Matemática Financeira

Transcrição

1 Módulo 4 Matemática Fiaceira Eresto Coutiho Puccii 1

2 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL Reitora Célia Maria da Silva Oliveira Vice-Reitor João Ricardo Filgueiras Togii Obra aprovada pelo CONSELHO EDITORIAL DA UFMS Resolução º 40/10 CONSELHO EDITORIAL Dercir Pedro de Oliveira (Presidete) Celia Aparecida Garcia de Souza Nascimeto Claudete Cameschi de Souza Edgar Aparecido da Costa. Edgar Cézar Nolasco Elcia Esarriaga de Arruda Gilberto Maia José Fracisco Ferrari Maria Rita Marques Maria Tereza Ferreira Duehas Moreal Rosaa Cristia Zaelatto Satos Soia Regia Jurado Yes da Silva Felix Dados Iteracioais de Catalogação a Publicação (CIP) (Coordeadoria de Biblioteca Cetral UFMS, Campo Grade, MS, Brasil) P977m Puccii, Eresto Coutiho Matemática fiaceira / Eresto Coutiho Puccii. Campo Grade, MS : Ed. UFMS, p. : il. ; 21 cm. ISBN Matemática fiaceira. I.Título. CDD (22)

3 Módulo 4 PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Iácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Ferado Haddad SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DPEAD Hélio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC Maria Isabel Mateus de Almeida (UFPR) Teresa Cristia Jaes Careiro (UFES) Atoio Roberto Coelho Serra (UEMA) Joilto Costa Sousa (UB) Vicete Chiaramote Pires (UEM) Ozório Kuio Matsuda (UEM) Aderso de Barros Datas (UFAL) ORGANIZAÇÃO DO CONTEÚDO Eresto Coutiho Puccii PROJETO GRÁFICO Aye Cristiy Tessaro Mariaa Lorezetti DIAGRAMAÇÃO Aye Cristiy Tessaro Victor Emmauel Carlso REVISÃO DE PORTUGUÊS Reato Tapado 3

4 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Copyright Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Uiversidade Aberta do Brasil. Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor. Projeto Gráfico, Editoração Eletrôica, Impressão e Acabameto Editora UFMS Revisão Ligüística e Ortográfica de resposabilidade do autor Direitos exclusivos para esta edição UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL Portão 14 - Estádio Moreão - Campus da UFMS Foe: (67) Campo Grade - MS [email protected] Editora associada à Associação Brasileira das Editoras Uiversitárias ISBN: Depósito Legal a Biblioteca Nacioal Impresso o Brasil 4

5 Módulo 4 Sumário APRESENTAÇÃO... 7 UNIDADE 1 Coceitos fudametais: juros simples e compostos Objetivos Coceitos fudametais Itrodução Agete ecoômico Capital Operação fiaceira Juros ou juro Motate Valor presete Valor futuro Valor omial Fluxo de caixa Juros simples e juros compostos Defiição de taxa de juros Regimes de juros simples e compostos Resumo UNIDADE 2 Regime de juros simples (capitalização simples) Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Juro Motate Taxas proporcioais e equivaletes Juro comercial Taxa de juros diária comercial Juro comercial Descotos - descoto racioal e descoto comercial Coceito de descoto Descoto racioal (por detro) Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) Equivalêcia de capitais Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto racioal Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto comercial Resumo UNIDADE 3 Regime de juros compostos Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Motate Capital ou valor presete Capitalização e descotos Taxas de juros em regime de juros compostos Taxa de juros efetiva Taxa de juros omial Taxas de juros equivaletes Descoto em juros compostos Descoto racioal ou descoto real Valor presete de um fluxo de caixa Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa Equivalêcia de fluxos de caixa Resumo

6 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia UNIDADE 4 Redas ou auidades Objetivos Redas ou auidades Classificação das redas Quato à duração da reda ou auidade Quato à variação dos seus elemetos Quato ao valor dos termos da reda Quato à periodicidade dos pagametos Quato ao vecimeto dos termos Quato ao iício dos pagametos Estudo das redas ou auidades Reda temporária, certa, periódica e postecipada Reda postecipada e imediata (modelo básico) Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate da reda (FV) Reda postecipada e diferida Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate da reda (FV) Reda temporária, certa, periódica e atecipada Reda imediata e atecipada Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) Relação etre valor dos pagametos (PV) e motate da reda (FV) Reda atecipada e diferida A taxa de juros em redas Redas perpétuas Resumo UNIDADE 5 Sistemas de amortização Objetivos Sistemas de amortização Itrodução Sistemas de prestação costate (SPC) Modelo de prestação uiforme, imediato e postecipado Tabela price Modelo de prestação costate diferido e postecipado Modelo de prestação costate, imediato e atecipado Sistema de amortização costate SAC Sistema do motate Sistema americao Sistema do sikig fud Resumo UNIDADE 6 Iflação e correção moetária Objetivos Iflação e correção moetária Itrodução Ídices de preços Ídice e taxa de iflação (ou de correção moetária) Taxas de juros aparete e real Ídice de correção moetária como iflator e como deflator Fiaciametos com correção moetária Fiaciametos com correção pré-fixada Fiaciametos com correção pós-fixada Aplicação: correção moetária em fiaciametos Resumo REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7 Módulo 4 Apresetação Ao iiciar os estudos da disciplia Matemática Fiaceira, algumas pergutas ievitavelmete passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? qual a sua utilidade prática? ela fará alguma difereça em miha vida? Bem, o campo de aplicação dessa disciplia é bastate amplo, pois suas técicas são ecessárias em operações de fiaciameto de quaisquer aturezas: crédito a pessoas físicas e empresas, fiaciametos habitacioais, crédito direto ao cosumidor e outras. Também são ecessárias em operações de ivestimetos mobiliários os mercados de capitais. Em ambas as situações, é o uso dessas técicas que permite cohecer o custo e o retoro dessas operações, permitido tomadas de decisão mais racioais; são elas também que permitem determiar o valor das prestações devidas pelas trasações efetuadas em parcelas. No mudo dos egócios, seu cohecimeto é absolutamete imprescidível, uma vez que os custos dos fiaciametos dados e recebidos são peças cetrais do sucesso empresarial. Este livro pretede lhe ajudar a desvedar essas técicas para que você possa gerir os seus iteresses fiaceiros com racioalidade e eficiêcia. A primeira uidade do livro é dedicada ao cohecimeto da omeclatura a ser utilizada ao logo do texto, à explicitação das pricipais variáveis cujas relações serão estudadas ao logo do livro e à coceituação de taxa de juros e dos regimes de juros simples (capitalização simples) e de juros compostos (capitalização composta). A seguda uidade estuda o regime de capitalização simples e a terceira uidade, o regime de capitalização composta. Para esses dois regimes de capitalização se estudam: suas relações fudametais, questões relativas às taxas de juros, operações de descotos e a equivalêcia de capitais. Itroduzse também o coceito de valor presete líquido e de taxa itera de retoro de um fluxo de caixa (este último apeas para capitalização composta). O cohecimeto desses coceitos é ecessário para os estudos subseqüetes das redas e sistemas de amortização. A quarta uidade estuda as auidades ou redas: sua defiição, classificação e pricipais modelos. Para esses modelos, o livro evidecia a relação de 7

8 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia equivalêcia existete etre os pagametos (recebimetos) da reda, os seus valores presete e futuro e as demais variáveis evolvidas. Essa uidade é itrodutória ao estudo dos sistemas de amortização costates da próxima uidade. A quita uidade estuda os diversos sistemas de amortização de dívidas, que tem vasta aplicação prática. Especial ateção é dada aos modelos de prestação costate e amortização costate por sua relevâcia a vida cotidiaa. A sexta uidade itroduz o estudo da correção moetária de valores fiaceiros. O cohecimeto de suas técicas é importate porque a correção moetária se aplica a praticamete todos os cotratos com duração superior a um ao. No decorrer dos estudos lhe serão sugeridas atividades complemetares com a fialidade de facilitar o apredizado. O livro também traz algus istrumetos para iiciá-lo a utilização de calculadoras fiaceiras. Esperamos que você teha sucesso os estudos que se propôs a fazer ao iiciar esta disciplia. Nossos votos de um bom percurso! 8

9 Módulo 4 UNIDADE 1 Coceitos fudametais: juros simples e compostos 9

10 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos A primeira uidade do curso apresetará a você a omeclatura básica utilizada ao logo do livro e algus coceitos iiciais que serão cetrais para o desevolvimeto das suas atividades, com êfase para: equação básica da matemática fiaceira, fluxo de caixa e taxa de juros. Esta uidade tem os seguites objetivos: idetificar de modo claro as variáveis evolvidas o estudo da matemática fiaceira; cohecer a omeclatura utilizada o curso; cohecer a equação fudametal da matemática fiaceira; costruir fluxos de caixa de operações fiaceiras; coceituar taxa de juros; compreeder a difereça etre regime de juros simples e regime de juros compostos. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; fuções e sua represetação gráfica. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior. 10

11 Módulo 4 Coceitos fudametais Itrodução A Matemática Fiaceira é um corpo de cohecimeto que estuda a mudaça de valor do diheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do diheiro em diversos potos do tempo. Para iiciar o seu estudo, é ecessário que se estabeleça uma liguagem própria para desigar os diversos elemetos que serão estudados e que esses elemetos sejam cotextualizados com precisão. Os elemetos básicos do estudo da disciplia serão iicialmete vistos através de uma situação prática para, a seqüêcia, defii-los. Situação prática 1.1: O gerete de uma empresa solicita um empréstimo o valor de R$ ,00 a um baco. Este, após aalisar a solicitação auiu ao pedido e propôs um empréstimo que deverá ser pago após quatro meses; o baco depositará R$ ,00 a cota da empresa e esta pagará ao baco R$ ,00 ao fial dos quatro meses. Essa situação permite a você, leitor, idetificar os elemetos básicos que serão estudados em Matemática Fiaceira. Nessa situação você pode ver que: existiu uma trasação fiaceira etre o baco e o cliete que será deomiada de operação fiaceira; A Matemática Fiaceira recohece que o diheiro tem valor o tempo. É ituitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. Veja um filme a respeito em: watch?v=ol7pf3i31ue essa operação fiaceira tem um valor iicial de $ ,00 que será deomiado de capital e um valor fial de $ ,00 que será deomiado motate; essa operação fiaceira tem uma duração de quatro meses; há uma difereça etre o motate e o capital que será deomiado juro da operação. Esse juro será um custo para a empresa e uma remueração para o baco; e 11

12 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Para saber mais * Vá a LC 11 e leia o texto ititulado Oferta e demada de moeda. Dispoível em: files_aberto/lc11.doc. existe um agete que empresta o diheiro e que é deomiado credor e um agete que toma o diheiro emprestado e que é deomiado devedor. O estudo da Matemática Fiaceira exige uma defiição precisa desses termos, o que é proposto a você as próximas págias. O autor cosidera ato ecoômico qualquer ato praticado por pessoas (físicas ou jurídicas) que teha coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática 1.1 mostrada acima, o ato ecoômico praticado foi o empréstimo feito pelo baco à empresa (porque gerou coseqüêcias fiaceiras para as duas partes). Agete ecoômico Agete ecoômico é qualquer etidade física ou jurídica capaz de praticar um ato ecoômico. Assim, etede-se por agete ecoômico qualquer pessoa, empresa ou istituição que possa praticar um ato ecoômico: uma veda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que teham coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática mostrada, a empresa e o baco são os agetes ecoômicos evolvidos. Capital Capital (C) é o valor moetário iicial de uma operação fiaceira; pode ser qualquer ativo, tagível ou itagível, desde que seja passível de uma expressão moetária do seu valor. Na situação prática 1.1, o capital correspode ao valor de $ ,00. De acordo com essa defiição pode-se cosiderar como capital: 12

13 Módulo 4 umerário ou depósitos bacários dispoíveis; títulos de dívida expressos em valor o iício de um processo fiaceiro; ativos físicos devidamete avaliados: prédios, máquias, veículos e outros. Neste último caso, a avaliação deve ser aceita pelas partes evolvidas como sedo o valor correto do ativo o iício de um processo fiaceiro. Para que a caracterização de outras oções básicas importates seja feita com clareza, o capital será visto como um ativo que pode ser cedido por um (vários) agete(s) ecoômico(s) a outro(s), mediate codições previamete estabelecidas. Operação fiaceira Operação fiaceira é o ato ecoômico pelo qual determiado agete ecoômico possuidor de capital - deomiado credor - trasfere esse capital a outro agete ecoômico - deomiado tomador - mediate codições previamete estabelecidas, que ormalmete evolvem: a remueração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital; Essa trasferêcia de capital pode ser um empréstimo ou um ivestimeto. os prazos e formas de devolução do capital e da remueração acordada; as garatias de pagameto que o tomador apresetará ao credor; este assuto ão será tratado este livro. A operação fiaceira será sempre formalizada através de um documeto que, geericamete, será deomiado de título de crédito. 13

14 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Uma operação fiaceira pode evolver vários tomadores e vários credores. Cosidere uma operação fiaceira em que o credor cede um capital (C) ao tomador por um tempo costituído de períodos, ao fim do qual o tomador devolverá ao credor a soma do capital e da remueração acordada. Essa operação está sitetizada a figura 1. Figura 1: Operação fiaceira Fote: elaborada pelo autor. A partir dos elemetos mostrados essa figura, podem-se defiir algus coceitos básicos da disciplia. Juros ou juro GLOSSÁRIO *Motate - é a soma do capital e do juro de uma operação fiaceira. Juro (J) é o valor da remueração do capital (C) acordado etre o credor e o tomador em uma determiada operação fiaceira. Motate Deomia-se motate* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado a operação fiaceira e que é devido ao fial da mesma. 14

15 Módulo 4 Esta defiição mostra a você que se verifica a seguite relação: M = C + J que é deomiada equação básica da Matemática Fiaceira. Valor presete Valor presete (PV) é o valor de uma operação fiaceira a data presete. É um valor itermediário etre o capital (C) e o motate (M), coforme se pode ver a figura 2. As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação PV para o valor presete. Figura 2: Coceitos e defiições básicas Fote: elaborada pelo autor. Essa omeclatura se justifica para operações iiciadas o passado e que se prologam até uma certa data futura. Observe que, para uma operação fiaceira iiciada hoje o capital e o valor presete coicidem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utilizada como siôima de capital, apesar da difereça coceitual existete. Mais à frete você etederá o porquê desta simplificação. 15

16 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Valor futuro As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação FV para o valor futuro. Valor futuro (FV) é o valor de uma operação fiaceira em qualquer data compreedida etre a data presete e o vecimeto da operação. Verifique a figura 2. De modo aálogo ao valor presete e capital, também o valor futuro é, freqüetemete, tomado como siôimo de motate. Valor omial Valor omial (VN) é o valor de uma operação fiaceira costate do título de crédito que a documeta. Pode ser tato o valor iicial - capital -, como o valor fial da operação motate. Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao ivés de valor omial. Freqüetemete valor omial e valor futuro (FV) são tomados como siôimos apesar da difereça coceitual existete. Atividades de apredizagem 1. Retore à situação prática 1.1 descrita iicialmete e procure idetificar cada um dos elemetos defiidos em uma operação fiaceira. 2. Escreva com suas próprias palavras o coceito de juro. Costrua um exemplo de uma operação fiaceira que caracterize bem o coceito. 3. Dê o sigificado de valor omial. O valor omial é ecessariamete o capital? ou o motate? por quê? 4. Faça uma distição etre capital e valor presete. Crie um exemplo que ilustre, adequadamete, esses dois coceitos. Por que razão esses coceitos são usualmete vistos como siôimos? 16

17 Módulo 4 5. Qual a fórmula básica da Matemática Fiaceira? 6. Discuta essas questões com seus colegas valedo-se de chats. Fluxo de caixa Situação prática 1.2: você etrou uma loja para comprar uma geladeira. O vededor lhe iforma que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Iforma também que o pagameto pode ser fiaciado em quatro pagametos iguais mesais de $ 400,00 através de uma istituição fiaceira (IF). Você faz a compra e opta pelo fiaciameto, de modo que terá quatro desembolsos mesais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A istituição fiaceira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mesais. A figura 3 represeta graficamete as etradas e saídas de diheiro para cada um dos agetes evolvidos; isso é um fluxo de caixa*. GLOSSÁRIO *Fluxo de caixa é uma sucessão de etradas e saídas de diheiro (ou ativos expressos pelo seu valor moetário) o tempo. Figura 3: Etradas a saídas de diheiro o tempo Fote: elaborada pelo autor 17

18 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia GLOSSÁRIO *Diagrama de fluxo de caixa é a represetação gráfica ou em tabela de um fluxo de caixa. Essas etradas e saídas podem ser represetadas por um diagrama, deomiado diagrama de fluxo de caixa*, como mostrado a figura 3, a partir do qual se apotarão as coveções utilizadas para a sua elaboração. Regras para desehar um fluxo de caixa: o eixo das abscissas (horizotal) represetam-se os períodos de tempo; e o eixo das ordeadas (vertical) represetam-se os valores das etradas e saídas de diheiro. Essas etradas e saídas são represetadas por flechas orietadas, idicativas dos valores cosiderados: etrada de diheiro: flechas com orietação positiva, saída de diheiro: flechas com orietação egativa. A dimesão dessas flechas ão cosidera a proporcioalidade etre elas e os valores represetados; as figuras são meramete qualitativas. Na figura 3 tem-se para: a istituição fiaceira: uma saída de caixa de $ 1.500,00 o tempo = 0 (zero) e quatro etradas de caixa sucessivas o valor de $ 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu beefício como cotrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamete, você receberia $ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de $ 1.500,00 pela veda que lhe fez da geladeira. Os pagametos mesais de $ 400,00 são omialmete iguais, porém, fiaceiramete distitos, pois se referem a datas diferetes e ão são, portato, comparáveis. 18

19 Módulo 4 Saiba mais... Vá à leitura complemetar LC 1.2 Valor do diheiro o tempo dispoível em O fluxo de caixa também pode ser represetado em forma de tabela (S j = saída de caixa, E i = etradas de caixa), como mostrado abaixo para os três agetes evolvidos. Fluxo de caixa - IF Tempo Valor E j /S j S 0 E 1 E 2 E 3 E 4 Fluxo de caixa - você Tempo Valor E j /S j E 0 S 1 S 2 S 3 S 4 Fluxo de caixa - loja Tempo Valor E j /S j E 0 Tabela 1: Fluxos de caixa de um fiaciameto. Fote: elaborada pelo autor A Matemática Fiaceira estuda as iter-relações etre essas diversas variáveis e os seus problemas estão basicamete relacioados com etradas e saídas de diheiro o tempo. Nuca deixe de cosiderar que uma operação fiaceira evolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamete simétricos. A que é etrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra parte e vice-versa; verifique essa simetria o seu fluxo de caixa e o fluxo de 19

20 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia caixa da IF. Ativid Atividades de apredizagem 7. Costrua o seu fluxo de caixa para o fiaciameto da compra de um eletrodoméstico cujo valor á vista é $ 1.000,00 e pelo qual você vai pagar 4 prestações mesais, sucessivas, iguais, vecedo a primeira em 30 dias da data da compra. 8. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao Baco um total de $ 1.300, Idetifique o capital, o motate e determie o valor do juro devido, 2. Costrua o fluxo de caixa, observado as coveções dadas. 9. Você foi a uma loja e comprou uma TV as seguites codições: uma etrada de $ 100,00 e mais dois pagametos a 30 e 60 dias o valor de $ 150,00 cada. Costrua o fluxo de caixa dessa operação para você, a qualidade de comprador e para a loja, a qualidade de vededora. Compare os dois fluxos de caixa. 10. Um baco cocedeu um empréstimo para uma pessoa o valor de $5.000,00 que deverá ser pago daqui a três meses. Costrua os fluxos de caixa do baco e do tomador do empréstimo. 11. Um carro o valor de $ ,00 foi fiaciado para pagameto em 12 parcelas iguais e mesais de $ 2.450,00, vecedo a primeira daqui a um mês. Costrua os fluxos de caixa associados ao fiaciador e ao fiaciado. Discuta as soluções dessas questões com seus colegas os chats. 20

21 Módulo 4 Juros simples e juros compostos Este tópico procurará levá-lo a eteder o coceito de custo fiaceiro e a cohecer os modos pelos quais se calcula o juro devido em uma operação fiaceira. Uma vez mais, se utilizará uma situação prática cocreta para que você seja levado a perceber a ecessidade de mecaismos de comparação etre situações semelhates, mas ão iguais. Situação prática 1.3: uma empresa ecessita de certo volume de capital para ateder as ecessidades do seu egócio. Ela tem em mãos duas propostas feitas por bacos: uma delas para receber $ ,00 hoje e pagar $ ,00 após quatro meses; e uma seguda para receber hoje $ ,00 e pagar $ ,00 daqui a quatro meses. Imagie que as duas propostas atedam as ecessidades da empresa e se pergute: qual a melhor proposta? O juro da primeira proposta é de $ ,00 equato que o juro da seguda proposta é $ ,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são diretamete comparáveis, porque suas bases iiciais são diferetes ($ e $ ); assim, tora-se difícil verificar qual a melhor das duas propostas. Nesta uidade serão tratados algus coceitos que ajudarão a fazer esse julgameto. 21

22 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Defiição de taxa de juros GLOSSÁRIO *Taxa de juros (i) é a relação etre os juros gerados uma operação fiaceira e o capital ela empregado. A grade preocupação dos agetes fiaceiros é saber o custo do diheiro os mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros i que represeta o custo de cada uidade de capital por uidade de tempo. Assim, a taxa de juros i*, expressa em forma uitária, é a relação etre o juro gerado uma operação fiaceira e o capital ela empregado; observe que essa taxa de juros está relacioada com o tempo da operação fiaceira. Deomie-se de J o valor do juro gerado por um capital C um determiado período de tempo - desigado geericamete por p; a taxa de juros para esse itervalo de tempo, expressa em forma uitária, é defiida como: ap (1.1) ap = ao período (de tempo) Essa taxa de juros pode ser expressa também em forma percetual, bastado ajustar a fórmula acima. % ap (1.2) Importate! Os úmeros que expressam a taxa de juros são acompahados de uma expressão que idica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguite forma: ad = ao dia; am = ao mês; ab = ao bimestre; at = ao trimestre; aq = ao quadrimestre; as = ao semestre; e aa = ao ao. Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a taxa de juros? 22

23 Módulo 4 Sumário de dados: C = 1.000,00; J = 20,00; = 2 meses; i =? Solução: a resposta vem da própria defiição de taxa de juros e dos dados, a saber: Aplicado as fórmulas da taxa de juros (1.1 e 1.2), tem-se: i = J/C = 20/1000 = 0,02 ab (ao bimestre ) Forma uitária i = (J/C) x 100 = 2% ab (ao bimestre) Forma percetual Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 60,00 em seis meses. Qual a taxa de juros? Sumário de dados: C = 1.000,00; J = 60,00; = 6 meses; i =? Solução: aáloga ao exemplo aterior: i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma uitária i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percetual Observe, em cada caso, a referêcia temporal; o primeiro exemplo, a taxa de juros está expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, equato que, o segudo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período o qual os juros foram gerados. Essa referêcia temporal é essecial e ão pode ser esquecida. Com essas defiições, retome a situação prática 1.3 e procure verificar qual o custo de cada proposta. Primeira proposta O juro devido é: J M - C e a taxa de juros proposta pode ser calculada: J i 0,2 a.q.ou 0,2 C J i *100 *100 20% a.q. (ao quadrimestre) C

24 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Seguda proposta O juro devido é: J M - C e a taxa de juros proposta pode ser calculada: i i J C ,221a.q. ou J *100 C * ,1% a.q. Etão o custo do diheiro para a primeira proposta é 20% aq e para a seguda proposta é 22,10% aq. A comparação é agora direta e imediata e o levaria a escolher a primeira proposta por ser a mais barata. Observe que a uidade de tempo utilizada é o quadrimestre (4 meses). Regimes de juros simples e compostos Situação prática 1.4: dois bacos matém uma liha de crédito que empresta e credita em cota do iteressado de $ 1.000,00, com taxa de juros de 10% aa (ao ao) em 10/10/X0 para ser pago itegralmete, de uma só vez, em 5 aos, ao fial da operação fiaceira. Etretato, o baco Alfa exige um pagameto de $ 1.500,00 ao fial dos cico aos e o baco Beta um pagameto de $ 1.610,51 ao fial do mesmo período. Como pode ser isto? A taxa de juros, os prazos e os capitais ão são os mesmos? Como esses resultados podem ser diferetes? A resposta a essa questão se prede ao fato de existirem dois regimes de juros, deomiados regime de juros simples ou de capitalização simples e regime de juros compostos ou de capitalização composta com lógicas iteras de cálculo diferetes. 24

25 Módulo 4 A seguir mostram-se os cálculos fiaceiros dos dois bacos. Regime de juros simples ou de capitalização simples. O baco Alfa usa este regime o qual o juro periódico é calculado sempre sobre o valor iicial da operação (C). (1.1): A fórmula aplicada é aquela mostrada a defiição de taxa de juros O saldo devedor (capital mais juros) cresce uma progressão aritmética de razão igual a 100, como pode ser visto a tabela 2, abaixo. Data (ao) Período Base de cálculo (C) SDi k Juros (J k =C*i) SDf k =SDi k +J k 10/10/X /10/X /10/X /10/X /10/X SDi k :saldooiício doperíodok SDf k :saldoofial do período k Tabela 2: Regime de juros simples. Fote: elaborada pelo autor Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) ão se altera ao logo do tempo. Neste regime de juros, a base de cálculo é sempre o capital iicial (C = $ 1.000), e você pode observar que o juro devido em cada período de icidêcia é costate. A base de cálculo ão se altera ao logo do tempo. Os juros gerados em cada um dos períodos são registrados, mas só serão pagos ao fial 25

26 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia da operação fiaceira; ou seja, somete ao fial da operação fiaceira os juros devidos são agregados ao capital iicial para ova operação ou para pagameto e liquidação da operação atual. Regime de juros compostos ou de capitalização composta: O baco Beta se vale deste regime o qual o juro gerado em cada período é somado ao saldo iicial desse período e passa, por sua vez, a sofrer icidêcia de juros; a este processo de se somar o juro do período aterior ao saldo iicial do período presete para costituir uma ova base de cálculo do juro, se dá o ome de capitalização de juros. Por coseqüêcia, a base de cálculo dos juros muda sucessivamete pela agregação dos juros do período aterior. A fórmula para cálculo se trasforma em: A tabela 3 mostra com clareza o processo. Data (ao) 10/10/X0 1 10/10/X1 2 10/10/X2 3 10/10/X4 4 10/10/X5 5 Período Ordem Potos Capital ( C=SDi 1 ) Base de cálculo (SDi k ) Juros (J k =SDi k *i) SDi k : saldo o iíciodoperíodok SDf k : saldo o fial do período k Observe que osaldoiicial de um período é igual ao saldo fial do período aterior. Tabela 3: Regime de juros compostos. Fote: elaborada pelo autor SDf k = SDi k +J k 100, ,00 110, ,00 121, ,00 133, ,10 146, ,51 Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SDi) se altera período a período pela capitalização do juro do período aterior. 26

27 Módulo 4 A capitalização (agregação dos juros itermediários ao capital) dos juros itermediários é a resposável pela difereça ($1.610,51 e $1.500) observada os resultados fiais obtidos em cada um dos sistemas de juros. Atividades de apredizagem Atividades de apredizagem 12. Um baco emprestou a Fracisco a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao baco um total de $ 1.300, Determie a taxa de juros da operação em suas formas uitária e percetual, 2. Qual seria a taxa de juros se a operação fosse feita com um prazo de 90 (oveta) dias? R: a) 30% ab (ao bimestre); b) 30% at (ao trimestre) 13. Um caco emprestou a João $ 5.000,00 por um prazo de 90 (oveta) dias a uma taxa de juros de 15% at (ao trimestre). Que motate João deverá pagar ao baco ao fial da operação? R: M = 5.750, Uma operação fiaceira feita por um período de seis meses a uma taxa de juros de 20% as determiou um motate de $ 1.000,00. Qual o valor do capital origiário? R: C = $ 833, Um baco emprestou a Pedro $ 5.000,00 a uma taxa de juros covecioada de 5% am (cico por ceto ao mês). Esse empréstimo deverá ser pago de uma só vez ao fial de quatro meses. Determie o motate a ser pago: (1) em regime de juros simples e (2) em regime de juros compostos. R: 1) 6.000,00; 2) 6.077,53. Dica: costrua a plailha para cálculo de juros. 27

28 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia RESUMO Esta uidade colocou-o em cotato com a omeclatura básica da disciplia, permitido-lhe o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso. Você também apredeu a equação básica da Matemática Fiaceira, o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação. A seguir, você etrou em cotato com a defiição de taxa de juros e os modelos de formação dos juros os regimes de capitalização simples e composta. É importate ressaltar que a difereça etre os dois regimes de juros decorre do tratameto dado aos juros itermediários. No regime de capitalização simples, os juros itermediários são apeas créditos devidos ao iteressado, que ão iterferem a base de cálculo dos juros de períodos futuros. No regime de capitalização composta os juros itermediários são agregados ao pricipal para o cálculo dos juros de períodos futuros, determiado mudaças a base de cálculo. Você fez as leituras do texto base e dos textos complemetares, executou as atividades, resolveu os exercícios propostos e etedeu perfeitamete todos os potos? Se a resposta for egativa retore aos potos ão compreedidos ou ão lidos ou aida às atividades e exercícios ão executados até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está de parabés. Como resultado do seu esforço você coheceu a uidade 1 a omeclatura básica da disciplia que lhe permite o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso, apreedeu a oção de valor de diheiro o tempo, a equação básica da matemática fiaceira, o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação, a defiição de taxa de juros (que é o custo do diheiro) e o mecaismo de operação dos regimes de juros simples e de juros compostos. Portato, você está apto a iiciar a seguda uidade do curso. 28

29 Módulo 4 UNIDADE 2 Regime de juros simples (capitalização simples) 29

30 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros simples, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto de títulos e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples; idetificar taxas de juros proporcioais e equivaletes; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; e estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização simples. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos a uidade 1. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior. 30

31 Módulo 4 Itrodução Nesta uidade você etrará em cotato com as fórmulas básicas para cálculos em regime de capitalização simples, com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes e com uma das pricipais aplicações práticas deste regime de juros, qual seja, a operação de descoto de títulos comerciais. Esta uidade também se valerá de situações práticas que o levem a perceber a importâcia do objeto de estudo. Fórmulas básicas Situação prática 2.1: você, ecessitado de recursos para operar seus egócios, se dirige a um baco e solicita um empréstimo de $1.000,00 para pagar em uma úica vez o fial de cico (5) aos. O gerete, após aalisar seu comportameto de crédito, aui ao seu pedido e lhe iforma que a liha de fiaciameto opera com uma taxa de juros de 15% aa e em regime de juros simples. Qual o valor que deverá ser reembolsado ao baco ao fial de operação? Juro Você poderá respoder essa questão utilizado-se da fórmula (1.1) vista a uidade 1 para o cálculo de juros. O juro icide aualmete sobre o valor do empréstimo a uma taxa de 15% aa de modo que para cada ao decorrido do iício da operação o baco terá direito a um juro expresso por: 31

32 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Observe a taxa de juros que está expressa a forma uitária (15%/100). J = C * i ou lembrado que, C = 1.000,00 e i = 15%aa J = 1.000,00 * 0,15 = 150,00 Observe que a temporalidade da taxa de juros é o ao; assim, o tempo do empréstimo pode ser dividido em cico (5) períodos de um ao que correspodem a cico (5) períodos auais de icidêcia de juros. Os cálculos completos podem ser vistos a tabela 4. Ao Período Base de Juro SDf k = cálculo SDi k J k =C*i SDi k +J k *0,15 = *0,15 = *0,15 = *0,15 = *0,15 = TOTAL DE JUROS (devidos ao fial) SDi k : saldo o iício doperíodo J = J 1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 =750 SDf k :saldoofial do período Tabela 4: Formação de juros simples Fote: elaborado pelo autor Essa tabela mostra os valores dos juros auais devidos ao fial de cada período de icidêcia, que correspodem a $ 150,00 e o total dos juros de $ 750,00 que é dado pela soma do juro de cada período. Assim: J = J 1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 Mas observe que: J 1 = J 2 = J 3 = J 4 = J 5 = C*i etão, J = C*i + C*i + C*i + C*i + C*i 05 (cico) períodos Expressão essa que fatorada o leva a: J = (C * i) * 5 Substituido os valores dados o euciado segue, J = * 0,15 * 5 = $

33 Módulo 4 O úmero 5 (cico), de períodos de icidêcia de juro, aparece como multiplicador do fator C*i; esta costatação permite uma geeralização (utilizado o método da idução fiita*) para períodos de icidêcia; substituido o úmero 5 por a expressão acima resulta a fórmula geral de juros em regime de juros simples e as fórmulas derivadas que são mostradas a seguir: J C*i * C J i * J i (2.1) C* GLOSSÁRIO *Idução fiita é um método matemático utilizado para validar a geeralização de uma fórmula matemática. Com essa fórmula, a resposta parcial à situação prática 2.1 seria simplesmete: J = C*i* = 1.000*0,15*5 = 750,00 Sem a ecessidade de se costruir a tabela 4. No regime de juros simples, a remueração do capital (juro) é diretamete proporcioal ao valor do capital e ao tempo, e é devida somete ao fial da operação fiaceira cosiderada. A figura 4 ilustra o exemplo dado e permite algumas coclusões. Nessa figura o(s) poto(s) 1(2,3,4,5) represeta(m) o fial do primeiro (segudo, terceiro, quarto, quito) período(s). A figura em questão explicita: Figura 4: Comportameto dos juros. Fote: do autor o capital cresce liearmete com o tempo; o capital cresce em progressão aritmética de razão J = C*i 33

34 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Observe: os juros só estarão dispoíveis para o credor o fial da operação fiaceira; as fórmulas foram deduzidas com base a taxa de juros expressa em forma uitária. Se a taxa de juros for expressa a forma percetual, ela deverá ser reduzida à sua forma uitária (dividir por 100) ates da aplicação das fórmulas; e a taxa de juros i e o tempo deverão estar expressos a mesma temporalidade (em forma compatível). Assim, se a taxa de juros for expressa em aos (aa), o tempo deverá estar expresso em aos, se a taxa de juros for expressa em meses (am) o tempo deverá estar expresso em meses e assim por diate. Exemplo 2.1: foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% a.a. Qual o valor do juro gerado essa operação? Figura 5: Juro de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor. Solução: a) a figura 5 mostra o problema em forma gráfica para visualizá-lo melhor. b) resumir os dados (sumário de dados) como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa J =? 34

35 Módulo 4 c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula (2.1). Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i% aa /100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: J = C*i* = 1.000*0,10*3 = 300,00 Motate O motate, coforme defiido ateriormete, é o resultado da capitalização da operação, isto é, represeta o capital origiário acrescido do juro devido a operação. A fórmula geral do motate pode ser deduzida a partir da sua defiição (fórmula básica da MF) e da expressão geral dos juros (2.1): M C J e J = C *i * Substituido a expressão de M o valor de J dado por (2.1), tem-se, M = C + C * i * Esta expressão, após as devidas trasformações algébricas, produz a fórmula geral do motate e suas fórmulas derivadas, mostradas a seguir: M C*(1 i * ) (2.2) (M/C) 1 i (2.4) C M 1+ i * (2.3) (M C) 1 (2.5) i Exemplo 2.2: Foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% aa. Qual o valor do motate ao fial dessa operação? Solução: a) colocar o problema em forma gráfica para visualizá-lo mehor 35

36 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia lhor. Figura 6 Motate de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor. b) resumir os dados (sumário de dados) como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa M =? c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula (2.2). Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i%aa/100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: M = C*(1+i*) = 1.000*(1+0,10*3) = 1.000*(1+0,3) = 1.000,00*1,3 = 1.300,00 GLOSSÁRIO *Equivalêcia fiaceira o capital é equivalete ao motate para a taxa de juros e pelo prazo cosiderados a operação. Esse exemplo poderia ser solucioado acrescetado-se o juro calculado em exercício 2.1 ao capital, valedo-se da fórmula básica da matemática fiaceira, ou seja: M = C + J = = 1.300,00 Itrodução ao coceito de equivalêcia fiaceira*: a situação prática 2.1 se etede que o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.750,00 para a taxa de juros de 15% a.a. e pelo prazo de 5 aos, o mesmo ocorredo o exemplo 2.2, o qual o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.300,00 para a taxa de juros de 10% a.a. e para o prazo de três aos. 36

37 Módulo 4 Taxas proporcioais e equivaletes Defiição: duas taxas i 1 e i 2 relativas aos períodos 1 e 2 são proporcioais quado observarem a relação de proporcioalidade mostrada em (2.6): i i (2.6) 2 devedo os tempos 1 e 2 estarem expressos a mesma uidade de tempo. Uma maeira mais imediata para você tratar taxas proporcioais: tomese um tempo para o qual está defiida uma taxa de juros i e subdivida-o em k períodos; qual a taxa de juros proporcioal a i para esse período k? Basta aplicar e regra da prporcioalidade e dividir a taxa i pelo úmero de períodos k cotidos em : i k i 1 * k Exemplo 2.3: coverta a taxa de juros de 12% aa em taxa de juros mesal, por proporcioalidade. Solução: aplicar a codição de proporcioalidade, observado que o tempo deve estar expresso as mesmas uidades (o caso 1 mês e 12 meses). Situação 1 i 1 = x% am 1 = 1 mês Situação 2 i 2 = 12% aa 2 = 1 ao =12 meses Aplicado a fórmula (2.6), vem: x 1 ou x = i = 1% am Pelo segudo modo: lembre-se de que o ao tem 12 meses, portato, k =12, e i k i 1 * k i m i a 1 * 12 12%* % am 37

38 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Defiição: duas taxas i 1 e i 2 são ditas equivaletes quado, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo motate. Exemplo 2.4: verifique se 1% am e 12% aa são taxas equivaletes. Tome como referêcia um capital de $ 1.000,00. Solução: aplicado a fórmula (2.2), tem-se: a) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 12 meses a 1% am será: C = $ i 1 = 1% am 1 = 12 meses Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (mês). M 1 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,01*12) = $ b) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 1 ao a 12% aa será: C = $ i 2 = 12% aa 2 = 1 ao Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (ao). M 2 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,12*1) = $ Os motates, M 1 e M 2, gerados as duas situações propostas são iguais, o que mostra que as taxas de juros de 1% am e de 12% aa são taxas equivaletes, em regime de juros simples. Combiado os resultados dos exemplos 2.3 e 2.4, pode-se cocluir: Em regime de juros simples, as taxas proporcioais são também equivaletes. Exemplo 2.5: calcule a taxa de juros mesal proporcioal à taxa de juros de 18% a.a.. Solução: basta aplicar a fórmula da proporcioalidade aos dados i 1 =? 1 = 1 mês i 2 = 18% aa 2 = 1 ao = 12 meses 38

39 Módulo 4 i1 i 1 1 i i 1 = 1,5 % am ou aida, im ia 1 * 12 18* ,5% am k =12 porque um ao se divide em 12 meses. Até este poto você estudou a modelagem básica do regime de juros ou de capitalização simples e suas fórmulas básicas que relacioam: capital, motate, tempo e taxa de juros e os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes. Este cojuto de cohecimetos, que será sedimetado com as atividades que seguem, permitirá a você avaçar um pouco mais o tópico de capitalização simples. Atividades de apredizagem 1. Calcular as taxas mesais e trimestrais proporcioais a 30% as. Resp.: i m = 5 % am, i t = 15 %at. 2. Calcular as taxas mesais, trimestrais, quadrimestrais e semestrais proporcioais à taxa de 12% aa. Resp.: i m = 1 % am, i t = 3 % at, i q = 4% aq, i s = 6% as. 3. Calcular o motate de $ ,00 aplicado por: a) 6 (seis) meses a 2% am, b) 10 (dez) meses a 12% aa, e c) 65 (sesseta e cico) dias a 2,5% am. Resp.: (a) ,00, (b) ,00, (c) , Uma aplicação gerou um motate de $ ,00. Os juros gerados a aplicação foram de $ 2.400,00 e o prazo da mesma foi de 3 (três) meses. Determiar: (a) o capital aplicado, e (b) a taxa de juros mesal da aplicação. Resp.: (a) ,00, (b) 6,15% am. 5. Determiar o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em quato tempo triplicará? Resp.: (a) 20 meses, (b) 40 meses. 39

40 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 6. O valor omial de um título é 5/3 (cico terços) do seu valor atual. Sedo o prazo de aplicação de 8 (oito) meses, qual a taxa de juros mesal aplicada? Resp.: i = 8,33% am. 7. Qual deve ser o prazo de aplicação de um capital a 30% aa para que os juros gerados correspodam a 4 vezes o valor do capital? Resp.: 13,33 a. 40

41 Módulo 4 Juro comercial É coveiete, em algumas situações, fazer uma distição etre o ao civil (365 dias) e o ao comercial (360 dias). Essas situações ocorrem quado existe a ecessidade de se trabalhar com taxas de juros expressas em dias. Algumas aplicações executam seus cálculos com base em taxas de juros diárias, mas expressam essas taxas de juros em termos mesais ou auais; portato, tora-se ecessária a utilização de taxas proporcioais diárias e para o seu cálculo é obrigatória a defiição de uma base de cálculo: a) ao civil de 365 dias ou b) ao comercial de 360 dias. A base de cálculo escolhida (360 ou 365 dias) leva às defiições de juros exatos (base 365 dias) e juros comerciais (base 360 dias). Este livro se aterá exclusivamete aos juros comerciais adotado o ao de 360 dias e o mês de 30 dias. Taxa de juros diária comercial A taxa de juros diária comercial i dc é calculada dividido-se uma taxa de juros expressa em ao i a por 360 dias (a base de cálculo é o ao comercial de 360 dias): ia idc = (2.7) 360 Juro comercial É o juro obtido quado o período está expresso em dias e se utiliza para os cálculos a taxa de juros diária comercial e o prazo em dias, de acordo com a expressão abaixo: J c = C*i dc * 41

42 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia i dc expresso em dias taxa de juros diária comercial Que combiada com a expressão (2.7) dá os juros comercias obtidos para um período expresso em dias e para taxa de juros expressa em ao: C*i * J = a c (2.8) 360 Exemplo 2.6: cosidere um ivestimeto que promete remuerar o capital a 15% aa, em regime de juros simples. Se o ivestidor pretede mater o seu capital de $ 1.000,00 ivestido por 60 dias que motate receberá ao fial? Sumário: i = 15% aa, = 60 dias, C= 1.000,00, M =? Solução: deve-se calcular a taxa de juros diária proporcioal (ou equivalete) e calcular o motate com base essa taxa. a) Fórmula a ser aplicada: M = C*(1 + i*) com e i expressos em dias. b) Cálculo de i d tomado o ao comercial como base: i d = 15/360 = 0, % ad c) Trasformado a taxa de juros para sua forma uitária: i d = 0,041667/ 100 =0, ad d) Aplicado a fórmula: M = 1.000* (1 + 0, *60) = 1.025,00 42

43 Módulo 4 Descotos descoto racioal e descoto comercial Uma operação fiaceira etre dois agetes ecoômicos é ormalmete documetada por um título de crédito comercial, devedo esse título coter todos os elemetos básicos da operação correspodete. Esses títulos é que vão ser utilizados em operações de descoto que são o objeto de estudo deste tópico. Títulos muito utilizados pelos agetes ecoômicos são: a Nota Promissória e a Duplicata Mercatil e de Serviços. Saiba mais... Cosulte: diversos/otapromissoria.htm. Capítulo_12_Empresarial_pr.pdf Coceito de descoto O problema do descoto surge quado o detetor de um título de crédito ecessita trasformá-lo em diheiro ates da data do vecimeto; esse caso, ele poderá egociar com um agete fiaceiro que lhe atecipará um valor iferior ao valor omial. 43

44 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Figura 7: Coceito de Descoto Fote: elaborada pelo autor. A difereça etre o valor omial do título e o valor pago por ele, uma certa data (aterior a data do vecimeto), é o que se chama descoto. Assim, D FV PV (2.9) ode: D FV (VN) PV descoto valor omial do título (o vecimeto); valor atual do título (pago pelo Agete Fiaceiro). Esse coceito pode ser mais bem visualizado a figura 7. Exemplo 2.7: seja um título de dívida com as seguites características: data de emissão: 1/1/X7; data de vecimeto: 1/1/X8; favorecido: João de Souza; emitete: Alberto José; e valor omial o vecimeto: $ 1.000,00. Em 1/3/ X7, João de Souza vai ao Baco X e propõe ao mesmo descotar esse título. O Baco, após aalisar a questão, resolve pagar a João a quatia de $ 800,00 pelo título aquela data. Na operação de descoto o baco ão assume a resposabilidade plea pelo título: João de Souza é solidário com Alberto José em sua dívida perate o baco. Em caso de iadimplêcia de Alberto, João deverá pagar o título ao baco. 44

45 Módulo 4 Para o exemplo acima, que pode ser visualizado a figura 8, tem-se o seguite resumo de dados: VN = FV = $ valor pago pelo baco = PV = $ 800 descoto: D = FV - PV = = $ 200 Em outras palavras, o Baco X despedeu $ 800,00 em 1/3/X7 a favor de João e receberá $1.000,00 de Alberto em 1/1/X8, percebedo, portato, $ 200,00 pela prestação desse serviço. A figura 8 ilustra o problema. Observe que a solução deste exemplo o valor iicial à vista que origiou o título de dívida (o capital) ão foi levado em cota; esta é uma situação comum em fiaças porque a cojutura ecoômica a origem da operação fiaceira é diferete daquela hoje vigete que determia as ovas codições da operação (o passado ão importa). Figura 8: Descoto de título Fote: elaborada pelo autor. O objetivo desta seção é mostrar a você as formas corretes de cálculo desse descoto em regime de capitalização simples, que são: a) o descoto racioal ou por detro e b) o descoto comercial ou por fora; este último, é aida deomiado descoto bacário. 45

46 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Descoto racioal (por detro) A operacioalização do cálculo do descoto pode ser feita por dois métodos distitos. O primeiro é o chamado descoto racioal ou por detro e para sua defiição será adotada a seguite omeclatura: FV PV valor omial; valor presete, valor atual ou valor descotado; i r taxa de juros de descoto por período tempo ou tempo de atecipação, em períodos (tempo que decorre etre a data do descoto e a data de vecimeto do título e D r descoto racioal ou por detro. GLOSSÁRIO *Descoto racioal o valor do juro gerado pelo valor PV o tempo e a uma taxa de juros i r. Figura 9: Descoto racioal - RJS Fote: elaborada pelo autor. Defie-se o descoto racioal* como o valor do juro gerado o tempo e à taxa de juros i r, calculado sobre o valor PV. A figura 9 ilustra as demostrações que seguem. Da defiição de descoto racioal tem-se: D r = PV * i r * (2.10) Da figura 9, percebe-se claramete que: D r = FV - PV que devidamete reordeada produz: 46

47 Módulo 4 FV PV D r esta equação, substituido D r por sua expressão em (2.10) vem: FV PV PV *ir * da qual decorre: FV = PV * (1+ ir * ) (2.11) e também, FV PV = (1+ ir * ) (2.12) As expressões (2.10) e (2.12) combiadas resultam em: FV *i * D = r r (1+ i * ) (2.13) r Em descoto simples racioal a base de cálculo é o capital iicial ou valor presete. Se você observar cuidadosamete as fórmulas acima verá que o descoto racioal correspode ao juro simples (J) da operação proposta; em outras palavras, o descoto racioal se vale de todas as fórmulas vistas para juros simples, por operar exatamete esse regime. Os problemas evolvedo D r podem ser catalogados em três tipos, como mostrado a seguir: Tipo 1: cohecidos FV, i r e, calcular D r. Este tipo de problema é resolvido pela fórmula (2.13) FV *i * D = r r (1+ ir * ) Exemplo 2.8: um título de valor omial de $ 5.000,00 que vece daqui 47

48 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia a 60 dias é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebido pelo detetor do título? Sumário de dados: FV = 5.000; = 2 meses; i = 4% am, D r =? Solução: a) Aplicação da fórmula: FV *i * 5.000*0,04* Dr = r $ 370,37 (1 i * ) (1 0,04* 2) 1,08 r b) O portador do título receberá: PV = FV D r = ,37= PV = $ 4.629,63 Tipo 2: cohecidos D r, i r e, calcular FV. O problema é resolvido pela mesma fórmula aterior, só que devidamete reordeada: Dr *(1 i * ) FV r i * r Exemplo 2.9: um título que vece daqui a 60 dias foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor omial e o valor presete desse título? Sumário: FV =?; D r = 370,37; = 2 meses; i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: D *(1 i * ) 370,37 *(1 0,04* 2) FV r r ir * 0,04* 2 399,99 FV 4.999, ,00 0,08 48

49 Módulo 4 b) O portador do título receberá: PV FV - Dr PV ,37 $ 4.629,63 Tipo 3: cohecidos FV ou PV, D r e i r, calcular. O problema é resolvido com o auxílio das fórmulas (2.9) e (2.11): FV PV D r FV PV (1 i * ) r Exemplo 2.10: um título de valor omial $ 5.000,00 foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o prazo de atecipação do título? Sumário: FV = 5.000,00; D r = 370,37; =?; i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso meses. a) Pode-se calcular PV com a fórmula (2.9) e a seguir aplicar a fórmula (2.11): PV FV - Dr PV ,37 $ 4.629,63 FV PV = (1+ i * ) r reordeado e substituido os valores, tem-se, FV FV FV 1 (1 ir * ) = ir * 1 1 * PV PV PV ir FV 1 1 * PV i r ,63 1 * 1 0,04 1,99999 meses ou 2 meses b) o exemplo pode ser solucioado utilizado-se a fórmula (2.13) reco- 49

50 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia medada para os tipos 1 e 2. Dr *(1 i * ) FV r i * r FV *i r * Dr Dr *ir * FV *ir * - Dr *ir * Dr *(FV *ir - Dr *ir ) Dr D r FV *i - D r r *i r D r ir *(FV - D r ) i r Dr 370,37 1,99999 ou 2 meses *(FV - D ) 0,04*( ,37) r Exercícios resolvidos para ajudá-lo a fixar coceitos Exercício 2.1: determiar o descoto racioal e o valor atual das hipóteses seguites: Valor Nomial Taxa Prazo até Vecimeto a)$ ,00 23% a.a. 3 meses b)$ 8.200,00 20,5% a.a. 1 ao e 2 meses Solução: a) Problema do tipo 1 usar a fórmula (2.13), FV *i * D = r r (1+ ir * ) substituido-se os valores *(0,23/12)*3 D r 0,23 (1 *3) ,0575 $ 543,74 O valor presete ou atual é dado por: PV FV Dr , ,26 b) Problema do tipo 1 usar a fórmula (2.13) D r FV *i * = r (1+ i * ) r substituido-se os valores 50

51 Módulo *(0,205/12)*14 D r 0,205 (1 *14) ,16 1, $1.582,65 O valor presete ou atual é dado por: PV FV Dr , ,35 Observe que as taxas de juros mesais foram calculadas por proporcioalidade e colocadas em forma uitária. Exercício 2.2: o descoto racioal para um título de valor omial $ 600,00 e prazo de atecipação de 5 meses foi $ 57,63. Qual é a taxa de juros aplicada? Sumário de dados: D r = 57,63; FV = 600; = 5 meses; i =? Solução: lembrar a relação etre PV, FV e D r D r = FV - PV 57,63 = PV PV = 542,37 e a seguir aplicar a fórmula do descoto racioal: Dr = PV * i * 57,63 = 542,37 * i * 5 i 57,63 542,37 *5 0,02125 am ou 2,125 % am Exercício 2.3: um título de valor omial $ 1.300,00 foi resgatado ates de seu vecimeto; o descoto racioal foi de $ 238,78. Qual o prazo para o vecimeto desse título se a taxa de juros aplicada foi 27% a.a.? Sumário de dados: FV = 1.300; D r = 238,78; i = 27% aa; =? Solução: problema do tipo 3 para o qual se usam as fórmulas (2.9) e (2.11), 238, PV PV , , 22 51

52 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Aplicar agora a fórmula básica de descoto racioal simples, D r = PV*i* 238,78 = 1.061,22*0,27* 238, ,22* 0,27 0,8333 a Covertedo para meses por regra de três simples, = 0,8333*12 =9,9996 ou 10 meses A resposta poderia ser obtida diretamete em meses se você utilizasse a taxa de juros expressa em meses (i m = 27/12 = 2,25% am) Exercício 2.4: um título foi resgatado 145 dias ates do seu vecimeto sedo egociado uma taxa de juros de 23% a.a., tedo sido recebido um valor de $ 1.921,95. Qual o valor omial do título? Sumário: = 145 d; i = 23% aa; PV = 1.921,95; FV =? Solução: problema de solução direta - aplicar a fórmula do motate (2.11), FV = PV * (1+ ir * ) substituido os valores 0,23 FV 1.921,95*(1 *145) 360 $ 2.099,99 Você deve observar o tratameto dado à taxa de juros: a taxa aual foi covertida em taxa diária cosiderado o ao de 360 dias (comercial) e a taxa diária foi aplicada sobre o úmero de dias corridos do título. Atividades de apredizagem 8. Determiar o valor atual racioal dos seguites títulos: FV i a) $ ,00 15,9% a.a. 50 dias b) $ ,00 21% a.a. 125 dias c) $ 6.420,00 30% a.a. 8 meses d) $ 5.000,00 26,4% a.a. 181 dias Resp.: a) ,87, b) ,48, c) 5.350,00, d) 4.414,10. 52

53 Módulo 4 9. Quato pagar por um título cujo valor omial é de $ ,00 com vecimeto em 150 dias para que se teha uma retabilidade de 36% aa? (lembre-se: retabilidade é a taxa de juros do descoto racioal). Resp.: , Sabe-se que o descoto racioal de um título, cujo valor omial é $ 600,00, foi de $ 57,63. Qual será a taxa de juros cosiderada se o prazo de atecipação foi 5 meses? Resp.: 25,50% aa. 11. O valor descotado de uma promissória é de $ 1.449,28 (PV) e a taxa de juros utilizada foi de 18% aa. Sabe-se que o descoto racioal foi de $ 50,72. Qual o prazo de atecedêcia? Resp.: = 70 dias. 12. O valor omial de um título é de 17,665 vezes o descoto racioal a 24% a.a. Se o descoto racioal for $ 600,00, qual será o prazo de atecipação? Resp.: = 3 m. Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) O segudo modo de se operacioalizar o descoto de títulos é deomiado de descoto bacário, comercial ou por fora. Para se defiir o descoto comercial será adotada a seguite omeclatura: FV PV valor omial; valor atual ou valor descotado; i c D c taxa de descoto por período; tempo ou tempo de atecipação, em períodos; e descoto comercial ou por fora. Defie-se o descoto comercial* como o valor dos juros gerados o tempo, à taxa de descoto i c, calculado sobre o valor omial FV do título. A figura 10, a seguir, ilustra a questão. GLOSSÁRIO *Descoto comercial - o valor do juro gerado pelo valor FV o tempo e a uma taxa de juros i c. 53

54 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Da defiição de descoto comercial tem-se: Dc FV *ic * (2.14) Figura 10 - Descoto comercial RJS Fote: do autor Em descoto comercial a base de cálculo é o valor omial ou motate. A dedução de algumas fórmulas, a partir dessa relação e da defiição geral de descoto, pode ser útil para a solução de algus problemas. decorre, Veja que das duas expressões básicas de descoto comercial: PV = FV - D ou FV = PV + e D FV *i * c D c PV = FV - FV *ic * que trasformada resulta em, PV = FV * (1- ic * ) (2.15) e c c D c PV *i * = c (1 i * ) (2.16) c Defiido desta maeira, o descoto comercial ão segue o modelo puro do regime de capitalização simples sedo, a verdade, uma corruptela do mesmo. A taxa de descoto aplicada à FV descaracteriza o regime de juros simples. 54

55 Módulo 4 Você agora vai verificar que o descoto comercial (D c ) é maior que o descoto racioal (D r ) quado eles são operados com a mesma taxa: de descoto para o descoto comercial e de juros para o descoto racioal. Para isto, cosidere o descoto de um título de valor omial (FV) pelos critérios racioal e comercial. O valor omial em descoto racioal é calculado pela fórmula (2.13): Dr *(1 i * ) FV r i * r Observe: taxa de descoto para o dscoto comercial e taxa de juros para o descoto racioal. Esse mesmo valor omial é expresso pela fórmula do descoto comercial (2.14): FV = Dc i c * cosiderado que o valor omial é o mesmo (mesmo título descotado de dois modos diferetes), segue: Dr *(1+ ir * ) D = c i * i * r c como por hipótese, i r = i c = i, segue: Dc = Dr * (1+ i * ) (2.17) Coclusão: o descoto comercial é igual ao motate gerado pelo descoto racioal para uma dada taxa de juros i (igual à taxa de descoto) e para o tempo cosiderado. Atividades de apredizagem 13. Deduza qual relação que deve existir etre a taxa de juros do descoto racioal i r e a taxa de descoto do descoto comercial i c para que o descoto de um título gere o mesmo valor descotado ou valor presete. Esta atividade deve ser desevolvida em grupo através de chats. 55

56 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Os problemas mais comus evolvedo D c podem ser catalogados em três tipos, como mostrado a seguir: Tipo 1: cohecidos FV, i c e, calcular D c. Este tipo de problema é resolvido pela fórmula (2.14) Dc FV *ic * Exemplo 2.11: um título de valor omial de $ 5.000,00, com vecimeto para 60 dias é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebido pelo detetor do título? Sumário: FV = 5.000; = 2 meses; i = 4% am; D c =? Solução: problema do tipo 1 aplicar a fórmula (2.14); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula D c = FV*i c *: D c = 5.000*0,04*2 = $ 400,00 b) O portador do título receberá: PV = FV D c = ,00 = $ 4.600,00 Compare estes resultados com os obtidos o exemplo 3.8. Tipo 2: cohecidos D c, i c e, calcular FV. O problema é resolvido pela mesma fórmula aterior, só que devidamete reordeada: D c = FV*i c * ou FV = Dc i c * Exemplo 2.12: um título com vecimeto em 60 dias foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 400,00. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor omial e o valor preste desse título? Sumário: FV =?; D c = 400,00; = 2 meses; i = 4% am; D c =? 56

57 Módulo 4 Solução: problema do tipo 2 aplicar a fórmula (2.14); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: D FV c i * c 400,00 0,04* 2 $ 5.000,00 b) O portador do título receberá: PV = FV - D c = ,00 = $ 4.600,00 Compare estes resultados com os resultados do exemplo 2.9. Tipo 3: cohecidos FV ou PV, D c e i c, calcular. O problema é resolvido com o auxílio da fórmula básica de descoto (2.9) e a fórmula (2.15): FV PV D c e PV FV *(1- ic * ) Exemplo 2.13: um título de valor omial $ 5.000,00 foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 400,00. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% a.m. (ao mês). Qual o valor presete e o prazo de atecipação do título? Sumário: FV = 5.000,00; D c = 400,00; =?; i = 4% a.m.; PV =? Solução: problema do tipo 3 aplicar as fórmulas (2.9) e (2.15); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso em meses. b) Pode-se calcular PV com a fórmula básica de descotos e a seguir aplicar a fórmula (2.15): FV = PV D c = PV 400,00 PV ,00 $ 4.600,00 substituido os valores correspodetes vem, 57

58 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia PV = FV *(1- ic * ) *(1-0,04* ) decorredo = 2 meses O exemplo pode ser solucioado por outras formas. Comparar os resultados com o exemplo Observações Como defiido, o descoto comercial pode coduzir a valores egativos para o PV. Com efeito, aalisado a fórmula (2.15), PV = FV * (1- ic * ) você pode perceber que a codição ecessária para que o PV seja positivo é que o fator: (1- i c * ) 0 ou, o que é a mesma coisa que: i c * < 1 Assim, se a taxa de descoto for 8% am (0,08 am), o maior prazo possível para que ão se teha um valor egativo para PV é dado por: 0,08 * < 1 ou < 1/0,08 = 12,5 meses Essa questão só é relevate em operações de logo prazo. Como os descotos são operações típicas de curto prazo, tal assuto perde a sua relevâcia. Em descoto comercial simples cosidera-se como custo efetivo da operação - a taxa de juros do descoto racioal que produz o mesmo valor presete (PV). O valor dessa taxa de juros racioal (custo efetivo) é diretamete depedete do prazo do descoto comercial, embora seja sempre superior à taxa de descoto comercial. Uma operação coduzida com taxa de descoto comercial de 10% am produz as seguites taxas de descoto racioal, coforme o prazo da operação: 58

59 Módulo 4 = 1 mês = 2 meses = 3 meses = 4 meses i r = 11,11% am i r = 11,80% am i r = 12,62% am i r = 13,62% am O custo efetivo de uma operação de descoto comercial é a taxa de juros que produz o mesmo valor do descoto, porém calculado o modelo racioal. Exemplo 2.14: Com os dados e respostas do exemplo 2.13 determiar o custo da operação de descoto. Sumário: D c = 400,00; FV = 5.000,00; i c = 4% am; = 2 m; i r =? Solução: deve-se determiar qual a taxa de descoto racioal i r que produz um descoto racioal de $ 400,00. Da defiição de descoto racioal tem-se a fórmula (2.10): D r = PV*i r * porém, o valor presete pode ser calculado da seguite forma: PV = FV - D = 5.000,00-400,00 = 4.600,00 valor que levado à fórmula do D r produz: 400,00 = 4.600,00*i r *2 i r = 0,0435 ou 4,35% am Fique esperto Normalmete as istituições de crédito iformam ao cliete a taxa de juros omial e ão a taxa de juros efetiva que iforma o custo real da operação. 59

60 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Exercícios resolvidos para fixação de coceitos A operação deve ser sempre avaliada pelo seu custo real ou efetivo. Exercício 2.5: um título foi resgatado 145 dias ates do vecimeto sedo egociada uma taxa de descoto de 23% a.a., sedo recebido um valor atual de $ 1.921,95. Qual é o valor omial do titulo? Sumário: = 145 dias; i = 23% aa; PV = 1.921,95; FV =? Solução: a) aplicar a fórmula do valor presete do descoto comercial, PV = FV* (1- i * ) substituido os valores 0, ,95 FV *(1 *145) 360 FV = $ 2.118,17 Exercício 2.6: calcular o descoto comercial das hipóteses seguites: FV(VN) Taxa Prazo a) $ ,00 35% a.a. 3 meses b) $ ,00 27% a.a. 4 meses e 12 dias Solução: aplicar a fórmula de descoto comercial, D c = FV*i c * a) D c = *0,35*(3/12) = $ 1.575,00 observe que o prazo de 3 meses foi covertido em 0,25 aos para compatibilizar com a taxa de juros. b) D c = *(0,27/360)*(132) = $ 2.178,00 observe que a taxa de juros foi covertida para sua proporcioal diária (ao comercial) e o prazo cotado em dias. A seguir, um cojuto de atividades propostas a você com o ituito de sedimetar o seu cohecimeto e desevolver sua habilidade para lidar com o modelo de descoto comercial simples estudado. 60

61 Módulo 4 Atividades de apredizagem Atividades de apredizagem 14. Uma operação de descoto comercial foi feita para um título co valor omial de $ 1.000,00 com uma taxa de descoto de 3% am e prazo de 2 meses. Determie o valor do descoto comercial, o valor recebido pelo cliete e o custo efetivo da operação. Resp.: D c = 60,00; VR = 940,00; i r = 3,19% 15. Determiar a taxa mesal de descoto comercial que um baco deve aplicar para que o custo efetivo da operação correspoda a uma taxa de descoto racioal de 6,5% am, para os seguites prazos de descoto: (a) 1 (um) mês, (b) 2 (dois) meses e (c) 3 (três) meses. Resp.: (a) i c = 6,10% am, (b) i c = 5,75 % am, (c) i c = 5,43% am. 16. Um baco propõe a um cliete duas alterativas de empréstimo com base em descoto comercial: (a) 5,5% am e prazo de 4 (quatro) meses, e (b) 6% am com prazo de 2 (dois) meses. Qual das alterativas é mais vatajosa para o cliete em termos do seu custo efetivo? Resp.: (b). 61

62 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Equivalêcia de capitais Cosidere agora os dois fluxos de caixa represetados a figura 11; esses fluxos de caixa têm suas etradas de caixa dadas respectivamete por PMT 1, PMT 2,..., PMT m e PMT 1, PMT 2,..., PMT. O subscrito represeta o poto temporal em que se dá a etrada de caixa. Figura 11: Equivalêcia de capitais - RJS Fote: elaborada pelo autor GLOSSÁRIO *Valor presete (PV FC ) de um fluxo de caixa é a soma algébrica dos valores de cada um dos seus compoetes descotados para a data focal zero (ou atual), para uma dada taxa de juros. Para comparar esses dois fluxos de caixa em regime de juros simples você deve se valer do coceito de valor presete* de um fluxo de caixa. Os valores presetes desses dois fluxos de caixa 1 e 2 deomiados PV FC1 e PV FC2 são a soma de cada uma das parcelas que os compõem descotadas para a data focal zero. Vamos adotar a seguite represetação geérica: PVFC PV PV PV... PV 1 PMT1 PMT2 PMTm PV PV... PV FC ' ' ' 2 PMT1 PMT2 PMT Dois fluxos de caixa serão defiidos como equivaletes ( ) quado os seus valores presetes, calculados para a mesma taxa de juros, forem iguais, ou seja: se PV FC1 = PV FC2 etão FC1 FC2. 62

63 Módulo 4 Portato, ao comparar fluxos de caixa (por exemplo, para decidir etre duas alterativas de fiaciameto) você, em primeiro lugar, deverá descotar todos os seus termos para uma úica data que é deomiada data focal. A defiição de juros simples obriga que esta data focal seja sempre zero. Para que os dois fluxos de caixa, mostrados a figura 11, sejam equivaletes eles devem produzir valores presetes iguais quado descotados a uma mesma taxa de juros. A taxa que garate essa igualdade é deomiada taxa de juros (ou de descoto) de equivalêcia. Figura 12: Valor presete de um fluxo de caixa Fote: elaborada pelo autor A figura 12 ilustra: a) os descotos feitos para cada uma das parcelas de um fluxo de caixa geérico para a data focal zero e b) o valor presete desse fluxo de caixa como a soma dos valores descotados das diversas etradas de caixa. Observe que cada um dos compoetes do fluxo de caixa (PMT 1, PMT 2, ---, PMT foi descotado para a data focal zero para etão se somarem os seus valores presetes e se obter o valor presete do fluxo de caixa. Observe que o descoto mostrado a figura 12 pode ser feito em modelo racioal ou em modelo comercial. Por simplificação, deste poto em diate este livro se referirá simplesmete a uma taxa que poderá ser racioal (taxa de juros) ou comercial (taxa de descoto), coforme a situação em aálise. 63

64 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto racioal Você pode obter as relações de equivalêcia calculado os valores atuais dos dois fluxos de caixa, represetados a figura 11, pelo critério do descoto racioal (utilizado a fórmula: C = M/(1+i*)) e lembrado que: PVPMT 1 PVPMT' 1 PMT 1 ; PVPMT (1 i *1) PMT' 1 ; PVPMT' (1 i *1) 2 PMT 2 ;...PVPMT (1 i * 2) 2 m PMT' 2 ;...PVPMT' (1 i * 2) PMT m (1 i * m) PMT (1 i * ) tem-se: PV PV FC1 FC2 PMT1 = (1+1*i) ' PMT (1+ 2 *i) PMT PMT = (1+1*i) (1+ 2 *i) ' PMT (1+ *i) PMT (1+ *i) ' PMTm... (1+ m *i) De acordo com a defiição de equivalêcia, esses dois fluxos de caixa serão equivaletes, em descoto racioal, quado os seus valores atuais forem iguais (para a taxa de juros i), ou seja: PV FC1 = PV FC2 Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto comercial De modo aálogo, para determiar as relações de equivalêcia, em descoto comercial, os valores atuais dos fluxos de caixa são calculados com a aplicação das fórmulas do descoto comercial (PV = FV*(1 - i*)). Assim: 64

65 Módulo 4 PVFC1 = PMT1*(1-1*i) ' ' PVFC2 = PMT1 *(1-1*i) + PMT PMT * (1- *i) *(1-2 *i) PMTm * (1- m *i) ' + PMT * (1- *i) Como já visto, os dois fluxos de caixa são equivaletes, em descoto comercial, quado os seus valores presetes forem iguais, ou seja: PV FC1 = PV FC2 Ateção: Os valores atuais dos dois fluxos de caixa depedem da taxa de juros; portato, a comparação desses fluxos só faz setido quado os cálculos forem efetuados com uma mesma taxa de juros; essa taxa será a taxa de juros (ou de descoto) de equivalêcia. Exemplo 2.15: dois títulos de $ que têm seus vecimetos daqui a 30 e 60 dias devem ser substituídos por outros dois títulos com vecimetos para 60 e 90 dias. Sabedo-se que esses títulos têm o mesmo valor de face e que a taxa de juros é 2% am, calcular os seus ovos valores. Modelo Racioal. Sumário: PMT 1 = 1.000; 1 = 1 m; PMT 2 =1.000; 2 = 2 m; PMT 3 =PMT=?; m 1 = 2 m; PMT 4 =PMT =?; m 2 = 3 m; i = 2% am, mod. rac. Figura 13: Repactuação de pagametos Fote: elaborada pelo autor Solução: a figura 13 mostra o valor dos ovos títulos desigado por PMT. Do poto de vista fiaceiro, os fluxos de caixa das duas alterativas de pagameto devem ser equivaletes. Assim, a codição do problema im- 65

66 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia põe que os valores presetes dessas duas alterativas de pagameto sejam iguais. Aplicado-se a fórmula do valor presete modelo racioal - para um fluxo de caixa de dois elemetos, tem-se: a) para o primeiro fluxo de caixa ( 1 = 1 mês, 2 = 2 meses), PMT PMT PV = FC1 + (1+ i *1) (1+ i * 2) (1+ 0,02*1) PV FC1 = 980, ,53 = $ 1.941, (1+ 0,02* 2) b) para o segudo fluxo de caixa (m 1 = 2 meses, m 2 = 3 meses), PV FC2 = PMT (1+ 0,02 * 2) + PMT (1+ 0,02 *3) PMT PV FC2 = 1,04 PMT + 1,06 PV FC2 = 1,9049*PMT 1,06* PMT 1,04* PMT 1,04*1,06 c) Aplicado-se a codição de equivalêcia para os dois fluxos de caixa, tem-se: PV FC1 = $ 1.941,92 = PV FC2 = 1,9049*PMT decorre: PMT = $ 1.019,43 E se o modelo fosse o comercial? a solução seria aáloga, apeas com a aplicação da fórmula de descoto comercial, qual seja: PV FC = FV*(1 i*) PV FC1 = * (1-0,02 * 1) * (1-0,02 * 2) PV FC1 = = $ PV FC2 = PMT * (1-0,02 * 2) + PMT * (1-0,02 * 3) PV FC2 = 0,96 * PMT + 0,94 * PMT = 1,90 * PMT Igualado-se os dois valores atuais: PV FC1 = = PV FC2 = 1,90 * PMT decorredo, 66

67 Módulo 4 PMT = $ 1.021,05 Exemplo 2.16: compra-se um produto cujo preço à vista é $ ,00. Deseja-se fiaciar a compra em quatro parcelas iguais com vecimetos a 30, 60, 90 e 120 dias. Se a taxa de juros é 5% am e o modelo de descotos racioal, qual o valor dessas parcelas? Sumário: PV = ,00; = 4; i = 5% am; PMT? Solução: a) a figura 14 mostra o problema graficamete; ela idica claramete a existêcia de dois fluxos de caixa: o primeiro que represeta o valor à vista da mercadoria e o segudo que represeta o parcelameto da compra em quatro prestações, b) calcular o valor presete do fluxo de caixa das parcelas e c) impor a codição de equivalêcia etre os dois fluxos de caixa: o primeiro que represeta o valor à vista da mercadoria (PV FC1 ) e o segudo que represeta o pagameto em quatro parcelas (PV FC2 ). Figura 14: Fiaciameto em quatro parcelas iguais Fote: elaborada pelo autor O valor presete do primeiro fluxo de caixa é $ ,00 por represetar o preço à vista da mercadoria, PV FC1 = O valor presete do segudo fluxo de caixa represetativo do pagame- 67

68 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia to em quatro parcelas, em modelo de descoto racioal, é dado por: PV FC2 PMT = 1 + (1+ i * ) 1 PMT2 (1+ i * 2 PMT PMT 3 4 ) (1+ i * ) (1+ i * 3 4 ) Do euciado tem-se: PMT 1 = PMT 2 = PMT 3 = PMT 4 = PMT; i = 0,05 a.m. (forma uitária); 1 = 1 m; 2 = 2 m; 3 = 3 m e 4 = 4 m. Estes valores substituídos a expressão de PV FC2 resulta, PV FC2 = PMT (1+ 0,05*1) + PMT PMT PMT (1+ 0,05* 2) (1+ 0,05*3) (1+ 0,05* 4) colocado em evidecia o fator comum PMT e resolvedo a equação resultate, vem, PV FC2 = PMT * 5,6812/1,5939 Para solucioar o problema basta estabelecer a equivalêcia etre os dois fluxos de caixa, ou seja: PV FC1 = = PV FC2 = PMT * 5,6812/1,5939 PMT = 1,5939/5,6812 * PMT = $ 2.805,56 Exemplo 2.17: Uma loja abre aos seus clietes três opções de pagameto para a veda de um eletrodoméstico: a) à vista por $ 1.100,00, b) uma etrada de $ 200,00 e quatro prestações mesais e sucessivas o valor de $ 250,00 e c) uma etrada de $ 400,00 e duas prestações mesais e sucessivas o valor de $ 350,00. Sabedo que a taxa de juros de mercado é de 3% am, qual das três propostas lhe é mais favorável? Modelos racioal e comercial. Sumário: PV 1 = 1.100,00; E 2 = 200,00; PMT 2 =250,00 (4 pagametos); E 3 = 400,00; PMT 3 =350,00 (2 pagametos); i = 3% a.m. p as três situações. Solução: a figura 15 mostra o problema graficamete e idica os três fluxos de caixa; o primeiro que represeta o valor a vista da mercadoria e os demais que represetam os parcelametos da compra em quatro e duas prestações. A solução de meor custo é aquela que apresetar o fluxo de caixa com o meor valor presete. 68

69 Módulo 4 Etão basta calcular o valor presete dos fluxos de caixa das parcelas para a taxa de juros 3% am e escolher a opção que lhe der o meor valor presete Cálculos: a) modelo racioal O fluxo de caixa 1 já está expresso em valor presete (à vista): PV FC1 = 1.100,00 Para os fluxos de caixa 2 e 3 deve-se aplicar a fórmula de descoto racioal, para as codições dadas: PV FC Figura 15: Alterativas de fiaciameto Fote: elaborada pelo autor PMT1 = E (1+ i*1) PMT (1+ i*2) PMTm (1+ i*m) PV FC2 = (1+ 0,03*1) (1+ 0,03* 4) PV FC2 = 1.135,12 Cálculos aálogos mostram que: PV FC3 = 1.069,99 Nessas codições, para o modelo de descoto racioal, a opção mais vatajosa é a que correspode ao fluxo de caixa 3 por apresetar o meor valor presete. 69

70 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia b) modelo comercial. Aqui os cálculos se repetem, porém com a fórmula do descoto comercial: VP FC1 = 1.100,00 PV FC = E + PMT 1 *(1-i*1) PMT m *(1-i*m) PV FC2 = *(1-0,03*1) + 250*(1-0,03*2) + 250*(1-0,03*3) * (1-0,03*4) PV FC2 = 1.125,00 PV FC3 = 400*(1-0,03*0) + 350*(1-0,03*1) + 350*(1-0,03*2) PV FC3 = 1.068,50 O modelo comercial de descoto cofirma a decisão apotada pelo modelo racioal: a melhor opção é a que correspode ao fluxo de caixa 3. Observe que as etradas correspodem ao PMT 0. Atividades de apredizagem 17. Um produto é ofertado por uma loja em duas codições alterativas; (a) $ ,00 à vista, e (b) dois pagametos iguais o valor de $ ,00 para 30 (trita) e 60 (sesseta) dias da data da compra. Qual a taxa mesal de juros cobrada pela loja? (resolver pelos modelos racioal e comercial). Resp.: i r = 1,99% am, i b = 1,935% am. 18. Uma loja vede um videocassete por $ 500,00, à vista. Alterativamete, cotempla a veda a prazo com uma etrada de $ 50,00 e um pagameto adicioal de $ 531,00 após 6 meses. Qual a taxa de juros aual cobrada? Resolver pelos modelos comercial e racioal. Resp.: i a = 36 aa (mod. rac.), i a = 30,50 %aa (mod. bac.). 19. Aplicam-se $ ,00 à taxa de juros de 12% aa e por um período de 4 (quatro) meses. Um mês após essa aplicação, faz-se ova aplicação à taxa de juros de 20% aa e por três meses. Qual o valor desta seguda aplicação para que os motates das duas operações sejam iguais? (a) modelo racioal (b) modelo comercial. Resp.: C r = $ ,80, 70

71 Módulo 4 C b = $ , Uma mercadoria, cujo valor à vista é $ ,00, foi vedida em 3 (três) pagametos para 30 (trita), 60 (sesseta) e 90 (oveta) dias da data da veda. Sabedo que cada pagameto supera o aterior em $ 2.000,00 e que a taxa de juros da operação é 24% aa, determiar o valor de cada pagameto. (a) modelo racioal (b) modelo comercial. Resp.: Rac. R 1 = $ 4.958,12, R 2 = $ 6.958,12, R 3 = $ 8.958,12; Com. R 1 = $ 4.972,22, R 2 = $ 6.972,22, R 3 = $ 8.972,22. RESUMO Esta uidade levou-o a estudar o regime de juros simples ou de capitalização simples. Em primeiro lugar você estudou a modelagem do regime e deduziu suas fórmulas básicas. A seguir você etrou em cotato com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes cocluido que ambas são iguais esse regime de juros. Você prosseguiu seus estudos aprededo a distiguir taxas de juros diárias: exata e comercial. Após esses coceitos básicos você se debruçou o estudo dos descotos segudo os modelos racioal e bacário e, por fim, estudou a equivalêcia de fluxos de caixa. Neste último tópico, você estudou primeiramete o coceito geral de equivalêcia para depois aplicar a esse coceito os modelos de descoto racioal e comercial. Você cumpriu todas as atividades propostas a uidade? Etedeu todos os coceitos abordados? Se a resposta for egativa, volte ao texto, cosulte seu tutor, refaça as atividades! Se a resposta for positiva e você apreedeu perfeitamete o coteúdo, parabés! Você está apto a seguir em frete e estudar o regime de juros compostos, objeto da uidade 3. 71

72 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 72

73 Módulo 4 UNIDADE 3 Regime de juros compostos Regime de juros compostos 73

74 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos 74 Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros compostos, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização composta; idetificar taxas de juros omiais e efetivas; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização composta; cohecer os coceitos de valor presete e taxa itera de retoro de um fluxo de caixa. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos as uidades 1 e 2. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site idex2.php é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

75 Módulo 4 Itrodução A uidade 1 lhe apresetou de maeira sucita o regime de juros compostos. Naquela uidade você apredeu que o juro produzido em cada período é agregado ao saldo do período imediatamete aterior, costituido uma ova base para o cálculo do juro; a este processo de agregação de juro aos saldos do período aterior, dá-se o ome de capitalização de juros ou simplesmete capitalização. Período de capitalização é o período ao fial do qual se processa essa agregação do juro produzido ao capital. Nesta uidade você aalisará o problema da capitalização* dos valores fiaceiros em regime de juros compostos, isto é, do crescimeto desses valores com o tempo e, a seguir, o problema oposto da dimiuição desses valores futuros quado trazidos para o presete, ou seja, o descoto de valores fiaceiros futuros. Fórmulas básicas GLOSSÁRIO *Capitalização é a agregação do juro gerado em um período ao saldo iicial do período posterior, estabelecedo uma ova base para o cálculo de juros. Motate Primeiramete, você vai se apropriar da fórmula relativa à capitalização de valores fiaceiros o tempo; para tato, supoha um valor fiaceiro presete (C), aplicado durate períodos a uma taxa de juros periódica i p. Essa aplicação gera um motate (M) ao fial da aplicação cujo valor se deseja cohecer. A tabela 5, costruída a partir do coceito básico de juros compostos, permite a você deduzir, por recorrêcia, a fórmula geral deste regime de juros. Nessa tabela, os períodos de tempo estão apresetados a primeira colua (data), os saldos existetes o iício de cada período (SDi k ) estão apresetados a seguda colua, a terceira colua mostra a fórmula de cálculo dos juros e o resultado desse cálculo e a quarta colua mostra o saldo o fial de cada período (SDf k ). A costrução da quarta colua (SDf k ) obedece 75

76 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia à fórmula básica da matemática fiaceira M = C + J, sedo o resultado da soma ordeada dos valores da seguda com a terceira coluas. As expressões fiais que aparecem a colua 4 idicam a soma SDi k +J k e o resultado de operações de fatoração algébrica. Data SDi k Juro (J) J k =C*i p =SDi k *i p * SDf k =SDi k +J k 1 C C*i p C + C*i p = C*(1+i p ) 2 C*(1+i p ) C*(1+i p )*i p C*(1+i p )+C*(1+i p )*i p = C*(1+i p ) 2 3 C*(1+i p ) 2 C*(1+i p ) 2 *i p C*(1+i p ) 2 + C*(1+i p ) 2 + i p = C*(1+i p ) = C*(1+i p ) -2-1 C*(1+ip ) -2 C*(1+i p ) -2 *i p C*(1+i p ) -2 +C*(1+i p ) -2 *i p =C*(1+i p ) -1 Tabela 5: Capitalização de juros Fote: elaborada pelo autor Por recorrêcia, foi-lhe mostrado que o capital iicial (C = PV), ao fial de períodos de aplicação, a uma taxa de juros i p ao período, gerará um motate (M) ou valor futuro (FV) de: M (3.1) (1+ i ) = C * p Saiba mais... Para apoio ao etedimeto da Tabela 5, veja a leitura complemetar LC21 em: Veja também: 76

77 Módulo 4 Capital ou valor presete O problema iverso ao da capitalização é o descoto, ou seja, dado um determiado motate (M) cohecido, determiar qual o valor do capital (C) a ele equivalete, para uma taxa de juros i p e para o tempo a decorrer, expresso em períodos; a resposta é imediata e decorre de (3.1): C = M (1 i) (3.2) A dificuldade de cálculo ierete a essas fórmulas é a operação de poteciação (1 +i) e pode exigir o uso de calculadoras. Etretato, a expressão etre parêteses depede apeas do par [i%;] (taxa de juros e úmero de períodos) e pode ser tabulada para vários desses pares, simplificado assim as operações de cálculo. Deve-se observar que a taxa de juros uitária i se refere ao período de capitalização e é, como se verá a seguir, uma taxa efetiva de juros. As expressões [1 + i] e [1 + i] - pela freqüêcia com que são utilizadas recebem deomiações específicas, diferetes de autor para autor. Este livro adotará as deomiações: [1+i] - Fator de Valor Futuro, represetado por FVF [i%;] [1+i] - - Fator de Valor Presete, represetado por FVP [i%;] fator. A expressão [i%;] idica a taxa de juros e o período a que se refere o Dessa maeira, você pode escrever as expressões (3.1) e (3.2) da seguite maeira: M =C*FVF [i%] (3.1.a) e C = FV*FVP [i%;] (3.2.a) Os valores de FVF e FVP podem ser vistos em tabelas fiaceiras para vários pares [i%;]. A solução dos problemas de capitalização e descoto pode ser visualizada a figura 16 a qual se cosiderou como variável cotíua. 77

78 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Figura 16: Fatores de cálculo Fote: elaborada pelo autor Capitalização e descotos Ao trabalharmos com capitalização e descotos, a omeclatura utilizada será aquela vista em descotos simples: PV valor presete (ao ivés de C) FV valor futuro (ao ivés de M) e as fórmulas de juros compostos já vistas se trasformam em: FV PV = PV FV * FVP [i%;] (1 i) (3.3) FV (3.4) = PV * (1+ i) FV PV * FVF[i%;] Os problemas de capitalização e descotos podem ser reduzidos a quatro grupos específicos: 1. cohecidos PV, e i - calcular FV; 2. cohecidos FV, e i - calcular PV; 3. cohecidos PV, FV e - calcular i; 4. cohecidos PV, FV e i - calcular. 78

79 Módulo 4 Os dois primeiros problemas por terem [i;] cohecido, podem ser expressos diferetemete: 1. cohecidos PV e FVF [i%;] - calcular FV; 2. cohecidos FV e FVP [i%;] - calcular PV. E suas soluções são simples com a utilização de tabelas fiaceiras. Os problemas dos grupos 3 e 4 demadam soluções de aproximação, a ausêcia de calculadoras com fuções expoeciais. Seguem algus exemplos uméricos represetativos dos quatro tipos de problemas apotados. Saiba mais... Em você poderá ver e baixar as tabelas fiaceiras para sua utilização. Exemplo 3.1: calcular o motate de um capital de $ 1.000,00 aplicado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% am, sabedo-se que a capitalização é mesal. Sumário: PV = 1.000,00; = 6 m; i = 3% am; FV=? Solução: aplicado-se a fórmula (3.4): FV = PV * FVF [i%;] = PV * FVF [3%;6] Em tabelas fiaceiras se vê que FVF [3%;6] = 1,19405 para o par [i%;] = [3%;6]. Substituido esses valores a expressão acima: FV = * 1,19405 FV = $ 1.194,05 Exemplo 3.2: qual o valor de um capital que aplicado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% am e capitalização mesal redeu um motate de $ 1.000,00? Sumário de dados: PV=?; = 6 m; i = 3% am; FV = 1.000,00 Solução: aplicado-se a fórmula (3.3): 79

80 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia PV = FV * FVP [i%;] = FV * FVP [3%;6] Em tabelas fiaceiras você pode ver que FVP [3%;6] = 0,83748 para o par [i%;] = [3%;6]. Substituido esses valores a expressão acima: PV = * 0,83748 PV = $ 837,48 Saiba mais... A capitalização de juros pode se dar de modo cotíuo ou de modo discreto. Para saber um pouco mais sobre este assuto faça a leitura complemetar LC22 em Taxas de juros em regime de juros compostos Você se lembra da defiição de taxas de juros equivaletes? (Duas taxas de juros são equivaletes quado ao serem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo, gerarem motates iguais); lembra-se também de que em regime de juros simples as taxas de juros proporcioais são também equivaletes? No regime de juros compostos isto ão acotece; veja isto a partir de um exemplo: Exemplo 3.3: qual o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa? Sumário: PV = 1.000,00; = 12 m; i = 36% aa; FV =? Solução: você vai verificar que existem duas possibilidades para o cálculo de FV gerado dois valores diferetes porque a taxa de juros ão está defiida com precisão. Possibilidade 1: você vai admitir que a capitalização dos juros é mesal e que a taxa de juros mesal - i m - seja a taxa proporcioal à taxa aual de juros dada, tem-se; 80

81 Módulo 4 i m = taxa mesal proporcioal = 36/12 = 3% am e com a utilização da fórmula de capitalização (3.4), FV = PV * (1+ i) FV PV * FVF[i%;] FV 1 PV * FVF[3%;12] 1.000*1,42676 $1.426,76 Tirado de tabela fiaceira a 3% o valor de FVF [3%;12] = 1, Com a fórmula algébrica você teria; 12 FV1 PV *(1 i) 1.000*(1 0,03) $1.426,76 Possibilidade 2: você vai admitir que a capitalização dos juros é aual sedo a taxa de juros de etrada 36% aa; tem-se o seguite motate: FV PV * FVF [i%;] Tirado de tabela fiaceira a 36% o valor de FVF [3%;1] = 1,36. Com a fórmula algébrica você teria; 1 FV2 PV *(1 i) 1.000*(1 0,36) $1.360,00 Você pode costatar agora que os motates gerados pelas duas alterativas de cálculo FV 1 e FV 2, são diferetes. Isto sigifica que as taxas de juros de 3% am com capitalização mesal e de 36% aa com capitalização aual, apesar de serem proporcioais, ão são equivaletes, pois geram motates diferetes em tempos iguais. Etão você se perguta: o que ocorreu? A resposta é que o exemplo 3.3 formulou de forma imprecisa a taxa de juros e esejou essa dupla iterpretação. A taxa de juros em regime de juros compostos precisa ser defiida com clareza e precisão. 81

82 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Em regime de juros compostos, taxas de juros proporcioais ão são equivaletes. Em coseqüêcia, o primeiro passo para se trabalhar este regime de juros é compatibilizar taxas de juros e períodos de capitalização. Taxa de juros efetiva Uma taxa de juros é dita efetiva, quado está expressa em uidade de tempo igual à uidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas efetivas de juros: 1% am com capitalização mesal; 3% at com capitalização trimestral; 6% as com capitalização semestral; e 9% aa com capitalização aual. Taxa de juros omial Uma taxa de juros é dita omial quado está expressa em uidade de tempo diferete da uidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas omiais de juros: 36% aa com capitalização trimestral; 10% at com capitalização mesal e 10% as com capitalização aual. Portato, em regime de juros compostos é ecessário que se coheça a taxa de juros efetiva que é a utilizada as fórmulas; isso exige a explicitação do período de capitalização. Com estes coceitos retome o exemplo 3.3: a solução proposta para a possibilidade 1 adotou como taxa efetiva a taxa mesal proporcioal de 3% 82

83 Módulo 4 am, e a solução proposta para a possibilidade 2 adotou como efetiva a taxa de 36% aa; etretato, o euciado do exemplo 3.3 deixa dúvidas sobre qual a taxa efetiva verdadeira. Nesse exemplo, se taxa efetiva for a taxa mesal proporcioal à taxa aual, a solução dada para a possibilidade 1 será a correta. Porém, se a taxa efetiva for a taxa aual de 36 %aa, a solução apresetada para a possibilidade 2 é que estará correta. O motate gerado uma operação fiaceira, em regime de juros compostos, é sempre calculado a partir da taxa de juros efetiva. Se a taxa de juros dada for omial calcule a taxa efetiva por proporcioalidade tomado como fator de proporcioalidade o úmero de períodos de capitalização cotido o tempo a que se refere a taxa de juros. Taxas de juros equivaletes Coforme você viu em regime de juros simples, duas taxas de juros são ditas equivaletes quado aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo prazo gerarem o mesmo motate. Para relacioar de modo sistemático essas equivalêcias cosiderem-se as seguites omeclaturas: i a taxa de juros aual; i t taxa de juros trimestral; i s taxa de juros semestral; i m taxa de juros mesal; e i d taxa de juros diária. Os motates gerados por um capital uitário em 1 ao, cosiderado as taxas acima como efetivas, e calculados a partir de (3.4) são: FV a = 1*(1+i a ) 1 com PV = 1 = 1 ao FV s = 1*(1+i s ) 2 com PV = 1 = 2 semestres 83

84 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia FV t = 1*(1+i t ) 4 com PV = 1 = 4 trimestres FV m = 1*(1+i m ) 12 com PV = 1 = 12 meses FV d = 1*(1+i d ) 360 com PV = 1 = 360 dias A hipótese de que as diversas taxas sejam equivaletes faz com que os motates (FV d, FV m, FV t, FV s e FV a ) sejam todos iguais. Decorre depois de cortados os valores de PV: (1+i a ) 1 = (1+i s ) 2 = (1+i t ) 4 = (1+i m ) 12 = (1+i d ) 360 (3.5) A expressão acima permite trasformar taxas de juros efetivas de uma temporalidade para outra. Exemplo 3.4: calcular i d, i m e i s equivaletes a 45% aa. Solução: a partir de (3.5), a) para taxa diária: (1+i a ) 1 = (1+i d ) 360 i d = (1+i a ) 1/360-1 i d = (1+0,45) 1/360-1 i d = 0,00103 a.d. ou 0,103% a.d. b) para taxa mesal: (1+i a ) 1 = (1+i m ) 12 i m = (1+i a ) 1/12-1 i m = (1+0,45) 1/12-1 i m = 0,0314 a.m. ou 3,14% a.m. c) a título de exercício determie você a i s = 21,4% a.s. Observação: quado a taxa de juros for divulgada em bases auais omiais a taxa efetiva de juros é calculada por proporcioalidade como i a /k, sedo k o úmero de capitalizações de juros que irão ocorrer o ao. Até este poto, você estudou a modelagem básica do regime de capitalização composta, tomou cotato com suas fórmulas básicas e sobretudo estu- 84

85 Módulo 4 dou a difereça existete etre taxas de juros proporcioais e equivaletes. Ates de avaçar seus estudos, resolva as atividades propostas para apoiá-lo a sedimetação do cohecimeto adquirido. Atividades de apredizagem 1. Determiar as taxas diária, mesal, trimestral e semestral equivaletes a 36% aa. Compare os valores obtidos com as respectivas taxas proporcioais. Resp: Taxas equivaletes: i d = 0, %ad, i m = 2,5954 %am, i t = 7.99 % at, i s = 16,619 % as. Taxas proporcioais: i d = 0,10 %ad, i m = 3,00 %am, i t = 9,00 % at, i s = 18,00 % as. 2. Um capital de $ ,00 foi aplicado durate 5 aos à taxa de juros de 3% aa. Dizer: (a) quais os juros totais produzidos, e (b) o valor atigido pelo capital ao fial de 5 aos. Resp. (a) $ 1.592,74, (b) , Que taxa omial de juros aual, capitalizada trimestralmete, produz juros totais iguais a 60% do capital ao fial de 5 aos? Resp. i a = 9,51% aa. 4. Quato devo aplicar uma istituição fiaceira, em cadereta de poupaça, que paga uma taxa de juros de 6% aa, para obter $ ,00 ao fial de 5 aos? Resp.: $ 7.413, Qual o motate produzido por um capital de $ ,00 aplicado durate 4 aos e três meses, à taxa efetiva de 18% aa? utilize as duas coveções. Dica: Quado o período de tempo ão é iteiro (4a3m do ex. 5) você pode calcular os juros referetes à parte ão iteira por duas formas distitas: a) coveção liear: o juro referete a esse período ão iteiro é calculado em regime de juros simples; e b) coveção expoecial: o juro referete a esse período ão iteiro é calculado em regime de juros compostos. Resp.: C. Liear M = $ ,21, C. Exp. M = $ , Determiar a taxa de juros compostos que dobra um capital ao fial de 11 aos. Utilize as tabelas fiaceiras. Resp.: i a = 6,5% aa. 85

86 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Descoto em juros compostos Em juros compostos utiliza-se mais freqüetemete o modelo de descoto racioal, isto é, aquele em que a base de cálculo dos juros é o valor presete (PV). Descoto racioal ou descoto real Para o estudo do descoto racioal em juros compostos a omeclatura utilizada será: PV FV i = capital ou valor presete; = motate ou valor futuro; = taxa de juros efetiva por período; D r = descoto racioal; e, = úmero de períodos. A figura 17 ilustra bem o problema. Figura 17: Modelo de descoto em juros compostos Fote: elaborada pelo autor O descoto racioal (D r ), em regime de juros compostos, é defiido como: D r = FV - PV 86

87 Módulo 4 Combiado essa expressão com a fórmula (3.4), tem-se: FV do que decorre, = PV * (1+ i) D r = PV * (1+ i) - PV D r PV *[(1 i) -1] (3.6) Combiado a defiição com a expressão (3.3): Dr FV - PV (def.) e FV PV = (1 i) (3.3) tem-se após as devidas operações algébricas, 1 + i) -1 Dr = FV *[1- ] = FV *[ ] (3.7) (1+ i) (1 (1+ i) (3.6) e (3.7) são expressões do descoto racioal composto a partir de PV e de FV. Observe-se que, como em regime de juros simples, D r = J. O valor presete ou valor descotado (PV), cohecidos FV, i e, é calculado combiado a defiição de descoto com a expressão (3.7) acima: PV = FV - D r (1 i) -1 PV FV - FV *[ ] (1 i) No descoto racioal composto, o valor do descoto coicide com o valor do juro composto e o valor descotado coicide com o valor presete da operação fatorado-se FV e realizado as devidas simplificações algébricas vem, (1+ i) -1 ( 1+ i) - (1+ i) +1 PV = FV *[1- ] = FV *[ ] (1+ i) (1+ i) e FV PV (1 i) FV * FVP[i%;] (3.8) 87

88 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Saiba mais... Ates de resolver os exercícios vá à: watch?v=jmmtpwwevsu. O descoto composto também pode ser feito o modelo comercial. Para cohecê-lo vá à leitura complemetar LC23 em: files_aberto/lc23.doc. Exercícios resolvidos para fixação de coceitos Exercício 3.1: um título de valor omial $ ,00 foi descotado três meses ates do seu vecimeto. Sabedo que a taxa de juros é 2,5% am, qual o valor presete recebido em modelo racioal? Sumário de dados: FV = ,00; = 3 m; i = 2,5% am; PV =? Solução: aplicação da fórmula do descoto racioal FV PV (1 i) FV * FVP[i%;] PV * FVP[2,5%;3] * 0, (1 0,025) PV * 0, $11.143,19 Exercício 3.2: uma ota promissória o valor de $ ,00 foi descotada 120 dias ates do seu vecimeto à taxa de 4% am. Qual foi o descoto racioal composto? Sumário: FV = ,00; = 120 d = 4 m; i = 4%; D r =? Solução: aplicação da fórmula do descoto racioal. 1 PV FV * (1 i) * 4 1 0,04) ,12 88

89 Módulo 4 O valor do descoto é dado por: D r = FV PV = , ,88 = 4.355,88 Exercício 3.3: o vecimeto de um compromisso de $ ,40 foi prorrogado por dois meses, sedo o valor da reovação $ ,00. Qual a taxa mesal de descoto para o descoto racioal composto? Sumário: PV = ,40, FV= ,00, = 2 m, i =? Solução: aplicação da fórmula de descoto racioal composto PV FV *(1 i) decorredo (1 i) FV PV (1/) FV (1 i) PV FV PV (1 i) 2 1, ,40 i = 1, = 0, ou 2,04 % am Exercício 3.4: um título de $ 6.000,00 foi reovado por mais 180 dias com uma taxa de descoto de 3,5% am. Qual o valor omial do ovo título em descoto racioal composto? Sumário: PV = 6.000,00; = 180 d = 6 m; i = 3,5% am; FV=? Solução: aplicação da fórmula de descoto racioal composto D r FV PV PV *(1 i) PV PV * FVF[3,5%;6] PV D r 6.000*(1 0,035) *1, ,53 VN = PV + D r = ,53 = 7.375,53 Exercício 3.5: uma operação de descoto racioal composto, o valor atual recebido foi de $ ,24 sedo o valor de vecimeto $ ,00. O prazo de atecipação foi de 6 meses. Determiar a taxa aual de juros dessa operação. 89

90 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sumário: FV = ; PV = ,24; = 6 meses = 0,5 a; i =? Solução: aplicar a fórmula geral de juros compostos para determiar o custo da operação Como se quer a taxa aual, o período deve ser expresso em aos, ou seja, = 6 m = 0,5 a FV PV (1 i) 1 i FV PV FV i 1 0,5 PV ,24 1 0, ou 35,50 %aa Como complemeto você pode resolver este exercício utilizado o prazo em meses (6 meses) e determiado primeiro a taxa de juros mesal e depois, por equivalêcia, a taxa de juros aual efetiva. Exercício 3.6: um estabelecimeto fiaceiro reova um título de valor omial $ 4.000,00 por outro de $ 4.472,14. Qual é o prazo de prorrogação, sabedo-se que a taxa de juros do descoto é de 36% aa? Sumário: PV= 4.000; FV = 4.472,14; i = 36% aa ou 0,36 aa; =? Solução: aplicação da fórmula de descoto comercial composto FV PV *(1 i) FV (1 i) PV Substituido os valores: 4.472,14 (1 0,36) ou (1 0,36) 1,36 1,1, Uma solução algébrica demada a aplicação de logaritmos: *log1,36 = log 1, = log1,118035/ log1,36 = = 0, /0, =0,3628 a (taxa de juros em ao produz resposta em ao). 90

91 Módulo 4 Para expressar em meses: 12*0,3628 = 4,35 meses ou aida 360*0,3628 = 130,6 dias. Saiba mais... Veja logaritmos em: Exercício 3.7: uma empresa cotraiu um empréstimo de $ ,00 a uma taxa efetiva de 5% aa. Passado algum tempo, tomou ovo empréstimo a uma taxa efetiva de 3% aa e liquidou a dívida iicial. Esta ova dívida foi quitada 14 aos após a tomada do primeiro empréstimo por $ ,92. Determiar os prazos das duas operações. Solução gráfica: a primeira operação houve um empréstimo de $ ,00 que foi pago após um período (descohecido) z. Para quitar esse empréstimo foi tomado outro o valor de PV 2 (também descohecido) que foi quitado 14 aos após a tomada do primeiro empréstimo pelo valor de $ ,92. A codição imposta pelo euciado é que PV 2 = FV 1. Figura 18: Gráfico do exercício 3.7 Fote: elaborada pelo autor Solução aalítica: determia-se FV 1 a partir da fórmula de juros compostos (lembre que i 1 = 5% aa) FV 1 = PV 1 *(1+i 1 ) z 91

92 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia FV 1 = *(1+0,05) z A seguir determia-se o capital da seguda operação a partir da fórmula de juros compostos (i 2 = 3% aa): FV 2 = PV 2 *(1+i 2 ) 14 - z 14 -z ,92 = PV 2 *(1+0,03) ,92 PV2 14 z 1,03 Como por hipótese PV 2 = FV 1 pode-se escrever: FV 1 = *(1+0,05) z = Decorre: z 14 z , *1,05 *1, ,92 z 14 z 1, ,05 *1, ,00 Aplicado-se logaritmos aos dois ambos membros da equação tem-se: Log 1, = log1,05 z (14 z) + log1,03 Seguido-se, Log 1, =z*log1,05 + (14 z)*log1,03 De calculadoras ou de tabela de logaritmos tira-se: Log 1, = 0, Log 1,05 = 0, Log 1,03 = 0, , = z* 0, (14-z)* 0, , = z* 0, , z*0, , , = z* 0, z*0,

93 Módulo 4 0, = z * 0, z = 6, aos ou seja z = 6 aos (este é o tempo que decorreu para o ecerrameto da primeira operação). A duração da seguda operação foi de 14-6 = 8 aos. As atividades a seguir pretedem ajudá-lo a iteralizar os coteúdos estudados até este poto, com êfase para as operações de descoto. Atividades de apredizagem 7. Aplica-se um determiado capital a 24% aa, com capitalizações mesais, obtedo-se um motate de $ ,00 ao fial de 4 aos. Qual o valor do capital? Qual a taxa efetiva aual? Resp.: (a) $ 4.986,33, (b) i aef = 26,82% aa. 8. Um capital de $ ,00 foi aplicado por 10 aos rededo juros de 12% aa os primeiros 5 aos e de 18% aa os aos subseqüetes. Determiar o valor do motate as seguites codições: (a) os juros são capitalizados até o fial, e (b) os juros correspodetes aos primeiros 5 aos são pagos ao fial desse tempo. (a) M = $ ,10, (b) M = $ , Um título de valor omial $ ,00 foi descotado à uma taxa efetiva de 12% aa e gerou um descoto de $ 1.563,30. Determiar o prazo desse título. Resp.: = 1,5 a. Valor presete de um fluxo de caixa O coceito de valor presete de um fluxo de caixa é exatamete o mesmo que você apredeu em regime de juros simples: valor presete (PV FC ) de um fluxo de caixa é a soma dos valores descotados de cada um dos seus compoetes para a data zero (ou atual), para uma dada taxa de juros. Um exemplo ilustra o coceito. 93

94 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Exemplo 3.5: uma pessoa vedeu um carro as seguites codições: 01 parcela de $ ,00 vecível em 30 dias, uma seguda parcela de $ ,00 vecível em 60 dias e uma última parcela de $ ,00 vecível em 90 dias, represetadas por três otas promissórias. Se esta pessoa egociar essas otas promissórias para trasformá-las em diheiro, a mesma data da veda do carro, quato deverá receber pelas mesmas? (em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalete às três parcelas?). Figura 19: Valor presete de um fluxo de caixa. Fote: elaborada pelo autor. O problema pode ser visualizado a figura 19, que mostra os valores das parcelas e o seu descoto para a data da operação de compra (data focal zero). Para respoder a esta questão, deveremos descotar cada parcela para a data presete (ou data focal atual) com a utilização do Fator de Valor Presete (FVP [i%;] ) para uma determiada taxa de juros (a vigete o mercado, por exemplo). Tomemos i = 3% am como a taxa efetiva vigete o mercado. O valor presete ou valor descotado de cada uma das parcelas será: PV R1 = R 1 *FVP [3%;1] = *0,97087= $ 9.708,70 PV R2 = R 2 *FVP [3%;2] =10.000*0,94260= $ 9.426,00 PV R3 = R 3 *FVP [3%;3] = *0,91514= $ ,10 PV FC = PV R1 +PV R2 +PV R3 PV FC = 9.70, , ,10 = $ ,80 94

95 Módulo 4 Nesse exemplo, para um valor omial de $ ,00 chegou-se a um valor presete de $ ,80 com base uma taxa de juros efetiva de 3% am. Se você retomar a defiição de valor presete de um fluxo de caixa e se valer da figura 20, poderá deduzir a expressão geral para o valor presete do fluxo de caixa (PV FC ), como se vê a seguir: Figura 20: Valor presete de fluxo de caixa. Fote: elaborada pelo autor. PV FC PV PMT1 PV PMT2... PV PMT - S 0 Em outras palavras: valor presete do fluxo de caixa é a soma dos valores presetes das etradas de caixa futuras meos a saída de caixa iicial (quado houver). Essa defiição é geeralizada abaixo. Valor presete de um fluxo de caixa é a soma algébrica dos valores presetes ou atuais de cada uma parcelas do fluxo de caixa, para uma dada taxa de juros (Mathias, W.F. & Gomes, J.M., 2.004). Dada a fórmula utilizada para descotos em juros compostos, coclui-se: quato maior for a taxa de juros, tato meor será o valor presete 95

96 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia do fluxo de caixa e, coseqüetemete, maior o descoto exigido a operação. Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa O coceito de taxa itera de retoro é muito importate em aálise de ivestimetos, e por isso precisa ser bem etedido. Defiição: a taxa itera de retoro (TIR ou IRR) de um fluxo de caixa é a taxa de juros que tora ulo o valor presete de um fluxo de caixa.em termos algébrico: PV FC = 0 Reportado-os à figura 20, essa defiição os leva a seguite expressão algébrica, já cosiderado os descotos em regime de juros compostos, tem-se: PMT1 PMT PMT 2... S0 0 (1 i) 2 (1 i) (1 i) A taxa itera de retoro é a raiz dessa equação e seu cálculo é, usualmete, feito com o auxílio de calculadoras fiaceiras; a ausêcia destas, pode-se utilizar o método de tetativa e erro que cosiste em experimetar diversas taxas de juros até que se idetifique aquela que produza a codição de igualdade mecioada. O uso da taxa itera de retoro é dificultado quado o fluxo de caixa apreseta mais de uma mudaça de sial porque esses casos pode ão haver solução para a equação ou mesmo pode haver várias soluções. Exemplo 3.6: calcule a taxa itera de retoro para o seguite fluxo de caixa: S 0 = ,00; PMT 1 = 400,00; PMT 2 = 400,00; PMT 3 = 400,00. Períodos em meses. Sumário: S 0 = 1.000,00; PMT 1 = PMT 2 = PMT 3 = 400,00; IRR=? 96

97 Módulo 4 Solução: aplicar a defiição de TIR, PMT1 PMT2 PMT 3 S (1 i) (1 i) (1 i) substituido os valores dados o euciado vem, (1 i) 2 (1 i) (1 i) A solução dessa equação os dá como resposta 9,70% am que é a TIR (IRR) desse fluxo de caixa. Um a possível solução com o uso da HP 12C é: Abaixo, você pode ver o teclado de uma calculadora HP 12C. Figura 21: Teclado da calculadora HP-12C 97

98 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia A tecla g é uma tecla de fução que acioa as fuções escritas em azul o teclado: 12x, 12/, CF0, CFj, Nj, DATE, BEG, END e outras. Do mesmo modo a tecla f acioa as fuções em amarelo o teclado. A tecla CHS troca o sial do úmero. A tecla CLx limpa o úmero do visor, a cojugação das teclas f e CLx limpa todas as memórias superiores da calculadora e a cojugação das teclas f e X< >Y limpa as memórias fiaceiras. Com estas iformações básicas você pode treiar a operação desta calculadora. Saiba mais... O maual da calculadora HP12C está dispoível em: Equivalêcia de fluxos de caixa Reporte-se a defiição de equivalêcia em regime de juros simples; a defiição é idêtica: diz-se que dois fluxos de caixa são equivaletes para uma dada taxa de juros, quado os seus valores presetes, calculados para aquela taxa de juros, forem iguais. Figura 22: Equivalêcia de fluxos de caixa Fote: elaborada pelo autor. 98

99 Módulo 4 Cosiderem-se os dois fluxos de caixa geéricos (PMT m,1, PMT m,2..., PMT m,,..., PMT m,m e PMT,1, PMT,2,...,PMT, ; <m) represetados a figura 22. Esses dois fluxos de caixa serão equivaletes quado os seus valores presetes forem iguais, isto é: PV PMTm,1 PV PMTm,2... PV PMTm,... PV PMTm, m PV PMT,1 PV PMT,2... PV PMT, que colocada em termos matemáticos mais aalíticos resulta em: PMTm,1 PMTm,2 + (1+ i) 1 (1+ i) PMTm,m (1+ i) m = PMT,1 PMT,2 + (1+ i) 1 (1+ i) PMT, (1+ i) Em regime de juros compostos a equivalêcia de dois fluxos de caixa pode ser verificada por seus valores em qualquer data focal k, (1< k < ). Por exemplo, a equivalêcia dos dois fluxos de caixa ateriores a data focal 2, se faria trasformado todos os seus elemetos para seus respectivos equivaletes fiaceiros a data focal 2 e determiado o valor do fluxo de caixa essa data; deomiemos de V 2 e FC1 V2 os valores do fluxos de caixa FC2 1 e 2 a data focal 2. Tem-se etão: V 2 FC, m V 2 FC, PMT m,1 PMT,1 *(1+ i) + PMT *(1+ i) + PMT m,2,2 PMT + (1+ i) m,3 PMT,3 + (1 i) PMT (1+ i) PMT (1+ i) m,m m-2, -2 = A equivalêcia dos dois fluxos de caixa mostrada acima pode ser represetada, respectivamete: 99

100 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia - equivalêcia a data focal zero (desigaram-se V 0 e V 2 os valores do fluxo de caixa as datas focais 0 e 2, respectivamete), V 0 FC1 = V0 FC2 - equivalêcia a data focal 2, V 2 FC1 = V2 FC2 Exemplo 3.7: cosidere o fluxo de caixa abaixo e determie seu valor atual cosiderado a taxa de juros efetiva de 3% am. Período Fluxo de caixa ($) 1 412, , ,81 Solução: a partir da defiição de valor atual de fluxo de caixa, escreve-se: PV FC = PV PMT1 +PV PMT2 +PV PMT3 PV FC = PMT 1 *FVP [3%;1] + PMT 2 *FVP [3%;2] + PMT 3 *FVP [3%;3] Os valores FVP [i%;] podem ser tirados de tabelas fiaceiras ou determiados em calculadoras. Procededo-se as substituições, vem: PV FC = 412,00 * 0, ,28 * 0, ,81 * 0,91514 PV FC = $ 1.000,00 Exemplo 3.8: cosidere o fluxo de caixa abaixo e determie o seu valor atual cosiderado uma taxa de juros efetiva de 3% am. Período Fluxo de caixa ($) 1 309, , ,09 Solução: a partir da defiição de valor atual de fluxo de caixa, escreve-se: 100

101 Módulo 4 PV FC = PV PMT1 +PV PMT2 +PV PMT3 PV FC = PMT 1 *FVP [3%;1] + PMT 2 *FVP [3%;2] + PMT 3 *FVP [3%;3] Os valores FVP [i%;] podem ser tirados de tabelas fiaceiras ou determiados em calculadoras. Procededo-se as substituições, vem: PV FC = 309,00 * 0, ,28 * 0, ,09 * 0,91514 PV FC = $ 1.000,00 Coclusão: Os exemplos ateriores mostram fluxos de caixa com etradas de diheiro diferetes o tempo, mas com o mesmo valor atual; ou seja, esses dois fluxos são equivaletes para à taxa de juros efetiva de 3% am. Experimete comparar os valores desses fluxos de caixa a data focal 60 dias. Atividades de apredizagem 10. Uma pessoa toma um empréstimo de $ ,00, com prazo de um ao, à uma taxa de juros de 12% aa, com capitalização mesal, assiado um título de dívida. Decorridos três meses o devedor resolve quitar o empréstimo, por um úico pagameto. Cosiderado que a taxa correte de juros é de 3% at, determiar: (a) o valor do pagameto, e (b) que taxa efetiva aual foi efetivamete auferida pelo credor. (Dica: 12% aa é uma taxa omial.) Resp.: (a) $ ,04, (b) ia = 13,07% aa. 11. Uma pessoa toma um empréstimo o valor de $ 8.000,00 à uma taxa de juros de 12% aa, com capitalização mesal, por 5 aos. Qual o estado da dívida ao fial do cotrato, se o fial do 3º ao foi atecipado o pagameto de $ 3.000,00 por cota da dívida? Resp.: $ , Um capital de $ ,00 é aplicado a 5% aa uma determiada data; um ao após outro capital é aplicado a 8% aa. Depois 101

102 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia de 4 aos da primeira aplicação os motates gerados pelas duas aplicações foram idêticos. Determiar o valor do segudo capital. Resp.: $ 9.649, Quato devo depositar hoje em uma cota de poupaça remuerada a uma taxa de 6% aa para que possa retirar $ 1.000,00 em 4 meses e $ 2.000,00 em 8 meses, deixado um saldo fial de $ 500,00? Resp.: C= $ 3.382, Uma pessoa tem os seguites compromissos fiaceiros a pagar: $ 1.000,00 vecível daqui a 4 meses, $ 2.000,00 daqui a 8 meses e $ 1.500,00 daqui a 18 meses. Essa pessoa quer reprogramar esses compromissos para dois (2) pagametos iguais daqui a 6 e 12 meses. Determiar o valor desses pagametos admitido que a taxa de juros do mercado é de 3% am. Resp.: R = $ 2.175, Comprou-se um terreo cujo valor à vista é $ ,00. Como etrada foram dados dois títulos: o primeiro de valor omial $ ,00 vecível em 6 meses, e o segudo de valor omial $ ,00 vecível em 12 meses, o restate devedo ser pago ao fial de 2 aos. Determiar o valor a ser pago ao fial, admitido o custo do diheiro em 2% am. Resp.: M = $ , Quer-se substituir dois títulos, um com valor omial de $ ,00 vecível em 2 aos e outro de valor omial $ 5.000,00 vecível em 5 aos, por um úico título vecível em três aos. Determiar o valor omial desse título para uma taxa de juros de 8% aa. Resp.: R = $ ,

103 Módulo 4 RESUMO Esta uidade levou-o a estudar o regime de juros compostos ou de capitalização composta. Em primeiro lugar você estudou a modelagem do regime e deduziu suas fórmulas básicas. A seguir você etrou em cotato com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes e de taxas de juros omial e efetiva; este regime de juros sempre se trabalha com a taxa efetiva as fórmulas. Após esses coceitos básicos, você se debruçou o estudo do descoto racioal composto e, por fim, estudou a equivalêcia de fluxos de caixa. Neste último tópico, você estudou primeiramete o coceito geral de equivalêcia para depois aplicar a esse coceito ao descoto racioal. As leituras complemetares itroduziram o coceito de descoto comercial composto. Estudou aida os coceitos de valor presete líquido e de taxa itera de retoro de fluxos de caixa, que são muito importates o campo dos estudos ecoômicas. Você chegou ao fial de mais uma uidade! Pergute-se se etedeu perfeitamete todos os potos abordados. Em caso de alguma dúvida, retore ao texto até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está mais uma vez de parabés! Como resultado do seu esforço você coheceu o regime de capitalização composta, o mecaismo de descoto racioal, o coceito de valor presete de um fluxo de caixa e o de equivalêcia de fluxos de caixa este regime de juros e o coceito de taxa itera de retoro e de valor presete líquido. Portato, você está apto a iiciar os estudos da quarta uidade deste livro. 103

104 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 104

105 Módulo 4 UNIDADE 4 Redas ou auidades Redas ou auidades 105

106 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos Esta uidade lhe apresetará os modelos coceituais de auidades ou redas, que são as bases para os pricipais modelos de fiaciametos de dívidas existetes o mercado e as relações existetes etre o valor presete, os pagametos e o valor futuro de uma reda. Como resultado do seu trabalho, esperamos que você possa: compreeder o sigificado do termo redas e cohecer os seus modelos básicos; apreder a calcular os valores presetes e futuros equivaletes de uma reda; e desvedar as armadilhas das taxas de juros existetes o mercado. Para facilitar, você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; e coceitos vistos as uidades 1,2 e 3, em especial, os de taxas de juros efetiva e omial e de equivalêcia de capitais. Uma boa referêcia para o apredizado da matemática é o site Vá até ele, cadastre-se e desfrute do coteúdo que é de excelete qualidade. 106

107 Módulo 4 Redas ou auidades Você já deve ter-se visto frete a um ou aos dois fatos seguites: você fiaciou a compra de um bem em 24 prestações mesais iguais; e/ou resolveu fazer doze (12) depósitos mesais iguais uma cadereta de poupaça para com o resultado comprar algum produto. Nesses dois casos, tem-se uma sucessão de pagametos (ou recebimetos) à qual se dá geericamete o ome de reda*. No primeiro fato, você se valeu do cojuto de pagametos para amortizar uma dívida e o segudo, para acumular uma poupaça. Acumular uma poupaça sigifica efetuar vários pagametos ou depósitos sucessivos uma cota para utilização futura do resultado; esse resultado é o motate equivalete da reda (FV). Já o pagameto de uma dívida sigifica que o gasto ou dispêdio iicial foi substituído por um cojuto de pagametos futuros que lhe é equivalete; assim, o valor presete da reda (PV) equivale ao cojuto de prestações futuras que serão pagas. A figura 23 ilustra uma auidade ou reda geérica; você deve perceber que os valores PV e FV ão são parte da reda e apeas represetam o valor equivalete da reda aqueles potos. GLOSSÁRIO * Reda ou auidade é um cojuto, fiito ou ifiito, de pagametos (recebimetos), PMT 1, PMT 2,..., PMT j,..., cujos elemetos, deomiados termos da reda, ocorrer em datas preestabelecidas. Figura 23: Reda (auidade) modelo geral. Fote: elaborada pelo autor. 107

108 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Uma reda é caracterizada por algus parâmetros pricipais evideciados a seguir: úmero de termos da reda: úmero de pagametos (recebimetos) da reda; valores dos termos da reda: valor de cada termo da reda; e, Procure idetificar esses elemetos a Figura 23 vecimetos da reda: data do pagameto (recebimeto) de cada termo da reda. A defiição é bastate geérica e ada diz sobre a periodicidade dos pagametos e sobre os seus valores. Ao logo desta uidade as diversas situações particulares lhe serão apresetadas. Classificação das redas As auidades ou redas podem ser classificadas segudo vários critérios ou potos de vista, a saber: duração da reda, variação dos elemetos da reda, valor dos termos da reda, periodicidade dos pagametos, vecimeto dos termos e iício dos pagametos. Quato à duração da reda ou auidade Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas temporárias: quado o úmero dos termos que compõem a reda é fiito. Exemplo: o cojuto de 12 prestações iguais de uma compra feita a prazo; e, redas perpétuas: quado o úmero dos termos que compõem a reda é ifiito. Exemplo: uma pessoa muito rica deixa como heraça ao seu filho o redimeto mesal perpétuo de um capital aplicado em uma istituição fiaceira (IF). 108

109 Módulo 4 Quato à variação dos seus elemetos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas certas: quado todos os seus elemetos - úmero de termos, vecimetos dos termos e valores dos termos - estão previamete fixados; e, redas aleatórias: quado pelo meos um dos seus elemetos ão está determiado. Exemplo de auidade aleatória é o cojuto de pagametos dos prêmios de um seguro de vida; o úmero de pagametos (úmero de termos da reda) ão é cohecido por ão se saber atecipadamete quato tempo o segurado irá viver. Quato ao valor dos termos da reda Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas costates: quado os valores dos termos que as compõem são costates. Exemplo: prestações iguais em uma compra a crédito; e, redas variáveis: quado os valores dos termos que as compõem são variáveis. Exemplo: depósitos crescetes em uma cota de poupaça. Quato à periodicidade dos pagametos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas periódicas: quado o itervalo etre dois termos cosecutivos é costate (pagametos mesais, semestrais ou auais, por exemplo); e, redas ão periódicas: quado o itervalo etre dois termos cosecutivos é variável. 109

110 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Quato ao vecimeto dos termos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas postecipadas: quado os pagametos ocorrem o fim de cada período. Exemplo: compra fiaciada em três pagametos mesais, ocorredo o primeiro pagameto 30 dias após a compra; e, redas atecipadas: quado os pagametos ocorrem o iício de cada período. Exemplo: compra fiaciada em três pagametos mesais, ocorredo o primeiro pagameto o ato da compra. Quato ao iício dos pagametos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas imediatas: quado o primeiro pagameto é devido o primeiro período cotado da origem da reda; e, redas diferidas: quado o primeiro pagameto só é devido o período subseqüete ao período m, deomiado período de diferimeto. Quado os pagametos são devidos ao iício de cada período tem-se um modelo de reda diferida atecipada; quado os pagametos são devidos ao fial de cada período tem-se um modelo de reda diferida postecipada. Este livro lhe apresetará somete as redas temporárias, certas, costates e periódicas dos tipos postecipado e atecipado, tato as imediatas como as diferidas; isto porque esses tipos de reda podem ser geeralizados, gerado fórmulas de aplicação relativamete imediata. As figuras 24, 25 e 26 ilustram os tipos básicos de redas que serão estudadas. A figura 24 mostra uma reda certa, costate, imediata e postecipada cujos termos - PMT - estão represetados por setas com orietação positiva. 110

111 Módulo 4 Figura 24: Reda imediata e postecipada. Fote: elaborada pelo autor. Essa reda é equivalete a um valor presete (PV) ou a um motate (FV) para uma dada taxa de juros i coforme se vê as figuras 24 a 27. Essa codição de equivalêcia é comum a todos os tipos de redas; a partir dela serão estabelecidas as relações básicas etre seus diversos elemetos. Figura 25: Reda imediata e atecipada Fote: elaborada pelo autor. 111

112 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Figura 26: Reda diferida e postecipada. Fote: elaborada pelo autor. Observe bem: a figura 27 mostra que a reda é costituída somete pelos seus termos (PMTj). O cojuto desses termos é equivalete a um capital o iício ou a um motate o fial da operação. A relação básica de juros compostos cotiua válida: FV=PV*(1+i). Figura 27: Equivalêcia em redas Fote: elaborada pelo autor. 112

113 Módulo 4 Estudo das redas ou auidade Você será levado a focar sua ateção o estudo das redas certas, temporárias, periódicas e costates (deste em poto em diate deomiadas simplesmete de redas e/ou auidades) e a idetificar as relações existetes etre os seus elemetos compoetes; esses elemetos serão represetados a partir de agora pela otação das calculadoras fiaceiras, a saber: PMT m i PV FV valor dos termos da reda devido em cada período; úmero de pagametos da reda; período de diferimeto da reda; taxa de juros efetiva de cada período; valor da reda a data focal 0; e valor da reda a data focal ( + m). Reda temporária, certa, periódica e postecipada Este tópico abordará as redas postecipadas,temporárias, certas, periódicas dos tipos imediato e diferido e procurará idetificar as relações etre as suas variáveis relevates: PMT,, i, e PV ou FV. Deste poto em diate quado o livro se referir às palavras: reda e/ou auidade estará subetedido que elas são temporárias, certas e periódiocas. Reda postecipada e imediata (modelo básico) Em reda imediata o primeiro pagameto se dá o primeiro período e, coseqüetemete, o período de diferimeto é ulo, isto é m = 0. O úmero de termos da reda é fiito, seus termos tem igual valor, são periódicos e devidos ao fial de cada período. A seguir lhe serão mostradas as relações etre PV/PMT e etre FV/PMT para este tipo de reda. 113

114 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) Você agora verá para o modelo básico de reda represetado a figura 28 a relação existete etre o seu valor presete (PV) e o valor dos seus termos da reda (PMT), de e de i. Figura 28: Valor atual de uma reda. Fote: elaborada pelo autor. O valor presete equivalete dessa reda ada mais é do que a soma dos valores de todos os termos descotados para a data focal 0 por uma dada taxa de juros i, coforme mostra a equação a seguir: PV = PMT (1+ i) 1 + PMT (1+ i) PMT (1+ i) A demostração completa da fórmula se ecotra em leitura complemetar LC51 dispoível em: files_ aberto/lc51.doc. Colocado PMT em evidêcia e aplicado a fórmula da soma de progressões geométricas chega-se a: (1 i) 1 PV = PMT * i * (1 i) (4.1) Observe a expressão (4.1) acima: ela mostra a relação etre o valor atual da reda (PV) e o valor de cada termo da reda (PMT) em fução de e de i. O valor etre colchetes depede apeas de e de i e está tabelado para várias situações. Vamos deomiar esta expressão de a [i%;] (porque essa expressão deriva da soma dos termos de uma progressão geométrica). Os diver- 114

115 Módulo 4 sos valores que esse fator assume podem ser vistos em tabelas fiaceiras. A expressão deduzida acima pode ser reescrita, com a utilização desse fator: (1 i) 1 PV PMT * PMT *a[i%;] i * (1 i) (4.2) Por vezes cohece-se o valor presete devedo-se calcular o valor do pagameto (PMT). A fórmula acima pode ser escrita de maeira diferete: i *(1 i) 1-1 PMT PV * PV * PV *a [í%;] (4.3) (1 i) 1 a [i%;] Esse ovo fator em tabelas fiaceiras. -1 a [í%; ] é o iverso de a [i%;] e também está tabulado Saiba mais... Ver tabelas fiaceiras em: Exemplo 4.1: uma mercadoria cujo valor à vista é $ 1.350,00 foi fiaciada em quatro prestações, mesais, iguais e sucessivas com o primeiro pagameto se dado trita dias depois da compra. Qual o valor das prestações mesais devidas se a loja operar com taxa de juros de 5% am. Sumário: PV = 1.350,00,;i = 5% am. ou 0,05 am.; = 4 Solução: trata-se de uma reda imediata e postecipada sedo aplicá- Figura 29: Compra a prestação Fote: elaborada pelo autor. 115

116 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia veis as fórmulas vistas ateriormete. a) dispor os dados graficamete coforme a figura 29: b) aplicar a fórmula (4.3) de iteresse: i *(1 i) PMT PV * (1 i) 1 4 0,05*(1 0,05) PMT 1.350* 4 (1 0,05) 1 0, PMT 1.350* 1.350* 0, ,71 0, O úmero 0, pode ser tirado em tabelas fiaceiras para i = 5% e a liha que correspode ao = 5: a[5%;4] 1 0, Utilizado-se a calculadora fiaceira HP-12C os passos seriam os seguites: Atividades de apredizagem 1. Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00 e taxa de juros de 5% am. R: ,

117 Módulo 4 2. Determie o valor presete para a reda postecipada costituída de 5 (cico) prestações auais de $ ,00 e taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por (c) 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00 e taxa de juros de 6% as. R: ,81. Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate da reda (FV) De maeira aáloga ao item aterior, você poderá cohecer, para este modelo básico de reda, a relação que existe etre o valor dos termos da reda (PMT) e o respectivo motate (FV) para um dado par de valores [i%;]. Figura 30: Relação etre reda em motate Fote: elaborada pelo autor. O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caixa ada mais é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da auidade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos capitalizados para a data focal para uma dada taxa de juros i. A figura 30 ilustra a capitalização dos termos para a data. O motate (FV) da reda é dado pela soma dos valores futuros ou capitalizados de cada pagameto, ou seja, pela soma dos valores: FV = PMT*(1+i) -1 + PMT*(1+i) PMT*(1+i) 1 + PMT 117

118 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia A demostração completa da fórmula pode ser vista em LC 52 dispoível em files_aberto/lc51.doc. fatorado o valor dos pagametos e aplicado-se a fórmula da soma de uma progressão geométrica, chega-se a: ( 1 + i) - 1 FV = PMT *[ ] (4.4) i A expressão etre colchetes, a fórmula acima, depede apeas do par [i%;] e se ecotra tabelada para vários pares de iteresse. Como o caso aterior, a omeclatura desse termo varia de autor para autor sedo adotada para este livro a otação S [i%;] (por derivar também da soma de termos de uma progressão geométrica). A fórmula (4.4) pode também ser escrita da seguite forma: FV =PMT*S [i%;] (4.5) E a expressão de PMT em fução de FV se escreve: PMT = FV * i (1 + i) = FV *S [i%;] (4.6) O fator -1 ] [i%; S é exatamete o iverso do fator S [i%; ] e seus valores para diversos pares [i%;] também se ecotram tabulados as tabelas fiaceiras. Saiba mais... Veja videoaulas a respeito da relação etre PMT e FV em: Exemplo 4.2: uma pessoa deseja costituir uma poupaça futura para adquirir uma mercadoria cujo valor é $ 5.000,00. Para tato ele resolve efetuar quatro depósitos mesais iguais e postecipados uma cota remuerada a uma taxa de juros de 5% am. Qual o valor desses depósitos mesais? Admita que o preço da mercadoria permaeça costate. Sumário: FV = 5.000,00; i = 5% a.m. ou 0,05 aa.; = 4; PMT =? 118

119 Módulo 4 Solução: trata-se de uma reda imediata e postecipada sedo aplicáveis as fórmulas vistas ateriormete. a) dispor os dados graficamete coforme figura 31: Figura 31: Costituição de uma poupaça Fote: elaborada pelo autor. b) aplicar a fórmula (4.6) de iteresse: PMT = FV * i (1 + i) - = FV *S 1-1 [i%;] 0,05 PMT = 5.000* =1.350* (1 + 0,05) 4-1 0,05 0, PMT = 1.350*0, ,06 O úmero 0, pode ser extraído de tabelas fiaceiras para i = 5% a liha que correspode ao = 5: S[5%;4] -1 0, Uma possível solução com a utilização da calculadora fiaceira HP- 12C é apresetada a seguir; sempre é bom lembrar que em modelos de reda postecipados a calculadora HP deverá ser operada o modo fim ou ed ( ) que é o default da calculadora. 119

120 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Exemplo 4.3: cosidere uma reda imediata postecipada costituída por uma série de 4 pagametos mesais, iguais e sucessivos, o valor de $ 3.000,00. Determie o capital e o motate equivaletes dessa reda para uma taxa de juros de 3% am. Sumário: PMT = 3.000,00; = 4 m; i = 3% am; PV =?; FV =? Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 32: Figura 32: Reda com quatro pagametos postecipados. Fote: elaborada pelo autor. b) aplicar a fórmula (4.2) de iteresse e substituir os valores: 4 (1 0,03) 1 PV 3.000* 4 0,03*(1 0,03) 1, * 0,03*1, PV = 3.000*3, = $ ,31 Observe que o valor 3, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, S [3%;4] = 3, Aalogamete, se resolve a questão do cálculo do motate (FV) aplicado a fórmula (4.4) ou (4.5) e substituido os valores: 120

121 Módulo 4 (1 + i) FV = PMT * i - 1 = PMT *S[i%;] (1 4 0,03) 1 FV 3.000*[ ] 0,03 FV = 3.000*4, = $ ,88 Também aqui o valor 4, pode ser extraído de tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, S [3%;4] = 4, Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: Exemplo 4.4: cosidere a compra de um bem, cujo valor à vista é de $ ,31. O comprador deseja pagar essa compra em 4 pagametos mesais, iguais, sucessivos, imediatos e postecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. Figura 33: Compra: fiaciameto em quatro parcelas postecipadas, mesais, iguais. Fote: elaborada pelo autor. 121

122 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sumário: i = 3% am; PV = ,31; PMT =?; = 4 meses Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 33; e. b) aplicar a fórmula (4.6) de iteresse: PMT = FV * i (1 + i) - = FV *S 1-1 [i%;] 4 0,03*(1 0,03) PMT 1151,31* 4 (1 0,03) 1 0,03*1, ,31* 1, ,31 PMT ,31*3, $3.000,00 3, Observe que o valor S -1 = [3%;4] 3, = 0,26903 poderia ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para i = 3% e = 4. Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: Saiba mais... Veja um vídeo muito iteressate em: 122

123 Módulo 4 Atividades de apredizagem 4. Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00 e taxa de juros de 5% am. R: , Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída de 5 (cico) prestações auais de $ ,00 e taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída por (c) 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00 e taxa de juros de 6% as. R: ,04. Reda postecipada e diferida Você já apredeu que em reda diferida o primeiro pagameto é efetuado o primeiro período após o diferimeto m e os pagametos são feitos ao fial de cada período porque a reda é também postecipada. A figura 34, a seguir, mostra um caso geérico e permite visualizar as equivalêcias que serão feitas para resolver o problema. Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) A relação etre o valor dos pagametos (PMT) e o valor presete (PV) da reda é determiada de modo aálogo aos casos ateriores e se faz a partir da cosideração do valor presete dos pagametos da reda. O valor presete equivalete da reda é a soma de todos os pagametos descotados para a data focal 0 para uma dada taxa de juros. Na figura 34 está visualizada essa operação de descoto para o cojuto de pagametos da reda. Observe que a parte mais escura da figura é uma reda imediata postecipada cujo valor presete em m é PV # ; portato, PV # pode ser calculado coma fórmula (4.1); em seguida, se determia PV descotado-se PV # para a 123

124 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia data focal 0. Tem-se: Figura 34: Reda postecipada ediferida Fote: elaborada pelo autor. # (1 i) 1 PV PMT * i *(1 i) que descotado para a data focal 0 produz, # 1 (1 i) 1 PV * PMT * m (1 i) i *(1 i) (4.7) Você se recorda que: a[i%;] (1 i) 1 i *(1 i) 1 e que FVP[i%;m] m (1 i) Etão a expressão (4.7) pode ser escrita como: PV (4.8) FVP[i%; m] * PMT * a[i%;] Saiba mais... A dedução das fórmulas (4.7) e (4.8) pode ser vista em: 124

125 Módulo 4 Regra memôica: o PV do modelo diferido postecipado = FVP [i%;m] *PV do modelo imediato postecipado. Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate da reda (FV) Observe a figura 34 que etre os potos 0 e m, ão há ocorrêcia de pagametos; assim, aida que ituitivamete é possível perceber que o valor futuro dessa reda é exatamete igual àquele dado pelo modelo imediato postecipado, qual seja. ( 1 + FV = PMT * i) i - 1 (4.9) Observado a expressão e associado-o com o fator fiaceiro S, podese escrever: FV = PMT*S [i%;] Regra memôica: o motate de uma reda diferida e postecipada é igual ao motate da reda imediata, matidos costates os demais parâmetros da reda. Exemplo 4.5: cosidere uma compra fiaciada em quatro pagametos mesais, iguais, sucessivos, postecipados e costates o valor de $ 3.000,00. Cosiderado-se um diferimeto de 2 meses e uma taxa de juros de 3% am, determie qual o valor a vista da compra efetuada. Sumário: PMT = 3.000; = 4 m; m = 2 meses; i = 3% am; PV =? Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 35: 125

126 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia b) aplicar a fórmula de iteresse (4.7): 1 (1 i) 1 PV * PMT * m (1 i) i *(1 i) Figura 35: Reda diferida postecipada Fote: do autor (1 0,03) 1 PV * 2 4 (1 0,03) 0,03*(1 0,03) PV = $ ,16 Observe que o problema também pode ser resolvido pela fórmula (4.8) com a aplicação de fatores fiaceiros: PV FVP[i%; m] * PMT * a[i%;] As tabelas fiaceiras forecem: para o par [i%;] = [3%;4] a [3%;4] = 3, e para o par [i%;m] = [3%;2] FVP [3%;2] = 0, que substituídos a fórmula aterior, gera: PV = 0,942596*3,717098*3.000 = $ ,16 Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: 126

127 Módulo 4 Até este mometo você teve a oportuidade de etrar em cotato com as redas postecipadas dos tipos imediato e diferido. A tabela 6 resume as fórmulas pricipais que são utilizadas para a resolução de problemas evolvedo estes modelos de reda, que tem larga aplicação os mercados fiaceiros. Natureza Cálculo de PV Cálculo de FV Imediata (1 + i) -1 PV = PMT * i * (1 + i) PV = PMT *a [i%;] (1+ i) 1 FV = PMT * i FV = PMT *S [i%;] Diferida 1 (1 + i) 1 PV = * PMT * m (1 + i) i * (1 + i) PV = FVP[ i%;m] * PMT * a [i%;] (1+ i) 1 FV = PMT * i FV = PMT *S [i%;] Tabela 6: Redas postecipadas resumo das fórmulas Fote: elaborada pelo autor 127

128 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Atividades de apredizagem 7. Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00, diferidas em 3 meses e com taxa de juros de 5% am. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída 5 (cico) prestações auais de $ ,00, diferidas em 2 aos e com taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00, diferidas em cico semestres e com taxa de juros de 6% as. R: ,53. Reda temporária, certa, periódica e atecipada Você já viu ateriormete que redas atecipadas são aquelas as quais os pagametos se dão o iício de cada período; exemplos deste tipo de redas são as compras fiaciadas em que o primeiro pagameto se dá o ato da compra (etrada) ou uma operação de arredameto mercatil (leasig) a qual os pagametos se dão o iício de cada período. A represetação gráfica de uma reda geérica foi mostrada a figura 25; observe atetamete a posição do primeiro pagameto. Reda imediata e atecipada Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor presete da reda (PV) Você pode ituir que a determiação da relação etre valor dos pagametos e valor atual pode ser feita de modo aálogo ao visto em redas 128

129 Módulo 4 postecipadas, isto é, com o raciocíio de que o valor presete da reda é a soma dos valores de todos os pagametos devidamete descotados para a data focal 0. A figura 36 a seguir ilustra os descotos feitos em cada pagameto. Figura 36: Reda imediata e atecipada - PV. Fote: elaborada pelo autor. Procededo-se aos descotos dos pagametos (PMT) e somado-se os valores tem-se: PV = PMT (1+ i) 0 + PMT (1+ i) PMT (1+ i) -1 Tratado-se algebricamete essa expressão, coforme já visto ateriormete, chega-se a: (1 i) -1 PV (1 i) * PMT * (4.10) i *(1 i) Saiba mais... A dedução completa da fórmula pode ser vista em LC 55, dispoível em: Lembra-se do fator fiaceiro a [i%;]? 129

130 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia a expressão 4.10 assume a forma abaixo: PV = (1+i)*PMT*a [i%;] (4.11) Se você comparar esta fórmula com aquela deduzida para o modelo postecipado (4.1) vai perceber que elas são muito semelhates e diferem apeas pelo fator (1 + i). Este fato pode lhe ajudar a criar uma regra memôica para facilitar o cálculo do PV do modelo atecipado. Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate da reda (FV) De modo aálogo se faz a determiação da relação valor dos pagametos (PMT) e motate (FV): o motate é obtido a partir da soma dos valores de cada um dos pagametos capitalizados para a data focal, coforme se vê a figura 37 e a expressão que segue. Figura 37: Reda imediata e atecipada FV Fote: elaborada pelo autor. FV = PMT*(1+i) + PMT*(1+i) PMT*(1+i) 1 cosiderado a expressão da soma de uma progressão geométrica e operado algebricamete chega-se a: -1 FV (1 i) * PMT *S[i%; ] (1 i) = (1+ i) * PMT * i (4.12) 130

131 Módulo 4 Saiba mais... A dedução completa da fórmula 4.12 pode ser vista em LC56 dispoível em: As calculadoras fiaceiras deverão ser operadas o modo iício (tecla f seguida da tecla beg ) para o cálculo de redas atecipadas. Exemplo 4.6: cosidere uma reda atecipada costituída por uma série de 4 pagametos mesais, iguais e sucessivos, o valor de $ 3.000,00. Determie o capital e o motate equivaletes dessa reda para uma taxa de juros de 3% am. Sumário: PMT = 3.000; = 4 m; i = 3% am; PV =?; FV =? Solução: a) dispor os dados graficamete faça como exercício. b) aplicar as fórmulas (4.10) e (4.12) de iteresse e substituir os valores: 4 (1 0,03) 1 PV (1 0,03)*3.000* 4 0,03*(1 0,03) 1, PV 1,03*3.000* 0,03*1, PV = 1,03*3.000*3, = $ ,84 Observe que o valor 3,717098, como mostrado ateriormete, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para i = 3% e = 4, ou seja, a [3%;4] = 3, PV = (1+i)*PMT*a [i%;] = 1,03*3.000*3, = $ ,84 Aalogamete, se resolve a questão do cálculo do motate (M): (1 + 0,03) 4 FV = (1 0,03)*3.000 * 0, ,41 Também aqui, do mesmo modo já visto em redas postecipadas, o valor 4, pode ser extraído de tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, S [3%;4] = 4,

132 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia FV = (1+i)*PMT*S [i%;] FV= (1+0,03)*3.000*4, = $ ,41 Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: Exemplo 4.7: cosidere a compra de um bem, cujo valor à vista é de $ ,31. O comprador deseja pagar essa compra em 4 pagametos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. Sumário: PMT =?; = 4 m; i = 3% am; PV = ,31 Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 38; Figura 38: Reda imediata e atecipada: PMT. Fote: elaborada pelo autor. 132

133 Módulo 4 b) aplicar a fórmula (4.10) de iteresse e substituir os valores: 4 1 0,03*(1 0,03) PMT *11.151,31* (1 0,03) 4 (1 0,03) 1 PMT 1 0,03*1, *11.151,31* 1,03 1, PMT ,31 * $2.912,62 1,03 3, O cálculo pode ser feito com a utilização de tabelas fiaceiras e da fórmula (4.10) PV PMT (1 i) -1 *a [i%;] Observe que o valor -1 a [í%; ] de tabelas fiaceiras para o par [3%;4]. Etão: PV PMT *a (1 i) -1 [i%; ] = 0, pode ser extraído diretamete ,31 *0, ,64 1,03 Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: 133

134 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Exemplo 4.8: cosidere a formação de uma poupaça futura o valor de $ ,40, através de 4 depósitos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. Sumário: PMT =?; = 4 m; i = 3% am; FV = ,40 Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 39; Figura 39: Reda imediata e atecipada - PMT. Fote: do autor. b) aplicar a fórmula (4.12) de iteresse, substituir os valores e efetuar as cotas : 1 0,03 PMT *12.927,40* (1 0,03) 4 (1 0,03) 1 PMT 1 1,03 0,03 *12.927,40* 1, PMT = 1,03-1 *12.927,10*0, = $ 2.999,99 Observe que -1 S [i%; ] ser muito útil a solução dos problemas: = 0, mostrado que o uso de tabelas pode 1 1 PMT * FV *S [i%;] (1 i) 1 PMT *12.927,40* 0, ,99 (1 0,03) 134

135 Módulo 4 Uma possível solução com o uso da calculadora HP 12C é a seguite: Atividades de apredizagem 10. Uma pessoa resolve fazer uma poupaça para comprar um carro cujo valor à vista é $ ,00. Sedo a taxa de juros de 6% aa, o prazo da poupaça de 24 (vite e quatro) meses e o modelo de reda atecipado e costate, qual o valor do depósto mesal a ser feito? Cosidere o preço do carro ivariate. R: PMT = 586, Cosidere a formação de uma poupaça com motate de valor $ ,88, através de 4 depósitos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am.r = 2.912, Você comprou uma TV o valor de $ 1.000,00 à vista; a loja lhe abriu a possibilidade de pagar em quatro pagametos iguais, mesais, sedo o primeiro o ato da compra. Se a taxa de juros vigete for 2% am, qual será o valor do pagameto? R: 257,47. Reda atecipada e diferida Covidamos você a refletir sobre a figura 40 mostrada a seguir e que 135

136 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia deixa claro que estas redas podem ser tratadas como redas diferidas postecipadas, mediate algus ajustes. Nessa figura 40, você vê uma reda atecipada diferida para m períodos. Observe que o período m se iicia o poto m-1 e vai até o poto m. A reda é diferida em m períodos e os pagametos se iiciam, portato, o período subsequete m+1; porém, como a reda é atecipada esse pagameto se dá o iício do período, ou seja, o poto temporal m. Os valores que se deseja relacioar com PMT são PV e FV. Observado a parte mais escura da figura 40, você se depara com uma reda postecipada (em m-1 períodos) equivalete a PV # e a FV # que podem ser calculados pelos métodos já vistos para esse modelo. Posteriormete, é só proceder ao descoto de PV # para PV por m-1 períodos e a capitalização de FV # para FV por um (1) período para se ter a correspodêcia desejada. As fórmulas são as seguites: Figura 40: Reda diferida e atecipada. Fote: elaborada pelo autor. PV = FVP [i%;m-1] *PV # = FVP [i%;m-1] *PMT*a [i%;] (4.13) e FV = FVF [i%;1] *FV # = (1+i)*PMT*S [i%;] (4.14) Este último tipo de reda foi apresetado a você muito mais com o objetivo de lhe mostrar camihos alterativos para resolver problemas evolvedo redas e tem um caráter mais iformativo. 136

137 Módulo 4 A tabela 7 mostra as fórmulas de iteresse para os modelos de redas atecipadas. Redas atecipadas Tipo Cálculo de PV Cálculo de FV Imediata (1+ i) 1 PV = (1 + i) * PMT * i * (1 + i) PV + (1+ i) FV = (1+ i) * PMT * i = (1 i) * PMT * a [i%;] FV = (1 + i) * PMT * S [i%; ] 1 Diferida (1+ i) 1 1 PV = PMT* * i* (1+ i) (1+ i) PV = PMT *a[ i%;] * FVP m 1 [i%;m 1] (1 + i) 1 FV = PMT * * (1+ i) i FV = PMT*S i%;] *(1 [ + i) Tabela 7: Redas atecipadas resumo das fórmulas Fote: elaborada pelo autor. A taxa de juros em redas Você deve ter observado que as fórmulas deduzidas esta uidade utilizaram a taxa de juros efetiva da reda (temporalidade da taxa e igual à periodicidade dos pagametos), expressa em forma uitária. Por vezes, a taxa de juros da reda está expressa para período diferete dos períodos dos pagametos dos termos da reda; esse fato exige um ajuste essa taxa de juros para a utilização das fórmulas. Se essa taxa de juros for omial, o ajuste da taxa será feito utilizado-se o critério da proporcioalidade para a mudaça de período da taxa; e se a taxa de juros for efetiva, o ajuste será feito pelo critério da equivalêcia. Quado ão houver ehuma declaração a respeito assumese que a taxa dada é omial. Você pode imagiar uma situação em que a taxa de juros efetiva de uma reda seja dada por 9% at (o período da taxa de juros é o trimestre) e que o pagameto da reda seja mesal (o período da reda é o mês). Para aplicar as fórmulas vistas a taxa de juros tem que ser expressa em mês. Como a taxa dada é efetiva a coversão se faz por equivalêcia, ou seja: i m = 9% at ou i t = 9/100 = 0,09 at (forma uitária) (1+i m ) 3 = (1+i t ) (1+i m ) 3 = (1+0,09) 137

138 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia (1+i m ) 3 = (1+i t ) (1+i m ) 3 = (1+0,09) i m = (1+0,09) 1/3-1 i m = 0,0291 am ou 2,91% am Essa é a taxa de juros efetiva mesal que deverá ser cosiderada o exemplo para os cálculos pertietes. Porém, se a taxa de juros dessa reda de 9% at for omial (matidos os pagametos mesais) deve-se determiar a taxa efetiva mesal da reda pelo critério de proporcioalidade: i m = i t /3 i m = 9/3 = 3% a.m. sedo essa a taxa de juros a ser cosiderada para os cálculos pertie tes. É este caso que gera as deomiadas redas fracioárias que podem ser estudadas com mais detalhes em Mathias, W. F. & Gomes, J. M (2004). Exemplo 4.9: sedo a taxa de juros omial 12% aa e o pagameto mesal qual a taxa efetiva dessa reda? Expressões am e aa. Solução: como a taxa dada é omial a taxa efetiva é calculada pelo critério da proporcioalidade, ou seja, i m = i a /12 = 12/12 = 1% am expressado essa taxa em bases auais (agora por equivalêcia): (1+i a ) = (1+i m ) 12 = (1 + 0,01) 12 = 1,1268 i a = 0,1268 aa ou 12,68% aa A taxa efetiva é 1% am ou 12,68% aa. Exemplo 4.10: sedo a taxa de juros efetiva 12% aa e o pagameto trimestral qual a taxa de juros trimestral efetiva dessa reda? Solução: como a taxa aual dada é efetiva a taxa trimestral efetiva é calculada pelo critério da equivalêcia, ou seja, (1+i a ) = (1+i t ) 4 (1 + 0,12) = (1+i t ) 4 (1+i t ) = 1,12 1/4 = 1,0287 i t = 0,0287 at ou 2,87% at 138

139 Módulo 4 Redas perpétuas São as redas cujo úmero de pagametos é ifiito (ou, em casos práticos, é muito grade). Nesse caso, só há iteresse em determiar a relação etre o valor presete da reda e a reda periódica associada. Para uma reda postecipada imediata, basta determiar matematicamete o valor de PV quado tede para ifiito. (1 i) 1 PV = PMT * i * (1 i) fazedo crescer idefiidamete e valedo-os da teoria de limites, tem-se: (1 i) 1 LimPV PMT * lim l i *(1 i) dividido-se umerador e deomiador por (1+i), chega-se a: 1 1 (1 i) LimPV PMT * lim l (1 i) i * (1 i) 1 1 (1 i) PMT * lim l i mas observe que, lim l 1 1 (1 i) i 1 1 (1 i) i i i decorredo, 1 PMT PV PMT * (4.15) i i Em outras palavras o valor presete de uma reda perpétua é a relação etre o valor do pagameto periódico e a taxa de juros. Esta relação é muito útil em algumas aplicações práticas importates a exemplo de avaliação de obrigações e cálculos atuariais. 139

140 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Exercícios resolvidos para fixação de coceitos Exercício 4.1: uma loja oferece um eletrodoméstico em 10 prestações mesais de 100 uidades moetárias, sedo a primeira o ato da compra. Se a taxa de juros for de 2% am qual o preço à vista do aparelho? Sumário: = 10; PMT = 100; i m = 2% am; PV =?; mod. atecipado Solução: a) Fórmula a ser utilizada: PV = (1+i)*PMT*a [i%;] b) Aplicação dos dados: PV = (1+0,02)*1.000*a [2%;10] = 1,02*1.000*8, = 916,22 Uma possível solução com a calculadora HP 12C é a seguite: Exercício 4.2: você programa a formação de uma poupaça com 10 depósitos semestrais o valor de $ ,00. O baco oferece uma taxa de juros de 20% aa com capitalização trimestral. Qual o motate dessa poupaça: a) modelo postecipado imediato e b) modelo atecipado imediato. Sumário: = 10 (semestrais); i = 24% aa (capitalização trimestral); PMT = ; FV =? Solução: a taxa de juros dada é omial e, em primeiro lugar, deve-se determiar a taxa de juros semestral efetiva pelo critério da proporcioalidade (lembre-se que o ao tem 4 trimestres): 140

141 Módulo 4 i a /k = 20/4 = 5% at Porém os depósitos são semestrais e a taxa de juros deve estar expressa em semestre; agora vai-se coverter uma taxa efetiva trimestral em outra taxa efetiva semestral e o critério é o da equivalêcia: (1+i t ) 2 = (1+i s ) (1+0,05) 2 = (1+i s ) 1,1025 = (1+i s ) i s = 0,1025 ou 10, 25% a.s. a) Modelo imediato postecipado: fórmula a ser aplicada, (1 + i) FV = PMT * i - 1 = PMT *S[i%;] 10 (1 0,1025) 1 FV * $ ,33 0,1025 b) Modelo imediato atecipado: fórmula a ser aplicada, (1 i) -1 FV = (1+ i) * PMT * (1 i) * PMT *S[i%; ] i (1 0,1025) FV = (1 + 0,1025) *10.000* 0, $ ,30 Atividades de apredizagem Atividades de apredizagem 13. Um produto é vedido à vista por $ 3.000,00 ou, alterativamete, em 5 (cico) prestações de $ 630,00 vecíveis a 30, 60, 90, 120 e 150 dias. Cosiderado que o redimeto do capital aplicado o mercado fiaceiro é de 1% am, determiar: a) a melhor alterativa de compra para o iteressado e b) a decisão seria a mesma se o redimeto do mercado fiaceiro fosse 2% am? a) à vista b) a prazo. (Dica: meor valor presete). 141

142 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 14. Uma pessoa resolve fazer uma poupaça para comprar um carro cujo valor à vista é $ ,00. Sedo a taxa de juros de 6% aa, o prazo da poupaça de 24 (vite e quatro) meses e o modelo de reda postecipado e costate, qual o valor do depósito mesal a ser feito? Cosidere o preço do carro ivariate. R: 589, Uma pessoa se comprometeu com 25 (vite e cico) pagametos mesais e sucessivos de $ ,00, um modelo postecipado. Imediatamete após o pagameto da 15ª prestação, para adequar os pagametos futuros à sua reda, essa pessoa propõe à outra parte o pagameto da dívida aida existete em 20 (vite) pagametos adicioais, mesais e sucessivos, o mesmo modelo de redas. Qual o valor dessas prestações cosiderado uma taxa de juros de 5% am? R; 6.196, A empresa ALFA deve ao baco BETA os seguites motates: $ ,00, $ ,00, $ ,00 e $ ,00 que são vecíveis respectivamete a 90, 180, 270 e 360 dias. Qual o valor dos pagametos se as partes egociaram a trasformação desses pagametos em 10 (dez) pagametos mesais imediatos, costates postecipados com taxa de juros de 3% am?. R: 9.378, Repita o exercício 17 para 10 (dez) pagametos mesais, imediatos, costates atecipados. R , Repita o exercício 17 para 10 (dez) pagametos mesais costates postecipados e diferidos em 3 (três) meses. R: ,93. RESUMO 142 Nesta uidade você estudou os modelos básicos de redas (auidades) e adquiriu a habilidade ecessária para trabalhar com

143 Módulo 4 outros diferetes modelos de reda, valedo-se dos cohecimetos aqui adquiridos. Na maior parte dos casos, é possível se reduzir esses outros modelos de redas a um dos tipos básicos estudados e resolver os problemas de iteresse. No decorrer da uidade, defiiu-se o coceito de reda, estudaram-se seus elemetos costitutivos e sua classificação e para os modelos de reda certa, periódicas, costates, limitadas, imediatas ou diferidas foram-lhe mostradas as relações de iteresse etre: PMT, PV e FV observados os valores atribuídos a m (diferimeto), (úmero de termos) e i (taxa de juros). Também foi discutida a questão das taxas de juros em redas e apresetado o coceito de redas perpétuas. A perfeita compreesão desta uidade é essecial porque a uidade seguite vai tratar de sistemas de amortização, que é uma aplicação direta destes modelos. Você chegou ao fial de mais uma uidade! Pergute-se se etedeu perfeitamete todos os potos abordados. Em caso de alguma dúvida retore ao texto. Realizou todas as atividades? Se a resposta for positiva você mais uma vez está de parabés e apto a iiciar os estudos da quita uidade do curso, pois já cohece os pricipais modelos de redas e as armadilhas das taxas de juros, além de domiar os coceitos vistos as uidades ateriores. 143

144 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 144

145 Módulo 4 UNIDADE 5 Sistemas de amortização Sistemas de amortização 145

146 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos A quita uidade do curso pretede estudar com você os pricipais sistemas de amortização de dívidas cotraídas utilizadas pelo mercado. Neste setido, vai-se estudar o sistema de prestações costates (com um caso particular deomiado sistema price), o sistema de amortizações costates e o sistema americao e seus derivados. Assim, esta uidade tem por objetivos auxiliar você a: cohecer os modelos básicos de sistemas de amortização de dívidas; costruir os quadros de amortização de dívidas. Os cohecimetos prévios exigidos são: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos as uidades 1, 2, 3 e 4, com êfase para: taxas de juros efetiva e omial; modelos de auidades; equivalêcia de capitais. 146

147 Módulo 4 Sistemas de amortização Itrodução Você pode perceber ituitivamete que um sistema de amortização ada mais é do que um plao de pagameto de uma dívida cotraída. Esses plaos de pagameto podem assumir muitas formas, mas são baseados, fudametalmete, os modelos de redas, estudados a uidade aterior. Exemplos de aplicação de sistemas de amortização: compras a prestação, empréstimos em bacos para pagameto em parcelas periódicas, empréstimos do sistema fiaceiro da habitação para compra da casa própria e outros. Nos diversos plaos de pagameto possíveis, cada pagameto (PMT) costuma icluir: juro do período (J k ) que é calculado sobre o saldo da dívida o iício do período(sdi k ); e/ou amortização do pricipal (A k ) que correspodete ao pagameto parcial ou itegral do pricipal da dívida. Com essas cosiderações, os pagametos (PMT) esses sistemas de amortização obedecem, de modo geral, à seguite relação: PMT = J k + A k (k é o período a que se refere o pagameto) Um plao de amortização, cujo primeiro pagameto se dá a origem da dívida, é associado a um modelo de reda imediato e atecipado; esses casos, o primeiro pagameto se destia totalmete à amortização da dívida porque ão há decurso de tempo e, por coseqüêcia, ão há juro (PMT 1 = A). Uma operação fiaceira evolve ecessariamete duas partes - um credor e um devedor - e gera dois fluxos de caixa, um para cada parte evol- 147

148 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia vida, que são perfeitamete simétricos; etão, o cohecimeto de um desses fluxos de caixa é o suficiete para esclarecer completamete o problema. Sem perder de vista que os modelos de sistemas de amortização podem assumir as mais variadas formas, esta uidade será dedicada ao estudo dos modelos mais usuais a vida prática. 148

149 Módulo 4 Sistema de prestação costate (SPC) Esse sistema é muito utilizado em operações de CDC (crédito direto ao cosumidor) e em fiaciametos habitacioais, podedo ser operado os modos postecipado, atecipado e diferido. Modelo de prestação uiforme, imediato e postecipado Esse modelo cosiste o pagameto da dívida através de prestações ou redas (PMT) postecipadas, imediatas, periódicas e iguais. Cada prestação ou reda é composta de duas partes: juro do período (J k ), calculado sobre o débito (saldo devedor) do iício do período (SDi k ); e amortização do pricipal (A k ), que correspode à difereça etre o valor da prestação e o juro do período. Você pode ver a figura 41 o modelo geral deste tipo de reda. Nessa reda o valor presete (PV, SDi 1 ) correspode à dívida cotraída. Figura 41: Sistema de prestação costate. Fote: elaborada pelo autor. Cada pagameto periódico (PMT) iclui parcelas de juros e de amortização do pricipal, verificado-se a relação fudametal: 149

150 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia PMT k = A k + J k (5.1) ode k idica a ordem do pagameto ou o período em que o pagameto se dá ( 1 k ). O capital ou pricipal será deomiado PV ou SDi 1 e o valor dos pagametos será deomiado PMT, adotado a liguagem das calculadoras fiaceiras, sempre que os pagametos forem costates. Quado você faz um fiaciameto, a sua perguta básica é: qual o valor dos pagametos periódicos que devo fazer? Esse problema, você resolve com o auxílio das fórmulas deduzidas a uidade 4 para o modelo de redas postecipado, imediato, costate, periódico e temporário que permite estabelecer as seguites relações: (1+ i) -1 PV SDi1 = PMT * (5.2) i * (1+ i) i*(1+ i) i*(1+ i) PMT = PV * SDi * 1 (1+ i) 1 (1+ i) 1 (5.3) Ou recorredo aos fatores tabulados em tabelas fiaceiras, PV SDi1 = PMT *a[i%; ] (5.4) -1-1 PMT = PV *a [i%; ] SDi 1 * a [i%; ] (5.5) Essas fórmulas relacioam o valor da dívida cotraída (PV ou SDi 1 ), o valor dos pagametos (PMT), a taxa de juros efetiva da operação (i) e o úmero de pagametos (), e respodem à perguta iicial que você fez. Veja que este problema pode ser colocado de forma iversa, isto é, dada uma sucessão de pagametos periódicos iguais, determiar o estado iicial da dívida. Uma outra perguta que você pode fazer: qual será o valor de miha poupaça após vários depósitos periódicos de um valor costate? Em outras palavras, qual o valor futuro da poupaça (ou da dívida) cohecedo-se o úmero e o valor dos pagametos e a taxa de juros efetiva? Mais uma vez, vamos os valer da fórmula deduzida a uidade 4, que estabelece a relação etre o valor fial da dívida (FV), valor dos pagametos (PMT), taxa de juros 150

151 Módulo 4 (i) e úmero de pagametos (): (1+ i) -1 FV PMT * (5.6) i Que também podem ser expressas através de fatores fiaceiros tabulados: FV PMT *S [i%;] (5.7) -1 PMT FV *S [i%; ] (5.8) Saiba mais... A dedução das fórmulas deste modelo podem ser vista em LC61, dispoível em Um aspecto importate do problema, de utilização freqüete, é a determiação dos seguites valores para a k-ésima prestação ( 1 k ): parcela de juros (J k ) ela cotida; parcela de amortização (A k ) ela cotida, e saldo devedor que permaece (SDf k ) após o pagameto da k-ésima parcela. Essas relações são as seguites: Ak = PV *i *[ k-1 (1+ i) (1+ i) -1 ] (5.9) Jk = PV *i *[ k-1 (1+ i) - (1+ i) ] (1+ i) -1 (5.10) SDf k (1 i) - (1+ i) = PV * [ (1+ i) -1 k ] (5.11) 151

152 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Observações: A k e J k são os valores da amortização e dos juros cotidos a k-ésima parcela, SDf k é o saldo devedor existete imediatamete após o pagameto da k-ésima prestação; em outras palavras, é o saldo devedor fial do período k e saldo devedor iicial do período k+1. Exemplo 5.1: cosidere um empréstimo de $ ,00 a ser pago em quatro prestações auais sucessivas postecipadas, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário: PV = SDi 1 = ,00; = 4; i = 10% aa; PMT =? Solução: calcular a prestação a partir das fórmulas (5.3) ou (5.5): 152 PMT PV *a 1 1 [ i%;] * a[10%;4] de tabelas de fatores fiaceiros ecotra-se para o par [i%;] =[10%;4]: etão: a[ 10%;4 1 ] 0, PMT *0, $ 3.154,71 O quadro geral da operação, também deomiado quadro geral de amortização, é o seguite: Quadro Geral de Amortização - SPC Período PMT SDi k J k = SDi k *i A k = SDf k = PMT-J k SDi k -A k , , , , , , ,30 784, , , , ,13 547, , , , ,94 286, ,91 0,03 SDi k saldo devedor de iício do período k. SDf k saldo devedor de fial do período k.

153 Módulo 4 Observe bem esse quadro, pois ele é ilustrativo do modo de operação do sistema: o juro devido do fial de cada período é calculado diretamete do saldo devedor do iício desses períodos (J k = SDi k *i), e as amortizações pelas difereças etre o pagameto devido (PMT) e o juro de cada período. Ao fial de cada um dos períodos, resta um saldo devedor SDf k, que é o saldo devedor do iício de período seguite. Observe que a parcela de juros dimiui, ao passo que a parcela de amortização aumeta em cada prestação por um fator costate, verificadose sempre a relação: PMT = A k + J k. Isto pode ser mais bem observado a figura 42. Para calcular os valores de A, J e SD correspodetes à parcela 3, sem costruir o quadro geral de amortização, recorre-se às fórmulas (5.9) a (5.11): dasad Figura 42: Comportameto de juros e amortização. Fote: elaborada pelo autor. A k = PV *i *[ (1+ i) k-1 (1+ i) -1 ] 3 1 (1 0,10) A *0,10*[ ] $ 2.607,19 4 (1 0,10) J k = PV *i *[ (1+ i) ( i) (1+ i) k-1-1 ] 153

154 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia (1+ 0,10) 4 - (1+ 0,10) 3-1 J3 =10.000*0,10 * [ ] $ 547,51 (1+ 0,10) 4-1 SDf k = PV * [ (1 i) - (1+ i) k (1+ i) -1 ] (1+ 0,10) 4 - (1+ 0,10) 3 SDf3 =10.000* [ ] $ 2.867,92 (1+ 0,10) 4-1 A determiação do valor do motate total, ao fial, equivalete à dívida iicial, se faz com a aplicação da expressão (5.6) ou da expressão (5.7). FV = PMT*S [i%;] = PMT*S [10%;4] = 3.154,70*4,641 = $ ,96 tirado-se de tabelas fiaceiras, para o par [10%;4], o valor : S [10%;4] = 4, Este sistema de amortização tem larga utilização em operações de crédito a cosumidor. A calculadora HP-12C propicia gahos detempo: Plailhas eletroicas são úteis para resolver problemas desta atureza. Saiba mais... Veja video-aula sobre tabela price e uso da HP 12C e da plailha excel em: ature=related 154

155 Módulo 4 Tabela Price A tabela price é um caso particular do modelo de prestação uiforme, o qual o processo de cálculo é exatamete o mesmo. Dois fatores caracterizam o sistema price: a prestação é obrigatoriamete mesal e a taxa de juros dada é uma taxa aual omial, sedo a taxa efetiva mesal calculada por proporcioalidade. Em outras palavras: é expresso em meses e a taxa efetiva de juros é i m = i a /12. Atividade de apredizagem Atividades de apredizagem 1. Qual o valor das prestações do fiaciameto de $ ,00 pela tabela price e que deve ser pago em 12 parcelas mesais sucessivas postecipadas e iguais, à taxa de juros omial de 12% aa. Resolva pela tabela, pela fórmula e pela calculadora. (Dica: a taxa de juros efetiva é taxa mesal proporcioal a 12% aa). R: PMT = $ 888,47 Modelo de prestação costate, diferido e postecipado Você pode imagiar a situação prática seguite: você fiaciou a compra de uma TV em 10 pagametos mesais, iguais, sucessivos, mas com o primeiro pagameto acotecedo daqui a quatro meses. Este é um exemplo de sistema de amortização postecipado e diferido por três períodos (m=3), que é bastate comum a prática. As fórmulas básicas do modelo postecipado diferido em m períodos, com prazo total de m+ períodos e sem pagameto de juro durate o diferimeto, são mostradas a seguir. Como ão há pagameto de juro durate o diferimeto, o seu valor deve ser capitalizado. Veja bem a figura 43 e procure perceber que: a) o ete auxiliar PV # criado é o valor futuro de PV o poto m que correspode ao diferimeto, b) os termos da reda e o ete 155

156 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia auxiliar PV # costituem um sistema de amortização imediato e postecipado. Figura 43: Modelo diferido e postecipado. Fote: elaborada pelo autor. Na figura 43 o primeiro pagameto está o poto (m+1) que é o fial do período m que se estede do poto m até o poto (m+1). A observação (a) permite escrever: # PV PV * m (1 i) e a observação (b) leva você a: # PMT = PV * i *(1+ i) (1+ i) 1 combiado as duas expressões acima resulta, m i *(1+ i) PMT = PV *(1 i) * (5.12) (1+ i) 1 1 PMT PV * FVF[ i%;m] * a[i%;] (5.13) A expressão do motate é idêtica à do modelo imediato por ão haver pagametos durate o período de diferimeto: (1+ i) -1 FV PMT * PMT *S[i% ; (m + ) - m] (5.14) i 156

157 Módulo 4 As fórmulas de amortização, juro e saldo devedor itermediários são mostradas a seguir: Ak = PV *i * (1+ i) m *[ k -1 (1+ i) ] (1+ i) -1 (5.15) k -1 m (1+ i) - (1+ i) Jk = PV *i * (1+ i) *[ ] (1+ i) -1 (5.16) k m (1+ i) - (1+ i) SDfk = PV * (1+ i) *[ ] (5.17) (1+ i) -1 para todo k compreedido o itervalo: 1 k (m ) - m. A fórmula do valor futuro para o modelo diferido é exatamete a mesma do modelo imediato porque só os pagametos efetuados são capitalizados e ão há pagametos o período de diferimeto. Você deve atetar para o fato de que essas fórmulas são muito semelhates àquelas do modelo imediato. Essas fórmulas são, em geral, aquelas do modelo postecipado imediato ajustadas pelo fator (1+i) m que decorre da capitalização do valor PV em 0 para o valor PV # em m. Em outras palavras, com exceção da fórmula do valor futuro as fórmulas do modelo diferido para o cálculo de A k, J k e SDf k são obtidas simplesmete multiplicado-se aquelas fórmulas do modelo imediato pelo fator (1+i) m. Exemplo 5.2: em uma compra a prazo o valor de $ ,00 em quatro pagametos iguais, postecipados e diferido em 3 meses com taxa de juros de 2% am, determie o valor dos pagametos utilizado: a) as fórmulas e b) as tabelas fiaceiras. Determie também a amortização e os juros cotidos a seguda parcela do pagameto e o saldo devedor após o pagameto da seguda parcela. Costrua a plailha de amortização. Sumário: PV = ,00; m = 3 meses; i = 2% am; =

158 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Solução: a) costrua a figura represetativa do problema (deixa-se ao ecargo do leitor); b) determie o valor de cada pagameto utilizado a fórmula (5.12): PMT = PV *(1 i) m * i *(1+ i) (1+ i) 1 PMT *(1 0,02) 0,02*(1 0,02) * 4 (1 0,02) 1 PMT *1,061208* PMT $ 2.786, Com a utilização das tabelas fiaceiras: buscar os valores de FVF [i%;m] 1 e a[i%;] em tabelas fiaceiras com juros de 2% e aplicar a fórmula (5.13). Ecotra-se: FVF [2%;3] = 1, e a[2%;4] 1 0, PMT = PV * FVF[i%;m] *a[i%;(m )-m] *1,061208* 0, $ 2.786,98 Observe que [(m+)-m] = [(3+4)-3] = 4 Cálculo dos juros, da amortização e do saldo devedor com a utilização das fórmulas (5.15 a 5.17). Como os valores pretedidos se referem à seguda parcela, tem-se k=2. A A (1 0,02) = *0,02 *(1 0,02) *[ ] 4 (1 0,02) * 0,02*1,061208*12, $ 2.626,42 158

159 Módulo 4 J (1 0,02) (1 0,02) *0,02*(1 0,02) * (1 0,02) J 2 0, *1,061208* $160,74 0, Fialmete, o cálculo do saldo devedor remaescete após o pagameto da seguda parcela: SDf = PV * (1+ i) m k *[ - ( 1+ i) -1 ( 1+ i) ( 1+ i) k ] (1 0,02) - (1 0,02) SDf *(1 0,02) * $ 5.411,08 4 (1 0,02) 1 O quadro geral da operação é mostrado a seguir. Quadro Geral de Amortização SPC diferido Período PMT J k =SDi k *i A k =PMT-J k SDi k SDf k =SDi k -A k , , , , , , , , , ,98 212, , , , ,98 160, , , , ,98 108, , , , ,98 54, , ,35-0,02* * resíduo devido ao abadoo das casas decimais posteriores a seguda. Atividades de apredizagem 2. Você cotraiu um empréstimo para ser pago em cico prestações mesais de $ 9.547,12, iguais, imediatas e postecipadas. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor do fiaciameto. Costrua a plailha de amortização. Determie com a utilização da fórmula geral o valor dos juros cotidos a terceira prestação (J 3 ). Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PV = ,96 J 3 = 550,

160 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia 3. Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 6 pagametos mesais, sucessivos, iguais, postecipados, com diferimeto de 2 meses e a uma taxa de juros de 12% aa? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: PMT = 1.760,17 Valor do pagameto = $ 6.828, Vá a uma loja e procure por ofertas que dizem ter preço à vista parcelado em prestações tais que a sua soma é igual ao preço à vista. Discuta com seus colegas o sigificado destas ofertas. Modelo de prestação costate, imediato e atecipado Imagie que você fiaciou a compra de um bem em várias parcelas iguais com um pagameto iicial a título de etrada; este é um modelo de amortização deomiado atecipado e que é muito usado o comércio. Figura 44: Reda imediata e atecipada. Fote: elaborada pelo autor. Neste modelo, que você pode visualizar a figura 44, os pagametos são feitos o iício de cada período Como o primeiro pagameto se dá a própria origem da dívida, ele ão iclui juro e é todo ele destiado a amortizar a dívida. O juro devido estará icluído os demais pagametos. Recorredo às fórmulas de redas atecipadas da uidade 4, chega-se às seguites expressões: 160

161 Módulo 4 (1 i) -1 PV (1 i) * PMT * i *(1 i) PV (1 i) * PMT *a[i%;] (5.18) PV i *(1 i) PMT * (1 i) (1 i) 1 PMT PV (1 *a i) 1 [i %; ] (5.19) (1 i) -1 FV = (1+ i) * PMT * (1 i) * PMT *S[i%; ] i (5.20) 1 i 1-1 PMT = FV * * FV * *S[i%;] (1 i) (1 i) -1 (1 i) (5.21) As expressões para amortizações, juros e saldos devedores itermediários são, respectivamete: (1+ i) k-1 Ak = PV *i *(1 i) *[ ] (1+ i) p/ k>1 (5.22) -1 e A 1 = PMT p/ k=1 PV Jk = (1 i) *i *[ (1+ i) - (1+ i) k-1 ] ( 1+ i) -1 p/ k>1 (5.23) e J 1 = 0 p/ k=1 PV (1 i) - (1+ i) k SDfk = * [ ] (1 i) (1+ i) -1 (5.24) Exemplo 5.3: cosidere um empréstimo de $ ,00 a ser pago em quatro prestações auais sucessivas atecipadas, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação. 161

162 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sumário: PV = ,00; = 4; i = 10% aa; PMT =?; mod. atecipado Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (5.19): PV i *(1 i) PV 1 PMT * *a [i%; ] (1 i) (1 i) 1 (1 i) PMT (1 0,1) -1 *a [10%;4] em tabelas de fatores fiaceiros ecotra-se: a[10%;4] -1 0, etão: PMT *0, $ 2.867,90 (1 0,1) O quadro geral da operação, também deomiado quadro geral de amortização, é o seguite: Quadro Geral de Amortização SPC atecipado Período PMT J k =SDi k *i A k =PMT-J k SDi k SDf k =SDi k -A k , , , ,91 713, , , , ,91 497, , , , ,91 260, , ,25 0,06 * * resíduo devido ao abadoo das casas decimais posteriores a seguda. Os demais modelos podem ser desevolvidos teoricamete de forma aáloga e são deixados como exercícios para o leitor. Atividades de apredizagem 5. Você cotraiu um empréstimo para ser pago em cico prestações mesais de $ 9.547,12, iguais, imediatas e atecipadas. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor do fiaciameto. Costrua a plailha de amortização. Determi- 162

163 Módulo 4 e com a utilização da fórmula geral o valor dos juros cotidos a terceira prestação (J 3 ). Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PV = ,96 J 3 = 550, Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 6 pagametos mesais atecipados, sucessivos, iguais a uma taxa de juros de 12% aa? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: PMT = 1.708,39 Valor do pagameto = $ 6.732,76 (Dicas: 1. valor presete de quatro pagametos atecipados, ou dois SD 3 +PMT 3 ). 163

164 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sistema de amortização costate (SAC) Você percebeu que, os modelos ateriores, os pagametos eram costates. Neste sistema de amortização, os pagametos são decrescetes o tempo e são compostos, de modo aálogo aos casos ateriores, por dois elemetos: amortização (A), esta costate ao logo de todo o plao de pagametos; e, juro (J), calculados sobre os saldos devedores dos períodos imediatamete ateriores. O pagameto ou reda devido em cada período é: PMT k Ak Jk A Jk (5.25) Importate! Observe que este sistema o que permaece costate é a parcela de amortização equato que o SPC o que permaece costate é o valor da prestação. Também este sistema pode operar os modos postecipado, atecipado e diferido sedo tratado, este livro, o modelo postecipado. As fórmulas gerais para um sistema de amortização costate, imediato e postecipado, evideciado a figura 45, estão mostradas a seguir. Figura 45: Sistema de amortização costate, imediato e postecipado. Fote: elaborada pelo autor. 164

165 Módulo 4 Chamado de : PV (SDi 1 ) - pricipal ou saldo devedor iicial i - taxa de juros periódica efetiva - prazo em períodos O valor de cada prestação ou reda está dado por (5.25): PMT k = A + J k 1 k ode, PMT k k-ésima prestação ou reda; A J k amortização, que é costate em todos os pagametos; juros referetes a k-ésima prestação. O valor da amortização cotida em cada pagameto é determiado dividido-se o pricipal (o valor da dívida iicial) pelo úmero de parcelas do plao de pagameto: PV SDi (5.26) A 1 O saldo devedor, imediatamete após o pagameto da k-ésima prestação ou reda, é dado pela difereça etre o saldo devedor iicial e as amortizações cotidas em todos os pagametos, icluso o de ordem k: PV SDf k = PV - k * A = PV - que por fatoração simples resulta em, Jk = SDik *i SDfk-1 *i (5.27) Os juros referetes à k-ésima prestação ou reda são calculados com base o saldo devedor do iício do período k (SDi k = SDf k-1) : Jk = SDik *i SDfk-1 *i mas de (5.27) e para o termo de ordem (k- 1) tira-se, - (k -1) SDfk -1 = PV *[ ] que substituído a fórmula dos juros e de- 165

166 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia vidamete simplificado resulta em, J = PV * i *[ k - k 1 ] com 1 k (5.28) Fialmete, o valor da k-ésima prestação ou reda é dado pela soma da amortização e dos juros da parcela de ordem k: PV - k +1 PMT k A + Jk = + PV * i *[ ] (5.29) Observações: Jk é uiformemete decrescete em k; PMTk é uiformemete decrescete em k; a taxa de juros e os períodos de pagameto das prestações são expressos em uidades compatíveis; e a primeira prestação ou reda é devida ao fial do primeiro período (modelo postecipado). Saiba mais... Veja vide-aula do sistema SAC em: http //br.youtube.com/watch?v=43rs_jhta Este é um modelo básico e comporta variações com atecipação ou diferimeto. Um modelo diferido postecipado pode ser visto a figura 46. Figura 46: Sistema de amortização costate, diferido e postecipado. Fote: elaborada pelo autor. 166

167 Módulo 4 Como você pode ver essa figura, há um período de diferimeto durate o qual ehum pagameto é feito. Neste caso, os juros são capitalizados de modo a trasformar este plao um modelo covecioal postecipado, ao qual podem ser aplicadas as fórmulas vistas acima. As fórmulas gerais para este modelo (diferimeto m) e postecipado são as seguites: m PV *(1 i) A (5.30) J = PV * + i) k (1 m - k +1 *i *( ) ] 1 k (5.31) PMT k = A + J k (5.32) - k SDf = PV * (1+ i) m k *[ ] (5.33) Exemplo 5.4: cosidere um empréstimo de $ ,00 a ser pago pelo SAC em quatro prestações auais sucessivas imediatas e postecipadas, para o qual se covecioou uma taxa de juros de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário: PV = ; = 4 (k = 1, 2, 3 e 4); i = 10% aa; PMT =?; mod.: SAC postecipado. Solução: a) o cálculo da amortização cotida em cada pagameto é feito a partir da expressão (5.24): A = PV = ,00/4 = $ 2.500,00 (costate os quatro pagametos) b) o juro, o valor de cada pagameto e o saldo devedor remaescete são calculados a partir das fórmulas mostradas acima. J k = PV * i *[ - k 1 ] 167

168 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia =10.000* *[ ] $1.000 k 1 4 J 0,10 PMT1 A J $ 3.500,00 SDf k = PV - k *[ ] 4-1 SDf 1 = *[ ] $ 7.500,00 4 (k 1) De modo aálogo se calculam: = ,10*[ ] $ 750,00 (k 2) 4 J * PMT2 = A + J2 = 2.500, ,00 = $ 3.250,00 k 2 SDf = *[ ] $ 5.000,00 4 (k 2) J 3 =10.000* 0,10*[ ] $ 500,00 (k 3) 4 PMT3 = A + J3 = 2.500, ,00 = $ 3.000,00 k 3 SDf 3 = *[ ] $ 2.500,00 4 (k 3) = ,10*[ ] $ 250,00 (k 4) 4 J * PMT4 = A + J4 = 2.500, ,00 = $ 2.750,00 k 4 SDf 4 = *[ ] 0,00 4 k 4 O quadro geral de amortização está mostrado a seguir: 168

169 Módulo 4 Quadro Geral de Amortização SAC Período A=PV/ J k =SDi k *i PMT k =A+J k SDi k SDf k =SDi k -A , , , , , ,00 750, , , , ,00 500, , , , ,00 250, , ,00 0 Observe que o valor das prestações é decrescete; as prestações iiciais do SAC superam as prestações do SPC o iverso ocorredo com as últimas. Atividades de apredizagem Atividades de apredizagem 7. Você cotraiu um empréstimo de $ ,00 para ser pago em cico prestações mesais imediatas e postecipadas o sistema SAC. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor das prestações. Costrua a plailha de amortização. Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PMT = 2.200, 2.160, 2.120, 2.080, Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 5 pagametos mesais e sucessivos a uma taxa de juros de 12% aa e diferidos em 3 meses, pelo SAC? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: Valor do pagameto = $ 8.304,

170 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sistema do motate Coforme você pode ver a figura 47, o sistema do motate há um úico pagameto (FV) ao fial da operação, que é a soma do pricipal e dos juros acumulados. Figura 47: Sistema do motate Fote: elaborada pelo autor. Os cálculos resumem-se à aplicação das fórmulas de juros compostos. FV PV *(1 i) PV J (5.34) FV PV * FVF [i%;] (5.35) Exemplo 5.5: cosidere um empréstimo de $ ,00, que deve ser pago ao fial de quatro aos, de uma úica vez, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor do pagameto? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário: PV = ,00; = 4; i = 10% aa; FV =?; mod.: sistema do motate Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (5.34) ou (5.35): FV PV *(1 i) PV * FVF [i%;] 170

171 Módulo 4 4 FV *(1 0,10) *1,4641 $14.641,00 O quadro geral de amortização da dívida está mostrado abaixo: Quadro Geral de Amortização SM Período PMT J k A SDi k SDf k , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Esse quadro mostra, até a sua quarta liha, como se dá a evolução da dívida em fução da capitalização dos juros itermediários. A última liha, mostra a forma de liquidação do empréstimo: pagaram-se juros o valor total de $ 4.641,00 e o pricipal o valor de $ ,

172 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sistema americao O sistema americao é uma variate do sistema do motate a qual o pricipal é pago de uma só vez ao fial do prazo do empréstimo, e o juro devido é pago periodicamete. A figura 48 ilustra o modelo. Os cálculos este sistema são bastate simples. Com efeito, como ão há capitalização de juro, o saldo devedor ão se altera ao logo do tempo. Figura 48: Sistema americao. Fote: elaborada pelo autor. O juro devido em cada período é costate; o vecimeto da operação são pagos o pricipal e a última parcela do juro. Esquematicamete tem-se: PMTk PMT1 =... PMT-1 J PV *i (5.36) PMT = PV + J PMT PV PV *i PMT = PV *(1 i) (5.37) Exemplo 5.6: cosidere um empréstimo de $ ,00 que deve ser pago em quatro aos pelo sistema americao, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor dos pagametos? Motar um quadro demostrativo da operação. 172

173 Módulo 4 Sumário: PV = ,00; = 4; i = 10% aa; PMT k =?; mod.: sistema americao Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (6.36) e (6.37). PMT1 PMT2 PMT3 J PV *i *0,10 $1.000,00 e PMT 4 = PV J PV PV *i *0,10 $11.000,00 O quadro geral de amortização está mostrado a seguir: Quadro Geral de Amortização S. Amer Período PMT k J k A k SDi k SDf k , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 173

174 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Sistema do sikig fud Este sistema de amortização é uma combiação iteressate do sistema do motate - pagameto total ao fial - e de uma forma de poupaça feita pelo tomador (devedor) com o setido de dimiuir o risco fiaceiro para o credor. Este sistema se materializa da seguite forma: o tomador cotrata um empréstimo para pagameto ao fial a uma determiada taxa de juros efetiva i e, paralelamete, ele faz com o baco um cotrato de depósito remuerado periódico a uma taxa de juros i #, pelo mesmo período do empréstimo, de tal modo que o motate desses depósitos remuerados seja, ao fial, exatamete o suficiete para pagar o empréstimo. Os depósitos remuerados são, evidetemete, feitos a istituição fiaceira cocedete do empréstimo. As figuras 49 e 50 ilustram essa situação. Figura 49: Empréstimo com pagameto ao fial. Fote: elaborada pelo autor. Figura 50: Poupaça programada. Fote: elaborada pelo autor. 174

175 Módulo 4 Para que você possa deduzir as fórmulas gerais, supoha um empréstimo o valor de PV = SDi 1, por um prazo de períodos, a uma taxa de juros i, sem pagameto de juros itermediários. Como já visto o sistema do motate o valor a ser pago ao fial pelo tomador deste empréstimo será: FV PV *(1 i) PV * FVF[i%;] (5.38) A perguta que você deve colocar é a seguite: qual deve ser o valor (PMT) dos depósitos periódicos em cota remuerada à taxa de juros i # para que o seu motate fial seja exatamete igual a FV? A resposta a esta questão vem da uidade 4 em que se estudou de redas; o motate dos seus depósitos (imediato, costate e postecipado) em poupaça será, coforme visto a uidade 4: 1 FV # (1 i ) 1 PMT * PMT *S # # [i ;] i (5.39) Como esses dois motates (FV e FV 1 ) devem ser iguais para que o empréstimo possa ser pago, tem-se: # 1 (1 i ) 1 FV PMT * FV PV *(1 i) # i resultado daí para PMT o seguite valor: # i 1 PMT PV *(1 i) * PV * FVF # [i%;] *S # (1 i ) 1 [i %;] (5.40) Exemplo 5.7: cosidere um empréstimo de $ ,00, que deve ser pago em quatro aos pelo sistema do sikig fud. A taxa de juros efetiva do empréstimo foi covecioada em 10%aa, e a remueração dos depósitos periódicos em 4%aa. Qual o valor dos pagametos? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário: PV = ,00; = 4; i = 10% aa; PMT k =?; sistema de 175

176 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia amortização: sikig fud Solução: a) ecotrar o motate fial a ser pago pelo tomador aplicado a fórmula (5.38): FV =PV*(1+i) = PV*FVF [i%;] = *(1+0,04) 4 = ,00 b) determiar as quatro prestações auais que produzirão esse motate aplicado a fórmula (5.39) ( i # = 4% aa, = 4 a, FV 1 = ,00, PMT=?. FV 1 = PMT*S [4%;4] = PMT*S [4%;4] =PMT*4, ( S [4%;4] = 4, tirado de tabelafiaceira para i # = 4% aa e = 4) PMT = $ 3.447,81 Quadro Geral de Amortização Sikig fud Período Evoluçãodosaldodoempréstimo Evolução dos depósitos SDi k J k SDf k PMT J k SDf k , , , , , , , , ,81 137, , , , , ,81 281, , , , , ,81 430, ,90 * difereça de $ 0,10 devido a arredodametos Saiba mais... Sistema de amortização alemão. Você pode vê-lo a LC 62 em: Atividades de apredizagem 10. Um empréstimo de $ ,00 deverá ser amortizado em 12 meses pelo sistema do sikig fud. A taxa de juros do empréstimo é de 24% aa, e a remueração de fudo de reda fixa ofere- 176

177 Módulo 4 cida pelo baco é de 1% am. Determie o valor dos depósitos mesais que o tomador deverá fazer. Costrua o quadro de amortização. R: FV = ,04, PMT = 2.499, Você cotraiu um empréstimo a ser amortizado pelo sistema americao com pagameto de juros mesais. Determiar os pagametos a serem feitos e costrua o quadro de amortização para um valor de empréstimo de $ ,00 e prazo para pagameto do pricipal em 6 meses, O baco cobra uma taxa de juros de 18% aa. Resp.: PMT 1 =...= PMT 5 = 150,00; PMT 6 = , Você fiaciou a compra de sua casa em 96 prestações mesais pelo sistema SAC. O valor da amortização cotida em cada pagameto é de $ 250,00. A taxa de juros covecioada é de 12% aa. Determie o valor fiaciado e costrua a plailha de amortização para os quatro primeiros pagametos. Resp.: SD 0 = ,00; PMT 1 = 490,00, J 1 =240,00,A 1 = 250, Uma empresa toma um empréstimo de $ ,00 a ser amortizado pelo sistema de prestações costates em seis (6) quadrimestres com carêcia de 2 quadrimestres. A taxa de juros omial é de 15% aa e a capitalização quadrimestral. Determie o valor da prestação e costrua a plailha de amortização. Calcule o saldo devedor remaescete após o pagameto da 4 a prestação, com a utilização da fórmula geral. Resp.: i ef = 5% aq; PMT= 2.172,11; SD 4 =4.038, Um empréstimo de $ ,00 deverá ser amortizado em cico (5) prestações pela Tabela Price, sem carêcia. Sabedo que a taxa de juros omial é de 48% aa, determie o valor das prestações. Costrua a plailha de amortização. Determie com o auxílio das fórmulas gerais: SD 3, J 3 e A 4. Resp.: PMT = ,35; J 3 = 1.246,72; SD 3 = ,40; A 4 = , Costrua a plailha de amortização para um empréstimo de $ ,00 a ser amortizado pelo SAC, em seis (6) prestações mesais, postecipadas, sem prazo de carêcia. A taxa de juros 177

178 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia omial é de 24% aa. Costrua a plailha de amortização desse empréstimo. Resp.: A= 8.333,33, J 1 = 1.000,00, PMT 1 = 9.333, O preço à vista de um eletro-doméstico é $ 1.000,00. A loja o está fiaciado, pelo sistema SAC, em quatro (4) pagametos mesais, postecipados, a uma taxa de juros efetiva de 42,576% aa. Costrua a plailha de fiaciameto e determie os valores básicos da prestação de ordem três. Resp.: i ef =3%am; A= 250,00. RESUMO Nesta uidade, você estudou os modelos básicos de sistemas de amortização existetes o mercado. Todos os exemplos resolvidos o foram para o mesmo valor de empréstimo, mesmo prazo e mesma taxa de juros, e você pode observar que os valores despedidos para pagameto são diferetes os diversos modelos. Mas, atete para o fato de todos eles são absolutamete equivaletes porque foram solucioados com a utilização da mesma taxa efetiva de juros. O sistema de prestação costate tem larga aplicação o crédito direto ao cosumidor e o sistema fiaceiro da habitação; o sistema de amortização costate é mais largamete utilizado o sistema fiaceiro da habitação e os demais sistemas em aplicações comerciais diversas. Bem! Chegamos ao fial de mais uma uidade do curso. Você etedeu bem todos os potos abordados? Cumpriu todas as atividades? Caso as teha cumprido todas, está uma vez mais de parabés e apto a ir para a sexta e última uidade do curso. 178

179 Módulo 4 UNIDADE 6 Iflação e correção moetária 179

180 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Objetivos 180 Esta uidade lhe apresetará os coceitos de ídices de preço e de iflação, procurado evideciar as aplicações desses coceitos o tratameto de séries temporais de úmeros e em fiaciametos de dívidas em ecoomias que covivem com a iflação. Como resultado do seu trabalho, esperamos que você possa: compreeder o sigificado dos termos: iflação, ídices de preços e ídices de iflação; utilizar as tabelas de correção moetária; trasformar valores uméricos referetes a diferetes temporalidades, expressado-os em mesmo poder de compra, para poder compará-los; e aplicar o coceito de correção moetária aos modelos de fiaciameto já estudados. Para facilitar, você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; e coceitos vistos as uidades 1,2 e 3.

181 Módulo 4 Iflação e correção moetária Itrodução A iflação é um desajuste de ordem ecoômica que se reflete em um processo de aumeto geeralizado de preços de produtos e serviços, que icide de modo diferete em cada setor da ecoomia, causado uma redistribuição de reda, quase sempre perversa. A iflação é um desajuste de ordem ecoômica que se reflete em um processo de aumeto geeralizado de preços de produtos e serviços. A iflação cria uma série de problemas de ordem prática (a par dos problemas de ordem social), algus dos quais estão listados abaixo: dificulta o plaejameto fiaceiro em todos os íveis; tora ilusórios os registros cotábeis e as projeções ecoômico-fiaceiras deles decorretes; cria um imposto iflacioário a medida em que tributa lucros fictícios; dificulta as operações do mercado fiaceiro ao itroduzir uma compoete de previsão icerta, além de outros. Para corrigir essas dificuldades e miorar os problemas de ordem social, criaram-se mecaismos de idexação ecoômica que serão, em parte, estudados esta uidade. 181

182 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Ídices de preços Um ídice de preços é um úmero ídice estruturado e costruído para medir a mudaça que ocorre os preços de bes e serviços em um dado período de tempo e que toma como base o úmero 100. Esses ídices são compostos sob critérios metodológicos específicos e tomam como referêcia uma cesta básica de cosumo de bes e/ou serviços que satisfaçam a uma determiada ecessidade. É possível costruir ídices a partir de cesta básica de costrução civil, de alimetos, de cosumo de famílias que pertecem à determiada faixa de reda e outras. Para o etedimeto do fucioameto do processo vamos utilizar a tabela 8 de ídices de preços. Ídices de preços Mês 19X0 19X1 19X2 Ja - 108,90 144,21 Fev - 110,04 146,40 Mar - 111,69 148,83 Abr - 113,10 151,62 Mai 100,00 114,95 154,65 Ju 101,26 117,39 - Jul 102,39 121,30 - Ago 103,30 126,63 - Set 104,17 132,67 - Out 105,18 137,64 - Nov 105,90 140,61 - Dez 106,80 142,38 - Tabela 8: Ídice de preços (IP) 182

183 Módulo 4 Observações: esta tabela reproduz a iflação ocorrida os aos 19X0 a 19X2. os ídices de preço se referem ao iício de cada mês. Se você observar a liha do mês de maio para os três aos, ecotrará os valores 100, 114,95 e 154,65. O que você etede por isso? Sigifica simplesmete o seguite: para comprar a mesma cesta básica de bes, você precisou de 100 uidades moetárias em 19X0, de 114,95 uidades moetárias em 19X1 e de 154,65 uidades moetárias em 19X2. O diheiro perdeu valor porque você precisa de maior quatidade dele para comprar a mesma cesta. Saiba mais... Vá aos sites: ipc_ipca/defaultotas.shtm Ídice e taxa de iflação (ou de correção moetária) O ídice de iflação etre os períodos j e m (tomado como base) é dado por: IP j I j/ m (6.1) IPm IP j ídice de preço do mês j, e IP m ídice de preço do mês m. Se você quiser saber o ídice de iflação etre outubro de 19X0 e maio 183

184 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia de 19X2, basta fazer a relação etre os úmeros ídices correspodetes, da seguite maeira: ImaiX 2 / outx0 IP maix2 IPoutX0 154,65 1, ,64 Sigificado disto? Os preços de maio de 19X2 são 1,1235 vezes mais elevados que os preços de outubro de 19X0; em outras palavras: Preços de maix2 = 1,1235*Preços de outx0. A taxa de iflação (i) pode ser calculada a partir do ídice de iflação (I), do seguite modo: I = (1 + i) (6.2) Para o período cosiderado (out X0 a mai X2) a taxa de iflação foi: 1,1235 = 1 + i i = 0,1235 ou 12,35% ap Exemplo 6.1: Supoha um empréstimo tomado em maio de 19X0 o valor de $ 5.000,00 a serem pagos 60 dias depois (julho). Qual o valor corrigido da dívida? Solução: o ídice de correção para o período é dado pela relação etre: IP mai = 100 e IP jul = 102,39, I jul/mai = 102,39/100 = 1,0239 Valor da dívida em julho = 5.000*1,0239 = 5.119,50 Os idicadores moetários utilizados pelos goveros são atualizados permaetemete por algum dos ídices de iflação calculados por istituições específicas, a exemplo do IBGE, da FIPE, da FGV e outras. 184

185 Módulo 4 Em geral, o Govero Federal arbitra um ídice que é utilizado para a correção moetária de balaços e obrigações prevideciárias e fiscais. Nos dias de hoje, a correção moetária oficial é feita pela taxa referecial de juros (TR). Em operações particulares há liberdade para se fixar ídices de correção difereciados. Taxas de juros aparete e real Ao se cosiderar a iflação, tem-se um complicador os cálculos fiaceiros, porque há duas taxas a serem cosideradas: a taxa de iflação ou correção moetária e a taxa real de juros. Chamado C = capital i cm = taxa de correção moetária periódica i ap = taxa de juros aparete periódica (egloba a iflação e a taxa de juros real) i r = taxa de juros real (cosiderado a moeda costate) O motate aparete (juros mais correção moetária) desse capital em um período será; M = C * (1 + i ap ) (6.3) Outra forma de se calcular esse motate é separar a correção moetária da capitalização de juros; assim: a) corrigir o capital pela taxa de iflação, C # = C * ( 1 + i cm ) b) proceder a capitalização do capital corrigido pela taxa de juros real, M = C # * (1 + i r ) = C* (1 + i cm ) * (1 + i r ) (6.4) 185

186 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Comparado-se as expressões (6.1) e (6.2) vem: (1 + i ap ) = (1 + i cm ) * (1 + i r ) (6.5) Esta fórmula permite a você relacioar as três taxas cosideradas: a aparete, a real e a de correção moetária. Para os estudos seqüetes utilizaremos os ídices de preços costates da tabela 8. Saiba mais... Neste processo de correção, capital e juro sofreram correção moetária. Algus sistemas de correção cosideram que o juro só é devido ao fial do período e por isso ão sofrem correção moetária esse período. Leia sobre isto a leitura complemetar LC 71 em: doc Exemplo 6.2: calcular o ídice e a taxa de correção moetária etre os meses de maio e juho de 19X1. Solução: calcule o ídice de correção moetária: I (ju/mai) IP = IP ju mai 101,26 = 100,00 A taxa de iflação do período será: =1,0126 I = 1 + i 1,0126 = 1 + i i = 0,0126 am ou i = 1,26% am Exemplo 6.3: corrigir moetariamete $ 1.500,00 de maio de 19X1 para março de 19X2. Solução: o ídice de correção moetária do período é: 146,40 Icm(FEVX2/MAIX1) = 114,95 =1,

187 Módulo 4 O valor origial deve ser corrigido por esse ídice: Em outras palavras, $ 1.500,00 de maio de 19X1 é equivalete a $ 1.910,39 de fevereiro de 19X2. Ídice de correção moetária como iflator e como deflator Sempre que você se deparar com uma série temporal de valores fiaceiros, em regime iflacioário, terá a ecessidade de reduzi-la a valores fiaceiros equivaletes para aalisar a sua evolução real. Cosidere a série temporal abaixo, correspodete ao faturameto da empresa Alfa: Data Receita de Alfa ($) JaX ,00 FevX ,00 MarX ,00 AbrX ,00 MaiX ,00 Para se cohecer a evolução real do faturameto de Alfa, os úmeros devem ser ajustados para refletir o mesmo poder de compra, levado em cota a iflação verificada o período. Os diversos valores uméricos são trasformados para uma úica data de referêcia, utilizado-se os ídices de iflação ou de correção moetária. Os procedimetos padrões para fazer esse ajustameto são: a) coverter os valores das receitas de Alfa para valores de jaeiro/x1 deflacioado os valores mais recetes. Isto correspode a utilizar o ídice de 187

188 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia correção moetária como deflator. Data (A) Receita omial ($) IP j (B) Deflator (IP ja /IP j ) (C) Receita deflacioada(p/ Ja/X1) Ja X , Fev X ,04 0, Mar X ,69 0, Abr X ,10 0, Mai X ,95 0, Obs.: (a) C = A*B; (b) foram igoradas as casas decimais. Observar que a colua C deste Quadro os dá as receitas em valores moetários de jaeiro de 19X1. b) coverter os valores das receitas da Empresa Alfa para valores de maio/x1 iflacioado os valores para a data mais recete. Isto sigifica utilizar o ídice de correção moetária como iflator. Data (A) Receita omial ($) IP j (B) Iflator (IP mai /IP j ) (C) Receita iflacioada (p/ Mai X1) Ja X ,90 1, Fev X ,04 1, Mar X ,69 1, Abr X ,10 1, Mai X , Obs: C = A*B Observar que a colua C deste Quadro os dá as receitas em valores moetários de maio de 19X1. A título de exemplo, a taxa de crescimeto real do faturameto da Empresa Alfa, etre jaeiro e maio de 19X1, será: pelo método de coversão (a): 188

189 Módulo 4 pelo método de coversão (b): ou seja, qualquer dos métodos coduz à mesma coclusão. Fiaciametos com correção moetária Fiaciameto com correção pré-fixada Neste método, a taxa de juros do fiaciameto é a taxa aparete que icorpora a iflação futura estimada. Portato, a taxa de juros praticada cotém duas compoetes: taxa de juros real e taxa de correção moetária estimada, que obedecem à fórmula 6.5: (1 + i ap ) = (1 + i r ) * ( 1 + i cm ) ode: i ap i r i cm = taxa de juros pré-fixada; = taxa de juros real (c/ moeda costate); = taxa de correção moetária média prevista; e Na prática, tudo se passa como os modelos de fiaciameto já vistos para moeda estável, apeas com a utilização de taxas de juros majoradas devido a compoete iflacioária. Observe que, as fórmulas acima, todas as taxas (i ap, i r, e i cm ) se referem ao mesmo período. 189

190 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Atividades de apredizagem 1. Para taxas de iflação de 5%, 10% e 15% quais as taxas aparetes que um baco deveria praticar para ter um gaho real de 10%? R: 15,5%, 21%, 26,5%. 2. Um baco opera com taxa de juros aparete de 45%. Sabedo que a iflação foi 15%, qual a taxa real de juros cobrada? R; 26,08%. Fiaciameto com correção pós-fixada Neste caso, a taxa de juros do fiaciameto é matida em íveis reais e o pricipal é corrigido moetariamete ao logo do período de empréstimo de modo a preservar o seu poder aquisitivo. A correção moetária para estes fiaciametos se processa pela seguite forma: os valores moetários são calculados pela taxa de juros real. Quado do efetivo pagameto, as prestações, saldos devedores e juros são corrigidos moetariamete para a data do pagameto, de acordo com o ídice de correção moetária adotado. Aplicação: correção moetária em fiaciametos Exemplo 6.4: correção moetária pré-fixada. Cosidere um empréstimo cocedido a uma taxa real de juros de 12% aa para ser pago em 12 parcelas iguais postecipadas. Cosiderado uma iflação média de 35% aa, a taxa de juros do empréstimo será a seguite: (1 + i ap ) = (1 + i r ) * ( 1 + i cm ) =(1 + 0,12) * (1 + 0,35) (1 + i ap ) = 1,12 * 1,35 = 1,512 i ap = 0,512 aa ou 51,2% aa e todos os cálculos do modelo de fiaciameto serão feitos com esta taxa de juros. 190

191 Módulo 4 Exemplo 6.5: correção moetária pós-fixada. Você tomou um fiaciameto de Cr$ ,00 em julho de 19X1 para pagameto em quatro parcelas postecipadas, mesais sucessivas e costates a uma taxa de juros real de 1% am. Determie o quadro de amortização real e corrija os valores dos pagametos de acordo com os ídices de iflação da tabela 8. Solução: A solução - já vista em sistemas de amortização - é apresetada abaixo para a taxa de juros real de 1% am. -1 PMT PV *a [i%; ] *0, ,81 O valor 0, vem de tabelas fiaceiras para o par [1%;4]. Data Período PMT J A SDi k SDf k JulX , ,00 Ago X , , , ,19 Set X ,81 75, , , ,75 Out X ,81 50, , , ,43 Nov X ,81 25, , ,74-0,01 Retomado a tabela 8, pode-se determiar o ídice de correção moetária para cada mês, tomado julho como base. Mês IP j I i/jul =IP j /NI jul Jul 102,39 1,00000 Ago 103,30 1,00889 Set 104,17 1,01738 Out 105,18 1,02725 Nov 105,90 1,03428 Dez 106,80 1,04307 Os valores calculados acima para os meses de agosto, setembro, outubro e ovembro seriam multiplicados pelos ídices de correção correspodetes para efeito de pagameto. Assim, o pagameto da prestação de outubro será de: 191

192 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia PMT out = 2.562,81*1,02725 = 2.632,65 E o saldo devedor corrigido após esse pagameto será de: SD out = 5049,75*1,02725 = 5.187,35 Este é o processo de correção moetária pós-fixada, aplicado quado ão se quer arriscar uma estimativa de projeção de iflação. A correção é feita pela iflação que efetivamete ocorrer. A seguir de mostra o valor dos pagametos corrigidos. Mês IP j I i/jul =IP j /IP jul PMT PMT cor. Jul 102,39 1 Ago 103,3 1, , ,59 Set 104,17 1, , ,35 Out 105,18 1, , ,65 Nov 105,9 1, , ,66 Atividades de apredizagem 3. Em um ao o qual a iflação foi 25% uma aplicação de $ ,00 lhe redeu $ 3.200,00. Qual foi o seu gaho real descotada a iflação? R: $ 700,00 ou 5,6% aa. 4. Cosidere a veda de um ativo qualquer por um preço a vista de $ ,00. O cliete aceita uma proposta de pagar uma etrada de $ e o restate depois de 6 meses com uma taxa de juros real de 2% am. Cosiderado uma iflação média do período de 9% qual será o valor desse pagameto? R: $ 6.137, Você comprou um título com valor omial de % ,00 e vecimeto em 12 meses por $ ,03. Cico meses depois você foi ao mercado fiaceiro e vedeu esse título por $ ,00. A iflação esse período de cico meses foi de 10%. Quato você gahou e qual foi a taxa de juros auferida? R: $ 259,26, i = 0,63%. 192

193 Módulo 4 6. Você comprou um eletrodoméstico por $ 5.000,00 comprometedo-se com 12 pagametos mesais postecipados de $ 472,79. A iflação do período foi de 12%. Qual a taxa de juros real desse fiaciameto? R: 13,23% aa. 7. Dado o quadro de receitas abaixo, efetue uma avaliação do crescimeto da mesma o período. Use a tabela 8. Mês Receita Ago X ,00 Set X ,00 Out X ,00 Nov X ,00 Dez X ,00 Ja X ,00 193

194 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia RESUMO Esta uidade levou você a tomar cohecimeto do feômeo da iflação, dos ídices de preço e ídices de iflação e a aplicar esses coceitos para corrigir os valores fiaceiros e elimiar os efeitos da iflação os mesmos. Também foram vistos os coceitos de taxa de juros real e aparete e algus modelos de correção moetária pré-fixadas e pós-fixadas de valores moetários, com o uso de ídices de correção moetária. Chegamos ao fial desta uidade e do osso curso! Você cumpriu todas as atividades previstas esta uidade? Etedeu todas as questões? Caso aida teha algumas dúvidas, retore ao texto, cosulte o professor tutor, esclareça-as. Se sua resposta for positiva, ossos cumprimetos efusivos, pois você, depois de percorrer uma camiho árduo, chegou ao fial da jorada com aproveitameto. 194

195 Módulo 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF Neto, A. Matemática Fiaceira e suas aplicações. 9ª ed. São Paulo: Atlas, DE FRANCISCO, W. Matemática Fiaceira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, FARO, C. Fudametos de Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, SOBRINHO, J. D. V. Matemática Fiaceira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, MATHIAS, W. F.; Gomes, J. M. Matemática Fiaceira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos. 4ª ed. São Paulo: Atlas, PUCCINI, A. L. Matemática Fiaceira objetiva e aplicada. 7ª ed. São Paulo: Atlas,

196 Curso de Graduação em Admiistração a Distâcia Eresto Coutiho Puccii é egeheiro metalurgista (EPUSP/SP ), especialista em metalurgia uclear (EPUSP/SP- IEA/SP ), especialista em matemática (UFMS ) e mestre em Gestão da Produção Agroidustrial (UNIDERP/MS ). É Professor da UFMS desde 1968 e, desde 1980, resposável por disciplias ligadas à área de fiaças empresariais. 196