Matemática Financeira. Ernesto Coutinho Puccini

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3 Matemática Fiaceira Eresto Coutiho Puccii

4 Sumário Uidade 1 Coceitos fudametais, juros simples e compostos 1.4 Objetivos Coceitos fudametais Agete ecoômico, Capital Operação fiaceira Juros ou juro, Motate Valor presete, Valor futuro Valor omial Fluxo de caixa Juros simples e compostos Defiição de taxa de juros Juros simples e compostos Resumo Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples) Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Juro Motate Juro comercial Taxa de juros diária comercial, Juro comercial Descotos - descoto racioal e descoto comercial

5 3 Coceito de descoto Descoto racioal (por detro) Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) Equivalêcia de capitais Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto racioal Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto comercial Resumo Uidade 3 Regime de juros compostos Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Motate Capital ou valor presete Capitalização e descotos Taxas de juros em regime de juros compostos Taxa de juros efetiva Taxa de juros omial Taxa de juros equivalete Descoto em regime de juros compostos Descoto racioal ou real Valor presete de um fluxo de caixa Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa Equivalêcia de fluxos de caixa Resumo

6 4 Uidade 4 Redas ou auidades Objetivos Redas ou auidades Classificação das redas Estudo das redas Reda temporária, certa, periódica e postecipada Reda temporária, certa, periódica, imediata e postecipada Reda temporária, certa, periódica, diferida e postecipada Reda temporária, certa, periódica e atecipada Reda temporária, certa, periódica, imediata e atecipada Reda temporária, certa, periódica, diferida e atecipada Taxa de juros em redas Redas perpétuas Resumo Uidade 5 Sistemas de amortização Objetivos Itrodução Sistemas de prestação costate Tabela price Modelo de prestação costate diferido Modelo de prestação costate imediato

7 5 Sistema de amortização costate SAC Sistema do motate Sistema americao Sistema do sikig fud Resumo Uidade 6 Iflação e correção moetária Itrodução Ídices de preços Ídice e taxa de iflação (ou de correção moetária) Taxas de juros aparete e real Ídice de correção moetária como iflator e como deflator Fiaciametos com correção moetária Fiaciametos com correção pré-fixada Fiaciametos com correção pós-fixada Resumo

8 1 Apresetação Ao iiciar os estudos da disciplia Matemática Fiaceira, algumas pergutas ievitavelmete passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? qual a sua utilidade prática? ela fará alguma difereça em miha vida? Bem, o campo de aplicação dessa disciplia é bastate amplo pois suas técicas são ecessárias em operações de fiaciameto de quaisquer aturezas: crédito a pessoas físicas e empresas, fiaciametos habitacioais, crédito direto ao cosumidor e outras. Também são ecessárias em operações de ivestimetos mobiliários os mercados de capitais. Em ambas as situações, é o uso dessas técicas que permite cohecer o custo e o retoro dessas operações, permitido tomadas de decisão mais racioais; são elas também que permitem determiar o valor das prestações devidas pelas trasações efetuadas em parcelas. No mudo dos egócios, seu cohecimeto é absolutamete imprescidível, uma vez que os custos dos fiaciametos dados e recebidos são peças cetrais do sucesso empresarial. Este livro pretede lhe ajudar a desvedar essas técicas para que você possa gerir os seus iteresses fiaceiros com racioalidade e eficiêcia. A primeira uidade do livro é dedicada ao cohecimeto da omeclatura a ser utilizada ao logo do texto, à explicitação das pricipais variáveis cujas relações serão estudadas ao logo do livro e à coceituação de taxa de juros e regime de juros simples (capitalização simples) e de juros compostos (capitalização composta).

9 2 A seguda uidade estuda o regime de capitalização simples e a terceira uidade, o regime de capitalização composta. Para esses dois regimes de capitalização se estudam: suas relações fudametais, questões relativas às taxas de juros, operações de descotos e a equivalêcia de capitais. Itroduz-se também o coceito de valor presete líquido e de taxa itera de retoro de um fluxo de caixa (este último apeas para capitalização composta). O cohecimeto desses coceitos é ecessário para os estudos subseqüetes das redas e sistemas de amortização. A quarta uidade estuda as auidades ou redas: sua defiição, classificação e pricipais modelos. Para esses modelos o livro evidecia a relação de equivalêcia existete etre os pagametos (recebimetos) da reda, os seus valores presetes e futuro e as demais variáveis evolvidas. Essa uidade é itrodutória ao estudo dos sistemas de amortização costates da próxima uidade. A quita uidade estuda os diversos sistemas de amortização de dívidas que tem vasta aplicação prática. Especial ateção é dada aos modelos de prestação costate e amortização costate por sua relevâcia a vida cotidiaa. A sesta uidade itroduz o estudo da correção moetária de valores fiaceiros. O cohecimeto de suas técicas é importate porque a correção moetária se aplica a praticamete todos os cotratos com duração superior a um ao. No decorrer dos estudos lhe serão sugeridas atividades complemetares com a fialidade de facilitar o apredizado. O livro também traz algus istrumetos para iiciá-lo a utilização de calculadoras fiaceiras. Esperamos que você teha sucesso os estudos que se propôs a fazer ao iiciar esta disciplia. Nossos votos de um bom percurso!

10 Uidade 1 Coceitos fudametais. Juros simples e compostos

11 Uidade 1-5 Objetivos A primeira uidade do curso lhe apresetará a omeclatura que será utilizada o curso e algus coceitos iiciais que serão cetrais o desevolver das suas atividades, com êfase para: equação básica da matemática fiaceira, fluxo de caixa e taxa de juros. Esta uidade tem os seguites objetivos: idetificar de modo claro as variáveis evolvidas o estudo da matemática fiaceira; cohecer a omeclatura utilizada o curso; cohecer a equação fudametal da matemática fiaceira; costruir fluxos de caixa de operações fiaceiras; coceituar taxa de juros; compreeder a difereça etre regime de juros simples e regime de juros compostos. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; fuções e sua represetação gráfica. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

12 Uidade 1-6 Coceitos fudametais A Matemática Fiaceira é um corpo de cohecimeto que estuda a mudaça de valor do diheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do diheiro em diversos potos do tempo. Para iiciar o seu estudo, é ecessário que se estabeleça uma liguagem própria para desigar os diversos elemetos que serão estudados e que esses elemetos sejam cotextualizados com precisão. Os elemetos básicos do estudo da disciplia serão iicialmete vistos através de uma situação prática para, a seqüêcia, defiilos. Situação prática 1.1: Um gerete de uma empresa ecessita de um empréstimo o valor de R$ ,00 para ateder às ecessidades de capital do seu egócio. Um baco, após aalisar a solicitação auiu ao pedido e propôs um empréstimo que deverá ser pago após quatro meses; o baco depositará R$ ,00 a cota da empresa e esta pagará ao baco R$ ,00 ao fial dos quatro meses. A Matemática Fiaceira recohece que o diheiro tem valor o tempo. É ituitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. Veja um filme a respeito em: Essa situação permite a você, leitor, idetificar os elemetos básicos que serão estudados em Matemática Fiaceira. Nessa situação você pode ver que: existiu uma trasação fiaceira etre o baco e o cliete que será deomiada de operação fiaceira; essa operação fiaceira tem um valor iicial de $ ,00 que será deomiado de capital e um

13 Uidade 1-7 valor fial de $ ,00 que será deomiado motate; essa operação fiaceira tem uma duração de quatro meses; há uma difereça etre o motate e o capital que será deomiado juro da operação. Esse juro será um custo para a empresa e uma remueração para o baco; e existe um agete que empresta o diheiro e que é deomiado credor e um agete que toma o diheiro emprestado e que é deomiado devedor. Para saber mais... Vá a LC 1.1 e leia o texto ititulado Oferta e demada de moeda, dispoível em: O estudo da Matemática Fiaceira exige uma defiição precisa desses termos, o que é proposto a você as próximas págias. O autor cosidera ato ecoômico qualquer ato praticado por pessoas (físicas ou jurídicas) que teha coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática 1.1, mostrada acima, o ato ecoômico praticado foi o empréstimo feito pelo baco à empresa (porque gerou coseqüêcias fiaceiras para as duas partes).

14 Uidade 1-8 Agete ecoômico Agete ecoômico é qualquer etidade física ou jurídica capaz de praticar um ato ecoômico. Assim, etede-se por agete ecoômico qualquer pessoa, empresa ou istituição que possa praticar um ato ecoômico: uma veda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que teham coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática mostrada, a empresa e o baco são os agetes ecoômicos evolvidos. Capital Capital (C) é o valor de um ativo represetado por moeda e/ou direitos passíveis de uma expressão moetária, o iício de uma operação fiaceira. Na situação prática 1.1, o capital correspode ao valor de $ ,00. De acordo com essa defiição pode-se cosiderar como capital: umerário ou depósitos bacários dispoíveis; títulos de dívida expressos em valor o iício de um processo fiaceiro; ativos físicos devidamete avaliados: prédios, máquias, veículos e outros. Neste último caso, a avaliação deve ser aceita pelas partes evolvidas como sedo o valor correto do ativo o iício de um processo fiaceiro. Para que a caracterização de outras oções básicas importates seja feita com clareza, o capital será visto como um ativo que pode ser cedido por um (vários) agete(s) ecoômico(s) a outro(s), mediate codições previamete estabelecidas.

15 Uidade 1-9 Operação fiaceira Operação fiaceira é o ato ecoômico pelo qual determiado agete ecoômico possuidor de capital - deomiado credor - trasfere esse capital a outro agete ecoômico - deomiado tomador - mediate codições previamete estabelecidas, que ormalmete evolvem: a remueração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital; Essa trasferêcia de capital pode ser um empréstimo ou um ivestimeto. os prazos e formas de devolução do capital e da remueração acordada; as garatias de pagameto que o tomador apresetará ao credor. Este livro estudará os dois primeiros ites mas ão abordará o último. A operação fiaceira será sempre formalizada através de um documeto que, geericamete, será deomiado de título de crédito. Uma operação fiaceira pode evolver vários tomadores e vários credores. Cosidere uma operação fiaceira em que o credor cede um capital C ao tomador por um tempo costituído de períodos, ao fim do qual o tomador devolverá ao credor a soma do capital e da remueração acordada. Essa operação está sitetizada a figura 1.

16 Uidade 1-10 J M (VN) C Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = C +J Figura 1: Operação fiaceira Fote: elaborada pelo autor. A partir da cofiguração mostrada essa figura, podem-se defiir algus coceitos básicos da disciplia. Juros ou juro Juro (J) é o valor da remueração do capital (C) acordado etre o credor e o tomador em uma determiada operação fiaceira. Motate Deomia-se motate* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado a operação fiaceira e que é devido ao fial da mesma. Esta defiição mostra a você que se verifica a seguite relação: M = C + J GLOSSÁRIO *Motate é a soma do capital e do juro de uma operação fiaceira. que é deomiada equação básica da Matemática Fiaceira.

17 Uidade 1-11 Valor presete Valor presete (PV) é o valor de uma operação fiaceira a data presete. É um valor itermediário etre o motate (M) e o capital (C), coforme se pode ver a figura 2. i As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação PV para o valor presete ou atual. J C VP (VA) VF M(VN) data atual -1 Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = J + C Figura 2: Coceitos e defiições básicas Fote: elaborada pelo autor. Essa omeclatura se justifica para operações iiciadas o passado e que se prologam até uma certa data futura. Observe que, para uma operação fiaceira iiciada hoje o capital e o valor presete coicidem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utilizada como siôima de capital, apesar da difereça coceitual existete. Mais à frete você etederá o porquê desta simplificação. Valor futuro Valor futuro (FV) é o valor de uma operação fiaceira em qualquer data compreedida etre a data presete e o vecimeto da operação. Verifique a figura 2. De modo aálogo As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação FV para o valor futuro.

18 Uidade 1-12 ao valor presete e capital, também o valor futuro é, freqüetemete, tomado como siôimo de motate. Valor omial Valor omial (VN) é o valor de uma operação fiaceira costate do título de crédito que a documeta. Pode ser tato o valor iicial - capital -, como o valor fial da operação motate. Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao ivés de valor omial. Freqüetemete valor omial e valor futuro (FV) são tomados como siôimos apesar da difereça coceitual existete. Atividades de apredizagem 1. Retore à situação prática 1.1 descrita iicialmete e procure idetificar cada um dos elemetos defiidos em uma operação fiaceira. 2. Escreva com suas próprias palavras o coceito de juro. Costrua um exemplo de uma operação fiaceira que caracterize bem o coceito. 3. Dê o sigificado de valor omial. O valor omial é ecessariamete o capital? ou o motate? por quê? 4. Faça uma distição etre capital e valor presete. Crie um exemplo que ilustre, adequadamete, esses coceitos. Por que razão esses coceitos são usualmete vistos como siôimos? 5. Qual a fórmula básica da Matemática Fiaceira? 6. Discuta essas questões com seus colegas e formule uma resposta úica valedo-se do istrumeto Wiki

19 Uidade 1-13 Fluxo de caixa Situação prática 1.2: você etrou uma loja para comprar uma geladeira. O vededor lhe iforma que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Iforma também que o pagameto pode ser fiaciado em quatro pagametos iguais mesais de $ 400,00 através de uma istituição fiaceira (IF). Você faz a compra e opta pelo fiaciameto, de modo que terá quatro desembolsos mesais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A istituição fiaceira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mesais. A Figura 3 represeta graficamete as etradas e saídas de diheiro para cada um dos agetes evolvidos; isso é um fluxo de caixa*. GLOSSÁRIO * Fluxo de caixa é uma sucessão de etradas e saídas de diheiro (ou ativos expressos pelo seu valor moetário) o tempo. Figura 3: Etradas e saídas de diheiro o tempo. Fote: elaborada pelo autor.

20 Uidade 1-14 Essas etradas e saídas podem ser represetadas por um diagrama, deomiado diagrama de fluxo de caixa*, como mostrado a figura 3, a partir do qual se apotarão as coveções utilizadas para a sua elaboração. Regras para desehar um fluxo de caixa: o eixo das abscissas (horizotal) represetam-se os períodos de tempo; e GLOSSÁRIO * Diagrama de fluxo de caixa é a represetação gráfica ou em tabela de um fluxo de caixa. o eixo das ordeadas (vertical) represetam-se os valores das etradas e saídas de diheiro. Essas etradas e saídas são represetadas por flechas orietadas, idicativas dos valores cosiderados: etrada de diheiro: flechas com orietação positiva, saída de diheiro: flechas com orietação egativa. A dimesão dessas flechas ão cosidera a proporcioalidade etre elas e os valores represetados; as figuras são meramete qualitativas. Na figura 3 tem-se para: a istituição fiaceira: uma saída de caixa de 1.500,00 o tempo = 0 (zero) e quatro etradas de caixa sucessivas o valor de 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu beefício como cotrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamete, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela veda que lhe fez da geladeira.

21 Uidade 1-15 Os pagametos mesais de $ 400,00 são omialmete iguais, porém, fiaceiramete distitos, pois se referem a datas diferetes e ão são, portato, comparáveis. Para saber mais... Vá à leitura complemetar 1.2 Valor do diheiro o tempo dispoível em O fluxo de caixa também pode ser represetado em forma de tabela (S j = saída de caixa, E i = etradas de caixa), como mostrado abaixo para os três agetes evolvidos. Tabela 1: Fluxos de caixa de um fiaciameto. Fote: elaborada pelo autor.

22 Uidade 1-16 A Matemática Fiaceira estuda as iter-relações etre essas diversas variáveis e os seus problemas estão basicamete relacioados com etradas e saídas de diheiro o tempo. Nuca deixe de cosiderar que uma operação fiaceira evolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamete simétricos. A que é etrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra parte e vice-versa; verifique essa simetria o seu fluxo de caixa e o fluxo de caixa da IF. Atividades de apredizagem 7. Costrua o seu fluxo de caixa para um fiaciameto em aquisição de um eletrodoméstico cujo valor à vista é $ 1.000,00 e pelo qual você vai pagar 4 prestações mesais, sucessivas, iguais, o valor de $ 280,00 cada uma, vecedo a primeira em 30 dias da data da compra. 8. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao Baco um total de $ 1.300,00:1. Idetifique o capital, o motate e determie o valor do juro devido, 2. Costrua o fluxo de caixa, observado as coveções dadas. 9. Você foi a uma loja e comprou uma TV as seguites codições: uma etrada de $ 100,00 e mais dois pagametos a 30 e 60 dias o valor de $ 150,00 cada. Costrua o fluxo de caixa dessa operação para você a qualidade de comprador e para a loja a qualidade de vededora. Compare os dois fluxos de caixa. 10. Um baco cocedeu um empréstimo para uma pessoa o valor de $5.000,00 que deverá ser pago daqui a três meses. Costrua os fluxos de caixa do baco e do tomador do empréstimo.

23 Uidade Um carro o valor de $ ,00 foi fiaciado para pagameto em 12 parcelas iguais e mesais de $ 2.450,00, vecedo a primeira daqui a um mês. Costrua os fluxos de caixa associados ao fiaciador e ao fiaciado. Discuta as soluções dessas questões com seus colegas os chats.

24 Uidade 1-18 Juros simples e juros compostos Este tópico procurará levá-lo a eteder o coceito de custo fiaceiro e a cohecer os modos pelos quais se calcula o juro devido em uma operação fiaceira. Uma vez mais, se utilizará uma situação prática cocreta para que você seja levado a perceber a ecessidade de mecaismos de comparação etre situações semelhates, mas ão iguais. Situação prática 1.3: uma empresa ecessita de certo volume de capital para ateder as ecessidades do seu egócio. Ela tem em mãos duas propostas feitas por bacos: uma delas para receber $ ,00 hoje e pagar $ ,00 após quatro meses; e uma seguda para receber hoje $ ,00 e pagar $ ,00 daqui a quatro meses. Imagie que as duas propostas atedam as ecessidades da empresa e se pergute: qual a melhor proposta? O juro da primeira proposta é de $ ,00 equato que o juro da seguda proposta é $ ,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são diretamete comparáveis, porque suas bases iiciais são diferetes ($ e $ ); assim, tora-se difícil verificar qual a melhor das duas propostas. Nesta Uidade serão tratados algus coceitos que ajudarão a fazer esse julgameto. Defiição de taxa de juros A grade preocupação dos agetes fiaceiros é saber o custo do diheiro os mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros (i)* que represeta o custo de cada uidade de capital por GLOSSÁRIO * A taxa de juros (i) é a relação etre os juros gerados uma operação fiaceira e o capital ela empregado para cada uidade de tempo.

25 Uidade 1-19 uidade de tempo. Assim, a taxa de juros (i)*, expressa em forma uitária, é a relação etre o juro gerado uma operação fiaceira e o capital ela empregado; observe que essa taxa de juros está relacioada com o tempo da operação fiaceira. Deomie-se de J o valor do juro gerado por um capital C um determiado tempo, expresso em úmero de períodos; a taxa de juros para esse itervalo de tempo, expressa em forma uitária, é defiida como: J i = ap (1.1) C ap = ao período (de tempo) Essa taxa de juros pode ser expressa também em forma percetual, bastado ajustar a fórmula acima. J i = *100 % ap (1.2) C Importate! Os úmeros que expressam a taxa de juros são acompahados de uma expressão que idica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguite forma: ad = am = ab = at = aq = as = ao dia; ao mês; ao bimestre; ao trimestre; ao quadrimestre; ao semestre; e aa = ao ao. Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a taxa de juros?

26 Uidade 1-20 Solução: a resposta vem da própria defiição de taxa de juros e dos dados, a saber: C = 1.000,00 J = 20,00 Aplicado as fórmulas da taxa de juros (1.1 e 1.2), tem-se: i = J/C = 20/1000 = 0,02 ab (ao bimestre ) Forma uitária i = (J/C) x 100 = 2% ab (ao bimestre) Forma percetual Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 60,00 em seis meses. Qual a taxa de juros? Solução: aáloga ao exemplo aterior: C = 1.000,00 J = 60,00 i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma uitária i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percetual Observe, em cada caso, a referêcia temporal; o primeiro exemplo, a taxa de juros está expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, equato, o segudo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período o qual os juros foram gerados. Essa referêcia temporal é essecial e ão pode ser esquecida. Com essas defiições, retome a situação prática 1.3 e procure verificar qual o custo de cada proposta. Primeira proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: i = J C = = 0,2 aq ou

27 Uidade 1-21 J i = = * 100 = 20% aq (ao quadrimestre) C Seguda proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: J i = = = 0,221 aq ou C J i = = * 100 = 22,10% aq C Etão o custo do diheiro para a primeira proposta é 20% aq e para a seguda proposta é 22,10% aq. A comparação é agora direta e imediata e o levaria a escolher a primeira proposta por ser a mais barata. Observe que a uidade de tempo utilizada é o quadrimestre (4 meses). Juros simples e compostos Situação prática 1.4: dois bacos matém uma liha de crédito que empresta e credita em cota do iteressado de $ 1.000,00, com taxa de juros de 10% aa (ao ao) em 10/10/X0 para ser pago itegralmete, de uma só vez, em 5 aos, ao fial da operação fiaceira. Etretato, o baco Alfa exige um pagameto de $ 1.500,00 ao fial dos cico aos e o baco Beta um pagameto de $ 1.610,51 ao fial do mesmo período. Como pode ser isto? A taxa de juros, os prazos e os capitais ão são os mesmos? Como esses resultados podem ser diferetes?

28 Uidade 1-22 A resposta a essa questão se prede ao fato de existirem dois regimes de juros, deomiados regime de juros simples ou de capitalização simples e regime de juros compostos ou de capitalização composta com lógicas iteras de cálculo diferetes. A seguir mostram-se os cálculos fiaceiros dos dois bacos. Regime de juros simples ou de capitalização simples. O baco Alfa usa este regime o qual o juro periódico é calculado sempre sobre o valor iicial da operação (C). A fórmula aplicada é aquela mostrada a defiição de taxa de juros (1.1): J i = ou J = C * i C O saldo devedor (capital mais juros) cresce uma progressão aritmética de razão igual a 100, como pode ser visto a Tabela 2, abaixo. Tabela 2 Regime de juros simples Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) ão se altera ao logo do tempo.

29 Uidade 1-23 Neste regime de juros, a base de cálculo é sempre o capital iicial (C = $ 1.000), e você pode observar que o juro devido em cada período de icidêcia é costate. A base de cálculo ão se altera ao logo do tempo. Os juros gerados em cada um dos períodos são registrados, mas só serão pagos ao fial da operação fiaceira; ou seja, somete ao fial da operação fiaceira os juros devidos são agregados ao capital iicial para ova operação ou para pagameto e liquidação da operação atual. Regime de juros compostos ou de capitalização composta: O baco Beta se vale deste regime o qual o juro gerado em cada período é somado ao saldo do período imediatamete aterior e passa por sua vez a sofrer icidêcia de juros; a este processo de se somar o juro do período aterior ao saldo iicial do período presete para costituir uma ova base de cálculo do juro, se dá o ome de capitalização de juros. Por coseqüêcia, a base de cálculo dos juros muda sucessivamete pela agregação dos juros do período aterior. A Tabela 3 mostra isso com clareza. A fórmula para cálculo se trasforma em: i = J SD i ou J = SD i * i e este saldo iicial de período só coicide com o capital C o primeiro período, coforme se pode ver a tabela 3.

30 Uidade 1-24 Tabela 3 Regime de juros compostos. Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SD i ) se altera período a período pela capitalização do juro do período aterior. A capitalização (agregação dos juros itermediários ao capital) dos juros itermediários é a resposável pela difereça ($1.610,51 e $1.500) observada os resultados fiais obtidos em cada um dos sistemas de juros. Atividades de apredizagem 19. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao baco um total de $ 1.300, Determie a taxa de juros da operação em suas formas uitária e peetual, 2. Qual seria a taxa de juros se a operação fosse feita com um prazo de 90 (oveta) dias? R: a) 30% ab (ao bimestre); b) 30% at (ao trimestre) 20. O Baco Fêix emprestou a João Cordeiro $ 5.000,00 por um prazo de 90 (oveta) dias a uma taxa de juros de 15% at (ao trimestre). Que motate João deverá pagar ao Baco Fêix ao fial da operação? R: M = 5.750,00.

31 Uidade O Baco Fêix emprestou a Pedro Cardoso $ 5.000,00 a uma taxa de juros covecioada de 5% am (cico por ceto ao mês). Esse empréstimo deverá ser pago de uma só vez ao fial de quatro meses. Determie o motate a ser pago: (1) em regime de juros simples e (2) em regime de juros compostos. R: 1) 6.000,00; 2) 6.081,84. Dica: costrua a plailha para cálculo de juros. 22. Uma operação fiaceira feita por um período de seis meses a uma taxa de juros de 20% determiou um motate de $ 1.000,00. Qual o valor do capital origiário? R: C = $ 833,33. Resumo Esta uidade lhe colocou em cotato com a omeclatura básica da disciplia, permitido-lhe o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso. Você também apredeu a equação básica da Matemática Fiaceira e o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação. A seguir, você etrou em cotato com a defiição de taxa de juros e os modelos de formação dos juros os regimes de capitalização simples e composta. É importate ressaltar que a difereça etre os dois regimes de juros decorre do tratameto dado aos juros itermediários. No regime de capitalização simples, os juros itermediários são apeas créditos devidos ao iteressado, que ão iterferem a base de cálculo dos juros de períodos futuros. No regime de capitalização composta os juros itermediários são agregados ao pricipal para o cálculo dos juros de períodos futuros, determiado mudaças a base de cálculo.

32 Uidade 1-26 Você fez as leituras do texto base e dos textos complemetares, executou as atividades, resolveu os exercícios propostos e etedeu perfeitamete todos os potos? Se a resposta for egativa retore aos potos ão compreedidos ou ão lidos ou aida às atividades e exercícios ão executados até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está de parabés. Como resultado do seu esforço você coheceu a Uidade I a omeclatura básica da disciplia que lhe permite o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso, apreedeu a oção de valor de diheiro o tempo, a equação básica da matemática fiaceira, o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação, a defiição de taxa de juros (que é o custo do diheiro) e o mecaismo de operação dos regimes de juros simples e de juros compostos. Portato, você está apto a iiciar a seguda uidade do curso.

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34 Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples)

35 Uidade 2-2 Objetivos da uidade Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros simples, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto de títulos e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples; idetificar taxas de juros proporcioais e equivaletes; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização simples. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos a uidade 1. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

36 Uidade 2-3 Itrodução Nesta uidade você etrará em cotato com as fórmulas básicas para cálculos em regime de capitalização simples, com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes e com uma das pricipais aplicações práticas deste regime de juros, qual seja, a operação de descoto de títulos comerciais. Esta uidade também se valerá de situações práticas que o levem a perceber a importâcia do objeto de estudo. Fórmulas básicas Situação prática 2.1: você, ecessitado de recursos para operar seus egócios, se dirige a um baco e solicita um empréstimo de $1.000,00 para pagar em uma úica vez o fial de cico (5) aos. O gerete, após aalisar seu comportameto de crédito, aui ao seu pedido e lhe iforma que a liha de fiaciameto opera com uma taxa de juros de 15% aa e em regime de juros simples. Qual o valor que deverá ser reembolsado ao baco ao fial de operação? Juro Você poderá respoder essa questão utilizado-se da fórmula (1.1) vista a uidade 1 para o cálculo de juros. O juro icide aualmete sobre o empréstimo a uma taxa de 15% aa de modo que para cada ao decorrido do iício da operação o baco terá direito a um juro expresso por: J = C * i ou lembrado que, Observe a taxa de juros que está expressa a forma uitária (15%/100).

37 Uidade 2-4 C= 1.000,00 e i = 15%aa J = 1.000,00 * 0,15 = 150,00 Observe que a temporalidade da taxa de juros é o ao; assim, o tempo do empréstimo pode ser dividido em cico (5) períodos de ao que correspodem a cico (5) períodos auais de icidêcia de juros. Os cálculos completos podem ser vistos a tabela 4. Tabela 4 Formação de juros simples Fote:elaborada pelo autor. Essa tabela mostra os juros auais, que correspodem a $ 150,00 e o total dos juros de $ 750,00 que é dado pela soma do juro de cada período. Assim: J = J 1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 Mas observe que: J 1 = J 2 = J 3 = J 4 = J 5 = C*i Assim: J = C*i + C*i + C*i + C*i + C*i 05 (cico) períodos Expressão essa que fatorada o leva a: J = (C * i) * 5 Substituido os valores dados o euciado segue, J = * 0,15 * 5 = $ 750

38 Uidade 2-5 O úmero 5 (cico), de períodos de icidêcia de juro, aparece como multiplicador do fator C*i; esta costatação permite uma geeralização (utilizado o método da idução fiita*) para períodos de icidêcia; substituido o úmero 5 por a expressão acima resulta a fórmula geral de juros em regime de juros simples e as fórmulas derivadas que são mostradas a seguir: J = C * i * J C = i * J i = (2.1) C * GLOSSÁRIO *Idução fiita é um método matemático utilizado para validar a geeralização de uma fórmula matemática. Com essa fórmula a resposta parcial à situação prática 2.1 seria simplesmete: J = C*i* = 1.000*0,15*5 = 750,00 Sem a ecessidade de se costruir a tabela 4. No regime de juros simples, a remueração do capital (juro) é diretamete proporcioal ao valor do capital e ao tempo, e é devida somete ao fial da operação fiaceira cosiderada. A figura 4 ilustra o exemplo dado e permite algumas coclusões. Nessa figura o(s) poto(s) 1(2,3,4,5) represeta(m) o fial do primeiro (segudo, terceiro, quarto, quito) período(s). A figura em questão explicita: M = C = J = Tempo (períodos) Figura 4: Comportameto dos juros. Fote: do autor. o capital cresce liearmete com o tempo;

39 Uidade 2-6 o capital cresce em progressão aritmética de razão J = C*i Observe: os juros só estarão dispoíveis para o credor o fial da operação fiaceira; as fórmulas foram deduzidas com base a taxa de juros expressa em forma uitária. Se a taxa de juros for expressa a forma percetual, ela deverá ser reduzida à sua forma uitária (dividir por 100) ates da aplicação das fórmulas; e a taxa de juros i e o tempo deverão estar expressos a mesma temporalidade (em forma compatível). Assim, se a taxa de juros for expressa em aos ( aa ), o tempo deverá estar expresso em aos, se a taxa de juros for expressa em meses ( am ) o tempo deverá estar expresso em meses e assim por diate. Exemplo 2.1: foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% a.a. Qual o valor do juro gerado essa operação? Figura 5: Juro de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor.

40 Uidade 2-7 Solução: a) a figura 5 mostra o problema em forma gráfica para visualizá-lo melhor. No primeiro mometo ão se cohece o valor de J (é claro!). b) fazer o resumo de dados como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa J =? c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula 2.1. Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i% aa /100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: J = C*i* = 1.000*0,10*3 = 300,00 Motate O motate, coforme defiido ateriormete, é o resultado da capitalização da operação, isto é, represeta o capital origiário acrescido do juro devido a operação. A fórmula geral do motate pode ser deduzida a partir da sua defiição (fórmula básica da MF) e da expressão geral dos juros (2.1): M = C + J e J = C * i * (2.1) Substituido a expressão de M o valor de J dado por (2.1), tem-se, M = C + C * i * Esta expressão, após as devidas trasformações algébricas, produz a fórmula geral do motate e suas fórmulas derivadas, mostradas a seguir: M = C * (1+ i * ) (2.2) C = M 1+ i * (2.3)

41 Uidade 2-8 (M/C) 1 i = (2.4) (M C) 1 = (2.5) i Exemplo 2.2: Foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% aa. Qual o valor do motate ao fial dessa operação? Solução: a) colocar o problema em forma gráfica para visualizá-lo melhor. No primeiro mometo ão se cohece o valor de M (é claro!). Figura 6 Motate de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor. b) fazer o resumo de dados como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa M =? c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula 3.2. Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i%aa/100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: M = C*(1+i*) = 1.000*(1+0,10*3) = 1.000*(1+0,3) = 1.000,00*1,3 = 1.300,00 Esse exercício poderia ser solucioado acrescetado-se o juro calculado em exercício 2.1 ao capital, valedo-se da fórmula básica da matemática fiaceira, ou seja: M = C + J = = 1.300,00

42 Uidade 2-9 Itrodução ao coceito de equivalêcia fiaceira*: a situação prática 2.1 e o exemplo 2.2, diz-se que, o motate é equivalete ao capital para a taxa de juros e pelo prazo cosiderados. Na situação prática 2.1, o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.750,00 para a taxa de juros de 15% a.a. e pelo prazo de 5 aos; o exemplo 2.2 o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.300,00 para a taxa de juros de 10% a.a. e para o prazo de três aos. GLOSSÁRIO *Equivalêcia fiaceira - o capital é equivalete ao motate para a taxa de juros e pelo prazo cosiderados a operação. Taxas proporcioais e equivaletes Defiição: duas taxas i 1 e i 2 relativas aos períodos 1 e 2 são proporcioais quado observarem a relação de proporcioalidade mostrada em (2.6): i1 i2 1 2 = (2.6) devedo os tempos 1 e 2 estarem expressos a mesma uidade de tempo. Uma maeira mais imediata para você tratar taxas proporcioais: tome-se um tempo para o qual está defiida uma taxa de juros i e subdivida-o em k períodos; qual a taxa de juros proporcioal a i para esse subperíodo k? Basta dividir a taxa i pelo úmero de períodos k cotidos em : i k = i 1 * k Exemplo 2.3: coverta a taxa de juros de 12% aa em taxa de juros mesal por proporcioalidade. Solução: aplicar a codição de proporcioalidade, observado que o tempo deve estar expresso as mesmas uidades (o caso 1 mês e 12 meses). Situação 1 i 1 = x% am 1 = 1 mês

43 Uidade 2-10 Situação 2 i 2 = 12% aa 2 = 1 ao =12 meses x 1 = ou x = i1 = 1% am ou seja: 1% am é a taxa mesal proporcioal a 12% aa. Pelo segudo modo: lembre-se de que o ao tem 12 meses, portato, k =12, e ik = i * im = ia * = 12% * = 1% am k Defiição: duas taxas i 1 e i 2 são ditas equivaletes quado, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo motate. Exemplo 2.4: verifique se 1% am e 12% aa são taxas equivaletes. Tome como referêcia um capital de $ 1.000,00. Solução: aplicado a fórmula (2.2), tem-se: a) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 12 meses a 1% am será: C = $ i 1 = 1% am 1 = 12 meses Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (mês). M 1 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,01*12) = $ b) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 1 ao a 12% aa será: C = $ i 2 = 12% aa 2 = 1 ao Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (ao). M 2 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,12*1) = $ Os motates, M 1 e M 2, gerados as duas situações propostas são iguais, o que mostra que as taxas de juros de 1% am e de 12% aa são taxas equivaletes, em regime de juros

44 Uidade 2-11 simples. Combiado os resultados dos exemplos 2.3 e 2.4, pode-se cocluir: Em regime de juros simples as taxas proporcioais são também equivaletes. Exemplo 2.5: calcule a taxa de juros mesal proporcioal à taxa de juros de 18% a.a.. Solução: basta aplicar a fórmula da proporcioalidade aos dados i 1 =? 1 = 1 mês i 2 = 18% aa 2 = 1 ao = 12 meses i i 1 2 = 1 2 i 1 1 = i 1 = 1,5 % am ou aida, ik = i * im = ia * = 18 * = 1,5% am k k =12 porque um ao se divide em 12 meses. Até este poto você estudou a modelagem básica do regime de juros ou de capitalização simples e suas fórmulas básica que relacioam: capital, motate, tempo e taxa de juros e os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes. Este cojuto de cohecimetos que será sedimetado com as atividades que seguem, permitirá a você avaçar um pouco mais o tópico de capitalização simples. Atividades de apredizagem 1. Calcular as taxas mesais e trimestrais proporcioais a 30% as. Resp.: i m = 5 % am, i t = 15 %at

45 Uidade Calcular as taxas mesais, trimestrais, quadrimestrais e semestrais proporcioais à taxa de 12% aa. Resp.: i m = 1 % am, i t = 3 % at, i q = 4% aq, i s = 2% as. 3. Calcular o motate de $ ,00 aplicado por: a) 6 (seis) meses a 2% am, b) 10 (dez) meses a 12% aa, e c) 65 (sesseta e cico) dias a 2,5% am. Resp.: (a) ,00, (b) ,00, (c) ,66 4. Uma aplicação gerou um motate de $ ,00. Os juros gerados a aplicação foram de $ 2.400,00 e o prazo da mesma foi de 3 (três) meses. Determiar: (a) o capital aplicado, e (b) a taxa de juros mesal da aplicação. Resp.: (a) ,00, (b) 6,15% am 5. Determiar o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em quato tempo triplicará? Resp.: (a) 20 meses, (b) 40 meses. 6. O valor omial de um título é 5/3 (cico terços) do seu valor atual. Sedo o prazo de aplicação de 8 (oito) meses, qual a taxa de juros mesal aplicada? Resp.: i = 8,33% am 7. Qual deve ser o prazo de aplicação de um capital a 30% aa para que os juros gerados correspodam a 4 vezes o valor do capital? Resp.: 13,33 a Juro comercial É coveiete, em algumas situações, fazer uma distição etre o ao civil (365 dias) e o ao comercial (360 dias). Essas situações ocorrem quado existe a ecessidade de se trabalhar com taxas de juros expressas em dias. Algumas aplicações executam seus cálculos com base em taxas de juros diárias, mas expressam essas taxas de juros em termos mesais ou auais; portato, tora-se ecessária a utilização de taxas proporcioais

46 Uidade 2-13 diárias e para o seu cálculo é obrigatória a defiição de uma base de cálculo: a) ao civil de 365 dias ou b) ao comercial de 360 dias. A base de cálculo escolhida (360 ou 365 dias) leva às defiições de juros exatos (base 365 dias) e juros comerciais (base 360 dias). Este livro se aterá exclusivamete aos juros comerciais adotado o ao de 360 dias e o mês de 30 dias. Taxa de juros diária comercial A taxa de juros diária comercial (i dc ) é calculada divididose uma taxa de juros expressa em ao (i a ) por 360 dias (a base de cálculo é o ao comercial de 360 dias): ia idc = (2.7) 360 Juro comercial É o juro obtido quado o período está expresso em dias e se utiliza para os cálculos a taxa de juros diária comercial e o prazo em dias, de acordo com a expressão abaixo: J c = C*i dc * i dc expresso em dias taxa de juros diária comercial Que combiada com a expressão (2.7) dá os juros comercias obtidos para um período expresso em dias e para taxa de juros expressa em ao: C * ia * Jc = 360 (2.8) Exemplo 2.6: cosidere um ivestimeto que promete remuerar o capital a 15% aa, em regime de juros simples. Se o

47 Uidade 2-14 ivestidor pretede mater o seu capital de $ 1.000,00 ivestido por 60 dias que motate receberá ao fial? =? Sumário de dados: i = 15% aa, = 60 dias, C= 1.000,00, M Solução: deve-se calcular a taxa de juros diária proporcioal (ou equivalete) e calcular o motate com base essa taxa. a) Fórmula a ser aplicada: M = C*(1 + i*) com e i expressos em dias. b) Cálculo de i d tomado o ao comercial como base: i d = 15/360 = 0, % ad c) Trasformado a taxa de juros para sua forma uitária: id = 0,041667/100 =0, ad d) Aplicado a fórmula: M = 1.000* (1 + 0, *60) = 1.025,00 Descotos - descoto racioal e descoto comercial Uma operação fiaceira etre dois agetes ecoômicos é ormalmete documetada por um título de crédito comercial, devedo esse título coter todos os elemetos básicos da operação correspodete. Esses títulos é que vão ser utilizados em operações de descoto que são o objeto de estudo deste tópico. Títulos muito utilizados pelos agetes ecoômicos são: a Nota Promissória e a Duplicata Mercatil e de Serviços. Saiba mais... Cosulte:

48 Uidade s/modelos/diversos/otapromissoria.htm. presarial/capítulo_12_empresarial_pr.pdf Coceito de descoto O problema do descoto surge quado o detetor de um título de crédito ecessita trasformá-lo em diheiro ates da data do vecimeto; esse caso, ele poderá egociar com um agete fiaceiro que lhe atecipará um valor iferior ao valor omial. Figura 7: Coceito de Descoto Fote: elaborada pelo autor. A difereça etre o valor omial do título e o valor pago por ele, uma certa data (aterior a data do vecimeto), é o que se chama descoto. Assim, D = FV PV (2.9) ode: D FV (VN) descoto valor omial do título (o vecimeto);

49 Uidade 2-16 PV Fiaceiro). valor atual do título (pago pelo Agete Esse coceito pode ser mais bem visualizado a figura 7. Exemplo 2.7: seja um título de dívida com as seguites características: data de emissão: 1/1/X7; data de vecimeto: 1/1/X8; favorecido: João de Souza; emitete: Alberto José; e valor omial o vecimeto: $ 1.000,00. Em 1/3/X7, João de Souza vai ao Baco X e propõe ao mesmo descotar esse título. O Baco, após aalisar a questão, resolve pagar a João a quatia de $ 800,00 pelo título aquela data. Na operação de descoto o baco ão assume a resposabilidade plea pelo título: João de Souza é solidário com Alberto José em sua dívida perate o baco. Em caso de iadimplêcia de Alberto, João deverá pagar o título ao baco. Para o exemplo acima, que pode ser visualizado a figura 8, tem-se o seguite resumo de dados: - VN = FV = $ valor de compra = PV = $ descoto: D = FV - PV = = $ 200 Em outras palavras, o Baco X despedeu $ 800,00 em 1/3/X7 a favor de João e receberá $1.000,00 de Alberto em 1/1/X8, percebedo, portato, $ 200,00 pela prestação desse serviço. A figura 8 ilustra o problema. Observe que a solução deste exemplo o valor iicial à vista que origiou o título de dívida (o capital) ão foi levado em cota; esta é uma situação comum em fiaças porque a operação fiaceira se origiou em codições diferetes das de hoje e o que iteressa é o hoje e o amahã, e ão o passado.

50 Uidade 2-17 Figura 8: Descoto de título Fote: elaborada pelo autor. O objetivo desta seção é mostrar a você as formas corretes de cálculo desse descoto em regime de capitalização simples, que são: a) o descoto racioal ou por detro e b) o descoto comercial ou por fora; este último é aida deomiado descoto comercial. Descoto racioal (por detro) A operacioalização do cálculo do descoto pode ser feita por duas formas. A primeira é o chamado descoto racioal ou por detro e para sua defiição será adotada a seguite omeclatura: FV PV i r valor omial; valor atual ou valor descotado; taxa de juros de descoto por período; tempo ou tempo de atecipação, em períodos (tempo que decorre etre a data do descoto e a data de vecimeto do título); e Dr descoto racioal ou por detro.

51 Uidade 2-18 GLOSSÁRIO * Descoto racioal - o valor do juro gerado pelo valor PV o tempo e a uma taxa de Figura 9: Descoto racioal - RJS Fote: elaborada pelo autor. juros i r. Defie-se o descoto racioal* como o valor do juro gerado o tempo e à taxa de juros i r, calculado sobre o valor PV. A figura 9 ilustra as demostrações que seguem. Da defiição de descoto racioal tem-se: Dr = PV * idr * (2.10) Da figura 9, percebe-se claramete que: Dr = FV - PV Reordeado essa equação, tem-se: FV = PV + D r Substituido D r pela expressão (2.10), vem: FV = PV + PV * i * Dr = FV - PV r da qual decorre: FV = PV * (1+ idr * ) (2.11) e também, FV PV = (1+ idr * ) (212) As expressões (2.10) e (2.12) combiadas resultam em:

52 Uidade 2-19 FV * idr * Dr = (2.13) (1+ idr * ) Em descoto simples racioal a base de cálculo é o capital iicial ou valor presete. Se você observar cuidadosamete as fórmulas acima verá que o descoto racioal correspode ao juro simples (J) da operação proposta; em outras palavras, o descoto racioal se vale de todas as fórmulas vistas para juros simples, por operar esse regime. Os problemas evolvedo D r podem ser catalogados em três tipos, como mostrado a seguir: Tipo 1: cohecidos FV, i r e, calcular D r. Este tipo de problema é resolvido pela fórmula (2.13) FV * ir * Dr = (1 + ir * ) Exemplo 2.8: um título de valor omial de $ 5.000,00 que vece daqui a 60 dias é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebido pelo detetor do título? Sumário de dados: FV = 5.000, = 2 meses, i = 4% am Solução: é o caso mais típico de descoto de títulos. A taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: FV * ir * * 0,04 * D = = = (1+ ir * ) (1+ 0,04 * 2) 1,08 r = $ 370,37 b) O portador do título receberá: PV = FV Dr = ,37=

53 Uidade 2-20 PV = $ 4.629,63 Tipo 2: cohecidos D r, i r e, calcular FV. O problema é resolvido pela mesma fórmula aterior, só que devidamete reordeada: D * (1 ir * ) FV = ir * r + Exemplo 2.9: um título que vece daqui a 60 dias foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor omial e o valor presete desse título? Sumário de dados: FV =?, Dr = 370,37, = 2 meses, i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: Dr * (1+ ir * ) 370,37 * (1+ 0,04 * 2) FV = = ir * 0,04 * 2 FV = 5.000,00 399,99 FV = = 4.999,995 = 5.000,00 0,08 b) O portador do título receberá: PV = FV Dr = ,37= PV = $ 4.629,63 Tipo 3: cohecidos FV ou PV, D r e i r, calcular. O problema é resolvido com o auxílio das fórmulas (2.9) e (2.11): FV = PV + D r FV PV = (1+ ir * )

54 Uidade 2-21 Exemplo 2.10: um título de valor omial $ 5.000,00 foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o prazo de atecipação do título? Sumário de dados: FV = 5.000,00, Dr = 370,37, =?, i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso meses. a) Pode-se calcular PV com a fórmula (2.9) e a seguir aplicar a fórmula (2.11): FV = PV + D r = PV + 370,37 PV = ,37 = $ 4.629,63 FV PV = (1+ ir * ) FV FV FV (1+ ir * ) = ir * = 1 = 1 * PV PV PV substituido os valores, tem-se, 1 i r FV = 1 * PV 1 i r = ,63 1 * 1 0,04 = 1,99999 meses ou 2 meses b) o exemplo pode ser solucioado utilizado-se a fórmula (2.13) recomedada para os tipos 1 e 2. D * (1 ir * ) FV = FV * ir * = Dr + Dr * ir * ir * r r + FV * i * - D * i * = D * (FV * ir - Dr * ir ) = Dr r r r Dr = FV * i - D r r * i r Dr = ir * (FV - D r ) = i r Dr 370,37 = = 1,99999 ou 2 meses * (FV - D ) 0,04 * ( ,37) r

55 Uidade 2-22 Exercícios resolvidos para ajudá-lo a fixar coceitos. Exercício 2.1: determiar o descoto racioal e o valor atual das hipóteses seguites: Valor Nomial Taxa Prazo até Vecimeto a) $ ,00 23% a.a. 3 meses b) $ 8.200,00 20,5% a.a. 1 ao e 2 meses Solução: a) Problema do tipo 1 usar a fórmula (2.13), D r FV * ir * = substituido-se os valores (1 + i * ) * (0,23/12) * D r = = = 0,23 1,0575 (1+ * 3) 12 $ 543,74 O valor presete ou atual é dado por: PV = FV Dr = ,74 = 9.456,26 b) Problema do tipo 1 usar a fórmula (2.13) valores D r FV * ir * = substituido-se os (1 + i * ) * (0,205/12) * ,16 D r = = = 0,205 1, (1+ * 14) 12 $ 1.582,65 O valor presete ou atual é dado por: PV = FV Dr = ,65 = 6.617,35 Observe que as taxas de juros mesais foram calculadas por proporcioalidade e colocadas em forma uitária. Exercício 2.2: o descoto racioal para um título de valor omial $ 600,00 e prazo de atecipação de 5 meses foi $ 57,63. Qual é a taxa de juros aplicada? Sumário de dados: D r = 57,63, FV = 600, i =? = 5 meses

56 Uidade 2-23 Solução: lembrar a relação etre PV, FV e D r D r = FV PV 57,63 = 600 PV PV = 542,37 A seguir aplicar a fórmula do descoto racioal: D r = PV * i * 57,63 = 542,37 * i * 5 57,63 i = = 542,37 * 5 0,02125 am ou 2,125 % am Exercício 2.3: um título de valor omial $ 1.300,00 foi resgatado ates de seu vecimeto; o descoto racioal foi de $ 238,78. Qual o prazo para o vecimeto desse título se a taxa de juros aplicada foi 27% a.a.? =? Sumário de dados: FV = 1.300, Dr = 238,78, i = 27% aa, Solução: problema do tipo 3 para o qual se usam as fórmulas (2.9) e (2.11), D r = FV PV 238,78 = PV PV = ,78 = 1.061, 22 Aplicar agora a fórmula básica de descoto racioal simples, D r = PV * i * 238,78 = 1.061,22 * 0,27 * 238,78 = = 1.061,22 * 0,27 0,8333 a Covertedo para meses por regra de três simples, = 0,8333*12 =9,9996 ou 10 meses

57 Uidade 2-24 A resposta poderia ser obtida diretamete em meses se você utilizasse a taxa de juros expressa em meses (i m = 27/12 = 2,25% am) Exercício 2.4: um título foi resgatado 145 dias ates do seu vecimeto sedo egociado uma taxa de juros de 23% a.a., tedo sido recebido um valor de $ 1.921,95. Qual o valor omial do titulo? Sumário de dados: = 145 d, i = 23% aa, PV = 1.921,95, FV =? Solução: problema de solução direta - aplicar a fórmula do motate (2.11), FV = PV * (1+ i * ) substituido os valores 0,23 FV = 1.921,95 * (1+ *145) = 360 $ 2.099,99 Você deve observar o tratameto dado à taxa de juros: a taxa aual foi covertida em taxa diária cosiderado o ao de 360 dias (comercial) e a taxa diária foi aplicada sobre o úmero de dias corridos do título. Atividades de apredizagem 8. Determiar o valor atual racioal dos seguites títulos: FV i a) $ ,00 15,9% a.a. 50 dias b) $ ,00 21% a.a. 125 dias c) $ 6.420,00 30% a.a. 8 meses d) $ 5.000,00 26,4% a.a. 181 dias Resp.: a) ,87, b) ,48, c) 5.350,00, d) 4.414,10 9. Quato pagar por um titulo cujo valor omial é de $ ,00 com vecimeto em 150 dias para que se teha uma

58 Uidade 2-25 retabilidade de 36% aa? (lembre-se: retabilidade é a taxa de juros do descoto racioal). Resp.: , Sabe-se que o descoto racioal de um título, cujo valor omial é $ 600,00, foi de $ 57,63. Qual será a taxa de juros cosiderada se o prazo de atecipação foi 5 meses? Resp.: 25,50% aa 11. O valor descotado de uma promissória é de $ 1.449,28 (PV) e a taxa de juros utilizada foi de 18% aa. Sabe-se que o descoto racioal foi de $ 50,72. Qual o prazo de atecedêcia? Resp.: = 70 dias 12. O valor omial de um título é de 17,665 vezes o descoto racioal a 24% a.a. Se o descoto racioal for $ 600,00, qual será o prazo de atecipação? Resp.: = 3 m Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) O segudo modo de se operacioalizar o descoto de títulos é deomiado de descoto bacário, comercial ou por fora. Para se defiir o descoto comercial será adotada a seguite omeclatura: FV PV i c D c valor omial; valor atual ou valor descotado; taxa de descoto por período; tempo ou tempo de atecipação, em períodos; e descoto comercial ou por fora. Defie-se o descoto comercial como o valor dos juros gerados o tempo, à taxa de descoto i c, calculado sobre o valor omial FV do título. A figura 10, abaixo, ilustra a questão. Da defiição de descoto comercial tem-se:

59 Uidade 2-26 Dc = FV * ic * (2.14) Figura 10: Descoto comercial - RJS Fote: do autor. Em descoto comercial ou comercial a base de cálculo é o valor omial ou motate. A dedução de algumas fórmulas, a partir dessa relação e da defiição de descoto, pode-se revelar útil para a solução de algus problemas. Das duas expressões básicas de descoto comercial: PV = FV - Dc ou FV = PV + D c e Dc = FV * ic * decorre: PV = FV - FV * ic * PV = FV * (1- ic * ) (2.15) Decorre também, D c PV * ic * = ( 1 ic * ) (2.16) Defiido desta maeira, o descoto comercial ão segue o modelo puro do regime de capitalização simples sedo, a verdade, uma corruptela do mesmo. A taxa de descoto aplicada à FV descaracteriza o regime de juros simples como se verá adiate.

60 Uidade 2-27 Você agora vai verificar que o descoto comercial (D c ) é maior que o descoto racioal (D r ) quado eles são operados com a mesma taxa: de descoto para o descoto comercial e de juros para o descoto racioal. Para isto vai-se descotar um título de valor omial FV pelos critérios racioal e comercial. O valor omial em descoto racioal é calculado pela fórmula (2.13): Dr * (1+ ir * ) FV = ir * Esse mesmo valor omial é expresso pela fórmula do descoto comercial (2.14): Observe: Taxa de descoto para o descoto comercial e Taxa de juros para o descoto racioal. Dc FV = ic * cosiderado que o valor omial é o mesmo (mesmo título descotado de dois modos diferetes), segue: Dr *(1+ ir * ) Dc = ir * ic * como por hipótese, i r = i c = i, segue: Dc = Dr * (1+ i * ) (2.17) Coclusão: o descoto comercial é igual ao motate gerado pelo descoto racioal o tempo e com a taxa de juros de descoto i. Atividade de apredizagem 13. Deduza qual relação que deve existir etre a taxa de juros do descoto racioal i r e a taxa de descoto do descoto comercial i c para que o descoto de um título gere o mesmo valor descotado ou valor atual. Esta atividade deve ser desevolvida em grupo através do wiki.

61 Uidade 2-28 Os problemas mais comus evolvedo D c podem ser catalogados em três tipos, como mostrado a seguir: Tipo 1: cohecidos FV, i c e, calcular D c. Este tipo de problema é resolvido pela fórmula (2.14) D c = FV * i c * Exemplo 2.11: um título de valor omial de $ 5.000,00, com vecimeto para 60 dias é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebido pelo detetor do título? =? Sumário de dados: FV = 5.000, = 2 meses, i = 4% am, D r Solução: problema do tipo 1 aplicar a fórmula (2.14); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: D FV * i * D c = * 0,04 * 2 = $ 400,00 b) O portador do título receberá: PV = FV D c = ,00 = $ 4.600,00 Compare estes resultados com os obtidos o exemplo 3.8. Tipo 2: cohecidos D c, i c e, calcular FV. O problema é resolvido pela mesma fórmula aterior, só que devidamete reordeada: c = c D c = FV * i c * Dc FV = i * c Exemplo 2.12: um título com vecimeto em 60 dias foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 400,00. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor omial e o valor preste desse título?

62 Uidade 2-29 Sumário de dados: FV =?, D c = 400,00, = 2 meses, i = 4% am, Dr =? Solução: problema do tipo 2 aplicar a fórmula (2.14); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. Dc 400,00 a) Aplicação da fórmula: FV = = = $ 5.000, 00 i * 0,04 * 2 b) O portador do título receberá: PV = FV D c = ,00= $ 4.600,00 c 3.9. Compare estes resultados com os resultados do exemplo Tipo 3: cohecidos FV ou PV, D r e i c, calcular. O problema é resolvido com o auxílio da fórmula básica de descoto (2.9) e a fórmula (2.15): FV = PV + D c PV = FV * (1- i c * ) Exemplo 2.13: um título de valor omial $ 5.000,00 foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 400,00. O baco opera em descoto comercial simples e cobra juros de 4% a.m. (ao mês). Qual o valor presete e o prazo de atecipação do título? Sumário de dados: FV = 5.000,00, D c = 400,00, =?, i = 4% a.m., Dr =? Solução: problema do tipo 3 aplicar as fórmulas (2.9) e (2.15); a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso em meses. b) Pode-se calcular PV com a fórmula básica de descotos e a seguir aplicar a fórmula (2.15): FV = PV + D c

63 Uidade = PV + 400,00 PV = ,00 = $ 4.600,00 PV = FV * (1- ic * ) = * (1-0,04 * ) Substituido os valores, tem-se, = * (1-0,04 * ) = 2 meses O exemplo pode ser solucioado por outras formas. Comparar os resultados com o exemplo Observações Como defiido, o descoto comercial pode coduzir a valores egativos para o PV. Com efeito, aalisado a fórmula (2.15), PV = FV * (1- ic * ) você pode perceber que a codição ecessária para que o PV seja positivo é que o fator: (1- i c * ) > 0 ou, o que é a mesma coisa que: i c * <1 Assim, se a taxa de descoto for 8% am (0,08 am), o maior prazo possível para que ão se teha um valor egativo para PV é dado por: 0,08 * < 1 ou < 1/0,08 = 12,5 meses Essa questão só é relevate em operações de logo prazo. Como os descotos são operações típicas de curto prazo, tal assuto perde a sua relevâcia. Em descoto comercial simples cosidera-se como custo efetivo da operação - a taxa de juros do descoto racioal que produz o mesmo valor presete (PV). O valor dessa taxa de juros racioal (custo efetivo) é diretamete depedete do prazo do descoto comercial, embora seja sempre

64 Uidade 2-31 superior à taxa de descoto comercial. Uma operação coduzida com taxa de descoto comercial de 10% am produz as seguites taxas de descoto racioal, coforme o prazo da operação: = 1 mês = 2 meses = 3 meses = 4 meses idr = 11,11% am idr = 11,80% am idr = 12,62% am idr = 13,62% am O custo efetivo de uma operação de descoto comercial é a taxa de juros que produz o mesmo valor do descoto, porém calculado o modelo racioal. Exemplo 2.14: Com os dados e respostas do exemplo 2.13 determiar o custo da operação de descoto. Sumário de dados: D c = 400,00 FV = 5.000,00 i c = 4% am = 2 m i r =? Solução: deve-se determiar qual a taxa de descoto racioal i r que produz um descoto racioal de $ 400,00. Da defiição de descoto racioal tem-se a fórmula (2.10): D r = PV*i r * Porém, o valor presete pode ser calculado da seguite forma: PV = FV D = 5.000,00 400,00 = 4.600,00 Valor que levado à fórmula do D r produz: am 400,00 = 4.600,00*i r *2 i r = 0,0435 ou 4,35% Fique esperto Normalmete as istituições de crédito iformam ao cliete a taxa de juros omial e ão a taxa de juros que iforma o custo

65 Uidade 2-32 efetivo da operação. A operação deve ser sempre avaliada pelo seu custo efetivo. Exercícios resolvidos para fixação de coceitos. Exercício 2.5: um título foi resgatado 145 dias ates do vecimeto sedo egociada uma taxa de descoto de 23% a.a., sedo recebido um valor atual de $ 1.921,95. Qual é o valor omial do titulo? =? Sumário de dados: = 145 dias, i = 23% aa, PV = 1.921,95, FV Solução: a) aplicar a fórmula do valor presete do descoto comercial, PV = FV * (1 i * ) substituido os valores 1.921,95 = FV * (1 FV = $ 2.118,17 0, * 145) Exercício 2.6: calcular o descoto comercial das hipóteses seguites: FV(VN) Taxa Prazo a) $ ,00 35% a.a. 3 meses b) $ ,00 27% a.a. 4 meses e 12 dias Solução: aplicar a fórmula de descoto comercial, D c = FV*i c * a) D c = *0,35*(3/12) = $ 1.575,00 observe que o prazo de 3 meses foi covertido em 0,25 aos para compatibilizar com a taxa de juros. b) D c = *(0,27/360)*(132) = $ 2.178,00 observe que a taxa de juros foi covertida para sua proporcioal diária (ao comercial) e o prazo cotado em dias. A seguir um cojuto de atividades propostas a você com o ituito de sedimetar o seu cohecimeto e desevolver sua

66 Uidade 2-33 habilidade para lidar com o modelo de descoto comercial simples estudado. Atividades de apredizagem 14. Determiar a taxa mesal de descoto comercial que um baco deve aplicar para que o "custo da operação" correspoda a uma taxa de descoto racioal de 6,5% am, para os seguites prazos de descoto: (a) 1 (um) mês, (b) 2 (dois) meses e (c) 3 (três) meses. Resp.: (a) i db = 6,10% am, (b) i db = 5,75 % am, (c) i db = 5,43% am 15. Um baco propõe a um cliete duas alterativas de empréstimo com base em descoto comercial: (a) 5,5% am e prazo de 4 (quatro) meses, e (b) 6% am com prazo de 2 (dois) meses. Qual das alterativas é mais vatajosa para o cliete? Resp.: (b). 16. Um capital é aplicado por um período de 4 (quatro) meses a uma determiada taxa de juros, gerado um motate de $ ,00. Um segudo capital foi aplicado, a mesma data, por um período de 3 (três) meses a uma outra taxa de juros, gerado um motate de $ 8.960,00. Sabe-se que a soma dos capitais é $ ,00 e que a difereça dos juros gerados é $ 1.040,00; os juros da seguda operação são maiores que os da primeira operação. Determiar os capitais aplicados e as taxas de juros das duas operações. (a) modelo racioal (b) modelo comercial. Resp.: Rac.- C 1 = $ ,00, i 1 = 2,17% am, C 2 = $ 6.960,00, i 2 = 9,578% am; Com. C 1 = $ ,00, i 1 = 2,00% am, C 2 = $ 6.960,00, i 2 = 7,44% am.

67 Uidade 2-34 Equivalêcia de capitais Cosidere agora os dois fluxos de caixa represetados a figura 11; esses fluxos de caixa têm suas etradas de caixa dadas respectivamete por PMT 1, PMT 2,..., PMT m e PMT 1, PMT 2,..., PMT. O subscrito represeta o poto temporal em que se dá a etrada de caixa. Figura 11: Equivalêcia de Capitais RJS Fote: elaborada pelo autor. Para comparar esses dois fluxos de caixa em regime de juros simples você deve se valer do coceito de valor presete* de um fluxo de caixa. Os valores presetes desses dois fluxos de caixa 1 e 2 deomiados PV FC1 e PV FC2 são a soma de cada uma das parcelas que os compõem descotadas para a data focal zero. Vamos adotar a seguite represetação geérica: PV PV FC1 FC2 = PMT = PMT` + PMT PMT` 0 2 Defiição importate: PMT 0 m PMT` m = PMT j= 1 = PMT j= 1 0 j ' j GLOSSÁRIO *Valor presete (PV) - de um fluxo de caixa é a soma dos valores de cada um dos seus compoetes descotados para a data focal zero (ou atual).

68 Uidade 2-35 Dois fluxos de caixa serão defiidos como equivaletes quado os seus valores presetes, calculados para a mesma taxa de juros, forem iguais, ou seja: se Fluxo de caixa 1 Fluxo de caixa 2 etão, PV FC1 = PV FC2 Portato, ao comparar fluxos de caixa (por exemplo, para decidir etre duas alterativas de fiaciameto) você, em primeiro lugar, deverá refereciar todos os seus termos a uma úica data que é deomiada data focal. A defiição de juros simples obriga que esta data focal seja sempre zero. Para que os dois fluxos de caixa, mostrados a figura 11, sejam equivaletes eles devem produzir valores presetes iguais quado descotados a uma mesma taxa de juros. A taxa que garate essa igualdade é deomiada taxa de juros (ou de descoto) de equivalêcia. Figura 12: Valor presete de um fluxo de caixa. Fote: elaborada pelo autor. A figura 12 ilustra os descotos feitos para cada uma das parcelas do fluxo de caixa 1 para a data focal zero e o valor presete desse fluxo de caixa como a soma dos valores descotados das diversas etradas de caixa. O subscrito idica o poto temporal em que as etradas de caixa PMT j ocorrem e o sobrescrito idica a data focal para o

69 Uidade 2-36 descoto. Assim, 0 PMT 2 idica uma etrada de caixa que ocorre o poto temporal 2 e que será descotada para a data focal 0 (= 2-0 = 2 períodos de descoto). Observe que o descoto mostrado a figura 12 pode ser feito em modelo racioal ou em modelo comercial. Por simplificação, deste poto em diate os referiremos simplesmete a uma taxa que poderá ser racioal (taxa de juros) ou comercial (taxa de descoto), coforme a situação em aálise. Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto racioal Você pode obter as relações de equivalêcia calculado os valores atuais dos dois fluxos de caixa, represetados a figura 11, pelo critério do descoto racioal (utilizado a fórmula: C = M/(1+i*)) e lembrado que: 0 PMT 1 = PMT' 0 1 tem-se: = PMT 1 (1 + i * 1) PMT ' 1 (1 + i * 1) ; PMT ; PMT' PMT = 2 ;...PMT (1 + i * 2) PMT ' = 2 ;...PMT' (1 + i * 2) 0 m 0 = = PMT m (1 + i * m ) PMT (1 + i * ) PV PV PMT1 = (1+1* i) FC1 + ' PMT1 = (1+1* i) FC2 + PMT (1+ 2 * i) PMT ' 2 (1+ 2 * i) PMTm (1+ m * i) PMT ' (1+ * i) De acordo com a defiição de equivalêcia, esses dois fluxos de caixa serão equivaletes, em descoto racioal, quado os seus valores atuais forem iguais (para a taxa de juros i), ou seja: PV FC1 = PV FC2

70 Uidade 2-37 Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto comercial De modo aálogo, para determiar as relações de equivalêcia, em descoto comercial, os valores atuais dos fluxos de caixa são calculados com a aplicação das fórmulas do descoto comercial (PV = FV*(1 - i*)). Assim: PV FC1 = PMT 1 * (1-1* i) + PMT 2 * (1-2 * i) PMT m * (1- m * i) PV FC2 = PMT ' 1 * (1-1* i) + PMT ' 2 * (1-2 * i) PMT ' * (1- * i) Como já dito ateriormete, os dois fluxos de caixa serão equivaletes, em descoto comercial, se os seus valores atuais forem iguais (para a mesma taxa de descoto i), ou seja: PV FC1 = PV FC2 Ateção: Os valores atuais dos dois fluxos de caixa depedem da taxa de juros; portato, a comparação desses fluxos só faz setido quado os cálculos forem efetuados com uma mesma taxa de juros; essa taxa será a taxa de juros (ou de descoto) de equivalêcia. PV FC1 = PV FC PMT PMT Tempo (dias) Figura 13: Repactuação de pagametos. Fote: elaborada pelo autor.

71 Uidade 2-38 Exemplo 2.15: dois títulos de $ que seus vecimetos daqui a 30 e 60 dias devem ser substituídos por outros dois títulos com vecimetos para 60 e 90 dias. Sabedose que esses títulos têm o mesmo valor de face e que a taxa de juros é 2% am, calcular os seus ovos valores. Modelo Racioal. Sumário de dados: PMT 1 = 1.000, 1 = 1 m, PMT 2 =1.000, 2 = 2 m, PMT 3 =PMT=?, 3 = 2 m, PMT 4 =PMT =?, 4 = 3 m, i = 2% am, mod. rac. Solução: a figura 13 mostra o valor dos ovos títulos desigado por PMT. Do poto de vista fiaceiro, os fluxos de caixa das duas alterativas de pagameto devem ser equivaletes. Assim, a codição do problema impõe que os valores presetes dessas duas alterativas de pagameto sejam iguais. Aplicado-se a fórmula do valor atual modelo racioal - para um fluxo de caixa de dois elemetos, tem-se: a) para o primeiro fluxo de caixa ( 1 = 1 mês, 2 = 2 meses), PV FC1 PMT = (1+ 1 i *1) PMT2 + (1+ i * 2) PVFC1 = (1+ 0,02 * 1) (1+ 0,02 * 2) PV FC1 = 980, ,53 = $ 1.941,92 b) para o segudo fluxo de caixa (m 1 = 2 meses, m 2 = 3 meses), PMT PMT PVFC2 = + (1+ 0,02 * 2) (1+ 0,02 * 3) PMT PMT PVFC2 = + 1,04 1,06 1,06 * PMT + 1,04 * PMT = 1,04 * 1,06 PVFC2 =1,9049 * PMT

72 Uidade 2-39 c) Aplicado-se a codição de equivalêcia para os dois fluxos de caixa, tem-se: PVFC1 = $ 1.941,92 = PVFC2 = 1,9049 * PMT decorre: PMT = $ 1.019,43 E se o modelo fosse o comercial? a solução seria aáloga, apeas com a aplicação da fórmula de descoto comercial, qual seja: PV FC = FV*(1 i*) PV FC1 = * (1-0,02 * 1) * (1-0,02 * 2) PV FC1 = = $ PV FC2 = PMT * (1-0,02 * 2) + PMT * (1-0,02 * 3) PV FC2 = 0,96 * PMT + 0,94 * PMT = 1,90 * PMT Igualado-se os dois valores atuais: PV FC1 = = PV FC2 = 1,90 * PMT tem-se: PMT = $ 1.021,05 Exemplo 2.16: compra-se um produto cujo preço à vista é $ ,00. Deseja-se fiaciar a compra em quatro parcelas iguais com vecimetos a 30, 60, 90 e 120 dias. Se a taxa de juros é 5% am e o modelo de descotos racioal, qual o valor dessas parcelas? Sumário de dados: PV = ,00, = 4, i = 5% am, PMT? Solução: a) a figura 14 mostra o problema graficamete; ela idica claramete a existêcia de dois fluxos de caixa: o primeiro que represeta o valor à vista da mercadoria e o segudo que represeta o parcelameto da compra em quatro prestações, b) calcular o valor atual do fluxo de caixa das parcelas e

73 Uidade 2-40 c) impor a codição de equivalêcia etre os dois fluxos de caixa: o primeiro que represeta o valor à vista da mercadoria (PV FC1 ) e o segudo que represeta o pagameto em quatro parcelas (PV FC2 ). Figura 14: Fiaciameto em quatro parcelas iguais Fote: elaborada pelo autor. O valor presete do primeiro fluxo de caixa é $ ,00 por represetar o preço à vista da mercadoria, PVFC1 = O valor presete do segudo fluxo de caixa represetativo do pagameto em quatro parcelas, em modelo de descoto racioal, é dado por: PV FC2 PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT 4 = porém: (1+ i * 1) (1+ i * 2) (1+ i * 3) (1+ i * 4) PMT 1 = PMT 2 = PMT 3 = PMT 4 = PMT e i = 0,05 am (forma uitária), 1 = 1 m, 2 = 2 m, 3 = 3 m e 4 = 4 m. Estes valores substituídos a expressão de PV FC2 resulta, PMT PVFC2 = (1+ 0,05 * 1) PMT PMT PMT (1+ 0,05 * 2) (1+ 0,05 * 3) (1+ 0,05 * 4) colocado em evidecia o fator comum PMT, tem-se,

74 Uidade PVFC2 = PMT * ( 1, , ,15 PV FC2 = PMT * 5,6812/1, ,20 Para solucioar o problema basta estabelecer a equivalêcia etre os dois fluxos de caixa, ou seja: PV FC1 = = PV FC2 = PMT * 5,6812/1,5939 PMT = 1,5939/5,6812 * PMT = $ 2.805,56 Exemplo 2.17: Uma loja abre aos seus clietes três opções de pagameto para a veda de um eletrodoméstico: a) à vista por $ 1.100,00, b) uma etrada de $ 200,00 e quatro prestações mesais e sucessivas o valor de $ 250,00 e c) uma etrada de $ 400,00 e duas prestações mesais e sucessivas o valor de $ 350,00. Sabedo que a taxa de juros de mercado é de 3% am, qual das três propostas lhe é mais favorável? Modelos racioal e comercial. Sumário de dados: 1) PV = 1.100,00, 2) E= 200,00, PMT=250,00, = 4, 3) E= 400,00, PMT=350,00, = 2, i = 3% am p as três situações. ) Figura 15: Alterativas de fiaciameto. Fote: elaborada pelo autor.

75 Uidade 2-42 Solução: a) a figura 15 mostra o problema graficamete e idica os três fluxos de caixa; o primeiro que represeta o valor a vista da mercadoria e os demais que represetam os parcelametos da compra em quatro e duas prestações, b) calcular o valor atual do fluxo de caixa das parcelas usado como taxa de juros 3% am e c) escolher a opção que lhe der o meor valor presete Cálculos: a) modelo racioal O fluxo de caixa 1 já está expresso em valor presete (a vista): VP FC1 = 1.100,00 Para os fluxos de caixa 2 e 3 deve-se aplicar a fórmula de descoto racioal, para as codições dadas: PV PMT1 = (1+ i *1) FC + PMT (1+ i * 2) PMT m (1+ i * m) = (1+ 0,03 *1) (1+ 0,03 * 2) (1+ 0,03 * 3) PV FC2 = 1.135,12 PVFC = + (1+ 0,3 * 0) (1+ 0,03 *1) PVFC3 + VP FC3 = 1.069, (1+ 0,03 * 2) 250 (1+ 0,03 * 4) Nessas codições, para o modelo de descoto racioal, a opção mais vatajosa é a que correspode ao fluxo de caixa 3 por apresetar o meor valor presete. b) modelo comercial. Aqui os cálculos se repetem, porém com a fórmula do descoto comercial: VP FC1 = 1.100,00 PV FC = PMT 1 * (1- i *1) + PMT 2 * (1- i * 2) PMT m * (1- i * m)

76 Uidade 2-43 VP FC2 = *(1-0,03*1) + 250*(1-0,03*2) + 250*(1-0,03*3) * (1-0,03*4) VP FC2 = 1.125,00 VP FC3 = 400*(1-0,03*0) + 350*(1-0,03*1) + 350*(1-0,03*2) VP FC3 = 1.068,50 O modelo comercial de descoto cofirma a decisão apotada pelo modelo racioal: a melhor opção é a que correspode ao fluxo de caixa 3. Atividades de apredizagem 17. Um produto é ofertado por uma loja em duas codições alterativas; (a) $ ,00 à vista, e (b) dois pagametos iguais o valor de $ ,00 para 30 (trita) e 60 (sesseta) dias da data da compra. Qual a taxa mesal de juros cobrada pela loja? (resolver pelos modelos racioal e comercial). Resp.: i r = 1,99% am, i b = 1,935% am 18. Uma loja vede um videocassete por $ 500,00, à vista. Alterativamete, cotempla a veda a prazo com uma etrada de $ 50,00 e um pagameto adicioal de $ 531,00 após 6 meses. Qual a taxa de juros aual cobrada? Resolver pelos modelos comercial e racioal. Resp.: i a = 36 aa (mod. rac.), i a = 30,50 %aa (mod. bac.) 19. Aplicam-se $ ,00 à taxa de juros de 12% aa e por um período de 4 (quatro) meses. Um mês após essa aplicação, faz-se ova aplicação à taxa de juros de 20% aa e por três meses. Qual o valor desta seguda aplicação para que os motates das duas operações sejam iguais? (a) modelo racioal (b) modelo comercial. Resp.: C r = $ ,80, C b = $ ,16

77 Uidade Uma mercadoria, cujo valor à vista é $ ,00, foi vedida em 3 (três) pagametos para 30 (trita), 60 (sesseta) e 90 (oveta) dias da data da veda. Sabedo que cada pagameto supera o aterior em $ 2.000,00 e que a taxa de juros da operação é 24% aa, determiar o valor de cada pagameto. (a) modelo racioal (b) modelo comercial. Resp.: Rac. R 1 = $ 4.958,12, R 2 = $ 6.958,12, R 3 = $ 8.958,12; Com. R 1 = $ 4.972,22, R 2 = $ 6.972,22, R 3 = $ 8.972,22 Resumo Esta uidade levou-o a estudar o regime de juros simples ou de capitalização simples. Em primeiro lugar você estudou a modelagem do regime e deduziu suas fórmulas básicas. A seguir você etrou em cotato com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes cocluido que ambas são iguais esse regime de juros. Você prosseguiu seus estudos aprededo a distiguir taxas de juros diárias: exata e comercial. Após esses coceitos básicos você se debruçou o estudo dos descotos segudo os modelos racioal e bacário e, por fim, estudou a equivalêcia de fluxos de caixa. Neste último tópico, você estudou primeiramete o coceito geral de equivalêcia para depois aplicar a esse coceito os modelos de descoto racioal e comercial. Você cumpriu todas as atividades propostas a uidade? Etedeu todos os coceitos abordados? Se a resposta for egativa, volte ao texto, cosulte seu tutor, refaça as atividades! Se a resposta for positiva e você apreedeu perfeitamete o coteúdo, parabés! Você está apto a seguir em frete e estudar o regime de juros compostos, objeto da uidade 3.

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79 Uidade 3 Regime de juros compostos

80 Uidade 3-2 Objetivos Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros compostos, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto de títulos e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização composta; idetificar taxas de juros omiais e efetiva; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização composta. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos a uidade 1 e 2. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

81 Uidade 3-3 Itrodução A uidade 1 lhe apresetou de maeira sucita o regime de juros compostos. Naquela uidade você apredeu que o juro produzido em cada período é agregado ao saldo do período imediatamete aterior costituido uma ova base para o cálculo do juro; a este processo de agregação de juro aos saldos do período aterior, dá-se o ome de capitalização de juros ou simplesmete capitalização. Período de capitalização é o período ao fial do qual se processa essa agregação do juro produzido ao capital. Nesta uidade você aalisará o problema da capitalização* dos valores fiaceiros em regime de juros compostos, isto é, do crescimeto desses valores com o tempo e, a seguir, o problema oposto da dimiuição desses valores futuros quado trazidos para o presete, ou seja, o descoto de valores fiaceiros futuros. GLOSSÁRIO *Capitalização é a agregação do juro gerado em um período ao saldo iicial do período posterior estabelecedo uma ova base para o cálculo de juros. Fórmulas básicas Motate Primeiramete, você vai se apropriar da fórmula relativa a capitalização de valores fiaceiros o tempo; para tato, supoha um valor fiaceiro presete (C), aplicado durate períodos a uma taxa de juros periódica. Essa aplicação gera um motate (M) ao fial da aplicação cujo valor se deseja cohecer. i p

82 Uidade 3-4 A tabela 5, costruída a partir do coceito básico de juros compostos, permite a você deduzir, por recorrêcia, a fórmula geral deste regime de juros. Nessa tabela, os períodos de tempo estão apresetados a primeira colua (data), os saldos existetes o iício de cada período (Sd i ) estão apresetados a seguda colua, a terceira e quarta coluas mostram a fórmula de cálculo dos juros e o resultado do cálculo e a quita colua mostra o saldo o fial de cada período (Sd f ). A costrução da quita colua Sd f obedece à fórmula básica da matemática fiaceira M = C + J, sedo o resultado da soma ordeada dos valores da seguda com a quarta coluas. As expressões fiais que aparecem a colua 3 são o resultado de operações de fatoração algébrica. Tabela 5: Capitalização de juros Por recorrêcia, foi-lhe mostrado que o capital iicial (C = PV), ao fial de períodos de aplicação, a uma taxa de juros i p ao período, gerará um motate (M) ou valor futuro (FV) de: M = C * (1+ ip ) (3.1) Saiba mais... Para apoio ao etedimeto da Tabela 5, veja a leitura complemetar LC21 em: Veja também:

83 Uidade d. Capital ou valor presete O problema iverso ao da capitalização é o descoto, ou seja, dado um determiado motate (M) cohecido, determiar qual o valor do capital (C) a ele equivalete, para uma taxa de juros i p e para o tempo a decorrer, expresso em períodos; a resposta é imediata e decorre de (3.1): C = M (1+ i) (3.2) A dificuldade de cálculo ierete a essas fórmulas é a operação de poteciação (1 +i) e pode exigir o uso de calculadoras. Etretato, a expressão etre parêteses depede apeas do par taxa de juros e úmero de períodos [i;] e pode ser tabulada para vários desses pares, simplificado assim as operações de cálculo. Deve-se observar que a taxa de juros uitária i se refere ao período de capitalização e é, como se verá a seguir, uma taxa efetiva de juros. As expressões [1 + i] e [1 + i] - pela freqüêcia com que são utilizadas recebem deomiações específicas, diferetes de autor para autor. Este livro adotará as deomiações: [1+i] - Fator de Valor Futuro, represetado por FVF [i;] [1+i] - - Fator de Valor Presete, represetado por FVP [i;]

84 Uidade 3-6 Figura 16: Fatores de cálculo Fote: elaborada pelo autor. A expressão [i;] idica a taxa de juros e o período a que se refere o fator. Dessa maeira, você pode escrever as expressões (3.1) e (3.2) da seguite maeira: C = M * FVP[i;] (3.3) Os valores de FVF e FVP podem ser vistos em tabelas fiaceiras para vários pares [i;]. A solução desses problemas pode ser visualizada a figura 16 a qual se cosiderou como variável cotíua. Capitalização e descotos Ao trabalharmos com capitalização e descotos, a omeclatura utilizada será aquela vista em descotos simples: PV valor presete (ao ivés de C) FV valor futuro (ao ivés de M) E as fórmulas de juros compostos já vistas se trasformam em: FV PV = (1+ i) PV = FV * FVP[i; ] (3.3) FV = PV * (1+ i p ) FV = PV * FVF[i; ] (3.4)

85 Uidade 3-7 Os problemas de capitalização e descotos podem ser reduzidos a quatro grupos específicos: 1. cohecidos PV, e i - calcular FV; 2. cohecidos FV, e i - calcular PV); 3. cohecidos PV, FV e - calcular i; 4. cohecidos PV, FV e i - calcular. Os dois primeiros problemas por terem [i;] cohecido, podem ser expressos diferetemete: 1. cohecidos PV e FVF [i;] - calcular FV; 2. cohecidos FV e FVP [i;] - calcular PV. E suas soluções são simples com a utilização de tabelas fiaceiras. Os problemas dos grupos 3 e 4 demadam soluções de aproximação, a ausêcia de calculadoras com fuções expoeciais. Seguem algus exemplos uméricos represetativos dos quatro tipos de problemas apotados. Saiba mais... Sobre tabelas fiaceiras, ver em os&id_pasta=5. Exemplo 3.1: calcular o motate de um capital de $ 1.000,00 aplicado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% am, sabedo-se que a capitalização é mesal.? Sumário de dados: PV = 1.000,00, = 6 m, i = 3% am, FV= Solução: aplicado-se a fórmula (3.4): FV = PV * FVF [i;] = PV * FVF [3;6] Em tabelas fiaceiras se vê que FVF [3;6] = 1,19405 para o par [i;] = [3;6]. Substituido esses valores a expressão acima:

86 Uidade 3-8 FV = * 1,19405 FV = $ 1.194,05 Exemplo 3.2: qual o valor de um capital que aplicado por 6 meses a uma taxa de juros de 3% am e capitalização mesal redeu um motate de $ 1.000,00? Sumário de dados: PV=?, = 6 m, i = 3% am, FV = 1.000,00 Solução: aplicado-se a fórmula (3.3): PV = FV * FVP [i;] = FV * FVP [3;6] Em tabelas fiaceiras você pode ver que FVP [3;6] = 0,83748 para o par [i;] = [3;6]. Substituido os valores já idetificados a expressão acima: PV = * 0,83748 PV = $ 837,48 Saiba mais... A capitalização de juros pode se dar de modo cotíuo ou de modo discreto. Para saber um pouco mais sobre este assuto faça a LC22 em Taxas de juros em regime de juros compostos Você se lembra de que, coforme visto o tópico sobre regime de juros simples, as taxas de juros proporcioais são também equivaletes? No regime de juros compostos isto ão acotece; veja isto a partir de um exemplo:

87 Uidade 3-9 Lembrete Duas taxas de juros são equivaletes quado ao serem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo, gerarem motates iguais. Exemplo 3.3: qual o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa? Sumário de dados: PV = 1.000,00, = 12 m, i = 36% aa, FV =? Solução: você vai verificar que existem duas possibilidades para o cálculo de FV gerado dois valores que serão comparados porque a taxa de juros ão está defiida com precisão. Possibilidade 1: você vai admitir que a capitalização dos juros é mesal e que a taxa de juros mesal - i m - seja a taxa proporcioal à taxa aual de juros dada, tem-se; i m = taxa mesal proporcioal = 36/12 = 3% am e com a utilização da fórmula de capitalização (3.4), FV = PV * FVF [i%;] FV = PV * FVF[3%;12] = * 1, = $ 1.426,76 Tirado de tabela fiaceira a 3% o valor de FVF [3%;12] = 1, Com a fórmula algébrica você teria; FV 12 1 = PV * (1+ i) = * (1+ 0,03) = $ 1.426,76 Possibilidade 2: você vai admitir que a capitalização dos juros é aual sedo a taxa de juros de etrada 36% aa; tem-se o seguite motate: FV = PV * FVF [i%;] FV = PV * FVF[36%;1] = * 1,36 2 = $ 1.360,00

88 Uidade ,36. Tirado de tabela fiaceira a 36% o valor de FVF [3%;1] = Com a fórmula algébrica você teria; FV 2 = PV * (1+ i) = * (1+ 0,36) = 1 $ 1.360,00 Você pode costatar agora que os motates gerados pelas duas alterativas de cálculo FV 1 e FV 2, são diferetes. Isto sigifica que as taxas de juros de 3% am com capitalização mesal e de 36% aa com capitalização aual, apesar de serem proporcioais, ão são equivaletes, pois geram motates diferetes em tempos iguais. Etão você se perguta: O que ocorreu? A resposta é que o exemplo 3.3 formulou de forma imprecisa a taxa de juros e esejou essa dupla iterpretação. A taxa de juros em regime de juros compostos precisa ser defiida com clareza e precisão. Em regime de juros compostos taxas de juros proporcioais ão são equivaletes. Em coseqüêcia, o primeiro passo para se trabalhar em regime de juros compostos é compatibilizar taxas de juros e períodos de capitalização. Taxa de juros efetiva Uma taxa de juros é dita efetiva, quado está expressa em uidade de tempo igual à uidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas efetivas de juros: 1% am com capitalização mesal;

89 Uidade % at com capitalização trimestral; 6% as com capitalização semestral; e 9% aa com capitalização aual. Taxa de juros omial Uma taxa de juros é dita omial quado está expressa em uidade de tempo diferete da uidade de tempo do período de capitalização. Assim, são taxas omiais de juros: 36% aa com capitalização trimestral; 10% at com capitalização mesal e 10% as com capitalização aual. Portato, em regime de juros compostos é ecessário que se coheça a taxa de juros efetiva que é a utilizada as fórmulas; isso exige a explicitação do período de capitalização. Com estes coceitos retome o exemplo 3.3: a solução proposta para a possibilidade 1 adotou como taxa efetiva a taxa mesal proporcioal de 3% am, e a solução proposta para a possibilidade 2 adotou como efetiva a taxa de 36% aa; etretato, o euciado do exemplo 3.3 deixam dúvidas sobre qual a taxa efetiva verdadeira. Nesse exemplo, se taxa efetiva for a taxa mesal proporcioal à taxa aual, a solução dada para a possibilidade 1 será a correta. Porém, se a taxa efetiva for a taxa aual de 36 %aa, a solução apresetada para a possibilidade 2 é que estará correta. O motate gerado uma operação fiaceira, em regime de juros compostos, é sempre calculado a partir da taxa de juros efetiva.

90 Uidade 3-12 Se a taxa de juros dada for omial calcule a taxa efetiva por proporcioalidade tomado como fator de proporcioalidade o úmero de períodos de capitalização cotido o tempo a que se refere a taxa de juros. Taxas de juros equivaletes Coforme você viu em regime de juros simples, duas taxas de juros são ditas equivaletes quado aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo prazo gerarem o mesmo motate. Para relacioar de modo sistemático essas equivalêcias cosideremse as seguites omeclaturas: i a taxa de juros aual; i t taxa de juros trimestral; i s taxa de juros semestral; i m taxa de juros mesal; e i d taxa de juros diária. Os motates gerados por um capital uitário em 1 ao, cosiderado as taxas acima como efetivas, e calculados a partir de (3.4) são: 1 a 1* (1+ ia) FV = com PV = 1 = 1 ao 2 s 1* (1+ is) FV = com PV = 1 = 2 semestres 4 t 1* (1+ it) FV = com PV = 1 = 4 trimestres 12 m 1* (1+ im) FV = com PV = 1 = 12 meses 360 d 1* (1+ id) FV = com PV = 1 = 360 dias A hipótese de que as diversas taxas sejam equivaletes, faz com que os motates (FV d, FV m, FV t, FV s e FV a ) sejam todos iguais. Decorre depois de cortados os valores de PV:

91 Uidade (1+ ia) 1 = (1+ is) 2 = (1+ it) = (1+ im) 12 = (1+ id) 360 (3.5) A expressão acima permite trasformar taxas de juros efetivas de uma temporalidade para outra. Exemplo 3.4: calcular i d, i m e i s equivaletes a 45% aa. Solução: a partir de (3.5), a) para taxa diária: a 1 id = (1+ ia) 1/360-1 (1+ i ) = (1+ id) 360 1/360 id = (1+ 0,45) - 1 i d = 0,00103 ad ou 0,103% ad b) para taxa mesal: a 1 im = (1+ ia) 1/12-1 (1+ i ) = (1+ im) 12 1/12 im = (1+ 0,45) - 1 i m = 0,0314 am ou 3,14% am c) para taxa semestral: (1+ ia) 1 = (1+ is) 2 is = (1+ ia) 1/2-1 i s = 0,204 as ou 21,4% as Observação:O mercado fiaceiro costuma divulgar suas taxas de juros em bases auais omiais; esses casos, a taxa efetiva de juros é a taxa proporcioal calculada pela proporcioalidade i /k, sedo k o úmero de capitalizações de juros que irão ocorrer o ao. a Até este poto, você estudou a modelagem básica do regime de capitalização composta, tomou cotato com suas fórmulas básicas e sobretudo estudou a difereças existete etre taxas de juros proporcioais e equivaletes. Ates de avaçar seus estudos, resolva as atividades propostas para apoiá-lo a sedimetação do cohecimeto adquirido.

92 Uidade 3-14 Atividades de apredizagem 1. Determiar as taxas diária, mesal, trimestral e semestral equivaletes a 36% aa. Compare os valores obtidos com as respectivas taxas proporcioais. Resp: Taxas equivaletes: i d = 0, %ad, i m = 2,5954 %am, i t = 7.99 % at, i s = 16,619 % as. Taxas proporcioais: i d = 0,10 %ad, i m = 3,00 %am, i t = 9,00 % at, i s = 18,00 % as. 2. Um capital de $ ,00 foi aplicado durate 5 aos à taxa de juros de 3% aa. Dizer: (a) quais os juros totais produzidos, e (b) o valor atigido pelo capital ao fial de 5 aos. Resp. (a) $ 1.592,74, (b) , Que taxa omial de juros aual, capitalizada trimestralmete, produz juros totais iguais a 60% do capital ao fial de 5 aos? Resp. i a = 9,51% aa. 4. Quato devo aplicar uma istituição fiaceira, em cadereta de poupaça, que paga uma taxa de juros de 6% aa, para obter $ ,00 ao fial de 5 aos? Resp.: $ 7.413, Qual o motate produzido por um capital de $ ,00 aplicado durate 4 aos e três meses, à taxa efetiva de 18% aa? utilize as duas coveções. Dica: Quado o período de tempo ão é iteiro (4a3m do ex. 5) você pode calcular os juros referetes à parte ão iteira por duas formas distitas: a) coveção liear: o juro referete a esse período ão iteiro é calculado em regime de juros simples; e b) coveção expoecial: o juro referete a esse período ão iteiro é calculado em regime de juros compostos. Resp.: C. Liear M = $ ,21, C. Exp. M = $ ,84.

93 Uidade Determiar a taxa de juros compostos que dobra um capital ao fial de 11 aos. Utilize as tabelas fiaceiras. Resp.: i a = 6,5% aa. Descoto em juros compostos Em juros compostos utiliza-se mais freqüetemete o modelo de descoto racioal, isto é, aquele em que a base de cálculo dos juros é o valor presete (PV). Descoto racioal ou descoto real Para o estudo do descoto racioal em juros compostos a omeclatura utilizada será: PV FV i = capital ou valor presete; = motate ou valor futuro; = taxa de juros efetiva por período; D r = descoto racioal; e, = úmero de períodos. A figura 17 ilustra bem o problema.

94 Uidade 3-16 Figura 17: Modelo de descoto em juros compostos Fote: elaborada pelo autor. Saiba mais... O modelo de descoto comercial composto pode ser visto em LC23 dispoível em: O descoto racioal (D r ) é defiido como: Dr = FV - PV De (3.4) tem-se: FV = PV * (1+ i) do que decorre: D r = PV * (1+ i) - PV que, por fatoração resulta em: Dr = PV * [ (1 + i) - 1] (3.6) Também decorre de (3.2): FV Dr = FV - (1+ i) No descoto racioal composto o valor do descoto coicide com o juro composto e o valor descotado coicide com o valor presete da operação. resultado por fatoração,

95 Uidade Dr = FV * [1- (1+ i) e, (1+ i) - 1 ] = FV * [ ] (1+ i) Dr = FV * (1+ i) (1+ i) 1 (3.7) (3.6) e (3.7) são expressões do descoto racioal composto a partir de PV e de FV. Observe-se que, como em regime de juros simples, D r = J. O valor presete ou valor descotado (PV), cohecidos FV, i e, é calculado da seguite forma: PV = FV - Dr substituido D r pela sua expressão em (3.7), vem: PV = FV - FV * [ PV = FV * [1- (1+1) - 1 ] (1 + i) (1+ i) - 1 ] = FV * [ (1+ i) (1+ i) - (1+ i) (1+ i) +1 ] 1 PV = FV * (1+ i) = FV * FVP[i; ] (3.8) Saiba mais... O descoto composto também pode ser feito o modelo comercial. Para cohecê-lo vá à leitura complemetar LC23 em: Exercícios resolvidos para ajudá- lo a fixar coceitos. Ates de resolver os exercícios vá à: /watch?v=jmmtpwwev SU.

96 Uidade 3-18 Exercício 3.1: um título de valor omial $ ,00 foi descotado três meses ates do seu vecimeto. Sabedo que a taxa de juros é 2,5% am, qual o valor atual recebido em modelo racioal? Sumário de dados: FV = ,00, = 3 m, i = 2,5% am Solução: aplicação da fórmula do descoto racioal FV PV = = FV * (1+ i) FVP [i;] PV = = * FVP 3 [2,5%;3] (1+ 0,025) = * 0, PV = * 0, = ,19 Exercício 3.2: uma ota promissória o valor de $ ,00 foi descotada 120 dias ates do seu vecimeto à taxa de 4% am. Qual foi o descoto racioal composto? Sumário de dados: FV = ,00, = 120 d = 4 m, i = 4%, D r =? Solução: aplicação da fórmula do descoto racioal. 1 PV = FV * (1+ i) 1 = * ,04) = ,12 O valor do descoto é dado por: Dr = FV PV = , ,88 = 4.355,88 Exercício 3.3: o vecimeto de um compromisso de $ ,40 foi prorrogado por dois meses, sedo o valor da reovação $ ,00. Qual a taxa mesal de descoto para o descoto racioal composto? Sumário de dados: PV = ,40, FV= ,00, = 2 m, i =? Solução: aplicação da fórmula de descoto racioal composto

97 Uidade 3-19 FV PV = (1+ i) (1+ i) = FV PV (1/) FV (1 + i) = = PV FV PV (1+ i) = 2 = 1, ,40 i = 1, = 0, ou 2,04 % am Exercício 3.4: um título de $ 6.000,00 foi reovado por mais 180 dias com uma taxa de descoto de 3,5% am. Qual o valor omial do ovo título em descoto racioal composto? Sumário de dados: PV = 6.000,00, = 180 d = 6 m, i = 3,5% am, FV=? Solução: aplicação da fórmula de descoto racioal composto Dr = FV PV = PV * (1+ i) PV = PV * FVF[3,5%;6] PV Dr = * (1+ 0,035) = 6000 * 1, = 1.375,53 Exercício 3.5: uma operação de descoto racioal composto, o valor atual recebido foi de $ ,24 sedo o valor de vecimeto $ ,00. O prazo de atecipação foi de 6 meses. Determiar a taxa aual de juros dessa operação. Sumário de dados: FV = , PV = ,24, = 6 meses, i =? Solução: aplicar a fórmula geral de juros compostos para determiar o custo da operação Como se quer a taxa aual o período deve ser expresso em aos, ou seja, = 6 m = 0,5 a FV PV = (1+ i) FV FV (1+ i) = 1 + i = PV PV FV = 1= 1= 0, PV ,24 i 0,5 ou 35,50 %aa

98 Uidade 3-20 Como complemeto você pode resolver este exercício utilizado o prazo em meses (6 meses) e determiado primeiro a taxa de juros mesal e depois, por equivalêcia, a taxa de juros aual efetiva. Exercício 3.6: um estabelecimeto fiaceiro reova um título de valor omial $ 4.000,00 por outro de $ 4.472,14. Qual é o prazo de prorrogação, sabedo-se que a taxa de juros do descoto é de 36% aa? Sumário de dados: PV= 4.000, FV = 4.472,14, i = 36% aa ou 0,36 aa, =? Solução: aplicação da fórmula de descoto comercial composto FV = PV * (1+ i) Substituido os valores: FV PV = (1+ i) 4.472, = (1+ 0,36) ou (1+ 0,36) = 1,36 = 1, Uma solução algébrica demada a aplicação de logaritmos: *log1,36 = log 1, = log1,118035/ log1,36 = = 0, /0, =0,3628 a (taxa de juros em ao produz resposta em ao). Para expressar em meses: 12*0,3628 = 4,35 meses ou aida 360*0,3628 = 130,6 dias. Saiba mais... Veja logaritmos em:

99 Uidade ed. Exercício 3.7: uma empresa cotraiu um empréstimo de $ ,00 a uma taxa efetiva de 5% aa. Passado algum tempo, tomou ovo empréstimo a uma taxa efetiva de 3% aa e liquidou a dívida iicial. Esta ova dívida foi quitada 14 aos após a tomada do primeiro empréstimo por $ ,92. Determiar os prazos das duas operações. Resp.: 1 = 6 a, 2 = 8 a. Sugestão: usar logaritmos. Solução Figura 18: Gráfico do exercício 3.7 Fote: elaborada pelo autor. gráfica: a primeira operação houve um empréstimo de $ ,00 que foi pago após um período (descohecido) z. Para quitar esse empréstimo foi tomado outro o valor de PV 2 (também descohecido) que foi quitado 14 aos após a tomada do primeiro empréstimo pelo valor de $ ,92. A codição imposta pelo euciado é que PV 2 = FV 1. Solução aalítica: determia-se FV 1 a partir da fórmula de juros compostos (lembre que i 1 = 5% aa) FV 1 = PV 1 *(1+i 1 ) z FV 1 = *(1+0,05) z A seguir determia-se o capital da seguda operação a partir da fórmula de juros compostos (i 2 = 3% aa): FV 2 = PV 2 *(1+i 2 ) 14 - z

100 Uidade z ,92 = PV 2 *(1+0,03) PV ,92 = 14 z 1,03 Como por hipótese PV 2 = FV 1 pode-se escrever: FV 1 = *(1+0,05) z = Decorre: PV ,92 = 14 z 1,03 z 14 z ,92 = * 1,05 * 1, , ,00 z 14 z = 1, = 1,05 * 1,03 Aplicado-se logaritmos aos dois ambos membros da equação tem-se: Log 1, = log1,05 z (14 z) + log1,03 Seguido-se, Log 1, =z*log1,05 + (14 z)*log1,03 De calculadoras ou de tabela de logaritmos tira-se: Log 1, = 0, Log 1,05 = 0, Log 1,03 = 0, , = z* 0, (14-z)* 0, , = z* 0, , z*0, , , = z* 0, z*0, , = z * 0, z= 6, aos ou seja z = 6 aos (este é o tempo que decorreu para o ecerrameto da primeira operação). A duração da seguda operação foi de 14-6 = 8 aos. As atividades propostas a seguir pretedem ajudá-lo a iteralizar os coteúdos estudados até este poto, com êfase para as operações de descoto.

101 Uidade 3-23 Atividades de apredizagem 7. Aplica-se um determiado capital a 24% aa, com capitalizações mesais, obtedo-se um motate de $ ,00 ao fial de 4 aos. Qual o valor do capital? Qual a taxa efetiva aual? Resp.: (a) $ 4.986,33, (b) i aef = 26,82% aa. 8. Um capital de $ ,00 foi aplicado por 10 aos rededo juros de 12% aa os primeiros 5 aos e de 18% aa os aos subseqüetes. Determiar o valor do motate as seguites codições: (a) os juros são capitalizados até o fial, e (b) os juros correspodetes aos primeiros 5 aos são pagos ao fial desse tempo. (a) M = $ ,10, (b) M = $ , Um título de valor omial $ ,00 foi descotado à uma taxa efetiva de 12% aa e gerou um descoto de $ 1.563,30. Determiar o prazo desse título. Resp.: = 1,5 a. Valor presete de um fluxo de caixa O coceito de valor presete de um fluxo de caixa é exatamete o mesmo que você apredeu em regime de juros simples: valor presete (PV FC ) de um fluxo de caixa é a soma dos valores descotados de cada um dos seus compoetes para a data zero (ou atual), para uma dada taxa de juros. Um exemplo ilustra o coceito. Exemplo 3.5: uma pessoa vedeu um carro as seguites codições: 01 parcela de $ ,00 vecível em 30 dias, uma seguda parcela de $ ,00 vecível em 60 dias e uma última parcela de $ ,00 vecível em 90 dias, represetadas por três otas promissórias. Se esta pessoa egociar essas otas promissórias para trasformá-las em diheiro, a mesma data da veda do carro, quato deverá receber pelas mesmas? (em

102 Uidade 3-24 outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalete às três parcelas?). Figura 19: Valor presete de um fluxo de caixa. Fote: elaborada pelo autor. O problema pode ser visualizado a figura 19, que mostra os valores das parcelas e o seu descoto para a data da operação de compra (data focal zero). Para respoder a esta questão, deveremos descotar cada parcela para a data presete (ou data focal atual) com a utilização do Fator de Valor Presete (FVP [i;] ) para uma determiada taxa de juros (a vigete o mercado, por exemplo). Tomemos i = 3% am como a taxa efetiva vigete o mercado. O valor presete ou valor descotado de cada uma das parcelas será: 9.708,70 X 1 = PV 1 = 0 1 P = P1*FVP [3;1] = *0,97087= $ 9.426, , X 2 = PV 2 = P =P2*FVP [3;2] =10.000*0,94260= $ 0 3 X 3 = PV 2 = P = P3*FVP [3;3] = *0,91514= $ P1 0 P2 3 PV = PV FC = PV 1 +PV 2 +PV 3 = P 0 = PV = 9.70, , ,10 = $ ,80

103 Uidade 3-25 Nesse exemplo, para um valor omial de $ ,00 chegou-se a um valor presete de $ ,80 com base uma taxa de juros efetiva de 3% am. Se você retomar a defiição de valor presete de um fluxo de caixa, Valor presete de um fluxo de caixa é a soma algébrica dos valores presetes ou atuais de cada uma parcelas do fluxo de caixa, para uma dada taxa de juros (Mathias, W.F. & Gomes, J.M., 2.004). 3 se valer da figura 20, poderá deduzir a expressão geral para o valor presete do fluxo de caixa (PV FC ), como se vê a seguir: VP FC Figura 20: Valor presete de fluxo de caixa. Fote: elaborada pelo autor = PMT + PMT PMT + PMT - S = PMT 0 0 j= 1 0 j S 0 Em palavras: valor presete do fluxo de caixa é a soma dos valores presetes das etradas de caixa futuras meos a saída de caixa iicial (quado houver). Dada a fórmula utilizada para descotos em juros compostos, coclui-se: quato maior for a taxa de juros, tato meor será o valor presete do fluxo de caixa e, coseqüetemete, maior o "descoto" exigido a operação.

104 Uidade 3-26 Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa O coceito de taxa itera de retoro também é muito importate em aálise de ivestimetos, e por isso precisa ser bem etedido. A taxa itera de retoro (TIR ou IRR) é defiida como sedo a taxa de juros que tora ulo o valor presete de um fluxo de caixa. Reportado-os à figura 20, essa defiição os leva a seguite expressão algébrica: PMTj S0 = 0 ou VPFC = 0 j= 1 0 Colocado essa expressão em fórmulas de juros compostos, tem-se: PMT 1 (1+ i) PMT + (1 + i) 2 2 PMT (1 + i) S 0 = 0 A taxa itera de retoro é a raiz dessa equação e seu cálculo é, usualmete, feito com o auxílio de calculadoras fiaceiras; a ausêcia destas, pode-se utilizar o método de tetativa e erro que cosiste em experimetar diversas taxas de juros até que se idetifique aquela que produza a codição de igualdade mecioada. O uso da taxa itera de retoro é dificultado quado o fluxo de caixa apreseta mais de uma mudaça de sial (fluxos de caixa ão covecioais) porque esses casos pode ão haver solução para a equação ou mesmo pode haver várias soluções. Exemplo 3.6: calcule a taxa itera de retoro para o seguite fluxo de caixa: S 0 = 1.000,00; PMT 1 = 400,00; PMT 2 = 400,00; PMT 3 = 400,00. Períodos em meses. Sumário de dados: S 0 = 1.000,00; PMT 1 = 400,00; PMT 2 = 400,00; PMT 3 = 400,00, IRR=?

105 Uidade 3-27 Solução: aplicar a defiição de TIR, PMT1 (1+ i) PMT + (1+ i) 2 2 PMT + (1+ i) 3 3 = S 0 substituido os valores dados o euciado vem, (1+ i) (1+ i) (1+ i) = A solução dessa equação os dá como resposta 9,70% am que é a TIR (IRR) desse fluxo de caixa. A solução com o uso da HP 12C: 12C. Abaixo, você pode ver o teclado de uma calculadora HP Figura 21: Teclado da calculadora HP-12C

106 Uidade 3-28 A tecla g é uma tecla de fução que acioa as fuções escritas em azul o teclado: 12x, 12/, CF 0, CF j, N j, DATE, BEG,END e outras. Do mesmo modo a tecla f acioa as fuções em amarelo o teclado. A tecla CHS troca o sial do úmero. A cojugação das teclas f e CLx limpa todas as memórias da calculadora ao passo que a cojugação das teclas g e CLx limpa apeas a memória que está o visor. Com estas iformações básicas você pode treiar a operação desta calculadora. Saiba mais... O maual da calculadora HP12C está dispoível em: C.pdf Equivalêcia de fluxos de caixa Reporte-se a defiição de equivalêcia em regime de juros simples; a defiição é idêtica: diz-se que dois fluxos de caixa são equivaletes para uma dada taxa de juros, quado os seus valores presetes (atuais), calculados para aquela taxa de juros, forem iguais. Figura 22: Equivalêcia de fluxos de caixa Fote: elaborada pelo autor.

107 Uidade 3-29 Cosiderem-se os dois fluxos de caixa geéricos (PMT m,1, PMT m,2..., PMT m,,..., PMT m,m e PMT,1, PMT,2,...,PMT, ; <m) represetados a figura 22. Esses dois fluxos de caixa serão equivaletes quado os seus valores presetes forem iguais, isto é: 0 m,1 0,1 0 m,2 0,2 PMT + PMT = PMT + PMT PMT PMT 0 m, 0, PMT 0 m,m = que colocada em termos matemáticos mais aalíticos resulta em: PMTm,1 PMTm, (1+ i) (1+ i) PMTm,m m (1+ i) = PMT,1 PMT, (1+ i) (1+ i) PMT, (1+ i) Em regime de juros compostos a equivalêcia de dois fluxos de caixa pode ser verificada por seus valores em qualquer data focal k, 1 k. Por exemplo, a equivalêcia dos dois fluxos de caixa ateriores a data focal 2, se faria trasformado todos os seus elemetos para seus respectivos equivaletes fiaceiros a data focal 2 e determiado o valor do fluxo de caixa essa data: PMT + PMT + PMT PMT = PMT +PMT + PMT PMT m,1 m,2 m,3 m,m,1,2,3, V V 2 FC,m 2 FC, = PMT = PMT m,1,1 * (1+ i) +PMT * (1+ i) +PMT m,2,2 PMTm,3 PMT (1+ i) (1+ i) PMT,3 PMT, (1+ i) (1+ i) m,m m-2 = A equivalêcia dos dois fluxos de caixa mostrada acima pode ser represetada, respectivamete: - equivalêcia a data focal zero (desigaram-se V 0 e V 2 os valores do fluxo de caixa as datas focais 0 e 2, respectivamete), V FC, m = PMTm,1 + PMTm, PMTm,m = V FC, = PMT,1 + PMT, equivalêcia a data focal 2, V FC, m = PMTm,1 + PMTm, PMTm,m = V FC, = PMT,1 + PMT, PMT PMT 0, 2,

108 Uidade 3-30 Exemplo 3.7: cosidere o fluxo de caixa abaixo e determie seu valor atual cosiderado a taxa de juros efetiva de 3% am. Solução: a partir da defiição de valor atual de fluxo de caixa, escreve-se: PV FC = PMT 1 + PMT2 + PMT3 = PV FC = PMT 1 *FVP [3;1] + PMT 2 *FVP [3;2] + PMT 3 *FVP [3;3] Os valores FVP [i;] podem ser tirados de tabelas fiaceiras ou determiados em calculadoras. Procededo-se as substituições, vem: PV FC = 412,00 * 0, ,28 * 0, ,81 * 0,91514 PV FC = $ 1.000,00 Exemplo 3.8: cosidere o fluxo de caixa abaixo e determie o seu valor atual cosiderado uma taxa de juros efetiva de 3% am. Solução: a partir da defiição de valor atual de fluxo de caixa, escreve-se: PV FC = PMT 1 + PMT2 + PMT3 = PV FC = PMT 1 *FVP [3;1] + PMT 2 *FVP [3;2] + PMT 3 *FVP [3;3]

109 Uidade 3-31 Os valores FVP [i;] podem ser tirados de tabelas fiaceiras ou determiados em calculadoras. Procededo-se as substituições, vem: PV FC = 309,00 * 0, ,28 * 0, ,09 * 0,91514 PV FC = $ 1.000,00 Coclusão: Os exemplos ateriores mostram fluxos de caixa com etradas de diheiro diferetes o tempo, mas com o mesmo valor atual; ou seja, esses dois fluxos são equivaletes para a taxa de juros efetiva de 3% am. Experimete comparar os valores desses fluxos de caixa a data focal 60 dias. Atividades de apredizagem 10. Uma pessoa toma um empréstimo de $ ,00, com prazo de um ao, à uma taxa de juros de 12% aa, com capitalização mesal, assiado um título de dívida. Decorridos três meses o devedor resolve quitar o empréstimo, por um úico pagameto. Cosiderado que a taxa correte de juros é de 3% at, determiar: (a) o valor do pagameto, e (b) que taxa efetiva aual foi efetivamete auferida pelo credor. (Dica: 12% aa é uma taxa omial.) Resp.: (a) $ ,04, (b) i a = 13,07% aa. 11. Uma pessoa toma um empréstimo o valor de $ 8.000,00 à uma taxa de juros de 12% aa, com capitalização mesal, por 5 aos. Qual o estado da dívida ao fial do cotrato, se o fial do 3 o ao foi atecipado o pagameto de $ 3.000,00 por cota da dívida? Resp.: $ , Um capital de $ ,00 é aplicado a 5% aa uma determiada data; um ao após outro capital é aplicado a 8% aa. Depois de 4 aos da primeira aplicação os motates gerados

110 Uidade 3-32 pelas duas aplicações foram idêticos. Determiar o valor do segudo capital. Resp.: $ 9.649, Quato devo depositar hoje em uma cota de poupaça remuerada a uma taxa de 6% aa para que possa retirar $ 1.000,00 em 4 meses e $ 2.000,00 em 8 meses, deixado um saldo fial de $ 500,00? Resp.: C= $ 3.382, Uma pessoa tem os seguites compromissos fiaceiros a pagar: $ 1.000,00 vecível daqui a 4 meses, $ 2.000,00 daqui a 8 meses e $ 1.500,00 daqui a 18 meses. Essa pessoa quer reprogramar esses compromissos para dois (2) pagametos iguais daqui a 6 e 12 meses. Determiar o valor desses pagametos admitido que a taxa de juros do mercado é de 3% am. Resp.: R = $ 2.175, Comprou-se um terreo cujo valor à vista é $ ,00. Como etrada foram dados dois títulos: o primeiro de valor omial $ ,00 vecível em 6 meses, e o segudo de valor omial $ ,00 vecível em 12 meses, o restate devedo ser pago ao fial de 2 aos. Determiar o valor a ser pago ao fial, admitido o custo do diheiro em 2% am. Resp.: M = $ , Quer-se substituir dois títulos, um com valor omial de $ ,00 vecível em 2 aos e outro de valor omial $ 5.000,00 vecível em 5 aos, por um úico título vecível em três aos. Determiar o valor omial desse título para uma taxa de juros de 8% aa. Resp.: R = $ ,69. Resumo Esta uidade levou-o a estudar o regime de juros compostos ou de capitalização composta. Em primeiro lugar você estudou a modelagem do regime e deduziu suas fórmulas básicas. A seguir você etrou em cotato com os coceitos de

111 Uidade 3-33 taxas de juros omiais e efetivas; este regime de juros essas taxas ão são equivaletes como o regime de juros simples e se trabalha sempre com a taxa efetiva as fórmulas. Após esses coceitos básicos você se debruçou o estudo do descoto racioal composto e, por fim, estudou a equivalêcia de fluxos de caixa. Neste último tópico, você estudou primeiramete o coceito geral de equivalêcia para depois aplicar a esse coceito ao descoto racioal. Estudou também os coceitos de valor presete líquido e taxa itera de retoro, que são muito importates o campo dos estudos ecoômicos. As atividades propostas a seguir, se destiam a uma autoavaliação do seu apredizado. Você chegou ao fial de mais uma uidade! Pergute-se se etedeu perfeitamete todos os potos abordados. Em caso de alguma dúvida, retore ao texto até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está mais uma vez de parabés! Como resultado do seu esforço você coheceu o regime de capitalização composta, o mecaismo de descoto racioal, o coceito de valor presete de um fluxo de caixa e o de equivalêcia de fluxos de caixa este regime de juros e o coceito de taxa itera de retoro e de valor presete líquido. Portato, você está apto a iiciar os estudos da quarta uidade deste livro.

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113 Uidade 4 Redas ou auidades

114 Uidade 4-2 Objetivos Esta uidade lhe apresetará os modelos coceituais de auidades ou redas que são as bases para os pricipais modelos de fiaciametos de dívidas existetes o mercado e as relações existetes etre o valor presete, os pagametos e o valor futuro de uma reda. Como resultado do seu trabalho, esperamos que você possa: compreeder o sigificado do termo redas e cohecer os seus modelos básicos; apreder a calcular os valores presetes e futuros equivaletes de uma reda; e desvedar as armadilhas das taxas de juros existetes o mercado. Para facilitar, você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; e coceitos vistos as uidades 1,2 e 3, em especial, os de taxas de juros efetiva e omial e de equivalêcia de capitais. Uma boa referêcia para o apredizado da matemática é o site Vá até ele, cadastre-se e desfrute do coteúdo que é de excelete qualidade.

115 Uidade 4-3 Redas ou auidades Você já deve ter-se visto frete a um ou aos dois fatos seguites: você fiaciou a compra de um bem em 24 prestações mesais iguais; e/ou resolveu fazer doze (12) depósitos mesais iguais uma cadereta de poupaça para com o resultado comprar algum produto. Nesses dois casos, tem-se uma sucessão de pagametos (ou recebimetos) à qual se dá geericamete o ome de reda*. No primeiro fato você se valeu do cojuto de pagametos da para amortizar uma dívida e o segudo, para acumular uma poupaça. Acumular uma poupaça sigifica efetuar vários pagametos ou depósitos sucessivos uma cota para utilização futura do resultado; esse resultado é o motate equivalete da reda (FV). Já o pagameto de uma dívida sigifica que o gasto ou dispêdio iicial foi substituído por um cojuto de pagametos futuros que lhe é equivalete; assim, o valor presete da reda (PV) equivale ao cojuto de prestações futuras que serão pagas. A figura 23 ilustra uma auidade ou reda geérica; você deve perceber que os valores PV e FV ão são parte da reda e apeas represetam o valor equivalete da reda aqueles potos. GLOSSÁRIO *Reda ou auidade é um cojuto, fiito ou ifiito, de pagametos (recebimetos), PMT 1, PMT 2,..., PMT j,..., cujos elemetos deomiados termos da reda devem ocorrer em datas preestabelecidas, 1, 2, 3,..., j,... ( j).

116 Uidade 4-4 Figura 23: Reda (auidade) modelo geral. Fote: elaborada pelo autor. Uma reda é caracterizada por algus parâmetros pricipais evideciados a seguir: úmero de termos da reda: úmero de pagametos (recebimetos) da reda; valores dos termos da reda: valor de cada termo da reda; e, vecimetos da reda: data do pagameto (recebimeto) de cada termo da reda. A defiição é bastate geérica e ada diz sobre a periodicidade dos pagametos e sobre os seus valores. Ao logo deste capítulo as diversas situações particulares lhe serão apresetadas. Classificação das redas As auidades ou redas podem ser classificadas segudo vários critérios ou potos de vista, a saber: duração da reda, variação dos elemetos da reda, valor dos termos da reda, periodicidade dos pagametos, vecimeto dos termos e iício dos pagametos. Quato à duração da redas ou auidades Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas temporárias: quado o úmero dos termos que compõe a reda é fiito. Exemplo: o cojuto de 12 prestações iguais de uma compra feita a prazo; e,

117 Uidade 4-5 redas perpétuas: quado o úmero dos termos que compõem a reda é ifiito. Exemplo: uma pessoa muito rica deixa como heraça ao seu filho o redimeto mesal perpétuo de um capital aplicado em uma istituição fiaceira (IF). Quato à variação dos seus elemetos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas certas: quado todos os seus elemetos - úmero de termos, vecimetos dos termos e valores dos termos - estão previamete fixados; e, redas aleatórias: quado pelo meos um dos seus elemetos ão está determiado. Exemplo de auidade aleatória é o cojuto de pagametos dos prêmios de um seguro de vida; o úmero de pagametos (úmero de termos da reda) ão é cohecido por ão se saber atecipadamete quato tempo o segurado irá viver. Quato ao valor dos termos da reda Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas costates: quado os valores dos termos que as compõem são costates. Exemplo: prestações iguais em uma compra a crédito; e, redas variáveis: quado os valores dos termos que as compõem são variáveis. Exemplo: depósitos crescetes em uma cota de poupaça.

118 Uidade 4-6 Quato à periodicidade dos pagametos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas periódicas: quado o itervalo etre dois termos cosecutivos é costate (pagametos mesais, semestrais ou auais, por exemplo); e, redas ão periódicas: quado o itervalo etre dois termos cosecutivos é variável. Quato ao vecimeto dos termos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em: redas postecipadas: quado os pagametos ocorrem o fim de cada período. Exemplo: compra fiaciada em três pagametos mesais, ocorredo o primeiro pagameto 30 dias após a compra; e, redas atecipadas: quado os pagametos ocorrem o iício de cada período. Exemplo: compra fiaciada em três pagametos mesais, ocorredo o primeiro pagameto o ato da compra. Quato ao iício dos pagametos Sob este poto de vista as redas podem ser classificadas em:

119 Uidade 4-7 redas imediatas: quado o primeiro pagameto é devido o primeiro período cotado da origem da reda; e, redas diferidas: quado o primeiro pagameto só é devido o período subseqüete ao período m, deomiado período de diferimeto. Quado os pagametos são devidos ao iício de cada período tem-se um modelo de reda diferida atecipada; quado os pagametos são devidos ao fial de cada período tem-se um modelo de reda diferida postecipada. Este livro lhe apresetará somete as redas temporárias, certas, costates e periódicas dos tipos postecipado e atecipado, tato as imediatas como as diferidas; isto porque esses tipos de reda podem ser geeralizados, gerado fórmulas de aplicação relativamete imediata. As figuras 24, 25 e 26 ilustram os tipos básicos de redas que serão estudadas. A figura 24 mostra uma reda certa, costate, imediata e postecipada cujos termos - PMT j - estão represetados por setas com orietação positiva. Figura 24: Reda temporária, certa, imediata e postecipada. Fote: elaborada pelo autor.

120 Uidade 4-8 Essa reda é equivalete a um valor presete (PV) ou a um motate (FV) para uma dada taxa de juros i coforme se vê as figuras 24 a 27. Essa codição de equivalêcia é comum a todos os tipos de redas; a partir dela serão estabelecidas as relações básicas etre seus diversos elemetos. FIGURA 25: RENDA TEMPORÁRIA, CERTA, IMEDIATA E ANTECIPADA FONTE: ELABORADA PELO AUTOR. FIGURA 26: RENDA TEMPORÁRIA, CERTA, DIFERIDA E POSTECIPADA. FONTE: ELABORADA PELO AUTOR.

121 Uidade 4-9 Observe bem: a figura 27 mostra que a reda é costituída somete pelos seus termos (PMT j ). O cojuto desses termos é equivalete a um capital o iício ou a um motate o fial da operação. A relação básica de juros compostos cotiua válida: FV=PV*(1+i). Figura 27: Equivalêcia em redas Fote: do autor. Estudo das redas ou auidades Você será levado a focar sua ateção o estudo das redas certas, temporárias, periódicas e costates e a idetificar as relações existetes etre os seus elemetos compoetes; esses elemetos serão represetados a partir de agora pela otação das calculadoras fiaceiras, a saber: PMT período; m i PV FV valor dos termos da reda devido em cada úmero de pagametos da reda; período de diferimeto da reda; taxa de juros efetiva de cada período; valor da reda a data focal 0; e valor da reda a data focal ( + m).

122 Uidade 4-10 Reda temporária, certa, periódica, e postecipada Este tópico abordará as redas temporárias, certas, periódicas dos tipos imediato e diferido e procurará idetificar as relações etre as suas variáveis relevates: PMT,, i, e PV ou FV. Reda temporária, certa, periódica, imediata, e postecipada (modelo básico) Em reda imediata o primeiro pagameto se dá o primeiro período e, coseqüetemete, o período de diferimeto é ulo, isto é m = 0. O úmero de termos da reda é fiito, seus termos são todos iguais em valor, periódicos e devidos ao fial dos respectivos períodos. A seguir lhe serão mostradas as relações etre PV/PMT e etre FV/PMT para este tipo de reda Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor atual (PV) Você agora verá para o modelo básico de reda represetado a figura 28 a relação existete etre o seu valor presete (PV) e o valor dos seus termos da reda (PMT), de e de i.

123 Uidade 4-11 Figura 28: Valor atual de uma reda. Fote: elaborada pelo autor. O valor presete equivalete dessa reda ada mais é do que a soma dos valores de todos os termos descotados para a data focal 0 por uma dada taxa de juros i, coforme mostra a equação a seguir: PMT PMT PMT PV = PV 1 2 (1+ i) (1+ i) (1+ i) i* (1i) i) 1 Colocado PMT em evidêcia e aplicado a fórmula da soma de progressões geométricas chega-se a: + (4.1) + Observe a expressão (4.1) acima: ela mostra a relação =PMT*(1 etre o valor atual da reda (PV) e o valor de cada termo da reda (PMT) em fução de e de i. O valor etre colchetes depede apeas de e de i e está tabelado para várias situações. Vamos deomiar esta expressão de a [i;] (porque essa expressão deriva da soma dos termos de uma progressão geométrica). Os diversos i* (1i) i) valores 1 a que esse fator assume podem ser vistos em tabelas fiaceiras. A expressão deduzida acima pode ser reescrita, com a utilização desse fator: + = (4.2) + PV PMT*(1 PMT* = [i;] A demostração completa da fórmula se ecotra em leitura complemetar LC51 dispoível em: com.br/files_aberto/lc 51.doc.

124 Uidade 4-12 Por vezes (1 i* (1 cohece-se i) i) 1 o a1 a valor presete [í; -] 1 devedo-se calcular o valor do pagameto (PMT). A fórmula acima pode ser escrita de maeira diferete: + = = [i;= (4.3) + PMTPV* PV* ] PV* Esse ovo fator -1 a [í;] tabulado em tabelas fiaceiras. a [í; é o iverso de ] e também está Saiba mais... Ver tabelas fiaceiras em: s&id_pasta=5. Exemplo 4.1: uma pessoa comprou uma mercadoria cujo valor a vista é $ 1.350,00. A loja permite o pagameto em quatro prestações, mesais, iguais e sucessivas com o primeiro pagameto se dado depois de decorridos trita dias da compra. Qual o valor das prestações mesais devidas se a loja operar com taxa de juros de 5% am. Sumário de dados: PV = 1.350,00, i = 5% am. ou 0,05 am., = 4 Solução: trata-se de uma reda imediata, certa, periódica, costate e postecipada sedo aplicáveis as fórmulas vistas ateriormete.

125 Uidade 4-13 Figura 29: Compra a prestação. Fote: elaborada pelo autor. a) dispor os dados graficamete coforme a figura 29: b) aplicar as fórmulas de iteresse: (1 (1 0,05) 0,05) 1 i * + i) PMT = PV * (1 + i) 1 + = + 0, PMT = * = 0, a1 0, PMT = * 0, = 380,71 O úmero 0, pode ser tirado em tabelas fiaceiras para i = 5% e a liha que correspode ao = 5: PMT1.350* 0,05* 4 4 [5%;4]= Utilizado-se a calculadora fiaceira HP-12C os passos seriam os seguites:

126 Uidade 4-14 Atividades de apredizagem 1. Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00 e taxa de juros de 5% am. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída de 5 (cico) prestações auais de $ ,00 e taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por (c) 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00 e taxa de juros de 6% as. R: ,81. Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate (FV) De maeira aáloga ao item aterior, você poderá cohecer, para este modelo básico de reda, a relação que existe etre o valor dos termos da reda (PMT) e o respectivo motate (FV) para um dado par de valores [i;]. Figura 30: Relação etre reda em motate Fote: elaborada pelo autor. O motate ou valor futuro (FV) de um fluxo de caixa ada mais é do que a soma dos valores futuros de cada um dos pagametos da auidade, ou seja, a soma dos valores de todos os pagametos capitalizados para a data focal para uma dada

127 Uidade 4-15 taxa de juros i. A figura 30 ilustra a capitalização dos termos para a data. O motate (FV) da reda é dado pela soma dos valores futuros ou capitalizados de cada pagameto, ou seja, pela soma dos valores M j (1 j ): FV = M1 + M M = PMT * (1 + i) PMT * (1 + i) + PMT fatorado o valor dos pagametos e aplicado-se a fórmula da soma de uma progressão geométrica, chega-se a: ( 1 + i) - 1 FV =PMT * [ ] i 1 (4.4) 1 A demostração completa da fórmula pode ser vista em LC 52 dispoível em om.br/files_aberto/lc51.doc. A expressão etre colchetes, a fórmula acima, depede apeas do par [i;] e se ecotra tabelada para vários pares de iteresse. Como o caso aterior, a omeclatura desse termo varia de autor para autor sedo adotada para este livro a otação S [i;] (por derivar também da soma de termos de uma progressão geométrica). A fórmula (4.4) pode também ser escrita da seguite forma: FV =PMT * S [i;] (4.5) E a expressão de PMT em fução de FV se escreve: i PMT =FV * (1 + i) - 1 =FV * S -1 [i;] (4.6) O fator -1 S [i;] S ] é exatamete o iverso do fato [i; e seus valores para diversos pares [i;] também se ecotram tabulados as tabelas fiaceiras.

128 Uidade 4-16 Saiba mais... Veja videoaulas a respeito da relação etre PMT e FV em: Exemplo 4.2: uma pessoa deseja costituir uma poupaça futura para adquirir uma mercadoria cujo valor é $ 5.000,00. Para tato ele resolve efetuar quatro depósitos mesais iguais e postecipados uma cota remuerada a uma taxa de juros de 5% am. Qual o valor desses depósitos mesais? Admita que o preço da mercadoria permaeça costate. Sumário de dados: FV = 5.000,00, i = 5% a.m. ou 0,05 aa., = 4 Solução: trata-se de uma reda imediata, certa, periódica, costate e postecipada sedo aplicáveis as fórmulas vistas ateriormete. a) dispor os dados graficamete coforme figura (5.9): Figura 31: Costituição de uma poupaça Fote: elaborada pelo autor. b) aplicar as fórmulas de iteresse: i PMT = FV * (1 + i) 1

129 Uidade ,05 PMT = * (1 + 0,05) PMT = * 0,05 0, PMT = * 0, = 1.160,06 1 O úmero 0, pode ser extraído de tabelas fiaceiras para i = 5% a liha que correspode ao = 5: S [5%;4] = 0, Utilizado-se a calculadora fiaceira HP-12C os passos seriam os seguites: Em modelos de reda postecipados a calculadora HP deverá ser operada o modo fim ou ed ( g ed ). Exemplo 4.3: cosidere uma reda imediata postecipada costituída por uma série de 4 pagametos mesais, iguais e sucessivos, o valor de $ 3.000,00. Determie o capital e o motate equivaletes dessa reda para uma taxa de juros de 3% am. Sumário de dados: PMT = 3.000,00, = 4 meses, i = 3% am, PV =? FV =? Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 32:

130 Uidade 4-18 Figura 32: Reda i* (1i) com i) 1 a quatro pagametos postecipados. Fote: elaborada pelo autor. b) aplicar as fórmulas de iteresse: + = + PV PMT*(1 PMT* = [i;] PV 4 (1+ 0,03) * 0,03 * (1+ 0,03) = 4 PV = * 3, PV = $11.151,31 = 1, PV = * 0,03 * 1, Observe que o valor 3, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, s [3%;4] = 3, Aalogamete, se resolve a questão do cálculo do motate (FV): (1 + i) - 1 FV M = PMT $12.550,88 (1 4, ,03) 1 * =PMT * S[i; ] i + = = = Também aqui o valor 4, pode ser extraído de FV 3.000*[ 4 ] tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, S [3;4] = 4, Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução é a seguite:

131 Uidade 4-19 Exemplo 4.4: cosidere a compra de um bem, cujo valor a vista é de $ ,31. O comprador deseja pagar essa compra em 4 pagametos mesais, iguais, sucessivos, imediatos e postecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. Figura 33: Compra: fiaciameto em quatro parcelas postecipadas, mesais, iguais. Fote: elaborada pelo autor. Sumário de dados: i = 3% am, PV = ,31, PMT =?, = 4 meses Solução: a) dispor os dados graficamete coforme i* (1i) i) 1 a figura 33; e. b) aplicar as fórmulas de iteresse + = que escrita de forma a + evideciar PMT, resulta em: PV PMT*(1 PMT* = [i;]

132 Uidade 4-20 i * (1 + i) PMT = PV * = (1 + i) 1 PMT = PV * a 1 [i;] PV a [i;] = 4 0,03 * (1 + 0,03) PMT = 1151,31* 4 (1+ 0,03) 1 0,03 * 1, PMT = ,31* 1, ,31 PMT = = ,31* 3, = $3.000,00 3, Observe que o valor a [3%;4] = 3, poderia ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para i = 3% e = 4; idem para o valor é a seguite: 1 a [i;] = 0, Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução Saiba mais... Veja um vídeo muito iteressate em: Atividades de apredizagem

133 Uidade Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00 e taxa de juros de 5% am. R: , Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída de 5 (cico) prestações auais de $ ,00 e taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o motate (valor futuro) para a reda postecipada costituída por (c) 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00 e taxa de juros de 6% as. R: ,04. Reda temporária, certa, periódica, diferida e postecipada Você já apredeu que em reda diferida o primeiro pagameto é efetuado o primeiro período após o diferimeto m e os pagametos são feitos ao fial de cada período porque a reda é também postecipada. A figura 34, a seguir, mostra um caso geérico e permite visualizar as equivalêcias que serão feitas para resolver o problema.

134 Uidade 4-22 Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor atual (PV) A relação etre o valor dos pagametos (PMT) e o valor atual (PV) é determiada de modo aálogo aos casos ateriores e se faz a partir da cosideração do valor presete dos pagametos da reda. Figura 34: Reda diferida, postecipada, periódica, certa e costate Fote: elaborada pelo autor. O valor presete equivalete da reda é a soma de todos os pagametos descotados para a data focal 0 para uma dada taxa de juros. Na figura 34 está visualizada essa operação de descoto para o cojuto de pagametos da reda. Observe que a parte mais escura da figura é uma reda imediata postecipada cujo valor presete em m é PV # ; portato, PV # pode ser calculado coma fórmula (4.1); em seguida, se determia PV descotado-se PV # para a data focal 0. Tem-se: PV # (1 + i) 1 = PMT * i * (1 + i) que descotado para a data focal 0 produz, PV 1 = (1 + i) m * PMT * (1 + i) i * (1 + 1 i) (4.7)

135 Uidade 4-23 Você se recorda que: a [ i;] (1 + i) = 1 i * (1 + i) e que FVP [i;m] 1 = (1+ i) m Etão a expressão (4.7) pode ser escrita como: PV = FVP [i; m] * PMT * a [i;] (4.8) Regra memôica: o PV do modelo diferido postecipado = FVP [i%;m] *PV do modelo imediato postecipado. Saiba mais... A dedução das fórmulas (4.7) e (4.8) pode ser vista em: Relação etre valor dos pagametos (PMT) e motate (FV) Observe a figura 34 que etre os potos 0 e m, ão há ocorrêcia de pagametos; assim, aida que ituitivamete é possível perceber que o valor futuro dessa reda é exatamete igual àquele dado pelo modelo imediato postecipado, qual seja. ( 1 + FV =PMT * i) i - 1 (4.9) Observado a expressão e associado-o com o fator fiaceiro S, pode-se escrever: FV = PMT * S[i; ]

136 Uidade 4-24 Regra memôica: o motate de uma reda diferida e postecipada é igual ao motate da reda imediata, matidos costates os demais parâmetros da reda. Exemplo 4.5: cosidere uma compra fiaciada em quatro pagametos mesais, iguais, sucessivos, postecipados e costates o valor de $ 3.000,00. Cosiderado-se um diferimeto de 2 meses e uma taxa de juros de 3% am, determie qual o valor a vista da compra efetuada. Sumário de dados: PMT = 3.000, = 4 m, m = 2 meses, i = 3% am, PV =? Solução: a) dispor os dados graficamete coforme figura 35: b) aplicar a fórmula de iteresse (4.7): PV 1 = (1 + i) m * PMT * (1 + i) i * (1 + 1 i) Figura 35: Reda diferida postecipada Fote: do autor PV = (1+ 0,03) 2 4 (1 + 0,03) 1 * 0,03 * (1 + 0,03) 4 PV = ,16 Observe que o problema também pode ser resolvido pela fórmula (4.8) com a aplicação de fatores fiaceiros:

137 Uidade 4-25 PV = FVP [i; m] * PMT * a [i;] As tabelas fiaceiras forecem: para o par [i;] = [3;4] a [3;4] = 3, e para o par [i;m] = [3;2] FVP [3;2] = 0, que substituídos a fórmula aterior, gera: PV = 0,942596*3,717098*3.000 = $ ,16 Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução é a seguite: Esse valor ficará armazeado a memória superior Y e será utilizado quado as operações cotiuarem. Cotiuado com a seguda parte da equação:

138 Uidade 4-26 Até este mometo você teve a oportuidade de etrar em cotato com as redas postecipadas, periódicas, certas, limitadas e dos tipos imediato e diferido. A seguir a tabela 6 faz um resumo das fórmulas pricipais que são utilizadas para a resolução de problemas evolvedo estes modelos de reda. Esses modelos de reda tem larga aplicação os processos de fiaciameto os mercados fiaceiros. Tabela 6: Redas postecipadas resumo das fórmula Fote: elaborada pelo autor. Atividades de apredizagem 7. Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por 10 (dez) prestações mesais de $ ,00, diferidas em 3 meses e com taxa de juros de 5% am. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída 5 (cico) prestações auais de $ ,00, diferidas em 2 meses e com taxa de juros de 12% aa. R: , Determie o valor presete para a reda postecipada costituída por (c) 8 (oito) prestações semestrais de $ ,00, diferidas em cico semestres e com taxa de juros de 6% as. R: ,53.

139 Uidade 4-27 Reda, temporária, certa, periódica e atecipada Você já viu ateriormete que redas atecipadas são aquelas as quais os pagametos se dão ao iício de cada período; exemplos deste tipo de redas são as compras fiaciadas em que o primeiro pagameto se dá o ato da compra (etrada) ou uma operação de arredameto mercatil (leasig) a qual os pagametos se dão o iício de cada período. A represetação gráfica de uma reda geérica foi mostrada a figura 25; observe atetamete a posição do primeiro pagameto. Reda temporária, certa, periódica, imediata e atecipada Relação etre valor dos pagametos (PMT) e valor atual (PV) Você pode ituir que a determiação da relação etre valor dos pagametos e valor atual pode ser aáloga à vista em redas postecipadas, isto é, com o raciocíio de que o valor presete da reda é a soma dos valores de todos os pagametos devidamete descotados para a data focal 0. A figura 36 a seguir ilustra os descotos feitos em cada pagameto.

140 Uidade 4-28 Figura 36: Reda certa, costate, periódica e atecipada - PV. Fote: elaborada pelo autor. Procededo-se aos descotos dos pagametos (PMT) e somado-se os valores tem-se: PV = PMT (1+ i) 0 + PMT (1+ i) PMT (1+ i) -1 Tratado-se algebricamete essa expressão, coforme já visto ateriormete, chega-se a: (1+ i) -1 PV = (1+ i) * PMT * i * (1+ i) (4.10) Saiba mais... A dedução completa da fórmula pode ser vista em LC 55, dispoível em: c Lembra-se dos fatores fiaceiros? a [i;] (1+ i) -1 = i * (1+ i) a expressão 4.7 assume a forma abaixo: PV = (1+ i) * PMT * a [i;] (4.11) Se você comparar esta fórmula com aquela deduzida para o modelo postecipado (4.1) vai perceber que elas são muito semelhates e diferem apeas pelo fator (1 + i). Este fato

141 Uidade 4-29 pode lhe ajudar a criar uma regra memôica para facilitar o cálculo do VP do modelo atecipado. Relação etre valor dos pagametos (PV) e motate (FV) De modo aálogo se faz a determiação da relação valor dos pagametos (PMT) e motate (FV): o motate é obtido a partir da soma dos valores de cada um dos pagametos capitalizados para a data focal, coforme se vê a figura 37 Figura 37: Reda atecipada FV Fote: elaborada pelo autor. Essa cosideração coduz à expressão: 1 1 FV = PMT * (1+ i) + PMT * (1+ i) PMT * (1+ i) que trabalhada algebricamete e com a cosideração da soma de uma progressão geométrica coduz a: (1+ i) -1 FV = (1 + i) * PMT * = (1+ i) * PMT * S[i; ] i (4.12)

142 Uidade 4-30 Saiba mais... A dedução completa da fórmula 4.12 pode ser vista em LC56 dispoível em: As calculadoras fiaceiras deverão ser operadas o modo iício ou bg ( f e bg ) para o cálculo de redas atecipadas. Exemplo 4.6: cosidere uma reda atecipada costituída por uma série de 4 pagametos mesais, iguais e sucessivos, o valor de $ 3.000,00. Determie o capital e o motate equivaletes dessa reda para uma taxa de juros de 3% am. =?, FV =? exercício. Sumário de dados: PMT = 3.000, = 4 m, i = 3% am, PV Solução: a) dispor os dados graficamete faça como aplicar as fórmulas de iteresse: (1 + i) 1 PV = (1 + i) * PMT * i * (1 + i) PV = (1 + 0,03) * * (1 + 0,03) 4 1 0,03 * (1 + 0,03) 4 1, PV = 1,03 * * 0,03 * 1, PV = 1,03 * * 3, = $11.485,84 Observe que o valor 3,717103, como mostrado ateriormete, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para i = 3% e = 4, ou seja, a [3%;4] = 3, PV ] = (1 + i) * PMT * a[i; = 1,03 * * 3, = $11.485,84

143 Uidade 4-31 Aalogamete, se resolve a questão do cálculo do motate (M): (1 + FV = (1+ i) * PMT * i) i - 1 FV = (1+ 0,03) * * (1 + 0,03) 0,03-1 = ,41 Também aqui, do mesmo modo já visto em redas postecipadas, o valor 4, pode ser extraído de tabelas fiaceiras para o par [3%;4], ou seja, S [3;4] = 4, FV = (1 + i) * PMT * S[i; ] FV = (1 + 0,03) * * 4, = ,41 Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução é a seguite: ou refaça todos os passos, e busque: Exemplo 4.7: cosidere a compra de um bem, cujo valor a vista é de $ ,31. O comprador deseja pagar essa compra em 4 pagametos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. = ,31 Sumário de dados: PMT =?, = 4 m, i = 3% am, PV

144 Uidade 4-32 figura 38; Solução: a) dispor os dados graficamete coforme Figura 38: Reda atecipada: PMT. Fote: elaborada pelo autor. b) aplicar a fórmula de iteresse (4.9): 1 i * (1+ i) PMT = * PV * (1 + i) (1+ i) 1 substituido os valores, 1 0,03 * (1+ 0,03) PMT = * ,31* 4 (1+ 0,03) (1+ 0,03) 1 1 0,03 * 1, PMT = * ,31* 1,03 1, ,31 PMT = * = $2.912,62 1,03 3, O cálculo pode ser feito com a utilização de tabelas fiaceiras e da fórmula (4.9) PV PMT = (1 + i) -1 * a [i;] Observe que o valor -1 a [i;] = 0, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para o par [3%;4]. Etão: é a seguite: PV PMT = * a (1 + i) ,31 = * 0, ,03-1 [i; ] = ,64 Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução

145 Uidade 4-33 Exemplo 4.8: cosidere a formação de uma poupaça o valor de $ ,40, através de 4 depósitos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. Sumário de dados: PMT =?, = 4 m, i = 3% am, FV = ,40 figura 39; Solução: a) dispor os dados graficamete coforme Figura 39: Reda atecipada: PMT. Fote: do autor. b) aplicar a fórmula de iteresse (4.11): 1 i PMT = * FV * (1 + i) (1 + i) = 1 1 0,03 PMT = * ,40 * (1+ 0,03) (1+ 0,03) 4 1

146 Uidade 4-34 PMT = 1 0,03 * ,40 * 1,03 1, PMT = * ,40 * 0, = $2.999,99 1,03 Ou aida utilizado os fatores de tabelas fiaceiras, 1 PMT = * FV * (1 + i) 1 S [i;] O valor 1 S [i;] = 0, pode ser extraído diretamete de tabelas fiaceiras para o par [3%;4]; etão:. 1 PMT = * ,40 * 0, = 2.999,99 (1 + 0,03) é a seguite: Utilizado-se a calculadora fiaceira HP 12C a solução Atividades de apredizagem 10. Uma pessoa resolve fazer uma poupaça para comprar um carro cujo valor à vista é $ ,00. Sedo a taxa de juros de 6% aa, o prazo da poupaça de 24 (vite e quatro) meses e o modelo de reda atecipado e costate, qual o valor do depósito mesal a ser feito? Cosidere o preço do carro ivariate. R: 586,87.

147 Uidade Cosidere a formação de uma poupaça com motate de valor $ ,88, através de 4 depósitos mesais, iguais, sucessivos e atecipados. Determie o valor desses pagametos para uma taxa de juros de 3% am. R = 2.912, Você comprou uma TV o valor de $ 1.000,00 a vista; a loja lhe abriu a possibilidade de pagar em quatro pagametos iguais, mesais, sedo o primeiro o ato da compra. Se a taxa de juros vigete for 2% am, qual será o valor do pagameto? R: 257,47. Reda temporária, certa, periódica, diferida e atecipada Covidamos você a refletir sobre a figura 40 mostrada abaixo e que deixa claro que estas redas podem ser tratadas como redas diferidas postecipadas, mediate algus ajustes. Nessa figura 40, você vê uma reda atecipada diferida para m períodos. Observe que o período m se iicia o poto m e vai até m+1. A reda é diferida em m períodos e os pagametos se iiciam, portato, o período m ; porém, como a reda é atecipada esse pagameto se dá o iício do período, ou seja, o poto temporal m. Os valores que se deseja relacioar com PMT são PV e FV. Observado a parte mais escura da figura 40 você se depara com uma reda postecipada equivalete a PV # e a FV # que podem ser calculados pelos métodos já vistos para esse modelo. Posteriormete, é só proceder ao descoto de PV # para PV por (m-1) períodos e a capitalização de FV # para FV por um (1) período para se ter a correspodêcia desejada. As fórmulas são as seguites:

148 Uidade 4-36 Figura 40: Redas diferidas e atecipadas. Fote: elaborada pelo autor. PV = FVP # [ i%;m 1] * PV = FVP[i%;m 1] * PMT * a[i%;] (4.13) e # [ i%;1] * FV = (1 i) * PMT * S[i%;] FV = FVF + (4.14) Este último tipo de reda foi apresetado a você muito mais com o objetivo de lhe mostrar camihos alterativos para resolver problemas evolvedo redas e tem um caráter mais iformativo. A tabela 7 mostra as fórmulas de iteresse para os modelos de redas atecipadas.

149 Uidade 4-37 Tabela 7: Redas atecipadas resumo das fórmula Fote: elaborada pelo autor. A taxa de juros em redas Você deve ter observado que as fórmulas deduzidas esta uidade utilizaram a taxa de juros efetiva da reda (temporalidade da taxa e igual à periodicidade dos pagametos), expressa em forma uitária. Por vezes, a taxa de juros da reda está expressa para período diferete dos períodos dos pagametos dos termos da reda; esse fato exige um ajuste essa taxa de juros para a utilização das fórmulas. Se essa taxa de juros for omial o ajuste da taxa será feito utilizado-se o critério da proporcioalidade para a mudaça de período da taxa; e se a taxa de juros for efetiva o ajuste será feito pelo critério da equivalêcia. Quado ão houver ehuma declaração a respeito assume-se que a taxa dada é omial. Você pode imagiar uma situação em que a taxa de juros efetiva de uma reda seja dada por 9% at (o período da taxa de juros é o trimestre) e que o pagameto da reda seja mesal (o período da reda é o mês). Para aplicar as fórmulas vistas a taxa de juros tem que ser expressa em mês. Como a taxa dada é efetiva a coversão se faz por equivalêcia, ou seja: i m = 9% am ou i m = 9/100 = 0,09 am (forma uitária)

150 Uidade ( 1+ im) = (1+ it) (1+ im) = (1+ 0,09) im = 3 (1+ 0,09) 1 i m = 0,0291 am ou 2,91% am Essa é a taxa de juros efetiva mesal que deverá ser cosiderada o exemplo para os cálculos pertietes. Porém, se a taxa de juros dessa reda de 9% at for omial (matidos os pagametos mesais) deve-se determiar a taxa efetiva mesal da reda pelo critério de proporcioalidade: i m = it/3 i m = 9/3 = 3% am sedo essa a taxa de juros a ser cosiderada para os cálculos pertietes. É este caso que gera as deomiadas redas fracioárias que podem ser estudadas com mais detalhes em Mathias, W. F. & Gomes, J. M (2004). Exemplo 4.9: sedo a taxa de juros omial 12% aa e o pagameto mesal qual a taxa efetiva dessa reda? Expressões am e aa. Solução: como a taxa dada é omial a taxa efetiva é calculada pelo critério da proporcioalidade, ou seja, i m = i a /12 = 12/12 = 1% am expressado essa taxa em bases auais (agora por equivalêcia): (1+i a ) = (1+i m ) 12 = (1 + 0,01) 12 = 1,1268 i a = 0,1268 aa ou 12,68% aa A taxa efetiva é 1% am ou 12,68% aa. Exemplo 4.10: sedo a taxa de juros efetiva 12% aa e o pagameto trimestral qual a taxa de juros trimestral efetiva dessa reda?

151 Uidade 4-39 Solução: como a taxa aual dada é efetiva a taxa trimestral efetiva é calculada pelo critério da equivalêcia, ou seja, (1+i a ) = (1+i t ) 4 (1 + 0,12) = (1+i t ) 4 (1+i t ) = 1,12 1/4 = 1,0287 i t = 0,0287 at ou 2,87% at Redas perpétuas São as redas cujo úmero de pagametos é ifiito (ou, em casos práticos, é muito grade). Nesse caso, só há iteresse em determiar a relação etre o valor presete da reda e a reda periódica associada. Para uma reda postecipada imediata, basta determiar matematicamete o valor de PV quado tede para ifiito. (1+ i) 1 PV =PMT * i * (1 + i) fazedo crescer idefiidamete e valedo-os da teoria de limites, tem-se: (1 + i) LimPV = PMT * lim l i * (1 + i) 1 dividido-se umerador e deomiador por (1+i), chegase a: 1 1 (1 + i) LimPV = PMT * lim l (1 + i) i * (1 + i) 1 1 (1 + i) = PMT * lim l i mas observe que,

152 Uidade (1 + i) (1 + i) 1 0 lim = = = l i i i decorre, 1 i 1 PV = PMT * = i PMT i (4.15) Em outras palavras o valor presete de uma reda perpétua é a relação etre o valor do pagameto periódico e a taxa de juros. Esta relação é muito útil em algumas aplicações práticas importates a exemplo de avaliação de obrigações e cálculos atuariais. Exercícios resolvidos para fixação de coceitos Exercício 4.1: uma loja oferece um eletrodoméstico em 10 prestações mesais de 100 uidades moetárias, sedo a primeira o ato da compra. Se a taxa de juros for de 2% am qual o preço a vista do aparelho? Sumário de dados: = 10, PMT = 100, i m = 2% am, PV =?, modelo atecipado Solução: a) Fórmula a ser utilizada: PV = (1 + i) * PMT * a [i%;] b) Aplicação dos dados: PV = (1 + 0,02) * PMT * a[ 2%;10 ] = 1,02 *1000 * 8, = 916,22 Resolvedo pela HP 12C,

153 Uidade 4-41 Exercício 4.2: você programa a formação de uma poupaça com 10 depósitos semestrais o valor de $ ,00. O baco oferece uma taxa de juros de 20% aa com capitalização trimestral. Qual o motate dessa poupaça: a) modelo postecipado imediato e b) modelo atecipado imediato. Sumário de dados: = 10 (semestrais), i = 24% aa (capitalização trimestral), PMT = , FV =? Solução: a taxa de juros dada é omial e, em primeiro, lugar deve-se determiar a taxa de juros semestral efetiva pelo critério da proporcioalidade (lembre-se que o ao tem 4 semestres): i a /k = 20/4 = 5% at Porém, os depósitos são semestrais e a taxa de juros deve estar expressa em semestre; agora vai-se coverter uma taxa efetiva trimestral em outra taxa efetiva semestral e o critério é o da equivalêcia: 2 ( 1+ it ) = (1 + is ) 2 ( 1+ 0,05) = (1 + is ) 1,1025 = (1 + is ) i s = 0,1025 ou 10,25%as a) Modelo imediato postecipado: fórmula a ser aplicada,

154 Uidade 4-42 FV = PMT * S [i%;] (1 + i) = PMT * i 1 (1 + 0,1025) FV = * 0, = $ ,33 b) Modelo imediato atecipado: fórmula a ser aplicada, FV = (1 + i) * PMT * S [i%;] (1 + i) = (1 + i) * PMT * i 1 (1 + 0,1025) FV = 1(1 + 0,1025) * * 0, = $ ,30 Atividades de apredizagem 13. Um produto é vedido à vista por $ 3.000,00 ou, alterativamete, em 5 (cico) prestações de $ 630,00 vecíveis a 30, 60, 90, 120 e 150 dias. Cosiderado que o redimeto do capital aplicado o mercado fiaceiro é de 1% am, determiar: a) a melhor alterativa de compra para o iteressado e b) a decisão seria a mesma se o redimeto do mercado fiaceiro fosse 2% am? a) à vista b) a prazo. (Dica: meor valor presete). 14. Uma pessoa resolve fazer uma poupaça para comprar um carro cujo valor à vista é $ ,00. Sedo a taxa de juros de 6% aa, o prazo da poupaça de 24 (vite e quatro) meses e o modelo de reda postecipado e costate, qual o valor do depósito mesal a ser feito? Cosidere o preço do carro ivariate. R: 589, Uma pessoa resolve fazer uma poupaça para comprar um carro cujo valor à vista é $ ,00. Sedo a taxa de juros de 6% aa, o prazo da poupaça de 24 (vite e quatro) meses e o modelo de reda postecipado e costate, qual o valor do depósito mesal a ser feito? Cosidere o preço do carro ivariate. R: 589,81.

155 Uidade Uma pessoa se comprometeu com 25 (vite e cico) pagametos mesais e sucessivos de $ ,00, um modelo postecipado. Imediatamete após o pagameto da 15ª prestação, para adequar os pagametos futuros à sua reda, essa pessoa propõe à outra parte o pagameto da dívida aida existete em 20 (vite) pagametos adicioais, mesais e sucessivos, o mesmo modelo de redas. Qual o valor dessas prestações cosiderado uma taxa de juros de 5% am? R; 6.196, A empresa ALFA deve ao baco BETA os seguites motates: $ ,00, $ ,00, $ ,00 e $ ,00 que são vecíveis respectivamete a 90, 180, 270 e 360 dias. Qual o valor dos pagametos se as partes egociaram a trasformação desses pagametos em 10 (dez) pagametos mesais imediatos, costates postecipados com taxa de juros de 3% am?. R: 9.378, Repita o exercício 17 para 10 (dez) pagametos mesais, imediatos, costates atecipados. R , Repita o exercício 17 para 10 (dez) pagametos mesais costates postecipados e diferidos em 3 (três) meses. R: ,93. Resumo Nesta uidade você estudou os modelos básicos de redas (auidades) e adquiriu a habilidade ecessária para trabalhar com outros diferetes modelos de reda, valedo-se dos cohecimetos aqui adquiridos. Na maior parte dos casos, é possível se reduzir esses outros modelos de redas a um dos tipos básicos estudados e resolver os problemas de iteresse.

156 Uidade 4-44 No decorrer da uidade, defiiu-se o coceito de reda, estudaram-se seus elemetos costitutivos e sua classificação e para os modelos de reda certa, periódicas, costates, limitadas, imediatas ou diferidas foram-lhe mostradas as relações de iteresse etre: PMT, PV e FV observados os valores atribuídos a m (diferimeto), (úmero de termos) e i (taxa de juros). Também foi discutida a questão das taxas de juros em redas e apresetado o coceito de redas perpétuas. A perfeita compreesão desta uidade é essecial porque a uidade seguite vai tratar de sistemas de amortização que é uma aplicação direta destes modelos. Você chegou ao fial de mais esta uidade! Pergute-se se etedeu perfeitamete todos os potos abordados. Em caso de alguma dúvida retore ao texto. Realizou todas as atividades? Se a resposta for positiva você mais uma vez está de parabés e apto a iiciar os estudos da quita uidade do curso pois já cohece os pricipais modelos de redas e as armadilhas das taxas de juros, além de domiar os coceitos vistos as uidades ateriores.

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158 Uidade 5 Sistemas de amortização

159 Uidade 5-2 Objetivos A quita uidade do curso pretede estudar com você os pricipais sistemas de amortização de dívidas cotraídas utilizadas pelo mercado. Neste setido, vai-se estudar o sistema de prestações costates (com um caso particular deomiado sistema price), o sistema de amortização costate e o sistema americao e seus derivados. Assim, esta uidade tem por objetivos auxiliar você a: cohecer os modelos básicos de sistemas de amortização de dívidas; costruir os quadros de amortização de dívidas. Os cohecimetos prévios exigidos são: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos as uidades 1, 2, 3 e 4, com êfase para: taxas de juros efetiva e omial; modelos de auidades; equivalêcia de capitais.

160 Uidade 5-3 Itrodução Você pode perceber ituitivamete que um sistema de amortização ada mais é do que um plao de pagameto de uma dívida cotraída. Esses plaos de pagameto podem assumir muitas formas, mas são baseados, fudametalmete, os modelos de redas, estudados a uidade aterior. Exemplos de aplicação de sistemas de amortização: compras a prestação, empréstimos em bacos para pagameto em parcelas periódicas, empréstimos do sistema fiaceiro da habitação para compra da casa própria e outros. Nos diversos plaos de pagameto possíveis, cada pagameto (PMT) costuma icluir: juro do período (J) que é calculado sobre o saldo da dívida o iício do período; e/ou amortização do pricipal (A) que correspodete ao pagameto parcial ou itegral do pricipal da dívida. Com essas cosiderações os pagametos (PMT) esses sistemas de amortização obedecem, de modo geral, a seguite relação: PMT = J + A Um plao de amortização, cujo primeiro pagameto se dá a origem da dívida, é associado a um modelo de reda imediato e atecipado; esses casos, o primeiro pagameto se destia totalmete à amortização da dívida porque ão há decurso de tempo e, por coseqüêcia, ão há juro (PMT 1 = A).

161 Uidade 5-4 Uma operação fiaceira evolve ecessariamete duas partes - um credor e um devedor - e gera dois fluxos de caixa, um para cada parte evolvida, que são perfeitamete simétricos; etão, o cohecimeto de um desses fluxos de caixa é o suficiete para esclarecer completamete o problema. Sem perder de vista que os modelos de sistemas de amortização podem assumir as mais variadas formas, esta uidade será dedicada ao estudo dos modelos mais usuais a vida prática. Sistema de prestação costate (SPC) Este sistema é muito utilizado em operações de CDC (crédito direto ao cosumidor) e em fiaciametos habitacioais. Esse modelo cosiste o pagameto da dívida através de prestações ou redas (PMT) postecipadas, imediatas, periódicas e iguais. Cada prestação ou reda é composta de duas partes: juro do período (J), calculado sobre o débito (saldo devedor) do iício do período; e amortização do pricipal (A), que correspode à difereça etre o valor da prestação e o juro do período. Você pode ver a figura 41 o modelo geral deste tipo de reda. Nessa reda o valor presete (PV, SD o ) correspode à dívida cotraída.

162 Uidade 5-5 Figura 41: Sistema de prestação costate. Fote: elaborada pelo autor. Cada pagameto periódico (PMT) iclui parcelas de juros e de amortização do pricipal, verificado-se a relação fudametal: PMT k = A k + J k (5.1) ode k idica a ordem do pagameto ou o período em que o pagameto se dá (1 k ). O capital ou pricipal será deomiado PV ou SD 0, e o valor dos pagametos será deomiado PMT, adotado a liguagem das calculadoras fiaceiras, sempre que os pagametos forem costates. Quado você faz um fiaciameto a sua perguta básica é: qual o valor dos pagametos periódicos que devo fazer? Esse problema você resolve com o auxílio das fórmulas deduzidas a uidade 4 para o modelo de redas postecipado, imediato, costate, periódico e temporário que permite estabelecer as seguites relações: PV = SD o (1+ i ) - 1 = PMT * ip * (1+ ip) p (5.2) ip * (1+ ip) PMT = PV * (1+ ip) 1 ip * (1+ ip) = SDo * (1+ ip) 1 (5.3)

163 Uidade 5-6 Ou recorredo aos fatores tabulados em tabelas fiaceiras, PV = SDo = PMT * a[i; ] -1-1 PMT = PV * a [i;] = SDo * a [i;] (5.4) (5.5) Essas fórmulas relacioam o valor da dívida cotraída (PV ou SD 0 ), o valor dos pagametos (PMT), a taxa de juros efetiva da operação (i p ) e o úmero de pagametos () e respodem à perguta iicial que você fez. Veja que este problema pode ser colocado de forma iversa, isto é, dada uma sucessão de pagametos periódicos iguais, determiar o estado iicial da dívida. Uma outra perguta que você pode fazer: qual será o valor de miha poupaça após vários depósitos periódicos de um valor costate? Em outras palavras qual o valor futuro da poupaça (ou da dívida) cohecedo-se o úmero e o valor dos pagametos, e a taxa de juros efetiva? Mais uma vez, vamos os valer da fórmula deduzida a uidade 4 que estabelece a relação etre o valor fial da dívida (FV), valor dos pagametos (PMT), taxa de juros (i) e úmero de pagametos (): (1+ i ) - 1 FV = PMT * ip p (5.6) Que também podem ser expressas através de fatores fiaceiros tabulados: FV = PMT * S [i;] -1 PMT = FV * S [i;] (5.7) (5.8)

164 Uidade 5-7 Saiba mais... A dedução das fórmulas deste modelo podem ser vista em LC61, dispoível em Um aspecto importate do problema, de utilização freqüete, é a determiação dos seguites valores para a k- ésima prestação (1=< k =<): parcela de juros (Jk) ela cotida; parcela de amortização (Ak) ela cotida, e saldo devedor que permaece (Sd k ) após o pagameto da parcela. Essas relações são as seguites: k -1 (1+ i) Ak = SDo * i * [ (1+ i) - 1 ] (5.9) J k = SD o (1+ i) - (1+ i) * i * [ (1+ i) - 1 k-1 ] (5.10) SD k = SD o * (1+ i) - (1+ i) [ (1+ i) - 1 k ] (5.11) Observações: A k e J k são os valores da amortização e dos juros cotidos a k-ésima parcela, SD k é o saldo devedor existete imediatamete após o pagameto da k-ésima prestação; em outras palavras, é o saldo devedor iicial do período k. Exemplo 5.1: cosidere um empréstimo de $ ,00 a ser pago em quatro prestações auais sucessivas postecipadas,

165 Uidade 5-8 para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário de dados: PV = SD 0 = ,00, = 4, i = 10% aa, PMT =? Solução: o cálculo da prestação é feito a partir das fórmulas (5.3) ou (5.5): 1 1 PMT = SD0 * a = * a [i%;] [10%;4] de tabelas de fatores fiaceiros ecotra-se para o par [i;] =[10%;4]: a 1 [10%;4] = 0, etão: PMT = * 0, = $ 3.154,70 O quadro geral da operação, também deomiado quadro geral de amortização, é o seguite: Observe bem esse quadro, pois ele é ilustrativo do modo de operação do sistema: o juro devido do fial de cada período é calculado diretamete do saldo devedor do iício desses períodos (J k = SD ki *i), e as amortizações pelas difereças etre o pagameto devido (PMT) e o juro de cada período. Ao fial de

166 Uidade 5-9 cada um dos períodos, resta um saldo devedor SD kf que é o saldo devedor do iício de período seguite. Observe que a parcela de juros dimiui ao passo que a parcela de amortização aumeta em cada prestação por um fator costate, verificado-se sempre a relação: PMT = A k + J k. Isto pode ser mais bem observado a figura 42. Para calcular os valores de A, J e SD correspodetes à parcela 3, sem costruir o quadro geral de amortização, recorre-se às fórmulas (5.9) a (5.11): Figura 42: Comportameto de juros e amortização. Fote: elaborada pelo autor. A 3 = SD o * i * (1+ i) [ (1+ i) k-1 ] - 1 A 3 (1+0,10) = * 0,10 * [ (1+ 0,10) A 3 = $ 2.607, ] J 3 = SD o * i * (1+ i) - (1+ i) [ (1+ i) - 1 k - 1 ] J 3 = * 0,10 * 4 (1+ 0,10) - (1+ 0,10) [ 4 (1+ 0,10) ]

167 Uidade 5-10 J 3 = $ 547,51 SDk = SDo * k (1+ i) - (1+ i) [ ] (1+ i) - 1 SD 3 = * 4 (1+ 0,10) - (1+ 0,10) [ 4 (1+ 0,10) ] = SD 3 = $ 2.867,91 A determiação do valor do motate total, ao fial, equivalete à dívida iicial, se faz com a aplicação da expressão (5.6) ou da expressão (5.7). M = PMT * S [i;] = PMT * S [10%;4] =3.154,70 * 4,641 M = $ ,96 tirado-se de tabelas fiaceiras, para o par [10%;4], o valor : S [10%;4] = 4, Este sistema de amortização tem larga utilização em operações de fiaciameto imobiliário e de crédito direto ao cosumidor. Com o auxílio da calculadora fiaceira HP-12C se gaha muito em tempo e praticidade: A utilização de plailhas como a Excel é também muito útil para resolver problemas desta atureza.

168 Uidade 5-11 Saiba mais... Veja video-aula sobre tabela price e uso da HP 12C e da plailha excel em: ature=related T abela Price A Tabela Price é um caso particular do modelo de prestação uiforme, o qual o processo de cálculo é exatamete o mesmo. Dois fatores caracterizam o sistema price: a prestação é obrigatoriamete mesal e a taxa de juros dada é uma taxa aual omial, sedo a taxa efetiva mesal calculada por proporcioalidade. Em outras palavras: é expresso em meses e a taxa efetiva de juros é i m = i a /12. Atividade de apredizagem 1. Qual o valor das prestações do fiaciameto de $ ,00 pela tabela price e que deve ser pago em 12 parcelas mesais sucessivas postecipadas e iguais, à taxa de juros omial de 12% aa. Resolva pela tabela, pela fórmula, pela calculadora. (Dica: a taxa de juros efetiva é taxa mesal proporcioal a 12% aa). R: PMT = $ 888,49

169 Uidade 5-12 Modelo de prestação costate diferido postecipado Você pode imagiar a situação prática seguite: você fiaciou a compra de uma TV em 10 pagametos mesais, iguais, sucessivos, mas com o primeiro pagameto acotecedo daqui a quatro meses. Este é um exemplo de sistema de amortização postecipado e diferido por três períodos (m=3), que é bastate comum a prática. As fórmulas básicas do modelo postecipado diferido em m períodos, com prazo total de m+ períodos e sem pagameto de juro durate o diferimeto são mostradas a seguir. Como ão há pagameto de juro durate o diferimeto o seu valor deve ser capitalizado. Veja bem a figura 43 e procure perceber que: os termos da reda e o ete auxiliar criado e deomiado PV # se costituem em um sistema de amortização imediato, postecipado podedo-se escrever: Figura 43: Modelo de prestação costate, postecipado e diferido Fote: elaborada pelo autor.

170 Uidade 5-13 Na figura 43 o primeiro pagameto está o poto (m+1) que é o fial do período m que se estede do poto m até o poto (m+1). PMT = PV # * i p * (1+ i (1+ i ) p ) p 1 Observado a figura com ateção você perceberá que PV # é o valor futuro de PV para m períodos e para a taxa de juros i p, ou seja, a relação etre esses valores é dada por: # PV = PV * (1+ i p ) que substituída a expressão acima resulta em, m PMT = PV * (1+ i p ) m * i p * (1+ i ) p (1+ ip) 1 (512) PMT = PV * FVF 1 [ i;m] * a [i;] (5.13) Pode-se mostrar que a expressão do motate é (idêtica ao modelo imediato: (1+ i ) - 1 M = FV = PMT * = PMT * S ip p [i ; (m + ) - m] (5.14) As fórmulas de amortização, juro e saldo devedor itermediários são mostradas a seguir: A J k k SD = SD = SD k o o = SD * i * (1+ i) * i * (1+ i) o * (1+ i) m m m (1+ i) * [ (1+ i) k - 1 ] - 1 (1+ i) - (1+ i) * [ (1+ i) - 1 (1+ i) - (1+ i) * [ (1+ i) - 1 k - 1 k ] ] (5.15) (5.16) (5.17)

171 Uidade 5-14 para todo k compreedido o itervalo: 0=< k =< (m+)-m. A fórmula do valor futuro para o modelo diferido é exatamete a mesma do modelo imediato porque só os pagametos efetuados são capitalizados e ão há pagametos o período de diferimeto. Você deve atetar para o fato de que essas fórmulas são muito semelhates àquelas do modelo imediato. Essas fórmulas são, em geral, aquelas do modelo postecipado imediato ajustadas pelo fator (1+i) m que decorre da capitalização do valor PV em 0 para o valor PV # em m. Em outras palavras, com exceção da fórmula do valor futuro as fórmulas do modelo diferido para o cálculo de A k, J k e SD k são obtidas simplesmete multiplicado-se aquelas fórmulas do modelo imediato pelo fator (1+i) m. Exemplo 5.2: em uma compra a prazo o valor de $ ,00 em quatro pagametos iguais, postecipados e diferido em 3 meses com taxa de juros de 2% am, determie o valor dos pagametos utilizado: a) as fórmulas e b) as tabelas fiaceiras. Determie também a amortização e os juros cotidos a seguda parcela do pagameto e o saldo devedor após o pagameto da seguda parcela. Costrua a plailha de amortização. Sumário de dados: PV = ,00, m = 3 meses, i = 2% am, = 4. Solução: a) costrua a figura represetativa do problema (deixa-se ao ecargo do leitor); b) determie o valor de cada pagameto utilizado a fórmula (5.12):

172 Uidade 5-15 PMT = PV * (1+ i) m * i p * (1+ i (1+ i ) p ) p 1 PMT = * (1 + 0,02) PMT = $ 2.786,98 3 0,02 * (1+ 0,02) * 4 (1 + 0,02) 1 4 = * 1, * Com a utilização das tabelas fiaceiras: buscar os valores de FVF [i;] e 1 a em tabelas fiaceiras com jur os de [i%;] 2% e aplicar a fórmula (5.13). Ecotra-se: FVF [2%;3] = 1, e a 1 [2%;4] = 0, PMT = PV * FVF -1 [i%;m] * a [i%;(m+ )-m] PMT = *1, * 0, = Observe que [(m+)-m] = [(3+4)-3] = 4 $ 2.786,98 Cálculo dos juros, da amortização e do saldo devedor com a utilização das fórmulas. Como os valores pretedidos se referem à seguda parcela, tem-se k=2. k - 1 m (1+ i) Ak = SDo * i * (1+ i) * [ ] (1+ i) (1+ 0,02) A2 = * 0,02 * (1+ 0,02) * [ ] 4 (1+ 0,02) - 1 A2 = * 0,02 * 1, * 12, = $ 2.626,23 k - 1 m (1+ i) - (1+ i) Jk = SDo * i * (1+ i) * [ ] (1+ i) - 1 J2 J (1 + 0,02) (1 + 0,02) = * 0,02 * (1 + 0,02) * 4 (1 + 0,02) 1 = 0, * 1, * 0, = $ 160,74

173 Uidade 5-16 Fialmete, o cálculo do saldo devedor remaescete após o pagameto da seguda parcela: m (1+ i) - (1+ i) SDk = SDo * (1+ i) * [ ] (1+ i) - 1 k SD 2 = * (1+ 0,02) 3 4 (1+ 0,02) - (1+ 0,02) * 4 (1 + 0,02) 1 2 0, SD 2 = * 1, * = $ 5.411,08 0, Atividades de apredizagem 2. Você cotraiu um empréstimo para ser pago em cico prestações mesais de $ 9.547,12, iguais, imediatas e postecipadas. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor do fiaciameto. Costrua a plailha de amortização. Determie com a utilização da fórmula geral o valor dos juros cotidos a terceira prestação (J 3 ). Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PV = ,96 J 3 = 550, Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 6 pagametos mesais, sucessivos, iguais a uma taxa de juros de

174 Uidade % aa? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: PMT = 1.725,48 Valor do pagameto = $ 6.732, Vá a uma loja e procure por ofertas que dizem ter preço à vista parcelados em prestações tais que a soma das prestações é igual ao preço à vista. Discuta com seus colegas o sigificado destas ofertas. Modelo de prestação costate imediato atecipado Imagie que você fiaciou a compra de um bem em várias parcelas iguais com um pagameto iicial a título de etrada; este é um modelo de amortização deomiado atecipado e que é muito usado o comércio. Figura 44: Reda temporária, certa, imediata e atecipada. Fote: elaborada pelo autor. Neste modelo, que você pode visualizar a figura 44, os pagametos são feitos o iício de cada período Como o primeiro pagameto se dá a própria origem da dívida, ele ão iclui juro e é todo ele destiado a amortizar a dívida. O juro devido estará icluído os demais pagametos.

175 Uidade 5-18 Recorredo às fórmulas de redas atecipadas da uidade 4, chega-se às seguites expressões: (1+ i) -1 PV = (1+ i) * PMT * i * (1+ i) PV = (1+ i) * PMT * a [i;] (5.18) PMT = PMT = PV i * (1+ i) * (1+ i) (1+ i) 1 PV 1 * a [i;] (1+ i) (5.19) FV [i; ] (1+ i) = (1 + i) * PMT * i 1 i PMT = FV * * (1+ i) (1+ i) -1 = (1+ i) * PMT * S 1 = FV * * S - 1 (1+ i) -1 [i;] (5.20) (5.21) As expressões para juros, amortizações e saldos devedores itermediários são, respectivame te: A = SDo * i * (1 k + k-1 (1+ i) i) * [ (1+ i) - 1 ] p/ k>1 (5.22) e A 1 = PMT p/ k=1 SD0 (1+ i) - (1+ i) Jk = * i * [ (1+ i) ( 1+ i) - 1 e J 1 = 0 k-1 ] P/ K>1 (5.23) p/ k=1 SD0 SDk = * (1+ i) (1+ i) - (1+ i) [ (1+ i) -1 k ] (5.24) Exemplo 5.3: cosidere um empréstimo de $ ,00 a ser pago em quatro prestações auais sucessivas atecipadas, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação.

176 Uidade 5-19 Sumário de dados: PV = ,00, = 4, i = 10% aa, mod. atecipado Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (5.19): PV i * (1+ i) PMT = * (1 + i) (1+ i) PMT = * a ( 1+ 0,1) -1 [10%;4] em tabelas de fatores fiaceiros ecotra-se para o par [10%;4]: etão: -1 a [10%;4] = 0, PMT = * 0, = $ 2.867,90 (1 + 0,1) O quadro geral da operação, também deomiado quadro geral de amortização, é o seguite: Os demais modelos podem ser desevolvidos teoricamete de forma aáloga e são deixados como exercícios para o leitor.

177 Uidade 5-20 Atividades de apredizagem 5. Você cotraiu um empréstimo para ser pago em cico prestações mesais de $ 9.547,12, iguais, imediatas e atecipadas. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor do fiaciameto. Costrua a plailha de amortização. Determie com a utilização da fórmula geral o valor dos juros cotidos a terceira prestação (J 3 ). Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PV = ,96 J 3 = 550, Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 6 pagametos mesais, sucessivos, iguais a uma taxa de juros de 12% aa? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: PMT = 1.708,39 Valor do pagameto = $ 6.732,76. Sistema de amortização costate - SAC Você percebeu que, os modelos ateriores, os pagametos eram costates. Neste sistema de amortização os pagametos são decrescetes o tempo e são compostos, de modo aálogo aos casos ateriores, por dois elemetos: amortização (A), esta costate ao logo de todo o plao de pagametos; e, juro (J), calculados sobre os saldos devedores dos períodos imediatamete ateriores. O pagameto ou reda devido em cada período é: PMT = R = A + J = A + J k k k k k (5.25)

178 Uidade 5-21 Importate! Observe que este sistema o que permaece costate é a parcela de amortização equato que o SPC o que permaece costate é o valor da prestação. Também este sistema pode operar os modos postecipado, atecipado e diferido sedo tratado, este livro, o modelo postecipado. As fórmulas gerais para um sistema de amortização costate, imediato e postecipado, evideciado a figura 45, estão mostradas a seguir. Figura 45: Sistema de amortização costate, imediato e postecipado. Fote: elaborada pelo autor. Chamado de : PV (SD 0 ) - pricipal ou saldo devedor iicial i p - taxa de juros periódica efetiva - prazo em períodos O valor de cada prestação ou reda está dado por (5.25): PMT k = A + Jk 1 k ode,

179 Uidade 5-22 PMT k k-ésima prestação ou reda; A amortização, que é pagametos; costate em todos os J k juros referetes a k-ésima prestação. O valor da amortização cotida em cada pagameto é determiado dividido-se o pricipal (o valor da dívida iicial) pelo úmero de parcelas do plao de pagameto: PV SD A = = 0 (5.26) O saldo devedor, imediatamete após o pagameto da k- ésima prestação ou reda, é dado pela difereça etre o saldo devedor iicial e as amortizações cotidas em todos os pagametos, icluso o de ordem k: SDk = SDo - k * A = SDo - SDo que por fatoração simples resulta em, SDk = SDo - k * [ ] (5.27) Os juros referetes a k-ésima prestação ou reda são calculados com base o saldo devedor do período aterior, ou seja, com base em SD k-1: J k = SDk - 1* ip ordem (k-1) tira-se, mas de (5.27) e para o termo de SD k - 1 = SD o - (k - 1) * [ ] que substituído a fórmula dos juros, Jk = SDo * [ - (k - 1) ] * ip e

180 Uidade 5-23 Jk = SDo * ip * [ com 1 k - k + 1 ] (5.28) Fialmete, o valor da k-ésima prestação ou reda é dado pela soma da amortização e dos juros da par cela de ordem k: SD PMT R = A + J = 0 k = k k + SD0 * ip * [ - k +1 ] (5.29) Observações: Jk é uiformemete decrescete em k; Rk é uiformemete decrescete em k; deste poto em diate a taxa de juros efetiva será desigada simplesmete por i; a taxa de juros e os períodos de pagameto das prestações são expressos em uidades compatíveis; e, a primeira prestação ou reda é devida ao fial do primeiro período (modelo postecipado). Saiba mais... Veja vide-aula do sistema SAC em: http //br.youtube.com/watch?v=43rs_jhta Leve em cota também que este é um modelo básico e comporta variações. Existem modelos com prestações atecipadas ou diferidas. Um modelo diferido postecipado pode ser visto a figura 46.

181 Uidade 5-24 Figura 46: Sistema de amortização costate, diferido e postecipado. Fote: elaborada pelo autor. Como você pode ver essa figura, há um período de diferimeto durate o qual ehum pagameto é feito. Neste caso os juros são capitalizados de modo a trasformar este plao um modelo covecioal postecipado ao qual podem ser aplicadas as fórmulas vistas acima. As fórmulas gerais para este modelo (diferimeto m ) e postecipado são as seguites: SD A = J k =SD 0 Rk = A + J * (1 0 + *(1+i) k i) m m - k +1 *i *( )] 1 k m SDk = SDo * (1+ i) * [ - k ] (5.30) (5.31) (5.32) (5.33) Exemplo 5.4: cosidere um empréstimo de $ 10000,00 a ser pago pelo SAC em quatro prestações auais sucessivas imediatas e postecipadas, para o qual se covecioou uma taxa de juros de 10%aa. Qual o valor da prestação aual? Motar um quadro demostrativo da operação.

182 Uidade 5-25 Sumário de dados: PV = ,00, = 4, (k = 1, 2, 3 e 4), i = 10% aa, mod.: SAC postecipado. Solução: a) o cálculo da amortização cotida em cada pagameto é feito a partir da expressão (5.24): A 0 = SD = ,00/4 = $ 2.500,00 (costate os quatro pagametos) b) o juro, o valor de cada pagameto e o saldo devedor remaescete são calculados a partir das fórmulas mostradas acima. Jk = SDo * ip * [ - k + 1 ] J 1 = * 0,10 * [ ] = $ 1.000,00 4 (k =1) 1 = A + J = = $ 3.500,00 R 1 SDk = SDo - k * [ ] 4-1 SD 1 = * [ ] = $ 7.500,00 4 (k =1) De modo aálogo se calculam: J = * ,10 * [ ] 4 2 = $ 750,00 (k=2) R2 = A + J2 = 2.500, ,00 = $ 3.250, SD 2 = * [ ] = $ 5.000,00 4 (k=2) J3 = * 0,10 * [ ] = $ 500,00 4 R3 = A + J3 = 2.500, ,00 = $ 3.000,00 (k=3)

183 Uidade SD 3 = * [ ] = $ 2.500,00 4 (k=3) J = * ,10 * [ ] 4 4 = $ 250,00 (k=4) R4 = A + J4 = 2.500, ,00 = $ 2.750, SD 4 = * [ ] = 0,00 4 (k=4) O quadro geral de amortização está mostrado a seguir: Observe que o valor das prestações é decrescete; as prestações iiciais do SAC superam as prestações do SPC o iverso ocorredo com as últimas. Atividades de apredizagem 7. Você cotraiu um empréstimo de $ ,00 para ser pago em cico prestações mesais imediatas e postecipadas o sistema SAC. Sabedo que a taxa omial de juros é de 24% aa, determie o valor das prestações. Costrua a plailha de amortização. Dica: taxa mesal efetiva i m = 2% am. R: PMT = 2.200, 2.160, 2.120, 2.080, Qual o valor dos pagametos de uma compra a prazo o valor de $ ,00 à vista, para ser fiaciada em 5 pagametos mesais e sucessivos a uma taxa de juros de 12% aa e diferidos em 3 meses, pelo SAC? quato deveria pagar se quisesse quitar toda a dívida o terceiro pagameto?. Costrua o quadro de amortização. R: Valor do pagameto = $ 8.363,60.

184 Uidade Etre o site da CEF e veja os plaos de fiaciameto habitacioais oferecidos e os idetifique com os modelos vistos até agora. Discuta com seus colegas o wiki. Sistema do motate Coforme você pode ver a figura 47 o sistema do motate há um úico pagameto (FV) ao fial da operação que é a soma do pricipal e dos juros acumulados. Figura 47: Sistema do motate Fote: elaborada pelo autor. Os cálculos resumem-se à aplicação das fórmulas de juros compostos. 0 + FV = SD * (1+ i) = SD0 FV = SD0 * FVF [i%;] J (5.34) (5.35) Exemplo 5.5: cosidere um empréstimo de $ 10000,00 que deve ser pago ao fial de quatro aos, de uma úica vez, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor do pagameto? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário de dados: PV = ,00, = 4, i = 10% aa, FV =? mod.: sistema do motate

185 Uidade 5-28 Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (5.34) ou (5.35): FV = SD0 * (1+ i) = SD0 * FVF [i%;] FV = * (1+ 0,10) 4 = * 1,4641 = $ ,00 O quadro geral de amortização da dívida está mostrado abaixo: Esse quadro mostra até a sua quarta liha, como se dá a evolução da dívida em fução da capitalização dos juros itermediários. A última liha, mostra a forma de liquidação do empréstimo: pagaram-se juros o valor total de $ 4.641,00 e o pricipal o valor de $ ,00. Sistema americao O sistema americao é uma variate do sistema do motate a qual o pricipal é pago de uma só vez ao fial do prazo do empréstimo, e o juro devido é pago periodicamete. A figura 48 ilustra o modelo. Os cálculos este sistema são bastate simples. Com efeito, como ão há capitalização de juro, o saldo devedor ão se altera ao logo do tempo.

186 Uidade 5-29 Figura 48: Sistema americao. Fote: elaborada pelo autor. O juro devido em cada período é costate; o vecimeto da operação são pagos o pricipal e a última parcela do juro. Esquematicamete tem-se: PMTk = PMT1 =... = PMT-1 = J = SD0 * i PMT = SD0 + J PMT = SD0 + SD0 * i PMT = SD0 * (1+ i) (5.36) (5.37) Exemplo 5.6: cosidere um empréstimo de $ ,00 que deve ser pago em quatro aos pelo sistema americao, para o qual se covecioou uma taxa de juros efetiva de 10%aa. Qual o valor dos pagametos? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário de dados: PV = ,00, = 4, i = 10% aa, PMT k =?, mod.: sistema americao Solução: a) o cálculo da prestação é feito a partir da expressão (6.36) e (6.37). PMT = = PMT2 = PMT3 = J = SD0 * i = * 0,10 1 = PMT4 = SD + J = SD0 + SD0 * i = * 0,10 0 = $ 1.000,00 $ ,00

187 Uidade 5-30 Sistema do sikig fud Este sistema de amortização é uma combiação iteressate do sistema do motate - pagameto total ao fial - e de uma forma de poupaça feita pelo tomador (devedor) com o setido de dimiuir o risco fiaceiro para o credor. Este sistema se materializa da seguite forma: o tomador cotrata um empréstimo para pagameto ao fial a uma determiada taxa de juros efetiva i e, paralelamete, ele faz com o baco um cotrato de depósito remuerado periódico a uma taxa de juros i #, pelo mesmo período do empréstimo, de tal modo que o motate desses depósitos remuerados seja, ao fial, exatamete o suficiete para pagar o empréstimo. Os depósitos remuerados são, evidetemete, feitos a istituição fiaceira cocedete do empréstimo. As figuras 49 e 50 ilustram essa situação. Figura 49: Empréstimo com pagameto ao fial. Fote: elaborada pelo autor.

188 Uidade 5-31 Figura 50: Poupaça programada. Fote: elaborada pelo autor. Para que você possa deduzir as fórmulas gerais supoha um empréstimo o valor de SD 0, por um prazo de períodos, a uma taxa de juros i, sem pagameto de juros itermediários. Como já visto o sistema do motate o valor a ser pago ao fial pelo tomador deste empréstimo será: FV = SD0 * (1+ i) = SD * FVF 0 [i%;] (5.38) A perguta que você deve colocar é a seguite: qual deve ser o valor (PMT) dos depósitos periódicos em cota remuerada à taxa de juros i # para que o seu motate fial seja exatamete igual a FV? A resposta a esta questão vem da uidade em que se estudou de redas; o motate dos seus depósitos (imediato, costate e postecipado) em poupaça será, coforme visto a uidade 4: # (1+ i ) 1 FV 1 = PMT * = PMT * S # (5.39) # [i ;] i Como esses dois motates (VF e VF 1 ) devem ser iguais para que o empréstimo possa ser pago, tem-se: # (1+ i ) 1 1 = PMT * = FV = SD # 0 * (1 i) FV + i resultado daí para PMT o seguite valor:

189 Uidade 5-32 # i PMT = SD0 * (1+ i) * (5.40) # (1+ i ) 1 ou, PMT = SD 1 0 * FVF[i;] * S # [i ;] Exemplo 5.7: cosidere um empréstimo de $ ,00 que deve ser pago em quatro aos pelo sistema do sikig fud. A taxa de juros efetiva do empréstimo foi covecioada em 10%aa e a remueração dos depósitos periódicos em 4%aa. Qual o valor dos pagametos? Motar um quadro demostrativo da operação. Sumário de dados: PV = ,00, = 4, i = 10% aa, PMT k =?, sistema de amortização: sikig fud Solução: a) ecotrar o motate a ser pago pelo tomador do empréstimo com a taxa de juros de 10% aa aplicado a fórmula (5.38). Determiação do motate (PV= , = 4, i = 10%aa): FV = PV * (1+ i) = PV * FVF [i,] = * (1+ 0,10) 4 = ,00 b) determiar as quatro prestações auais postecipadas e imediatas que produzirão esse motate aplicado a fórmula (5.39) ( i # = 4% aa, = 4 a, VF 1 = ,00, PMT=?. FV = PMT * S 1 # [i,] = PMT * S[4%,4] = PMT * 4, (o valor S [4%;4] foi tirado de tabelas de fatores fiaceiros para i # = 4% aa e = 4) PMT = $ 3.447,81

190 Uidade 5-33 Saiba mais. Sistema de amortização alemão. Você pode vê-lo a LC 62 em: Atividades de apredizagem 10. Um empréstimo de $ ,00 deverá ser amortizado em 12 meses pelo sistema do sikig fud. A taxa de juros do empréstimo é de 24% aa e a remueração de fudo de reda fixa oferecida pelo baco é de 1% am. Determie o valor dos depósitos mesais que o tomador deverá fazer. Costrua o quadro de amortização. R: FV = ,00, PMT = 2.444, Você cotraiu um empréstimo a ser amortizado pelo sistema americao com pagameto de juros mesais. Determie es pagametos a serem feitos e costrua o quadro de amortização para um valor de empréstimo de $ ,00 e prazo para pagameto do pricipal em 6 meses, O baco cobra uma taxa de juros de 18% aa. Resp.: PMT 1 =...= PMT 5 = 150,00; PMT 6 = ,00.

191 Uidade Você fiaciou a compra de sua casa em 96 prestações mesais pelo sistema SAC. O valor da amortização cotida em cada pagameto é de $ 250,00. A taxa de juros covecioada é de 12% aa. Determie o valor fiaciado e costrua a plailha de amortização para os quatro primeiros pagametos. Resp.: SD 0 = ,00; PMT 1 = 490,00, J 1 =240,00,A 1 = 250, Uma empresa toma um empréstimo de $ ,00 a ser amortizado pelo sistema de prestações costates em seis (6) quadrimestres com carêcia de 2 quadrimestres. A taxa de juros omial é de 15% aa e a capitalização quadrimestral. Determie o valor da prestação e costrua a plailha de amortização. Calcule o saldo devedor remaescete após o pagameto da 4 a prestação, com a utilização da fórmula geral. Resp.: i ef = 5% aq; PMT= 2.068,68; SD4 =3.846, Um empréstimo de $ ,00 deverá ser amortizado em cico (5) prestações pela Tabela Price, sem carêcia. Sabedo que a taxa de juros omial é de 48% aa determiar o valor das prestações. Costrua a plailha de amortização. Determie com o auxílio das fórmulas gerais: SD 3, J 3 e A 4. Resp.: PMT = ; J 3 = 1.246,72; SD 3 = ,40; A 4 = , Costrua a plailha de amortização para um empréstimo de $ ,00 a ser amortizado pelo SAC, em seis (6) prestações mesais, postecipadas, sem prazo de carêcia. A taxa de juros omial é de 24% aa. Costrua a plailha de amortização desse empréstimo. Resp.: A= 8.333,33, J 1 = 3.000,00 PMT 1 = , O preço à vista de um eletro-doméstico é $ 1.000,00. A loja o está fiaciado, pelo sistema SAC, em quatro (4) pagametos mesais, postecipados, a uma taxa de juros efetiva de 42,576% aa. Costrua a plailha de fiaciameto e

192 Uidade 5-35 determie os valores básicos da prestação de ordem três. Resp.: i ef =3%am; A= 250,00. Resumo Nesta uidade você estudou os modelos básicos de sistemas de amortização existetes o mercado. Todos os exemplos resolvidos o foram para o mesmo valor de empréstimo, mesmo prazo e mesma taxa de juros e você pode observar que os valores despedidos para pagameto são diferetes os diversos modelos. Mas, atete para o fato de todos eles são absolutamete equivaletes porque foram solucioados com a utilização da mesma taxa efetiva de juros. O sistema de prestação costate tem larga aplicação o crédito direto ao cosumidor e o sistema fiaceiro da habitação; o sistema de amortização costate é mais largamete utilizado o sistema fiaceiro da habitação e os demais sistemas em aplicações comerciais diversas. Bem! Chegamos ao fial de mais uma uidade do curso. Você etedeu bem todos os potos abordados? Cumpriu todas as atividades? Caso as teha cumprido todas, está uma vez mais de parabés e apto a ir para a sexta e última uidade do curso.

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194 Uidade 6 Iflação e correção moetária

195 Uidade 6-2 Itrodução A iflação é um desajuste de ordem ecoômica que se reflete em um processo de aumeto geeralizado de preços de produtos e serviços, que icide de modo diferete em cada setor da ecoomia causado uma redistribuição de reda, quase sempre perversa. A iflação é um desajuste de ordem ecoômica que se reflete em um processo de aumeto geeralizado de preços de produtos e serviços. A iflação cria uma série de problemas de ordem prática (a par dos problemas de ordem social), algus dos quais estão listados abaixo: dificulta o plaejameto fiaceiro em todos os íveis; tora ilusórios os registros cotábeis e as projeções ecoômico-fiaceiras deles decorretes; cria um imposto iflacioário a medida em que tributa lucros fictícios; dificulta as operações do mercado fiaceiro ao itroduzir uma compoete de previsão icerta, além de outros. Para corrigir essas dificuldades e miorar os problemas de ordem social criaram-se mecaismos de idexação ecoômica que serão em parte estudados esta uidade.

196 Uidade 6-3 Ídices de preços Um ídice de preços é um úmero ídice estruturado e costruído para medir a mudaça que ocorre os preços de bes e serviços em um dado período de tempo. Esses ídices são compostos sob critérios metodológicos específicos e tomam como referêcia uma cesta básica de cosumo de bes e/ou serviços que satisfaçam a uma determiada ecessidade. É possível costruir ídices a partir de cestas básicas de costrução civil, de cesta básica de alimetos, de cesta básica de cosumo de famílias que pertecem à determiada faixa de reda e outros. Para o etedimeto do fucioameto do processo vamos utilizar a tabela 8 de ídices de preços. Tabela 8: Preços Números ídices (NI) Observações: esta tabela reproduz a iflação ocorrida os aos 19X0 a 19X2.

197 Uidade 6-4 os ídices de preço se referem ao iício de cada mês. Se você observar a liha do mês de maio para os três aos, ecotrará os valores 100, 114,95 e 154,65. O que você etede por isso? Sigifica simplesmete o seguite: para comprar a mesma cesta básica de bes, você precisou de 100 uidades moetárias em 19X0, de 114,95 uidades moetárias em 19X1 e de 154,65 uidades moetárias em 19X2. O diheiro perdeu valor porque você precisa de mais para comprar a mesma cesta. Saiba mais... Vá aos sites: ipca/defaultotas.shtm Ídice e taxa de iflação (ou de correção moetária) O ídice de iflação etre os períodos j e m (tomado como base) é dado por: NI I j / m = NI NI j j m (6.1) úmero ídice do mês j, e NI m úmero ídice do mês m. Se você quiser saber o ídice de iflação etre outubro de 19X0 e maio de 19X2, basta fazer a relação etre os úmeros ídices correspodetes, da seguite maeira: I NI = NI 154,65 = 137,64 maix2 maix 2 / outx0 = outx0 1,1235

198 Uidade 6-5 Sigificado disto? Os preços de maio de 19X2 são 1,1235 vezes mais elevados que os preços de outubro de 19X0; em outras palavras: Preços de maix2 = 1,1235*Preços de outx0. A taxa de iflação pode ser calculada a partir do ídice de iflação, do seguite modo: I = (1 + i) (6.2) Para o período cosiderado (out X0 a mai X2) a taxa de iflação foi: 1,1235 = 1 + i i = 0,1235 ou 12,35% ap Exemplo 6.1: Supoha um empréstimo tomado em maio de 19X0 o valor de $ 5.000,00 a serem pagos 60 dias depois (julho). Qual o valor corrigido da dívida? Solução: o ídice de correção para o período é dado pela relação etre: NI mai = 100 e NI jul = 102,39, I jul/mai = 102,39/100 = 1,0239 Valor da dívida em julho = 5.000*1,0239 = 5.119,50 Os idicadores moetários utilizados pelos goveros são atualizados permaetemete por algum dos ídices de iflação calculados por istituições específicas, a exemplo do IBGE, da FIPE, da FGV e outras. Em geral, o Govero Federal arbitra um ídice que é utilizado para a correção moetária de balaços e obrigações prevideciárias e fiscais. Nos dias de hoje, a correção moetária oficial é feita pela taxa referecial de juros (TR). Em operações particulares há liberdade para se fixar ídices de correção difereciados.

199 Uidade 6-6 Taxas de juros aparete e real Ao se cosiderar a iflação tem-se um complicador os cálculos fiaceiros, porque há duas taxas a serem cosideradas: a taxa de iflação ou correção moetária e a taxa real de juros. Chamado C i cm capital taxa de correção moetária periódica i ap taxa de juros aparete periódica (egloba a iflação e a taxa de juros real) i r taxa de juros real (cosiderado a moeda costate) O motate aparete (juros mais correção moetária) desse capital em um período será; M = C * (1+ iap ) (6.3) Outra forma de se calcular esse motate é separar a correção moetária da capitalização de juros; assim: a) corrigir o capital pela taxa de iflação, C # = C * (1+ i cm ) b) proceder a capitalização do capital corrigido pela taxa de juros real, M = C # * (1+ i ) = C r # * (1+ i cm ) * (1+ i r ) (6.4) Comparado-se as expressões (6.1) e (6.2) vem: ( 1+ iap ) = (1+ icm ) * (1+ ir ) (6.5) Esta fórmula permite a você relacioar as três taxas cosideradas: a aparete, a real e a de correção moetária. Para os estudos seqüetes utilizaremos os ídices de preços costates da tabela 7.

200 Uidade 6-7 Saiba mais... Neste processo capital e juro sofreram correção moetária. Algus sistemas de correção etedem que o juro só é devido ao fial do período e por isso ão sofrem correção moetária esse período. Leia sobre isto a leitura complemetar LC 71 em: tar%2071.doc Exemplo 6.2: calcular o ídice e a taxa de correção moetária etre os meses de maio e juho de 19X1. Solução: calcule o ídice de correção moetária: I (ju/mai) NI = NI ju mai 101,26 = 100,00 =1,0126 A taxa de iflação do período será: I = 1 + i 1,0126 = 1 + i i = 0,0126 am ou i = 1,26% am Exemplo 6.3: corrigir moetariamete $ 1.500,00 de maio de 19X1 para março de 19X2. Solução: o ídice de correção moetária do período é: 146,40 Icm(FEVX2/MAIX1) = 114,95 =1, O valor origial deve ser corrigido por esse ídice: Valor corrigido(fevx2) =1.500,00 * 1, = $ 1.910,39 Em outras palavras, $ 1.500,00 de maio de 19X1 é equivalete a $ 1.910,39 de fevereiro de 19X2.

201 Uidade 6-8 Ídice de correção moetária como iflator e como deflator Sempre que você se deparar com uma série temporal de valores fiaceiros, em regime iflacioário, terá a ecessidade de reduzi-la a valores fiaceiros equivaletes para aalisar a sua evolução real. Cosidere a série temporal abaixo, correspodete ao faturameto da empresa Alfa: Para se cohecer a evolução real do faturameto de Alfa, úmeros devem ser ajustados para refletir o mesmo poder de compra, levado em cota a iflação verificada o período. Os diversos valores são trasformados para uma úica data de referêcia utilizado-se os ídices de iflação ou de correção moetária. são: Os procedimetos padrões para fazer esse ajustameto a) coverter os valores das receitas de Alfa para valores de jaeiro/x1 deflacioado os valores mais recetes. Isto correspode a utilizar o ídice de correção moetária como deflator.

202 Uidade 6-9 Observar que a colua C deste Quadro os dá as receitas em valores moetários de jaeiro de 19X1. b) coverter os valores das receitas da Empresa Alfa para valores de maio/x1 iflacioado os valores para a data mais recete. Isto sigifica utilizar o ídice de correção moetária como iflator. Observar que a colua C deste Quadro os dá as receitas em valores moetários de maio de 19X1. A título de exemplo, a taxa de crescimeto real do faturameto da Empresa Alfa, etre jaeiro e maio de 19X1, será: por (a) : Y = por (b): * 100 =14,95%

203 Uidade Y = * 100 =14,95% ou seja, qualquer dos métodos coduz à mesma coclusão. Fiaciametos com correção moetária Fiaciameto com correção pré-fixada Neste método a taxa de juros do fiaciameto é aumetada de modo a coter uma compoete que reflita a iflação futura estimada. Portato, a taxa de juros praticada cotém duas compoetes que obedecem ã fórmula 6.3 (1 + i) = (1 +i) r *(1 + i cm) =(1 +i) r *Icm ode: i i r i cm I cm = taxa de juros pré-fixada; = taxa de juros real (c/ moeda costate); = taxa de correção moetária média prevista; e = ídice de correção moetária médio previsto. Na prática, tudo se passa como os modelos de fiaciameto já vistos para moeda estável, apeas com a utilização de taxas de juros majoradas devido a compoete iflacioária. Atividades de apredizagem 1. Para taxas de iflação de 5%, 10% e 15% quais as taxas aparetes que um baco deveria praticar para ter um gaho real de 10%? R: 15,5%, 21%, 26,5%.

204 Uidade Um baco opera com taxa de juros aparete de 45%. Sabedo que a iflação foi 15%, qual a taxa real de juros cobrada? R; 26,08%. Fiaciameto com correção pós-fixada Neste caso, a taxa de juros do fiaciameto é matida em íveis reais e o pricipal é corrigido moetariamete ao logo do período de empréstimo de modo a preservar o seu poder aquisitivo. A correção moetária para estes fiaciametos se processa pela seguite forma: os valores moetários são calculados pela taxa de juros real. Quado do efetivo pagameto as prestações, saldos devedores e juros são corrigidos moetariamete para a data do pagameto, de acordo com o ídice de correção moetária adotado. Aplicação: correção moetária em fiaciametos Exemplo 6.4: correção moetária pré-fixada. Cosidere um empréstimo cocedido a uma taxa real de juros de 12% aa para ser pago em 12 parcelas iguais postecipadas. Cosiderado uma iflação média de 35% aa, a taxa de juros do empréstimo será a seguite: (1+ i) = (1+ ir) * (1+ icm) = (1+ 0,12) * (1+ 0,35) (1+ i) =1,12 * 1,35 =1,512 i = 0,512 aa ou 51,2% aa e todos os cálculos do modelo de fiaciameto serão feitos com esta taxa de juros. Exemplo 6.5: correção moetária pós-fixada. Você tomou um fiaciameto de Cr$ ,00 em julho de 19X1 para

205 Uidade 6-12 pagameto em quatro parcelas postecipadas, mesais sucessivas e costates a uma taxa de juros real de 1% am. Determie o quadro de amortização real e corrija os valores dos pagametos de acordo com os ídices de iflação da tabela 7. A solução já vista em sistemas de amortização é apresetada abaixo para a taxa de juros real de 1% am. s 1 [i%;] PMT = PV* = * 0, = 2.562,81 O valor 0, vem de tabelas fiaceiras para o par [1%;4]. Retomado a tabela 8, pode-se determiar o ídice de correção moetária para cada mês, tomado julho como base. Os valores calculados acima para os meses de agosto, setembro, outubro e ovembro seriam multiplicados pelos ídices de correção correspodetes para efeito de pagameto. Assim, o pagameto da prestação de outubro seria de: PMT out = 2.562,81*1,02725 = 2.632,65 E o saldo devedor corrigido após esse pagameto seria de:

206 Uidade 6-13 SD out = 5049,75*1,02725 = 5.187,35 Este é o processo de correção moetária pós-fixada aplicado quado ão se quer arriscar uma estimativa de projeção de iflação. A correção é feita pela iflação que efetivamete ocorrer. A seguir de mostra o valor dos pagametos corrigidos. Atividades de apredizagem 3. Em um ao o qual a iflação foi 25% uma aplicação de $ ,00 lhe redeu $ 3.200,00. Qual foi o seu gaho real descotada a iflação? $ 700,00 ou 5,6% aa. 4. Cosidere a veda de um ativo qualquer por um preço a vista de $ ,00. O cliete aceita uma proposta de pagar uma etrada de $ e o restate depois de 6 meses com uma taxa de juros real de 2% am. Cosiderado um iflação média do período de 9% qual será o valor desse pagameto? R: 6.157, Você comprou um título com valor omial de % ,00 e vecimeto em 12 meses por $ ,03. Cico meses depois você foi ao mercado fiaceiro e vedeu esse título por $ ,00. A iflação esse período de cico meses foi de 10%. Quato você gahou e qual foi a taxa de juros auferida? R: $ 259,26, i = 0,63%.

207 Uidade Você comprou um eletrodoméstico por $ 5.000,00 comprometedo-se com 12 pagametos mesais postecipados de $ 472,79. A iflação do período foi de 12%. Qual a taxa de juros real desse fiaciameto? R: 14,46 % aa. 7. Dado o quadro de receitas abaixo efetue uma avaliação do crescimeto da mesma o período. Use a tabela 8. Chegamos ao fial da ossa última uidade! Você cumpriu todas as atividades da mesma? Etedeu todas as questões? Caso aida teha algumas dúvidas retore ao texto, cosulte o professor tutor, esclareça-as. Se sua resposta for positiva ossos cumprimetos efusivos pois você chegou ao fim da jorada com aproveitameto. Resumo Esta uidade levou você a tomar cohecimeto do feômeo da iflação, dos ídices de preço e ídices de iflação e a aplicar esses coceitos para corrigir os valores fiaceiros e elimiar os efeitos da iflação os mesmos. Também foram vistos, os coceitos de taxa de juros real e aparete e algus modelos de correção moetária pré-fixadas e pós-fixadas de valores moetários, com o uso de ídices de correção moetária. Aqui também chegamos ao fial do osso curso! Você percorreu um camiho árduo até aqui e merece ossos cumprimetos.

208 Uidade 6-15 Bibliografia Assaf Neto, A., Matemática fiaceira e suas aplicações, 9ª ed., Ed. Atlas, SP, 2006, 454 pp. De Fracisco, W., Matemática fiaceira, 7ª ed., Ed. Atlas, SP, 1994, 319 pp. Faro, C., Fudametos de matemática fiaceira, 1ª ed., Ed. Atlas, SP, Sobriho, J. D. V., Matemática fiaceira, 7ª ed., Ed. Atlas, 2000, 410 pp.. Mathias, W. F. & Gomes, J. M., Matemática fiaceira: com + de 600 exercícios resolvidos e propostos, 4ª ed., Ed. Atlas, SP, 2004, 460 pp.. Puccii, A. L., Matemática fiaceira objetiva e aplicada, 7ª ed., Ed. Atlas, SP, 2006, 432 pp..

209 Eresto Coutiho Puccii é egeheiro metalurgista (EPUSP/SP ), especialista em metalurgia uclear (EPUSP/SP- IEA/SP ), especialista em matemática (UFMS ) e mestre em Gestão da Produção Agroidustrial (UNIDERP/MS ). É Professor da UFMS desde 1968 e, desde 1980, resposável por disciplias ligadas à área de fiaças empresariais.

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