,0325) 0, , ,5 Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias. 2. Qual o valor do descoto que o Baco aplicou sobre um título de R$3.050, descotado 45 dias ates do seu vecimeto à uma taxa de descoto bacário composto de 4% ao mês? 1,5 ( 1 i) ( 1 0,04) , , 84 D b ,84181,16 O valor do descoto é de R$181,16 Exercícios: Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Descoto Racioal e Descoto Bacário): 36. Um título de $ foi resgatado 130 dias ates do seu vecimeto. Se o baco utiliza uma taxa de descoto composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do título e o valor do descoto. Maurício R. Cury Edição

22 37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses ates do seu vecimeto. Calcular o valor de face deste título sabedo-se que a taxa de descoto composto utilizada foi de 6,2% ao bimestre. Calcule também o valor do descoto. 38. Quato tempo foi atecipado um título de $40.000, resgatado por $38.451, se a taxa de descoto composto é de 9% ao trimestre? 39. Se um título de $ é resgatado 85 dias ates do seu vecimeto por $92.145, calcule qual a taxa de descoto composto utilizada. 40. Uma empresa descotou um título de $45.000, 45 dias ates do seu vecimeto, por $38.376,94. A empresa aplicou este valor o mercado fiaceiro e após 30 dias redeu juros de $1.074,55. Aalisar se esta operação foi vatajosa para a empresa levado-se em cota que o diheiro cotiuou aplicado após os 30 dias. 41. Uma empresa realizou o descoto de vários títulos em vários bacos que praticam taxas de descoto composto diferetes, coforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total obtido o mercado fiaceiro à uma taxa de juros compostos de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrado a evolução dos juros e do motate desta aplicação, a cada mês, até o sexto mês. Baco Valor do Título Vecimeto Taxa de Descoto Baco 1 $ dias 6,38% ao bimestre Baco 2 $ dias 8,87% ao trimestre Baco 3 $ dias 3,74% ao mês Baco 4 $ dias 3,01% ao mês Baco 5 $ dias 0,15% ao dia Maurício R. Cury Edição

23 4. Taxa de Juros omial, proporcioal, efetiva e equivalete Taxa de Juros omial é aquela cujo valor é uma referêcia. Geralmete é expressa para periodicidade aual e trasformada para periodicidade meor de forma proporcioal. Taxa de Juros proporcioal é aquela calculada proporcioalmete ao juro omial (como o juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros mesal proporcioal à 12% ao ao? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1% ao mês. Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamete é aplicada o cálculo. Taxas de juros equivaletes, quado duas ou mais taxas com periodicidades diferetes são aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo tempo e produzem o mesmo motate, diz-se que elas são equivaletes. No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivaletes utiliza-se a seguite fórmula: ( 1 + ) ieq i ode 2/1 é a relação etre a periodicidade das taxas equivaletes. Exemplos: cosiderado uma taxa omial de 24% ao ao o regime de capitalização composta: São taxas proporcioais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao semestre, etc Se a capitalização é mesal, etão 2% ao mês é a taxa efetiva. As taxas a seguir são equivaletes à 2% ao mês: i i i i eq eq eq eq 0,02) 0,02) 3 1 0,02) ,0404 4,04% a. b. 1 0,0612 6,12% a. t. 1 0, ,62% a. s. 0,02) , ,82% a. a. Ou seja, se aplicar um capital a 2% a.m. durate meses, produzirá o mesmo motate se for aplicado este capital a 4,04% a.b. durate /2 bimestres ou a 6,12% a.t. durate /3 trimestres ou a 12,62% a.s. durate /6 semestres ou a 26,82% a.a. durate /12 aos. Maurício R. Cury Edição

24 Observação: Apesar de ão ser muito aplicado, pode-se dizer que uma taxa equivalete o regime de juros simples, é a taxa proporcioal. Por exemplo, uma taxa omial de 12% ao ao, o regime de juros simples, 1% ao mês é uma taxa proporcioal e é também a taxa efetiva (é efetivamete usada o cálculo dos juros) e a taxa equivalete (produz o mesmo motate que 12% ao ao, se aplicada ao mesmo capital, durate o mesmo período). Exercícios: 42. Calcular as taxas equivaletes mesais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais e auais cosiderado: (a) Taxa omial de 18,24% ao ao e capitalização composta mesal; (b) Taxa omial de 26% ao ao e capitalização composta semestral; (c) Taxa omial de 8,9% ao ao e capitalização composta trimestral 43. Calcular as seguites taxas equivaletes (capitalização composta): (a) 14% ao ao em taxa mesal (b) 4% ao trimestre em taxa aual (c) 8% ao semestre em taxa aual (d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral (e) 1,2% ao mês em taxa diária (f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral 44. Qual das seguites taxas de juros compostos apreseta maior retabilidade? (a) 1,90% ao mês (b) 3,75% ao bimestre (c) 5,75% ao trimestre (d) 12,00% ao semestre (e) 24,00% ao ao Maurício R. Cury Edição

25 5. Iflação e correção moetária Iflação sigifica simplesmete aumeto de preços durate um período. Em maior ou meor grau ela está presete a ecoomia de todos os países. A iflação pode ter diversas causas como aumeto da demada dos produtos e desvalorização da moeda acioal por emissão exagerada de diheiro. Se um determiado período houver retração os preços, a deomiação dada é deflação. A correção moetária visa corrigir a perda moetária causada pela iflação. No Brasil existem diversos ídices para correção moetária, cada um com uma base de cálculo e uso específicos. Algus dos ídices de iflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M, INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC. Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Ídice Nacioal de Preço ao Cosumidor), que é um ídice calculado pelo IBGE. A variação dos preços, o caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de cada mês e tem, como uidade de coleta, estabelecimetos comerciais e de prestação de serviços, cocessioária de serviços públicos e domicílios (aluguel e codomíio). A população-objetivo do INPC abrage as famílias com redimetos mesais compreedidos etre 1 e 6 saláriosmíimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação pricipal e residete as áreas urbaas das regiões qualquer que seja a fote de redimetos, e residetes as áreas urbaas das regiões. A tabela a seguir mostra todos os ídices do INPC o ao de Mês de 2010 INPC INPC acumulado o ao Mês de 2010 INPC INPC acumulado o ao Jaeiro 0,88% 0,8800% Julho -0,07% 3,3112% Fevereiro 0,70% 1,5861% Agosto -0,07% 3,2389% Março 0,71% 2,3074% Setembro 0,54% 3,7963% Abril 0,73% 3,0543% Outubro 0,92% 4,7513% Maio 0,43% 3,4974% Novembro 1,03% 5,8302% Juho -0,11% 3,3836% Dezembro 0,60% 6,4652% Observe que os ídices egativos dos meses juho, julho e agosto, idicam uma deflação este período e, os demais meses, iflação. Maurício R. Cury Edição

26 Para eteder estes úmeros, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 o dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de jaeiro de 2010 ela teria que dispor de R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 R$ 100,88 e teria que dispor de R$ 100,88 x 1,007 R$ 101,58 em 28 de fevereiro de O objetivo pricipal deste módulo é o cálculo da correção moetária com ou sem juros agregados. Primeiramete trataremos do cálculo da iflação acumulada um determiado período. c ( + c ) ( 1 + c ) c )... ( 1 + c ) 1 ac Ode c ac iflação acumulada o período de 1 a. C j iflação o período j (j1,2,3...) Como exemplo, qual o INPC acumulado o primeiro semestre de 2010? c 1,0088 1,007 1,0071 1,0073 1,0043 0, ,3836% ac Para o cálculo da correção moetária um determiado período: 1 + ( ) c ac Para fazer a correção moetária de um valor de R$ 500 em 31 de dezembro de 2009 para 30 de juho de 2010: 500 1, , Taxa de juros omial e taxa de juros real No item aterior foi tratada apeas a correção moetária. Em muitos cálculos a ecoomia, além da correção moetária há a adição de juros, como por exemplo o cálculo da cadereta de poupaça e do FGTS. Os juros represetam o redimeto real obtido, sedo deomiados juros reais. Os juros reais mais a correção moetária são os juros omiais. Para o cálculo da taxa de juros omial, um determiado período, temse: i i ) c ) 1 N ac ac Ode i N taxa de juros omial do período i ac taxa de juros real o período Exemplos: Maurício R. Cury Edição

27 1. Se determiada aplicação rede juros reais de 0,5% ao mês mais correção moetária segudo o INPC: - Taxa de juros omial em setembro de 2010: i N 1,005 1, ,043% - Taxa de juros real acumulada o ao de 2010: i ac 1, ,168% - Taxa de juros omial acumulada o ao de 2010: i N 1, , ,03% - se foi aplicado um valor de R$ em 31/12/2009, o motate em 31/12/2010 seria de , ,30 2. Qual o INPC acumulado o 2º semestre de 2010? c 0,9993 0,993 1,0054 1,0092 1,0103 1, ,98% ac 3. Se um valor de R$ foi aplicado em 30/06/2010, um fudo que rede juros reais de 0,25% ao mês mais correção moetária pelo INPC, calcular a taxa de juros real, a taxa de juros omial e o valor do motate em 31/12/2010. Taxa de juros real: i ac 1, ,5094% Taxa de juros omial: i N 1, , ,5344% Motate em 31/12/2010: , ,17 Exercícios: Cosidere a tabela a seguir do IPC (Ídice de Preços ao Cosumidor) de 2009 e 2010, para a resolução dos exercícios. O IPC/FIPE mede a variação de preços para o cosumidor a cidade de São Paulo com base os gastos de quem gaha de um a vite salários míimos. Maurício R. Cury Edição

28 IPC Jaeiro 0,4600% 1,3400% Fevereiro 0,2700% 0,7400% Março 0,4000% 0,3400% Abril 0,3100% 0,3900% Maio 0,3300% 0,2200% Juho 0,1300% 0,0400% Julho 0,3300% 0,1700% Agosto 0,4800% 0,1700% Setembro 0,1600% 0,5300% Outubro 0,2500% 1,0400% Novembro 0,2900% 0,7200% Dezembro 0,1800% 0,5400% 45. Calcular o IPC acumulado de 1º de juho de 2009 até 30 de setembro de Calcular o IPC médio mesal do ao de Sobre um capital de R$ 580,00 foi aplicada uma correção moetária segudo os ídices do IPC de 31/12/2008 a 31/05/2009. Calcular o valor deste capital em 31/05/ No período de 31 de jaeiro de 2010 a 31 de março de 2010, uma aplicação redeu juros reais mais correção moetária, pelo IPC, de 1,7396%. Calcular a taxa de juros real. Maurício R. Cury Edição

29 6. Equivalêcia de Capitais Equato as taxas equivaletes são aquelas que com periodicidades diferetes, produzem o mesmo motate, se aplicadas sobre o mesmo capital durate o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são equivaletes se, trabalhado com uma determiada taxa de juros, eles forem trasportados para uma determiada data focal, seus valores serão iguais. Obs.: Data focal é a data para qual serão trasportados os valores com os quais se trabalha. Em outras palavras, cosiderado uma taxa i e dois capitais, um a data 3 e outro a data 10, estes capitais serão equivaletes se, trasportados para uma data focal qualquer através da taxa i, eles apresetarem o mesmo valor. Exemplo 1: o três capitais do diagrama abaixo são equivaletes para a taxa de juros compostos de 2% ao mês: 4.080, , , Meses Data Focal 0: Levado todos estes valores para a data focal zero, a 2% ao mês, obtêm-se o mesmo valor: Como cada um dos valores será levado para uma data aterior, etão cada um deles será a sua data e a data focal 0. Usado a fórmula de motate para juros compostos: , ,64 ( i) ,02) 0,02) , , , ,02) Coclui-se que os capitais $4.080 a data 1, $4.504,64 a data 6 e $4.686,64 a data 8 são equivaletes o regime de juros compostos à uma taxa de 2% ao mês. Maurício R. Cury Edição

30 Se estes capitais são equivaletes, etão para qualquer data focal que eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo: - Data Focal 6: , ,64 5 0,02) 0,02) , , , , ,64 1, ,02) 4.504, 64 - Data Focal 4: , ,64 0,02) 3 0,02) , , , ,72 1, ,64 1, ,02) 4.329, 72 Todos os capitais acima são equivaletes o regime de juros compostos, à uma taxa de 2% ao mês. Exercícios: 49. Cosiderado o regime de capitalização composta e uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcular o capital equivalete de $15.000: (a) a data focal 4 meses ates (b) a data focal 15 meses depois. 50. Uma empresa desejar trocar um título de $58.000, vecível daqui a 6 meses por outros dois títulos de valores omiais iguais, sedo o primeiro vecedo hoje e outro daqui a 3 meses. Calcular os valores destes ovos títulos cosiderado uma taxa de juros compostos de 2,05% ao mês. 51. Esta mesma empresa deseja trocar dois títulos (o primeiro de $ , vecível em 1 ao e o segudo de $ , vecível em 2 aos) por outros dois de valores omiais iguais com vecimetos um daqui a 6 meses e o outro daqui a 3 aos. Se a taxa de juros compostos é de 10,5% ao semestre, calcular os valores dos ovos títulos. 52. Um automóvel é vedido à prazo em 5 prestações de $6.200, sedo a primeira de etrada. Se a cocessioária Maurício R. Cury Edição

31 usa uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês, calcular o valor a vista deste automóvel. 53. Quato será a prestação de um fiaciameto o valor de $ a ser pago em 3 parcelas iguais mesais, sedo a primeira em 30 dias, sabedo-se que a taxa de juros omial usada é de 54% ao ao? Cosiderar regime de capitalização composta. 54. Se eu estiver trabalhado com uma taxa de juros compostos de 7% ao trimestre o que é mais vatajoso fiaceiramete: Possuir hoje $ ou possuir $ daqui a 3 aos? Maurício R. Cury Edição

32 6 Auidade ou Séries de Pagametos Uiformes Quado se cotraí uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determiado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais, sedo amortizada a cada período. Da mesma maeira, quado se iveste um diheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sedo capitalizado a cada período. Os casos de pagameto de dívida e recebimeto de ivestimeto de uma só vez, após um determiado período, já foram vistos ateriormete os ites sobre capitalização simples e composta. Neste item serão vistos os casos de parcelametos iguais das dívidas e ivestimetos, utilizado amortização/capitalização compostas. Será usado o método Price ode as prestações possuem o mesmo valor. Supoha um empréstimo o valor, à uma taxa de juros compostos de i por período e deverá pagar esta dívida em parcelas periódicas de valor PMT cada. Aida existem duas modalidades de pagameto: 1. As parcelas são pagas ao fial de cada período. Neste caso deomia-se pagameto postecipado. 2. As parcelas são pagas o iício de cada período. Neste caso deomia-se pagameto atecipado. 6.1 Auidade com Parcelas Postecipadas Períodos PMT PMT PMT PMT PMT Cosiderado SD j como o saldo devedor ao fial do período j : SD1 SD2 SD SD2 SD3 SD SD3 i) PMT 1 i) PMT [ i) PMT] i) 2 i) PMT i) PMT 2 2 i) PMT i) PMT i) 3 2 i) PMT i) PMT i) PMT PMT [ PMT] i) PMT Maurício R. Cury Edição

33 e assim sucessivamete. Nota-se que a expressão geérica do saldo devedor é: SD j j j 1 i) PMT i) j 1 Quado j, o saldo devedor deve ser igual a zero, pois após o último pagameto PMT ao fial do período a dívida deverá ser liquidada. Etão: 0 i) PMT i) j i) PMT i) j 1 j j 1 j 1 j 1 A expressão é a soma de uma PG (progressão geométrica) sedo o primeiro termo a 1 1 (para j1), com termos e razão q(1+i). Aplicado a fórmula da soma de uma PG, temos que: j j 1 PG i) PMT i) ( q 1) a1 q 1 i) j 1 1 j j 1 i i) 1 PMT i) i) 1 i) j 1 i i dividido umerador e deomiador por i) Maurício R. Cury Edição

34 PMT i 1 1 i) PMT i 1 i) Da mesma forma temos: i) 1 PMT i Exemplos: 1. Um fiaciameto de R$ a ser pago em 20 prestações mesais iguais, sedo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguite valor da prestação: PMT i ,02 i) 1 0,02) 200 0, ,57 2. Quato deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retoro, 12 parcelas mesais de R$1.800, sedo a primeira um mês após a aplicação, e sabedo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? 1 PMT i) 1 0,012) i , , , , Valor Futuro ou Motate Aqui a questão é o cálculo do motate ou valor futuro quado se deposita várias parcelas iguais e uiformes ao logo do tempo, coforme mostrado o diagrama abaixo: Maurício R. Cury Edição

35 Períodos PMT PMT PMT PMT PMT A última parcela coicide com o valor do motate. PMT ( + i) 1 1 i PMT i i) 1 Exemplos: 1. Quato deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$ daqui a 12 meses aplicado o diheiro à uma taxa de 1,5% ao mês, cosiderado que o resgate ocorrerá o mometo da última parcela? PMT i ,015 1 i) 1 0,015) , ,00 2. Quato terá, ao fial de 5 aos, uma pessoa que deposita o fial de cada ao R$ aplicados à uma taxa de 21% ao ao? PMT i) 1 0,21) i , , ,74 Maurício R. Cury Edição

36 6.2 Auidade com Parcelas Atecipadas Períodos PMT PMT PMT PMT PMT PMT São parcelas de valor PMT cada (a primeira em 0 e a última em -1). Como a primeira parcela é paga a data 0 (dada como etrada), o valor fiaciado/aplicado, a realidade é -PMT. PMT i [ 1 i) ] i) [ 1 i) ] i) PMT i Exemplos: 1. Um fiaciameto de R$ a ser pago em 20 prestações mesais iguais, sedo a primeira como etrada, e com uma taxa de juros de 3% ao mês, terá como prestação: PMT ,03 [ 1 0,03) ] 0,03) 300 0, ,58 2. Qual o valor a vista de uma mercadoria vedida a prazo em 8 prestações mesais de R$160,00, sedo a primeira de etrada, sabedo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês? [ 1 0,022) ] 0,022) 0,022 26, ,60 0,022 Maurício R. Cury Edição

37 6.2.1 Valor Futuro ou Motate Cosiderado agora, que as parcelas são atecipadas, ou seja, a última parcela ocorrerá um período ates do motate: Períodos PMT PMT PMT PMT PMT PMT i) 1 PMT 1 i ( + i) PMT i [ i) 1] i) Exemplo: Se eu depositar um fudo de ivestimetos, o iício de cada mês, R$1.500, durate 10 meses, quato terei o fial do décimo mês, se o fudo remuera à uma taxa de 0,8% ao mês? ,008) 0, ,41 0,008 0,008) , Reda Perpétua O coceito de reda perpétua é utilizado pelas istituições que oferecem previdêcia privada. A reda perpétua, como o próprio ome diz, ão tem prazo para acabar e portato ão há motate a ser calculado. O que ela garate, é uma reda periódica (baseada a taxa de juros e capital iicial) e o capital iicial (que ão será capitalizado em depreciado). Para o cálculo da reda periódica utilizamos a seguite fórmula: PMT i Maurício R. Cury Edição

38 E para o cálculo do valor pricipal (capital iicial): PMT i Exemplos: A) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma reda mesal perpétua de R$2.000, sabedo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês? PMT i , Ou seja, uma pessoa com capital de $ que aplicá-lo à um 1% ao mês, terá uma reda perpétua de $2.000 mesais pois ão há descapitalização do pricipal. B) Uma istituição de previdêcia privada utiliza-se das seguites taxas de juros: paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (cotribuições) feitos pelos seus clietes e paga 0,45% ao mês sobre o capital acumulado para compor a reda vitalícia (aposetadoria) deles. De quato deverá ser a aposetadoria de uma pessoa que cotribui com R$66,36 mesais durate 35 aos? Primeiramete devemos calcular o quato ela irá acumular ao logo dos 35 aos: A pessoa terá, após os 35 aos de cotribuição, um capital de R$ ,68 Portato o valor da sua aposetadoria (reda perpétua) será: PMT i ,68 0, ,00 Exercícios: 55. Um aparelho é vedido por uma loja a vista por $ Se a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês para fiaciar este aparelho, calcular o valor da prestação caso a veda ocorra em 10 parcelas iguais mesais. Cosiderar dois casos: com e sem etrada. 56. Qual o valor a vista de uma mercadoria vedida a prazo em 6 prestações mesais de $233,00, sem etrada, e uma taxa de juros compostos de 3,03% ao mês? Maurício R. Cury Edição

39 57. Se uma mercadoria é vedida a vista por $840 ou parcelada em 5 prestações mesais iguais, com etrada, de $174,69, calcular a taxa de juros usada. 58. Se eu depositar $300 mesalmete durate 10 aos e se aplicação me reder 1,2% ao mês, quato terei ao fial deste período, o mometo que eu fizer meu último depósito? 59. Quato deverei depositar por semestre, para que após 6 aos eu teha acumulado $ , com uma taxa de juros de 7,42% ao semestre? 60. Uma pessoa está plaejado uma reda vitalícia para daqui a 20 aos de $3.500 mesais. Sabedo que a istituição fiaceira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quato ela deverá depositar mesalmete durate estes 20 aos? 61. Um determiado televisor é vedido pela Loja 1 em 24 prestações iguais mesais de $122,00 cada, sem etrada. A Loja 2 vede o mesmo televisor em 12 prestações de $228,67 cada, sem etrada. Se as duas lojas praticam juros a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor a vista é meor? 62. Desejado fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa procura um baco que pratica taxa de juros compostos de 3,8% ao mês. Se esta pessoa ão pode pagar mais de $1.500 por mês, qual o úmero de prestações que deverá ter este fiaciameto? 63. Hoje, certa pessoa possui $ aplicados um baco à uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja comprar um apartameto que lhe é oferecido as seguites codições: $ a vista ou $ de etrada mais 120 prestações mesais de $1.485,20 cada. Qual a melhor codição de compra? 64. Sadra asceu o dia 22/5/1947. A partir deste dia seus pais começaram a depositar o equivalete a $1,00 mesalmete um baco que paga uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês. Após a morte de seus pais ela cotiuou a efetuar os depósitos até o dia 22/4/2007. A partir de 22/5/2007 ela começou a viver dos juros proveietes da reda acumulada. Calcular o valor desta sua reda vitalícia e o capital que ela poderá retirar a qualquer mometo. Maurício R. Cury Edição

40 7. Amortizações Quado se cotrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez, após um determiado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto os ites 2 e 3 (Capitalizações Simples e Composta). O segudo foi visto, um caso particular, o item 6 (Auidade com pagameto uiforme) e tem como método de cálculo o sistema Price ou SFA (Sistema Fracês de Amortização). Regra geral, amortização sigifica reduzir o capital pricipal fiaciado. Quado se faz um empréstimo o seu pagameto ocorrerá através de prestações que são compostas de dois compoetes: amortização e juros. 7.1 Sistema Fracês de Amortização SFA - (Sistema Price) As características do sistema Price são: os valores das prestações são iguais, o valores das amortizações crescem ao logo tempo e o valores dos juros decrescem ao logo tempo. Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e o cálculo da prestação é realizado coforme demostrado o item 6. Vamos pegar um exemplo para ilustrar este sistema: Supoha um empréstimo cotraído de $ , a ser pago em 6 prestações auais (a primeira um ao após a tomada do diheiro) com amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ao: Valor da prestação: $ ,91 Plailha de Amortização: Ao Saldo Devedor Prestação Amortização Juros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 Observações: - As prestações são iguais, a amortização cresce ao logo do tempo e os juros decrescem ao logo do tempo; - Os juros de um determiado ao são calculados sobre o saldo devedor do ao imediatamete aterior, por exemplo, os juros de $ ,60 do ao 3 é correspodete à 15% (taxa de Maurício R. Cury Edição

41 juros) de $ ,64 (Saldo devedor do ao aterior, ou seja ao2); - A amortização de cada ao é a difereça etre a prestação e os juros do mesmo ao (Ao 4: $ ,06$ ,91- $90.469,85); - O saldo devedor de um determiado ao é a difereça do saldo devedor do ao imediatamete aterior pela amortização do ao vigete (Ao 2: $ ,64$ ,09-$ ,45) Caso com Período de Carêcia: Existem empréstimos ode há um período de carêcia, ou seja, o pagameto da primeira prestação ocorrerá algus períodos após a tomada do empréstimo. Geralmete, este tipo de empréstimo, os juros são capitalizados o período de carêcia. Exemplo: um empréstimo de $ , com 4 meses de carêcia, a ser pago em 7 prestações bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao bimestre. $ Bimestres Carêcia PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT No período de 0 a 2 (carêcia) serão capitalizados juros. Existem duas alterativas para o cálculo da prestação PMT: 1. Leva-se o valor de $ para a data focal 1 e cosidera-se as parcelas postecipadas ou 2. Leva-se o valor de $ para a data focal 2 e cosiderase as parcelas atecipadas. Tato em um caso como outro o resultado é o mesmo. No caso de parcelas postecipadas: Na data focal 1: i) ,045) Maurício R. Cury Edição

42 Calculado o valor da prestação: PMT 1 i ,045 i) 1 0,045) 11756,25 0, ,51 Portato o valor de cada prestação bimestral é de $44.334,51 No caso de parcelas atecipadas: Na data focal 2: PMT i) ,045) , 25 Calculado o valor da prestação: i ,25 0,045 [ 1 i) ] i) 1 0,045) [ ] 0,045) 12285,28 0, ,51 A tabela de amortização fica: Bimestre Saldo Devedor Prestação Amortização Juros (*) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,14 (*) O valor do saldo devedor de cada data já exclui os valores pagos de amortização e juros da mesma data. 7.2 Sistema de Amortização Costate SAC (Sistema Hamburguês) Neste sistema os valores das amortizações são iguais e os valores da prestações e dos juros decrescem ao logo do tempo. O valor de cada amortização é a divisão do valor fiaciado pelo úmero de prestações. Maurício R. Cury Edição

43 Exemplo: empréstimo de $ , a ser pago em 6 prestações auais (a primeira um ao após a tomada do diheiro) com amortização pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ao: Para calcular o valor da amortização em cada período: Amortização ,67 A tabela de amortização fica: Ao Saldo Devedor Prestação Amortização Juros , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 6 0, , , ,00 Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do período aterior. A valor de cada prestação é a soma da amortização com os juros respectivos. Exercícios: 65. Motar a plailha de amortização para um fiaciameto de $ , pelo Sistema Fracês de Amortização, que deve ser amortizado em 12 prestações mesais (parcelas postecipadas), sem carêcia, e com taxa de juros de 1,8% ao mês. 66. Motar a plailha de amortização para um fiaciameto de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com um ao de carêcia, e uma taxa omial de juros de 36% ao ao. Cosiderar: (a) Sistema Price (b) Sistema Hamburguês 67. Uma pessoa comprou um apartameto e captou parte do valor através de um baco, as seguites codições: Valor do apartameto: $ Valor da poupaça: $ (Dado de etrada) Número de Prestações: 24 mesais Amortização: Sistema Fracês de Amortização Taxa Nomial de Juros: 9% ao ao Maurício R. Cury Edição

44 Um mês após o pagameto da 12ª prestação, esta pessoa propôs ao baco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve pagar ao Baco? 68. Usado os dados do exercício aterior, cosiderar que esta pessoa resolveu, após o pagameto das 12 prestações, mover uma ação judicial cotra o Baco alegado que o Sistema Price ão poderia ter sido utilizado para o cálculo do fiaciameto pois fere a legislação vigete. Na ação ela propõe resolver o problema refiaciado o saldo devedor (após o pagameto da 12ª amortização) utilizado o sistema Hamburguês para pagar em 12 prestações. Motar a plailha de amortização desta proposta. 69. Descobrir qual o meor saldo devedor, após o pagameto de 12 parcelas mesais, de um fiaciameto de $ amortizado em 36 meses e com taxa de juros de 2,05% ao mês: se amortizado pelo sistema Fracês ou pelo Sistema Hamburguês? Nos dois casos, calcule também o total de juros pagos até a 12ª prestação. Maurício R. Cury Edição

45 8. Fluxo de Caixa e Aálise de Ivestimetos Aqui será visto a aálise de ivestimetos sobre o poto de vista fiaceiro. Não será levado em cota a aálise dos riscos evolvidos e outras cosiderações que geralmete são relevates a tomada de decisão sobre um ivestimeto. Existem vários métodos de aálise de ivestimetos, mas serão estudados apeas os dois mais utilizados: o Método do Valor Presete Líquido (VPL) e o Método da Taxa Itera de Retoro (TIR). O fluxo de caixa é uma tabela ou um diagrama ode são mostradas as etradas e saídas de diheiro de um empreedimeto, egócio, ivestimeto, etc, o decorrer de um determiado período. 8.1 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa pode ser represetado através de tabela ou diagrama: Julho/2003 Agosto/2003 Setembro/2003 Outubro/2003 Novembro/2003 Etrada $4.500 $7.500 $ Saída $ $1.500 $2.300 $4.700 Saldo ($16.000) ($1.500) $2.200 $7.500 $ Saldo Acumulado ($16.000) ($17.500) ($15.300) ($7.800) $2.300 Este exemplo mostra o fluxo de caixa de um empresa um período de cico de meses. A liha Saldo, cotém os saldos de cada mês. O saldo de cada mês é calculado pela etrada do mês meos a saída deste mês. A liha Saldo Acumulado cotém o saldo total do egócio acumulado mês a mês. Ele é calculado somado-se o saldo acumulado do mês aterior com o saldo do mês. No exemplo acima, supodo que o saldo acumulado deste egócio, o mês aterior a Julho/2003 (Juho/2003) seja igual a zero, etão teremos Saldo Acumulado de Julho/ ($16.000) Saldo Acumulado de Agosto/2003 ($16.000) + ($1.500) ($17.500) Saldo Acumulado de Setembro/2003 ($17.500) + $2.200 ($15.300) Maurício R. Cury Edição

46 Saldo Acumulado de Outubro/2003 ($15.300) + $7.500 ($7.800) Saldo Acumulado de Novembro/2003 ($7.800) + $ $2.300 Este fluxo de caixa pode ser represetado também por um diagrama, mostrado todas as etradas e saídas. Neste caso, as etradas são represetadas com setas para cima e as saídas com setas para baixo e todas com os respectivos valores como abaixo: $4.500 $7.500 $ Jul/2003 Ago/2003 Set/2003 Out/2003 Nov/2003 Mês $ $1.500 $2.300 $4.700 Para o uso a aálise de ivestimetos é mais prático usar o fluxo de caixa livre ode estão apeas os valores do saldo mesal como se segue: $2.200 $7.500 $ Jul/2003 Ago/2003 Set/2003 Out/2003 Nov/2003 Mês $ $ Taxa Míima de Atratividade Quado tomar uma decisão de ivestimeto o ivestidor deve ter um parâmetro de comparação etre o que ele cosidera desejável ou atrativo. Este parâmetro é chamado de Taxa Míima de Atratividade e represeta uma taxa de juros míima de retabilidade que o ivestidor deseja para aquele tipo de ivestimeto. Maurício R. Cury Edição

47 A taxa míima de atratividade é determia por cada ivestidor. Você pode ter ivestidores distitos que um mesmo tipo de ivestimeto teham taxas distitas. Por exemplo, para um determiado ivestidor aplicar um capital um empreedimeto imobiliário pode implicar em uma taxa míima de atratividade de 52% ao ao. Já para outro ivestidor, aplicar o mesmo capital este mesmo empreedimeto pode implicar uma taxa míima de atratividade de 45% ao ao. Este parâmetro será utilizado os métodos de aálise de ivestimetos. 8.3 Método do Valor Presete Líquido (VPL) Este método cosiste em calcular os capitais equivaletes de todas as etradas e saídas de caixa, a data focal ZERO, utilizado como taxa de juros a taxa míima de atratividade. Somam-se todos os capitais equivaletes das etradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os capitais equivaletes das saídas de caixa obtedo-se o Valor Presete Líquido (VPL) do ivestimeto. Se o VPL for maior que zero, implica que o ivestimeto é atrativo (tem retabilidade maior que a taxa míima de atratividade). Se o VPL for meor que zero, implica que o ivestimeto ão é atrativo (tem retabilidade meor que a taxa míima de atratividade). Se o VPL for igual a zero, implica que o ivestimeto tem retabilidade igual à taxa míima de atratividade. Para o cálculo do VPL: VPL FC 0 + FC 1 + FC 2 FC FC 2 3 ( 1 + tma) ( ) ( ) ( ) 1 + tma tma tma Ode, FC j fluxo de caixa livre do período j E tmataxa míima de atratividade Observação: para usar este método a comparação de duas ou mais alterativas de ivestimetos, o tempo de duração deve ser igual para todos os ivestimetos. Caso cotrário usa-se um artifício que veremos mais adiate. Maurício R. Cury Edição

48 Exemplo 1: Um ivestidor que adotou taxa míima de atratividade de 36% ao ao, deseja ivestir $ um empreedimeto que apreseta custos bimestrais de $ e receita mesal de $ durate 8 meses. Aalisar se o ivestimeto é atrativo. O primeiro passo é fazer o diagrama de fluxo de caixa: $ $ $ $ $ $ $ $ Mês $ $ $ $ $ tma 1, ,595% a. m VPL , , , , , , , , , Na HP12C: f CLEAR FIN CHS g CF g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j 2,595 i a f N O resultado é :VPL($21.112,07) Como VPL é meor que zero o ivestimeto ão é atrativo. Maurício R. Cury Edição

49 Exemplo 2: Um ivestidor deseja comprar um imóvel por $ Ele prevê gastar em reformas, $ o primeiro mês, $ o segudo mês, $ o terceiro mês, $ o quarto mês e $9.000 o quito mês e espera vedê-lo o sétimo mês por $ Usado o Método do VPL verificar se este ivestimeto é atrativo para uma taxa míima de atratividade de 42,6% ao ao. Fluxo de Caixa: $ Mês $ $ $ $ $ $9.000 tma 1, VPL ,00% a. m , ,03 1, ,03 1, , ,50 Pela HP12C: f CLEAR FIN CHS g CF CHS g CF j CHS g CF j 2 N j CHS g CF j 9000 CHS g CF j g CF j 3,00 i a f N Resultado: VPL$ ,50 > Como VPL é maior que zero etão o ivestimeto é atrativo. Maurício R. Cury Edição

50 8.3.1 Método do Valor Presete Líquido para Períodos Diferetes de Ivestimetos Na aálise de duas ou mais alterativas de ivestimetos pelo método do valor presete, deve-se verificar primeiramete se os períodos das alterativas são iguais. Caso estes períodos sejam diferetes etão é usado o seguite artifício: - calcular o míimo múltiplo comum dos períodos evolvidos; - em cada ivestimeto o fluxo de caixa de cada ivestimeto é repetidos tatas vezes quato forem ecessárias até atigir o valor do MMC, formado os fluxos de caixas equalizados. - Desta maeira todos os ivestimetos, para efeito de cálculos e aálise, ficarão com a mesma duração. - Exemplo 3: Um ivestidor tem três alterativas para ivestir $ coforme os fluxos de caixa abaixo: Ivestimeto 1: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ $ $ Ivestimeto 2: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ $ Ivestimeto 3: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ Se o ivestidor adotou uma taxa míima de atratividade de 25% ao ao verificar, pelo método do valor presete líquido, qual a melhor alterativa de ivestimeto. Maurício R. Cury Edição

51 Resolução: As durações dos ivestimetos são diferetes (4, 3 e 2 aos). O MMC destes três úmeros é igual a 12 aos. Para cada ivestimeto, é repetido o seu respectivo fluxo de caixa até atigir 12 aos. Os valores do Ao 0 devem coicidir com os valores do último ao do respectivo fluxo caixa: Ivestimeto 1: Seu fluxo de caixa deve ser repetido 3 vezes: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ $ (*) $ $ $ $ (*) $ $ $ $ $ (*) Observe que os aos 4 e 8 o valor de saída de $ é resultate da difereça dos $ de saída do ao 0 com o valor de etrada de $ do ao 4. O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Ivestimeto 1, é $ ,57 Ivestimeto 2: Repete-se seu fluxo de caixa 4 vezes: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Maurício R. Cury Edição

52 O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Ivestimeto 2, é $ ,01 Ivestimeto 3: Repete-se o fluxo de caixa 6 vezes: Ao Etradas Saídas 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ O VPL deste fluxo de caixa equalizado, do Ivestimeto 3, é: ($ ,09) Deste modo coclui-se que a melhor alterativa é o Ivestimeto 1 pois apreseta o maior VPL$ , Método da Taxa Itera de Retoro (TIR) Este método cosiste em ecotrar a taxa de juros que faz o VPL do fluxo de caixa se igualar à zero. Esta taxa de juros é chamada de TIR (taxa Itera de Retoro) e represeta a real retabilidade do ivestimeto. Para a aálise do ivestimeto cosidera-se: Se a TIR for maior que a taxa míima de atratividade, implica que o ivestimeto é atrativo (tem retabilidade maior que a taxa míima de atratividade). Se a TIR for meor que a taxa míima de atratividade, implica que o ivestimeto ão é atrativo (tem retabilidade meor que a taxa míima de atratividade). Se a TIR for igual a taxa míima de atratividade, implica que o ivestimeto tem retabilidade igual à taxa míima de atratividade. Maurício R. Cury Edição

53 Exemplo 1: Utilizado os dados do Exemplo 1 do item 8.3. VPL TIR TIR) TIR) TIR) TIR) TIR) TIR) TIR) Não existe um método aalítico para o cálculo da TIR, a equação acima. Deve-se recorrer a um método umérico. O resultado é TIR1,57% a.m. Pela HP12C: f CLEAR FIN CHS g CF g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j g CF j ENTER g CF j f IRR etão, pelo método da TIR, o ivestimeto ão é atrativo pois a TIR (1,57% a.m.) é meor que a taxa míima de atratividade (2,595% a.m.). Exemplo 2: Para o exemplo 2 do item 8.3, TIR6,26% ao mês ou 107,2% ao ao. Como a TIR é maior que a taxa míima de atratividade, etão o ivestimeto foi compesador. Exemplo 3: Para o exemplo 3 do item 8.3: Pelo método da TIR ão há a ecessidade de se ecotrar os fluxos de caixa equalizados. Usam-se os fluxos de caixas origiais. TIR 1 28,6% ao ao TIR 2 28,6% ao ao TIR 3 22,6% ao ao Maurício R. Cury Edição

54 Pelo método da TIR, os ivestimetos 1 e 2 são atrativos pois tem TIR superior à taxa míima de atratividade. O ivestimeto 3 ão é atrativo pois a TIR é iferior à taxa míima de atratividade. Comparado os ivestimetos 1 e 2, ambos apresetam, praticamete, a mesma retabilidade (TIR 1 TIR 2 ). 8.5 Comparação etre os Métodos da TIR e do VPL Ao se aalisar uma ou mais alterativas de ivestimetos com os métodos estudados deve-se tomar algus cuidados. O método da TIR pode apresetar vários resultados para um mesmo fluxo de caixa. Este método é utilizado por muitos profissioais da área fiaceira e marketig a tomada de decisão de ivestimetos. Sugerese o método da TIR seja usado por pessoas que teham profudos cohecimetos a área fiaceira pois ele apreseta algumas distorções e algus cuidados devem ser tomados. Deve-se dar preferêcia ao método do VPL, pricipalmete quado ocorrer de, ao aalisar dois ou mais ivestimetos, um determiado ivestimeto ser mais atrativo pelo método da TIR e ser meos atrativo pelo método do VPL. Quado um ivestimeto é aalisado isoladamete, se ele for atrativo pelo método do VPL, seguramete ele também o será pelo método da TIR. Porém a situação descrita o parágrafo aterior ocorre com certa freqüêcia e quado se deparar com ela escolha o método do VPL para a tomada de decisão. GRÁFICO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO Este gráfico facilita a vizualização do comportameto dos ivestimetos que estão sedo aalisados. Neste gráfico o VPL é colocado o eixo y e as taxas de juros o eixo x. Exemplo: Para um ivestimeto iicial de $50.000, com taxa míima atratividade de 12% ao semestre e com o seguite fluxo de caixa: Semestre Etradas Saídas 0 $ $ $ $ $ $ Maurício R. Cury Edição

55 O iteressate é motar uma tabela com as taxas e os VPL s e calcular cada VPL utilizado-se o método já visto. Taxa VPL 0% % % % % % % % % (1.212) 45% (6.100) 50% (10.280) 55% (13.879) 60% (16.998) Com estes valores traça-se o gráfico VPL x taxa: Gráfico do Valor presete Líquido Valor Presete Líquido TIR39% a.s % 5% 10% 12% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% taxa de descoto Note o seguite: 1. Para taxa igual a 0%, VPL98.500, que é a somatória de todos os saldos do fluxo de caixa ( ); 2. Para taxa igual a 12% (igual à taxa míima de atratividade), VPL é igual a , que pelo método do VPL sigifica que o ivestimeto é atrativo; Maurício R. Cury Edição

56 3. O poto o eixo da taxa de descoto ode a curva passa (quado VPL0) tem o valor da TIR (lembre-se que a TIR é taxa de juros que zera o fluxo de caixa a data focal ZERO); Este gráfico se tora mais útil quado utilizado a comparação de duas ou mais alterativas de ivestimeto. Outro exemplo: Cosidere duas alterativas de ivestimeto, para um capital iicial de $ , taxa míima de atratividade de 4% ao mês e com seus respectivos fluxos de caixa abaixo: Mês Ivestimeto Ivestimeto Ates de criar a tabela de VPL x taxa é iteressate calcular os valores da TIR de cada ivestimeto e dos VPL s segudo seus métodos: Ivestimeto 1 : TIR23,21% ao mês e VPL$ Ivestimeto 2 : TIR15,26% ao mês e VPL$ Pelo método da TIR o Ivestimeto 1 é melhor que o Ivestimeto 2 e pelo método do VPL o Ivestimeto 2 é melhor que o Ivestimeto 1. Etão, qual ivestimeto efetivamete é mais vatajoso que o outro? Maurício R. Cury Edição

57 A tabela VPL x taxa fica: E o gráfico resultate: Taxa Ivestimeto1 Ivestimeto2 0% % % % % % % % % (4.079) 18% (14.004) 20% (22.525) 22% (29.877) 24% (1.993) (36.249) 26% (6.752) (41.799) 28% (11.102) (46.652) 30% (15.093) (50.916) 32% (18.763) (54.677) Gráfico do Valor Presete Líquido Ivestimeto 2 VPL Poto de Equilíbrio TIR15,26% a.m. Ivestimeto 1 TIR23,21% a.m. 0 7,30% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 24% 28% 32% Taxa Mesal Observado as curvas deste gráfico ota-se que o Ivestimeto 2 é mais sesível à variação da taxa de descoto que o Ivestimeto 1. Como a parte mais sigificativa da etrada de caixa ocorre os últimos períodos Maurício R. Cury Edição

58 etão a variação do VPL é maior pois a ifluêcia da taxa+período é mais acetuada. Chega-se a algumas coclusões: quado o custo do capital é baixo (o caso até 7,3% ao mês que é o poto de equilíbrio) o Ivestimeto 2 é uma alterativa melhor que o Ivestimeto 1. E quado o custo do capital se tora maior (o caso, acima de 7,3% ao mês) o Ivestimeto 1 é a melhor alterativa. Como este exemplo adotou-se uma taxa míima de atratividade de 4% ao mês é preferível adotar o Ivestimeto 2 que apreseta maior VPL, apesar dele apresetar meor TIR que o Ivestimeto 1. De outro modo, se houver a ecessidade de etrada rápida de caixa pode ser adotado o Ivestimeto 1. Lembre-se que existem vários parâmetros a serem aalisados a decisão de um ivestimeto. 8.6 TIR Modificada (TIRM) O método da TIR, vista ateriormete, cosidera que os saldos positivos dos fluxos de caixa são reivestidas à uma taxa igual à TIR. Porém, geralmete, os saldos positivos dos fluxos de caixa são reivestidos ao custo do capital. A TIR modificada é um método que leva este fato em cosideração e é um avaliador mais preciso que a TIR regular. A TIR modificada pode cosiderar, também, que o capital ivestido é capitado o mercado fiaceiro caso o ivestidor opte em ão dispor de seus próprios recursos. Neste caso, para se calcular a TIRM, é ecessário cohecer duas taxas: a de reivestimeto (taxa a qual o mercado fiaceiro paga pela aplicação) e a taxa e captação (taxa a qual o mercado fiaceiro cobra pelo empréstimo). Na maioria dos casos utiliza-se apeas da taxa de reivestimeto pois parte-se do pricípio que o capital ivestido vem dos recursos próprios dos ivestidores. O método da TIR modificada é mais ecessário os casos de fluxo de caixa ão covecioal. O processo para se calcular a TIRM é o seguite: 1. Todos os saldos positivos do fluxo de caixa são levados à última data focal deste fluxo à taxa de juros do custo do capital (taxa de reivestimeto) e somados. (Vamos chamar esta soma de Valor Futuro ); 2. Todos os saldos egativos do fluxo de caixa são levados à data focal ZERO pela taxa de juros igual ao custo do capital (que pode ser a taxa de captação quado os recursos são obtidos o mercado fiaceiro ou a taxa de reivestimeto quado os recursos são dos próprios ivestidores) e somados (Vamos chamar de Valor Presete ); Maurício R. Cury Edição

59 3. Calcular a que taxa de juros que faz com que se iguale a a data focal ZERO; 4. Esta taxa é a TIRM. 5. Se a TIRM é maior que a taxa do custo de capital, etão o projeto deve ser aceito, caso cotrário ão deve ser aceito. Exemplo: Aalisar, pelo método da TIRM, a viabilidade dos dois projetos descritos através de seus fluxos de caixa a seguir e com um custo de capital de 5% ao mês: Mês Projeto 1 Projeto 2 0 (50.000) (50.000) (15.000) (10.000) (10.000) (12.000) (15.000) Para o Projeto 1 (valores levados às data focais ZERO e 8): Mês Fluxo de Caixa do Projeto 1 Saídas a Data Focal ZERO Etradas a Data Focal 8 0 (50.000,00) , , , , , , ,85 4 (10.000,00) 8.227,02-5 (10.000,00) 7.835, , , , , , ,00 Total , ,2 5 A TIRM é a taxa que equivale e a data focal ZERO. Para calculá-la utiliza-se a fórmula já vista em juros compostos: i ,25 8 i 1 0, ,98% 66062,29 a. m. Etão a TIRM do Projeto 1 é 13,98% ao mês. Maurício R. Cury Edição

60 Para o Projeto 2: Mês Fluxo de Caixa do Projeto 2 Saídas a Data Focal ZERO Etradas a Data Focal 8 0 (50.000,00) ,00-1 (15.000,00) , , , , , , ,59 5 (12.000,00) 9.402,31-6 (15.000,00) , , , , ,00 Total , ,8 3 A TIRM do Projeto 2 será de 10,57% ao mês coforme calculado abaixo: ,83 8 i 1 0, ,57% 84881,26 a. m. Etão, pela TIRM, a melhor alterativa é o Projeto 1 pois apreseta maior TIRM. Pelo método da TIR regular, para o Projeto 1, TIR29,69% ao mês cotra TIR25,74% ao mês do Projeto 2. Pelo método do VPL para o Projeto 1, VPL$ e para o Projeto 2, VPL$ Portato, em qualquer um dos três métodos vistos, o Projeto 1 é superior ao Projeto 2. Exercícios: (*) Para os exercícios abaixo utilizar, sempre que possível, os três métodos estudados. Fazer o gráfico do VPL. 70. Uma empresa deseja ivestir $ a compra de um equipameto que lhe dará receita mesal de $ Os custos operacioais e de mauteção são de $ mesais. Sabedo-se que o valor residual deste equipameto (após 18 meses) é de $ e que a taxa míima de atratividade adotada pela empresa é de 42% ao ao, aalisar se este ivestimeto é atrativo. 71. Aalisar se os ivestimetos abaixo são atrativos e qual deles é melhor: Maurício R. Cury Edição

61 Ivestimeto1: Semestre Etrada Saída Ivestimeto2: Semestre Etrada Saída Cosiderar taxa míima de atratividade 20% ao semestre. 72. Atôio acabou de ser demitido e recebeu de ideização $ Ele está em dúvida em como ivestir este capital em duas alterativas possíveis: a primeira é aplicar este diheiro o mercado fiaceiro um fudo de reda fixa que tem redimeto líquido de 1,5% ao mês. A seguda alterativa é adquirir uma casa lotérica por $ , que tem lucro líquido mesal de $4.800 e valor residual, daqui a 12 meses, de $ Em qual alterativa Atôio deve ivestir? 73. Uma fábrica pretede ivestir a moderização dos seus equipametos. Ela fará a alieação dos equipametos atigos por $ e tem duas opções de compra dos ovos equipametos: Equipameto Equipameto 2 1 Valor do Equipameto $ $ Custo Semestral de $ $ Mauteção Custo Mesal de Mão de Obra $ $8.500 Custo Mesal de matéria $ $ Prima Outras Despesas Semestrais $ $ Valor Residual após 18 meses $ $ Receita Mesal $ $ Cosiderado que o custo de capital é de 40% ao ao, qual a melhor alterativa? 74. Verificar se os ivestimetos abaixo, descritos pelos seus fluxos de caixa, são atrativos e qual deles é o mais Maurício R. Cury Edição

62 iteressate. Cosiderar taxa míima de atratividade igual a 34% ao ao.: Ivestimeto1 Ivestimeto 2 Ao Fluxo de Caixa Ao Fluxo de Caixa 0 ($ ) 0 ($ ) 1-1 $ $ $ $ $ Verificar qual dos ivestimetos abaixo descritos pelos seus fluxos de caixa é o mais atrativo, cosiderado que a taxa míima de atratividade e a taxa de reivestimeto são de 1,8% ao mês e a taxa de captação é de 3,6% ao mês: Mês Ivestimeto Ivestimeto $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Maurício R. Cury Edição

63 9. Depreciação Depreciação sigifica desvalorização. Quado uma empresa adquire um ativo imobilizado (máquia, equipametos, veículos, imóveis, etc) este sofre um desgaste o decorrer do tempo e cosequetemete, uma desvalorização. A depreciação real de um ativo destes, um determiado período, é a difereça etre o seu valor de aquisição e o seu valor de reveda. A legislação dos países permite que as empresas recuperem parte deste prejuízo, laçado o seu balaço, periodicamete, parte da depreciação como despesa, dimiuido assim a base de cálculo e o valor a ser pago do imposto de reda. As empresas devem seguir as regras impostas pela legislação, tais como o método do cálculo da depreciação (a depreciação laçada ão é a real e sim a depreciação cotábil ou teórica) e o prazo para a depreciação total de cada ativo (por exemplo máquias e equipametos em 10 aos, imóveis em 20 aos, etc). Para o cálculo da depreciação teórica existem vários métodos. É permitido às empresas a escolha de um destes métodos. Serão abordados este módulo três métodos: o Liear, o de Cole eo Expoecial. Defiições e fórmulas comus: Para qualquer um dos métodos, as defiições e fórmulas a seguir são válidas: j DP t DP j 1 Ode DP t Depreciação total os período 1 à DP j Depreciação o período j j VR VA DP t Ode: VR Valor Residual após períodos VAValor de aquisição Por exemplo, seja um ativo adquirido por R$ e depreciado em 3 aos por R$ O seu valor residual, ao fial do 3º ao, é de R$ Maurício R. Cury Edição

64 9.1 Método Liear No método liear, a depreciação por período é costate, portato a depreciação por período é calculada por: VA DP j Ode é o úmero total de períodos para a depreciação total do ativo. Exemplo: Um veículo foi adquirido por uma empresa por R$ Se para este tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 5 aos, qual o valor da depreciação por ao? Motar uma tabela cotedo o plao de depreciação. DP j Ao Depreciação Depreciação Acumulada Valor Residual Método de Cole ou da Soma dos Dígitos No método de Cole, a depreciação por período decresce o decorrer do tempo, segudo a fórmula: DP Fr j j VA Fr j + 1 k k k 1 j Ode: DP j depreciação o período j Fr j Fração a depreciar j período da apuração da depreciação Maurício R. Cury Edição

65 total de períodos para a depreciação total do ativo Exemplo: Um equipameto foi adquirido por uma empresa por R$ Se para este tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 10 aos, motar o plao de depreciação. Ao Fração Depreciação Depreciação Acumulada Valor Residual / / / / / / / / / / Método Expoecial No método Expoecial, a depreciação por período decresce o decorrer do tempo expoecialmete. Neste método, é impossível depreciar cem por ceto do ativo, pela própria defiição do método. As fórmulas utilizadas são: VR VR j j VA VR DP j j ( 1 td ) ( 1 t ) j 1 VA VR d j Ode: VR j Valor residual o fial do período j t d taxa de depreciação júmero de períodos de depreciação DP depreciação acumulada até o período j j VA valor de aquisição do ativo Exemplo: uma empresa adota o método expoecial para o cálculo da depreciação dos seus ativos. Um ativo foi adquirido por R$ e será Maurício R. Cury Edição

66 depreciado em 5 aos a uma taxa de 25% ao ao. Motar o plao de depreciação. Ao Depreciação Depreciação Acumulada Valor Residual Exercícios 76. Qual o valor residual de um ativo, após 6 aos de depreciação liear, adquirido por R$ e cujo prazo de depreciação total é de 10 aos? 77. Qual a depreciação o 15º ao de um imóvel, adquirido por R$ e depreciável cem por ceto em vite aos, se o método utilizado for o da Soma dos Dígitos? 78. Qual o valor residual de um ativo, após 8 aos de depreciação expoecial, a uma taxa de 18% ao ao, adquirido por R$ e cujo prazo de depreciação total é de 10 aos? 79. Uma empresa adquiriu um ativo por R$ e fará a depreciação pelo método liear. O prazo permitido para a depreciação total deste ativo é de 10 aos. O total que será depreciado até o 7º ao será de 80. Um imóvel adquirido por R$ 800 mil, totalmete depreciável em 20 aos pelo método de Cole, terá um valor residual o 8º ao de 81. Um automóvel é adquirido por uma empresa por R$ e depreciável totalmete em 5 aos. Se a taxa de depreciação é de 22% ao ao, qual será o total depreciado até o 4º ao 82. Se um ativo depreciável em 5 aos liearmete, teve uma depreciação acumulada de R$ o 4º ao, etão o seu valor residual este ao foi 83. O valor de aquisição de um ativo, depreciável em 10 aos pelo método de Cole, cuja depreciação o 5º ao é de R$ é Maurício R. Cury Edição

67 84. A taxa de depreciação de um ativo adquirido por R$ e com valor residual de R$ o 6º ao é: Maurício R. Cury Edição

68 APÊNDICE A RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1. $ aos e meio 3. $ ,5% ao bimestre 5. $83.530, % ao ao 7. $ , aos e 21 dias 9. Alterativa II : taxa média de juros de 3,46% ao mês ,05% ao dia 1,5% ao mês 11. $ $1.432, % ao mês meses e 21 dias, ou 3 trimestres e 21 dias 15. Não foi vatajosa pois o motate da aplicação em 90 dias foi de $29.722,80, valor meor ao que se obteria se resgatasse o título a data de seu vecimeto. 16. $58.723, $1.193, $1.416, ,14% ao mês meses e 4 dias 21. A operação foi vatajosa pois em 90 dias obteve-se $30.145,80 cotra os $ que teria se resgatasse o título. 22. $59.099, $ , $ , $2.424, ,19% ao mês aos e 4 meses aos, 7 meses e 27 dias 29. Os dois ivestimetos são igualmete retáveis pois tem a mesma taxa de juros de 5,96% ao mês % ao ao 31. $16.712, Em duas parcelas pois aida terei um saldo positivo de $3, Parte fracioária com juros simples: $ ,26 Parte fracioária com juros compostos: $ , Parte fracioária com juros simples: $47.760,23 Parte fracioária com juros compostos: $47.636, Parte fracioária com juros simples: $ ,46 Parte fracioária com juros compostos: $ , Descoto Racioal: Resgate: $28.566,64 Descoto: $5.433,36 Descoto Bacário: Resgate: $28.359,13 Descoto: $5.640, Descoto Racioal: Face: $5.610,03 Descoto: $484,03 Descoto Bacário: Face: $5.642,54 Descoto: $516, Descoto Racioal: 41 dias ou 1 mês e 11 dias Descoto Bacário: 37 dias ou 1 mês e 7 dias 39. Descoto Racioal: 2,93% ao mês Descoto Bacário: 2,85% ao mês Maurício R. Cury Edição

69 40. Descoto Racioal: Não foi vatajosa, pois em 45 dias o motate foi de $ cotra os $ se resgatasse o título esta data Descoto Bacário: Mesma resposta e mesmo valor 41. Descoto Racioal: Descoto Bacário: Mês Juros Motate , , , , , , , , , , , , ,59 Mês Juros Motate , , , , , , , , , , , , , (a) 1,52% a.m. 3,06% a.b. 4,63% a.t. 6,22% a.q. 9,47% a.s. 19,85% a.a. (b) 2,06% a.m. 4,16% a.b. 6,30% a.t. 8,49% a.q. 13% a.s 27,69% a.a. (c) 0,74% a.m. 1,48% a.b. 2,23% a.t. 2,98% a.q. 4,5% a.s 9,20% a.a. 43. (a) 1,10% a.m. (b) 16,99% a.a. (c) 16,64% a.a. (d) 6,11% a.b. (e) 0,04% a.d. (f) 11,84% a.s. 44. (d) (Se calcularmos as taxas equivaletes auais de cada item veremos que a do item (d) é a maior, ou seja, 25,44% a.a.) 45. 5,9104% 46. 0,5193% 47. R$ 590, ,65% a.m. 49. (a) $12.723,90 (b) $27.803, $26.456, $ , $29.412, $5.092, É mais vatajoso possuir $ hoje, pois à uma taxa de 7% a.t., $ daqui a três aos equivalem hoje a $19.980, Com etrada: $270,34 Sem etrada: $277, $1.260, ,99% a.m. Maurício R. Cury Edição

70 58. $79.616, $17.768, $523, Loja1: $2.307,50 a vista (Loja2: $ 2.418,26 a vista) prestações de $1.487, A melhor codição é a vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80 da sua aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as prestações, cotra os $ que teria que dispor para pagameto a vista. 64. Reda Mesal Vitalícia : $5.433,36 Capital: $ , Mês Saldo Devedor Juros Amortização Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,12 997, , , ,85 671, , , ,00 338, , ,41 Total , , , (a) Sistema Price Semestre Saldo Juros Amortização Prestação Devedor , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,33 8 0, , , ,33 Total , , ,97 7 (b) Sistema Hamburguês Semestre Saldo Juros Amortização Prestação Devedor , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,67 8 0, , , ,92 Maurício R. Cury Edição

71 Total , , , $18.947, Mês SD Juros Amortizaçã o Prestaçã o , ,23 141, , , ,03 129, , , ,83 117, , , ,62 105, , , ,42 94, , , ,22 82, , , ,02 70, , , ,81 58, , , ,61 47, , , ,41 35, , , ,20 23, , , ,00 11, , ,96 Total 916, , , O meor saldo devedor é pelo Sistema Hamburguês de $ cotra $ do Sistema Fracês. Total de Juros: Sistema Fracês: $ ,94 Sistema Hamburguês: $ , O ivestimeto é atrativo: TIR47,2% ao ao VPL$38.617,94 TIRM45,0% ao ao Gráfico do Valor Presete Líquido - Exercício Valor Presete Líquido ( ) 0% 10% 20% 30% 40% TIR47,2% aa 50% 60% 70% 80% ( ) ( ) Taxa Aual Maurício R. Cury Edição

72 71. Ivestimeto 2 é melhor, aalisado por qualquer um dos métodos: VPL2$3.037,04 VPL1(1.928,24) TIR221,2% a.s. TIR119,3% a.s. TIRM220,8% a.s. TIRM119,5% a.s. Gráfico do VPL - Exercício TIR119,3% Valor Presete Líquido (20.000) 0% Ivestimeto 2 Ivestimeto 1 5% 10% 15% 20% TIR221,2% 25% 30% (40.000) Taxa Semestral 72. Deve ivestir o mercado fiaceiro a 1,5% ao mês. Cosiderado esta taxa como o custo do capital temos: VPL($2.186) TIR1,38% a.m. TIRM1,40% a.m Gráfico do VPL - Exercício Valor Presete Líquido (5.000) 0,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% TIR1,38% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0% (10.000) (15.000) Taxa Mesal Maurício R. Cury Edição

73 73. Pelo Método do VPL, melhor ivestimeto é a Máquia 2 (VPL2$ cotra VPL2$ ). Pelos Métodos da TIR e da TIRM o melhor ivestimeto seria a Máquia 1 (TIR117,93% a.m. / TIRM18,75% a.m. cotra TIR215,78% a.m. / TIRM28,20% a.m. Deve-se adotar o ivestimeto a Máquia 2 por apresetar maior retoro líquido (método do VPL). Gráfico do VPL - Exercício Máquia 2 Valor Presete Líquido ,84% TIR 15,78% Máquia 1 TIR 17,93% ( ) 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Taxa de Descoto Mesal 74. Ivestimeto 1: VPL$ TIR54,2% a.a. TIRM51,0% a.a. Ivestimeto 2: VPL$ TIR68,5% a.a. TIRM57,9% a.a. Os dois ivestimetos são iteressates (VPL>0 e TIR e TIRM>taxa míima de atratividade). Pelo método do VPL ambos são equivaletes, porém pelos métodos da TIR e da TIRM, o Ivestimeto 2 é mais iteressate. Pode-se optar pela adoção do Ivestimeto 2 caso se teha a ecessidade de etrada de caixa mais rápida. Gráfico do VPL - Exercício Valor Presete Líquido Ivestimeto 1 Ivestimeto 2 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Taxa Aual Maurício R. Cury Edição

74 75. Método do VPL Ivestimeto1 (VPL$88.013,41 cotra $69.358,38 do Ivestimeto2) Métodos da TIR e TIRM Ivestimeto2 (TIR7,5% am e TIRM5,5% am cotra TIR6,4% am e TIRM5,0% am do Ivestimeto 1). Deve-se adotar o Ivestimeto1 pois apreseta maior retoro líquido ao ivestidor. Porém pode-se adotar o Ivestimeto2 caso haja a ecessidade de maior liquidez. Gráfico do VPL - Exercício Ivestimeto 1 Valor Presete Líquido % Ivestimeto 2 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Taxa Mesal 76. R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ % a.a. Maurício R. Cury Edição