ARTIGO Nº 3 O ANATOCISMO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

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1 ARTIGO Nº 3 O ANATOCISMO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO JURANDIR GURGEL GONDIM FILHO Professor Adjuto do IESC Mestre em ecoomia (UFC/CAEN), MBA em Fiaças pelo IBMEC, Especialista em Fiaças Públicas (FGV) e Ecoomia de Empresas (UNIFOR) e Coordeador de Cotrole Fiaceiro da Secretaria da Cotroladoria do Estado do Ceará..RESUMO O presete trabalho tem por objetivo apresetar uma aálise dos sistemas de amortização utilizados o Brasil precisamete com relação ao Sistema Fracês e sua variate a Tabela Price. A idéia pricipal de tal aálise cosiste a precisa elucidação do aatocismo presete os sistemas de amortização que oera substacialmete o ível de edividameto dos empréstimos. Esta prática é proibida pelo Supremo Tribual Federal, desde a década de 30, coforme os Decreto-lei º.66/33 e da Súmula º que veda expressamete a prática da capitalização de juros, e suas formas siôimas, tais como juro composto, aatocismo e juro sobre juro. A partir do dicipliameto jurídico é que se fez ecessário a explicitação do mecaismo de icorporação de juros sobre juros com base o fudameto matemático a fim de costatar a preseça do aatocismo os sistemas de prestações costates: Sistema de Amortização Fracês-SAF e Tabela Price.. INTRODUÇÃO De forma a elucidar se há ou ão a preseça do aatocismo a Tabela Price este artigo será apresetado a seção o fudameto jurídico com base em lei e jurisprudêcia sobre o caso, e a seção o fudameto do procedimeto matemático com explicação dos sistemas de amortização, regimes de capitalização e exemplos acadêmicos e um exemplo real de um cotrato celebrado etre o próprio autor e uma istituição fiaceira de forma a comprovar a cobraça de juros sobre juros por itermédio das Séries de Capitais Uiformes, isto se faz ecessário para se ter uma idéia do dimesioameto da repercussão jurídica e fiaceira. Por fim, a coclusão dos resultados obtidos. Palavras-chave: Juros simples, Juros Compostos, Tabela Price, Sistema Fracês de Amortização, Série de Capitais Uiformes, Regimes de Capitalização, Lei da Usura, Súmula, Sistema Liear Poderado.

2 SEÇÃO. FUNDAMENTO JURÍDICO. É sabido que os juros que os bacos estão praticado são claramete ilegais. O primeiro poto de ilegalidade ecotra-se o percetual assustador dos juros cobrados por eles por meio de taxas elevadas que afrotam as ormas que orteiam a remueração do capital em osso país. Não obstate, a recete revogação do art. 9, parágrafo 3º da Carta Maga de 998, que limitava a aplicação de juros de % (doze por ceto) ao ao, deve-se ter em mete a limitação de juros aos bacos privados e públicos, que em maifesto setimeto de abusividade cobra juros absurdos agravado aida pela sua forma de capitalização em regime composto. Por coseguite, o Decreto º.66/33 que foi pleamete recepcioado pela Costituição Federal de 998 e está em pleo vigor. O referido decreto também istitui, em seu art. 4º, que é proibido cobrar juros sobre juros. Esta forma ilegal de eriquecimeto é o que se chama de ANATOCISMO, procedimeto correte os cotratos bacários, mas que acarreta o aumeto eorme da dívida, fazedo com que os devedores teham remotas possibilidades de pagá-la e quado se paga verifica-se o absurdo de recursos despedidos com os juros. Além de proibida pelo Dec..66/33, a capitalização de juros afrota o art. 53 do Código Comercial, assim redigido: Art. 53 É proibido cotar juros de juros. A jurisprudêcia é uâime ao codear e proibir o aatocismo. Iúmeras são as decisões ecotradas as revistas especializadas. Cita-se como exemplo: A proibição do aatocismo, costituido jus coges, prevalece aida mesmo cotra coveção expressa em cotrário. (RF 40/5; 44/47; 03/6; 353/6) No Recurso Estraordiário de º , publicado em RTJ º 08/77, o emiete Miistro Relator, DJACI FALCÃO, assim assiou: Aos demais, é de se cosiderar que a regra do art. 4º, do decreto º.66/33, ão foi revogada pela lei º 4.595, de 3//64, cosoate se acha assetado a jurisprudêcia desta Corte. Há que se otificar o que o SUPREMO TRIBUNAL DE JUSTIÇA se prouciou a respeito do assuto em sua Súmula 86: Súmula 86 Nas ideizações por ato ilícito, os juros compostos somete são devidos por aquele que praticou o crime.

3 E o excelso SUPREMO TRUBUNAL FEDERAL pacificou o assuto, cosolidado etedimeto sobre a questão, que é hoje matéria sumulada aquela Corte da Justiça. A súmula de º, com a mesma posição, assim se dispõe: Súmula É vedada a capitalização de juros, aida que expressamete covecioada. Sedo esse o etedimeto predomiate, sob esse aspecto a cobraça de juros tora-se igualmete importate desvedar o mecaismo de trasferêcia de riqueza por itermédio de cobraça de juros, ão somete pelo critério do valor, da taxa e do tempo, mas também de como determiado modelo icorpora e ifluecia tais variáveis. Nesse setido é que imprescidível o tratameto do fudameto matemático que será aalisado a seção seguite. SEÇÃO. FUNDAMENTOS DO PROCEDIMENTO MATEMÁTICO.. CONCEITOS BÁSICOS... Valor do diheiro o tempo As decisões fiaceiras as famílias, as empresas e o âmbito do govero, precisam ser avaliadas sob a ótica do pricípio do valor do diheiro o tempo. Esse pricípio refere-se ao fato de que uma uidade moetária hoje é preferível à mesma uidade moetária dispoível amahã. Esta decisão cofigura o dilema de todos os agetes ecoômicos, decidir sobre o que é melhor do poto de vista ecoômico-fiaceiro, se é postergar uma etrada de caixa (recebimeto) por certo tempo essa decisão evolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediate uma recompesa, defiida pelos juros. Desta forma, são os juros que efetivamete iduzem o adiameto do cosumo, permitido a formação de poupaça e de ovos ivestimetos a ecoomia. Para etedermos melhor o pricípio do valor do diheiro o tempo tetaremos respoder o seguite questioameto: Por que é melhor receber $ 00,00 hoje do que receber esse mesmo valor daqui a um ao? Porque o valor dos $ 00,00 recebidos hoje é maior que o valor dos $ 00,00 recebidos daqui a um ao. A resposta é a seguite: Recebedo hoje os $ 00,00 poderia comprar um bem e começar a usufruí-lo, pagado meos do que pagaria daqui a um ao. Poderia também aplicar esse diheiro pelo prazo de um ao, resgatado o valor aplicado mais os juros. A icerteza de receber essa quatia daqui a um ao pode ser maior que a de recebê-la hoje. As taxas de juros devem ser eficietes de maeira a remuerar: ASSAF NETO, Alexadre. Matemática Fiaceira e suas aplicações. 7.ed.são Paulo: Atlas, 00 3

4 a) o risco evolvido a operação (empréstimo ou aplicação), represetado geericamete pela icerteza com relação ao futuro ; b) a perda do poder de compra do capital motivada pela iflação. A iflação é um feômeo que corrói o capital, determiado um volume cada vez meor de compra com o mesmo motate; c) o capital emprestado / aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou gaho) ao proprietário do capital como forma de compesar a sua privação por determiado período de tempo. Este gaho é estabelecido basicamete em fução das diversas outras oportuidades de ivestimetos e defiido por custo de oportuidade.... Taxa Nomial e Efetiva No regime de capitalização composta a taxa proporcioal ão represeta a taxa equivalete, pois uidades de tempo distitas para um mesmo prazo, relativas à capitalização composta, modificam o valor do motate, o que ão acotece o regime de capitalização simples pelo fato de taxa proporcioal e equivaletes serem a mesma coisa. Etede-se por taxa omial aquela que expressa um valor de taxa egociado e aceito pelas partes, para uma determiada uidade de tempo, diferete daquela que será empregada os cálculos durate o processo de capitalização. A taxa efetiva etão expressa um valor de taxa que realmete determia o crescimeto do capital. Geralmete está defiida a mesma uidade de tempo que será empregada o processo de capitalização. Trata-se pois de uma taxa proporcioal a taxa omial. Imagiemos, por exemplo, que você ivista $.000 uma aplicação a taxa omial de % a.a, com capitalização semestral, durate um ao. Teríamos esse caso que efetuar os cálculos com a taxa de 6% a.s, que é a taxa proporcioal a % a.a e, ao mesmo tempo a taxa efetiva, pois o semestre é a uidade de tempo especificada como a de capitalização. Utilizado o critério de juros compostos chegamos ao resultado de $.3,60 ao fial de um ao, o que sigifica uma taxa de,36% a.a, diferete, portato da taxa omial de % a.a. Demostração: Taxa omial da operação para o período % ao ao Taxa proporcioal simples % ao semestre 0, Taxa efetiva de juros: i f +,36% ao ao..3. Critério de capitalização dos juros Os regimes de capitalização demostram como os juros são formados e sucessivamete icorporados ao capital o decorrer do tempo. Nesta coceituação podem ser idetificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou liear) e composto (ou expoecial). O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (), crescedo os juros de forma liear ao logo do tempo. Neste critério, 4

5 os juros somete icidem sobre o capital iicial da operação (aplicação ou empréstimo), ão se registrado juros sobre o saldo dos juros acumulados. Etededo melhor o regime de capitalização simples. O valor dos juros é calculado a partir da seguite expressão: ode: J VP x i x J valor dos juros expresso em uidades moetárias; VP capital. É o valor (em $) represetativo de determiado mometo; é o capital iicial. i taxa de juros, expressa em sua forma uitária; prazo. Um determiado capital, quado aplicado a uma taxa periódica de juro por determiado tempo, produz um valor acumulado deomiado de valor futuro ( motate ), e idetificado em juros simples e composto por VF. Em outras palavras, o motate é costituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: No etato, sabe-se que: Juros Simples > J VP x i x VF VP + J Substituido esta expressão básica a fórmula do motate acima, e colocado-se VP em evidêcia: VF VP + VP x i x > VF VP ( + i x ) O regime de capitalização composta icorpora ao capital ão somete os juros referetes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o mometo aterior. É um comportameto equivalete a uma progressão geométrica (PG) o qual os juros icidem sempre sobre o saldo apurado o iício do período correspodete (e ão uicamete sobre o capital iicial). FV PV ( + i) e PV FV ( + i) ode ( + i) é o fator de capitalização (ou de valor futuro), FCC (i, ) a juros compostos, e /( + i) o fator de atualização (ou de valor presete) FAC (i, ) a juros compostos. Por exemplo, admita um empréstimo de $.000,00 pelo prazo de 5 aos, pagado-se juros à razão de 0% ao ao. O quadro abaixo ilustra a evolução desta operação ao período, idicado os vários resultados tato em juros simples como composto e diate 5

6 dos resultados obtidos, pode-se coclui o efeito fiaceiro decorrete da aplicação de cada regime de capitalização Período Capitalização simples Juros auais ($) Saldo Devedor ($) Tabela Capitalização composta Juros auais ($) Saldo devedor ($) Difereça: Composta-Simples Juros Saldo auais devedor ($) ($) , , ,00.00,00 00,00.00, ,00.00,00 0,00.0,00 0,00 0, ,00.300,00,00.33,00,00 3, ,00.400,00 33,0.464,0 33,0 64,0 5 00,00.500,00 46,4.60,5 46,4 0,5 Saldo Gráfico Juros Simples x Juros Compostos Período JC JS..4. Séries de Capitais Uiformes. Com o ituito de melhor apresetar o etedimeto da proposta, essa seção tora-se imprescidível uma vez que os mecaismos utilizados os cotratos a maioria fucioam como uma série de capitais uiformes. Uma série de capitais uiformes represeta uma série de pagametos ou de recebimetos que se estima ocorrer em determiado itervalo de tempo. É bastate comum, a prática, defrotar-se com operações fiaceiras que se represetam por uma série de capitais uiformes. Por exemplo, empréstimos e fiaciametos de diferetes tipos costumam evolver uma seqüêcia de desembolsos periódicos de séries. De maeira idêtica, têm-se as séries de pagametos/recebimetos de aluguéis, de prestações oriudas de compras a prazo, de ivestimetos empresariais, de dividedos etc. Graficamete, as séries de capitais uiformes (padrão) são represetadas da forma seguite: PMT PMT PMT PMT PMT (tempo) 6

7 - o PMT iicial ocorre em : postecipado; - a difereça etre a data de um termo e outro é costate: periódico; - o prazo das séries é preestabelecido (fixo), apresetado períodos: limitado ou fiito; - os valores do PMT são uiformes (iguais): costates Valor Presete e Fator de Valor Presete - Valor Futuro e Fator de Valor Futuro O valor presete e valor futuro de uma série de capitais uiformes, coforme discutido o item precedete, para uma taxa periódica de juros, é determiado pelo somatório dos valores presetes ou valores futuros de cada um de seus valores. Reportado-se à represetação gráfica da série padrão apresetada, tem-se: VP VF (tempo) PMT PMT PMT PMT PMT Exemplo: Qual o valor que fiaciado a taxa de % ao mês pode ser pago em 4 parcelas mesais, iguais e sucessivas de $ 00,00 cada uma? Valor Presete MODELO Valor Futuro VP VF VP 00 (,0) 98,04 VP 00 (,0) 96, VP 3 00 (,0) 3 94,3 VP 4 00 (,0) 4 9,38 VP t ,77 VF 00 x (,0) 0 00,00 VF 00 x (,0) 0,00 VF 3 00 x (,0) 04,04 VF 4 00 x (,0) 3 06, VF t... 4,6 00 VP (,0) 00 + (,0) 00 + (,0) VP 00 + (,0) (,0) (,0) + (,0) (,0) 4 7

8 tira-se o MMC da expressão etre colchetes. MMC (,0) (,0) + (,0) + (,0) + (,0) VP 00 4 (,0) O umerador da expressão etre colchetes é a soma dos termos de uma P.G. de razão,0. Como a fórmula da soma dos termos de uma P.G. já é cohecida : S a ( q a ) q pg ode, a (,0) 0 ; q,0; 4 (,0) 4 4,0 (,0) VP $380,77 4 x 4 (,0) 0,0x(,0) VF 00x(,0) x(,0) + 00x (,0) + 00x (,0) 3 VF 00x 0 3 [(,0) + (,0) + (,0) + (,0) ] A expressão etre colchetes é a soma dos termos de uma P.G. de razão,0. Como a fórmula da soma dos termos de uma P.G. já é cohecida S a ( q a ) q pg ode, a (,0) 0 ; q,0; (,0) (,0) VF 00 00x $4,6 (,0) 0,0 substituido os úmeros da expressão acima pelos símbolos correspodetes, temos que: ( + i) ( + i) VP PMT ou VF PMT ou ( + i) i i Logo: ( + i) PMT VP ( + i) i i PMT VF ( + i) A fórmula do Fator de Valor Presete é: A fórmula do Fator de Valor Futuro é: ( + i) (+ i) FVP FVF ( + i) i i..5. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos. O desevolvimeto ecoômico esejou que toda relação ecoômica teha sempre uma compoete fiaceira como cotrapartida da egociação de bes e serviços. A sofisticação dessa relação acaba por determiar o surgimeto de dívidas. A forma de pagameto dessas dívidas, pricipalmete o médio e logo prazo, é tratada a Matemática Fiaceira pelos sistemas de amortização de empréstimos. É importate lembrar que o empréstimo é um ato ecoômico de reúcia por parte do agete forecedor dos recursos e, como tal, exige uma compesação que importa os juros. Portato a liquidação de uma operação de empréstimo sigifica o pagameto do Capital ou Pricipal acrescidos dos Juros decorretes por parte do agete tomador dos recursos. 8

9 Os sistemas de amortização são desevolvidos basicamete para operações de empréstimos e fiaciametos de logo prazo, evolvedo desembolsos periódicos do pricipal e ecargos fiaceiros. Existem diversas maeiras de se amortizar uma dívida, devedo as codições de cada operação estar estabelecida em cotrato firmado etre o credor (mutuate) e o devedor (mutuário). Nesta seção abordarei somete o Sistema de Amortização Fracês. Uma característica fudametal do sistema de amortização a ser estudado este trabalho é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, icidido os juros exclusivamete sobre o saldo devedor (motate) apurado em período imediatamete aterior Sistema de Amortização Fracês - SAF. O Sistema de Amortização Fracês (SAF), amplamete adotado o mercado fiaceiro do Brasil, estipula, ao cotrário do SAC, que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo padrão das séries de capitais uiformes, coforme mostrado ateriormete a seção..4. Os juros, por icidirem sobre o saldo devedor, são decrescetes, e as parcelas de amortização assumem valores crescetes. Em outras palavras, o SAF os juros decrescem e as amortizações crescem ao logo do tempo. A soma dessas duas parcelas permaece sempre igual ao valor da prestação. Com o ituito de melhor desevolver a compreesão do sistema fracês, cosidere o exemplo ilustrativo. Valor do empréstimo: $ 8.530,0 Taxa de juros: 36% ao ao Prazo: 0 meses Taxa Equivalete Mesal:,6% ao mês Taxa Proporcioal Mesal: 3,0% ao mês 9

10 Prestação: Tabela Taxa 36% TxEfetiva,6% Período Saldo Prestação Amortização Juros Prestação FCC Devedor Corrigida ,0 7.77,3 758,07,40 979,47,594.33, ,39 777,74 0,7 979,47,75.0, ,47 797,93 8,54 979,47,965.7, ,83 88,64 60,83 979,47,66.4, ,95 839,88 39,58 979,47,367.3, ,6 86,68 7,78 979,47, ,8 7.79, 884,05 95,4 979,47, , , 906,99 7,47 979,47, , ,69 930,53 48,93 979,47, ,89 0 0,00 954,69 4,78 979,47, ,47 Total 8.530,0.64, ,65.0,5 Saldo Devedor Corrigido SD x (+ i) 0.0,5 0 ( + i) ( + 0,06) VP PMT > 8.530,0 PMT > 0 ( + i) i ( + 0,06) 0, ,0 PMT 979,47 8,7090 Juros 0,06 x SD - > o J 0,06 x 8.530,0,40 - o J 0,06 x 7.77,3 0,7 Amortização P J > A P - J > o A 979,47,40 758,07 o A 979,47 0,7 777, Tabela Price. O sistema Price de amortização (ou Tabela Price) represeta uma variate do sistema fracês. Na realidade, o sistema fracês, desevolvido origialmete pelo matemático Iglês Richard Price (73-79), assumiu esta deomiação pelo uso amplamete geeralizado a Fraça do século passado. Quado desevolveu os fudametos de sua tabela, em 77, os objetivos de Richard Price eram opostos aos das aplicações atuais. Seu propósito era criar um sistema de redimetos acumulados para propiciar bos fudos de pesões aos cotribuites da época. O sistema price adota como característica básica o uso da taxa proporcioal ao ivés da taxa equivalete composta de juros. No exemplo ilustrativo geral proposto, utilizou-se a taxa equivalete mesal de,6% para o cálculo dos juros o sistema fracês. Este percetual, coforme mostrado o exemplo do item.., quado capitalizado para um ao, é igual à taxa de 36% de acordo com o estabelecido a operação de empréstimo [(+0,06) -] x 00 36%. No etato, se fosse utilizada a deomiada Tabela Price o plao de amortização da dívida, a taxa mesal a ser cosiderada seria a taxa proporcioal simples de 3% 0

11 (36%/), a qual, quado capitalizada para um ao, resulta um percetual efetivo superior à taxa cotratada, ou seja: Taxa de juros cotratada 36% ao ao Taxa proporcioal mesal 36%/ 3% ao mês Taxa efetiva aual de juros (+0,03) 4,58% ao ao Tabela 3 Taxa 36% TxEfetiva 3,0% Período Saldo Prestação Amortização Juros Prestação FCC Devedor Corrigida , , 744,09 55,9.000,00, , ,69 766,4 33,58.000,00,668.66, ,8 789,4 0,59.000,00,99.9, ,9 83,09 86,9.000,00,94.94, ,7 837,48 6,5.000,00,593.59, ,0 86,6 37,39.000,00,55.5,5 7.88,6 888,49,5.000,00,097.09, ,47 95,4 84,86.000,00, , ,87 94,60 57,40.000,00, ,00 0 0,00 970,87 9,3.000,00, ,00 Total 8.530,0.469, ,00.463,88 Saldo Devedor Corrigido SD x (+ i) 0.463,88 0 ( + i) ( + 0,03) 8.530,0 Prestação: VP PMT > 8.530,0 PMT > PMT ( + i) i ( + 0,03) 0,03 8,530 Juros 0,03 x SD - > o J 0,03 x 8.530,0 55,9 o J 0,03 x 7.786, 33,58 Amortização P J > A P - J > o A.000,00 55,9 744,09 o A.000,00 33,58 766,4 Observação importate: A partir da aálise das tabelas e 3 percebemos que ao corrigirmos as prestações, bem como o saldo devedor pelo FCC correspodete ao período, chegamos ao mesmo resultado, da mesma forma que ao utilizarmos o Fator de Valor Futuro FVF ( + i) ( ) e multiplicarmos pela prestação obteremos o mesmo resultado se i multiplicarmos o valor fiaciado pelo fator de capitalização composta FCC ( + i) Exemplo: Tabela 3 Logo: Etão: + i i + 0,03 0,03 0, ,03 0, ,03 FVF ( ) ( ), FCC( i ) ( + 0,03),

12 VP x FCC 8.530,0 x,34396 $.463,88 FVF x Prestação, x 000 $.463,88 A partir da aálise da observação em epígrafe, costatamos que com o pagameto das parcelas, o agete mutuate obtém o mesmo retoro fiaceiro que teria se a dívida evolui-se capitalizada mês a mês e o pagameto fosse feito de uma só vez pelo mutuário o fial do prazo. Essa capitalização das prestações obedece a lógica do reivesti meto dos fluxos de caixas itermediários. Diate do exposto é iquestioável o aatocismo do Sistema Fracês, bem como a Tabela Price, uma vez que se equadram o mecaismo de uma Série de Capitais Uiformes ou Prestações Costates. A literatura em matemática fiaceira escamoteia a prática de juros sobre juros os sistemas de amortização com prestações costates, haja vista que ao calcular a prestação coforme o procedimeto matemático de série de capitais uiformes, esta já icorpora a expoecialidade da taxa, o etato, ao afirmar que juro embutido a prestação icide sobre seu saldo devedor aterior já amortizado pela amortização que é tirada por difereça, efetivamete esse procedimeto ludibria os olhares mais ateto em relação à icorporação dos juros sobre os juros. A capitalização este sistema ocorre pela aplicação dos juros compostos sobre o valor atual de cada uma das parcelas, valor este que represeta o capital. O procedimeto de apuração do saldo devedor, da forma em que ormalmete ecotramos, baseado o qual, algus afirmam ão haver a capitalização, camufla a ocorrêcia da capitalização dos juros. O grade desafio que se impõe é descobrir uma alterativa que ofereça a possibilidade de equalização das prestações, sem que haja a capitalização dos juros. O sistema que permite calcular uma prestação composta de amortização e juros que retore ao credor o capital emprestado e os juros cotratados o regime de capitalização simples é cohecido como Sistema Liear Poderado...6. Sistema Liear Poderado. Se um empréstimo deverá ser amortizado pelo mecaismo de prestações costates e se quer evitar a icorporação dos juros sobre os juros dever-se-ia calcular como demostrado a fórmula abaixo e tabela respectiva. É importate destacar que o método utilizado, ao cotrário do que ocorre com a Tabela Price (icorporação de juros sobre juros), propicia uma prestação de amortização e juros simples todos meses e quita a dívida remuerada pelos juros e prazo cotratados. Desta forma, está assegurado o modelo o equilíbrio etre o que se paga por um empréstimo e o que se recebe por ele. Assim a idéia é afastar o aatocismo o caso de quem paga e proporcioar a liquidez cotratada de quem recebe as parcelas, possibilitado ao credor reemprestar o que recebeu, obtedo dessa forma a capitalização de vários tomadores que ão sejam o iicial, o que ão é ilegal. O fudameto desse método se baseia os postulados da progressão aritmética, desevolvida por Carl Friedrich Gauss, ode afirmava que qualquer seqüêcia pode ser medida sem ter que somar um a um todos os termos bastado para isso, fazer como se segue abaixo: ( a + a ) S

13 Sedo assim, por exemplo, se tivermos uma seqüêcia de a 0, em vez de somá-la, basta aplicar o seu postulado que o resultado será o mesmo, ou seja, 55;uma seqüêcia de a 80 será igual a 6.90; de a 360; ; e assim por diate Etededo melhor a Progressão Aritmética. Progressão Aritmética é toda seqüêcia de úmeros em que a difereça etre cada termo, a partir do segudo, e o termo imediatamete aterior é sempre costate. Esse valor costate é chamado razão da e será represetado por r. Se r < 0, a é decrescete. Se r 0, a é costate. Se r > 0, a é crescete. Assim, sabedo-se que a é o primeiro termo, a o último e r a razão de uma, temos: a a a a a a a a 3 + r + r a + r + r a + 3r a a + r a + ( ) r Portato, o valor do eésimo termo de uma é dado pela expressão a +, cohecida por fórmula do termo geral. ( ) r a Dedução da Fórmula da Soma dos Termos de uma A fim de facilitar o etedimeto, vamos deduzi-la a partir do seguite exemplo: determiar a soma dos úmeros aturais de até 9. S Observado os termos da podemos perceber que a soma dos termos eqüidistates dos extremos é sempre igual à soma dos extremos. E se o úmero de termos for VIEIRA Sobriho, José Dutra. Matemática Fiaceira.7ª.Ed. São Paulo: Atlas,

14 ímpar, como o caso presete, o termo itermediário será sempre igual à média aritmética dos termos extremos. Assim, podemos escrever: S S S ( + 9) + ( + 8) + ( 3+ 7) + ( 4+ 6) Como este exemplo o úmero 9 represeta o úmero de termos da, e 0 é a soma dos termos extremos, substituido os úmeros pelos respectivos símbolos, temos: S ( + a ) a Se, em vez de 9 termos tivéssemos 0, como do exemplo da tabela e 3 a soma dos termos seria assim represetada: S S ( + 0) + ( + 9) + ( 3+ 8) + ( 4+ 7) + ( 5+ 6) Como este ovo exemplo 0 represeta o úmero de termos e a soma dos termos extremos, a substituição dos úmeros pelos respectivos símbolos dará a fórmula ateriormete deduzida, isto é: S ( + a ) a Exemplo do Sistema Liear Poderado Supodo o exemplo aterior utilizado para etedimeto do Sistema Fracês e a Tabela Price, ode tíhamos um empréstimo de $ 8.530,0, que seria pago pelo mutuário, sedo sua taxa efetiva de 3,0% ao mês e 30% o total (0,03 x 0), possuido um valor de resgate de $.089,6. Valor de resgate> VF VP x ( + i x ) VF 8.530,0 x ( + 0,03 x 0)$.089,6 Ocorre que o mutuate possui o capital de $ 8.530,0, e estaria disposto a fiaciar o mutuário, desde que receba o retoro de forma parcelada e igual ao logo dos 0 meses, e ão ao fial. Assim fecham o egócio em redimetos a serem devolvidos por juros simples. Após fechado o egócio, restou agora saber como mutuate e mutuário irão resolver a questão da devolução em parcelas iguais e sucessivas, que ão evolva o coceito de aatocismo pela utilização da fução expoecial tão característica da Tabela Price. Para respodermos corretamete a esta questão, devemos utilizar o postulado matemático da progressão aritmética, que é o úico que se pode equadrar o problema. 4

15 Verificado as variáveis da operação temos: Taxa de 3% ao mês > ídice igual ( + 0,03 ),03; Ao pagar 30% de redimeto total > ídice igual ( + 0,30 ),30; Como o recebimeto dar-se-á por parcela iguais e sucessivas, sedo que a ª será paga depois de (um) período da cocessão do capital, a progressão deverá ser em -. Esquema do Fluxo de Caixa do empréstimo 0 PMT PMT PMT PMT PMT (tempo) Desta forma, podemos etão produzirão o seguite quadro de cálculos para as parcelas a juros simples: º Passo: Cálculo do Período 0 e - 9 º Passo: Cálculo do ídice correspodete a - ídice a - > ( + 0,03 x 9),7 3º Passo: Cálculo do Poto Médio ídice a - > ( + 0,03 x 9),7 ídice a (-) + > [( + 0,03 x 9) +],7 +,7 Poto médio > [(-) + ] >{ [( + 0,03 x 9) +]} (,7 + ),7,350 4º Passo: Cálculo do Capital Remuerado VP ( i ) + VP 8.530,0 (0,03 0) ,0.559, ,0 $.089, 6 5º Passo: Cálculo das Parcelas.089,6.089,6 Parcelas > PMT $977, 03, 350 0,3500 5

16 Assim a resposta para esta questão é que o mutuário deverá retorar, em juros simples e em 0 parcelas iguais e sucessivas, o valor mesal de $ 977,03 para o mutuate, que irá liberar $ 8.530,0. Dessa forma podemos evideciar que a tabela de juro liear, fudametada a PROGRESSÃO ARITMÉTICA dada pelo preceito de Gauss, em -, possui a seguite fórmula literal para pagametos postecipados: VP ( i ) + VP PMT, como vemos ão há expoecialidade a fórmula. i ( ) + Ode, VP capital; i taxa; prazo; parte iteira do capital. Logo: Numerador: VP ( i ) + VP 8.530,0 (0,03 0) ,0.559, ,0 $.089,6 Deomiador: VP ( i ) + VP i ( ) +.089,6 $977,03, ,6 0,03 (0 ) ,6.089,6 0,700, Numa etapa seguite e após calcularmos as parcelas em juro liear é preciso calcular as apropriações periódicas, o caso, apropriações mesais do juro, uma vez que o poto de partida foi o valor iverso, ou seja, partimos do capital já remuerado com o juro evoluido de trás para frete. Nesse caso, a solução se dá pelo método de apropriação poderada pela soma do prazo. Esse método, apesar de prático, aida ão é muito utilizado o Brasil e cosiste coforme o quadro e tabela 4 abaixo, para ecotramos o ídice de poderação que propiciará a apropriação periódica do juro e coseqüete costrução da tabela de amortização: Fórmula Literal do Ídice de Poderação: PMT VP I. P, S dos Ode: PMT é a prestação liear calculada o postulado de Gauss; úmero de períodos; VP Capital iicial; S dos Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética, o caso, S dos prazos. 6

17 No exemplo temos: PMT VP 977,03 0 (8.530,0) I. P, 5468 S dos 55 Ode: S dos > S ( a + a ) 0 ( + 0) 0 55 Logo: Valor da Prestação Nº de Período Capital Iicial Qradro Numerador Somas dos Prazos (SP A ) Ídice de Poderação 977, ,0.40,07 55,00,5468 Tabela 4 Taxa 36% TxEfetiva 3,0% Período Meses de Juros Saldo Devedor Amortização Juros a Apropriar Ídice de Poderação Prestação FCS a Juros Simples Prestação Corrigida A B CSD - - A D G - E E F x B F G H I , ,64 75,56 5,47, ,03,700.40, ,53 774, 0,9, ,03,400., ,88 796,65 80,37, ,03,00.8, ,68 89,0 57,83, ,03,800.5, ,93 84,75 35,8, ,03,500.3, ,64 864,9,73, ,03,00.094, ,80 886,84 90,9, ,03, , ,4 909,39 67,64, ,03, , ,48 93,93 45,09, ,03, ,34 0 0,00 954,48,55, ,03, ,03 Total ,0.40, ,7.089,6 Saldo Devedor Corrigido SD x (+( i x0)).089,6 3. ANÁLISE DO CONTRATO No presete estudo, foi aalisado uma situação real de um cotrato celebrado etre o próprio autor e uma istituição fiaceira a fim de complemetar as aálises acadêmicas demostradas ateriormete e cosubstaciar a coclusão. 7

18 3.. Metodologia Para efeito da aálise, primeiro se estabeleceu as codições origiais do cotrato, sem cosiderar o idexador de correção moetária, calculado como mada a literatura de séries de capitais uiformes, isto é, icorporou-se o regime de capitalização composta. Em segudo, a situação proposta, utilizou-se a mesma taxa e um mecaismo ode se ecotra uma prestação costate sem icorporar o juros sobre juros, coforme o exemplo demostrado a tabela abaixo Características origiais do cotrato : CARACTERÍSTICAS DO FINANCIAMENTO Valor da Compra Valor da Etrada Fiaciameto Total R$ ,00 R$ 5.50,00 R$ 5.88,9 Taxa de Juros(Mês) Taxa de Juros(Ao) Valor do IOF Valor da TAC Valor Líquido 3,3700% 48,84% R$ 88,9 R$ 50,00 R$ 4.850,00 Valor da Prestação Vecto.ª prestação Vecto. última prestação Nº de prestações R$ 93,95 3/0/003 3/0/005 4 Atualização Moetária Valor da Tarifa de Cobraça Ao Modelo Marca PRÉ FIXADO R$,83 Por Boleto Bacário 00/003 POLO.6 VOLKSWAGEN Tabela 5 Nº DE PREST. CONDIÇÕES ORIGINAIS DO CONTRATO SITUAÇÃO PROPOSTA Saldo Devedor Amort. Juros Prestação Valor Pago Saldo Devedor Ídice de Amort. Juros Prestação Poderação Nº de Meses de Juros FCS a Juros Simples Prestação Corrigida ,9 5.88, ,9 4,0 5,85 93,95 934, ,0 456,09 368,88 5, ,97 3, ,4 4.33,89 435,30 497,65 93,95 934, ,74 47,46 353,5 5, ,97, , ,9 449,97 48,98 93,95 934, ,9 486,83 338,4 5, ,97, , ,80 465,3 467,8 93,95 934,78 3.7,7 50,0 3,77 5, ,97 0, , ,99 480,80 45,5 93,95 934,78.754,5 57,57 307,40 5, ,97 9, , ,98 497,0 435,94 93,95 934,78., 53,94 9,03 5, ,97 8, , ,3 53,76 49,9 93,95 934,78.67,90 548,3 76,66 5, ,97 7, , ,6 53,07 40,88 93,95 934,78.09, 563,68 6,9 5, ,97 6, , ,9 548,97 383,98 93,95 934, ,7 579,05 45,9 5, ,97 5, , ,7 567,47 365,48 93,95 934, ,75 594,4 30,55 5, ,97 4,4780.4,9 9.69,3 586,59 346,36 93,95 934, ,96 609,79 5,8 5, ,97 3, , ,78 606,36 36,59 93,95 934, ,80 65,6 99,8 5, ,97, , ,98 66,79 306,6 93,95 934, ,7 640,53 84,44 5, ,97, , ,07 647,9 85,03 93,95 934, ,37 655,90 69,07 5, ,97 0, , ,3 669,75 63,0 93,95 934, ,0 67,7 53,70 5, ,97 9, , ,99 69,3 40,63 93,95 934, ,45 686,64 38,33 5, ,97 8, , ,34 75,65 7,30 93,95 934, ,44 70,0,96 5, ,97 7, , ,57 739,77 93,8 93,95 934, ,06 77,38 07,59 5, ,97 6,00 99, ,87 764,70 68,5 93,95 934, ,3 73,75 9, 5, ,97 5, , ,40 790,47 4,48 93,95 934, ,9 748, 76,85 5, ,97 4, ,8.60,9 87, 5,84 93,95 934,78.38,70 763,49 6,48 5, ,97 3,00 908,38.775,65 844,65 88,30 93,95 934,78.603,83 778,86 46, 5, ,97, , ,53 873, 59,84 93,95 934,78 809,60 794,3 30,74 5, ,97, ,77 4 0,00 90,53 30,4 93,95 934,78 0,00 809,60 5,37 5, ,97 0, ,97 Total Geral 5.88,9 7.0,5.390,80.434,7 Total Geral 5.88,9 4.6, ,34 Saldo Devedor Corrigido a Juros Compostos VP x FCC ,40 Saldo Devedor Corrigido a Juros Simples 7.47,58 Prestação Corrigida a Juros Compostos PMT x FVF ,40 Prestação Corrigida a Juros Simples 7.47,58 DIFERENÇA REAL ENTRE O TOTAL DAS RCELAS DO CONTRATO ORIGINAL E A SITUAÇÃO PROPOSTA 6.76,8 8

19 3..3. Cálculo da prestação com base o Sistema Liear Poderado. PMT VP ( i ) + VP i ( ) ,9 (0,0337 4) ,9 PMT $84, 97 0,0337 (4 ) Cálculo do Ídice de Poderação PMT VP 84, ,9 I. P 5,370 S dos CONCLUSÃO O presete trabalho apresetou uma leitura específica do processo de edividameto do sistema fiaceiro brasileiro por causa da utilização da Tabela Price. Diate do exposto, ficou claro a luz da legislação vigete que o referido cotrato utilizado como exemplo real ecotra-se eivado de vícios e ilegalidades que torariam ulas várias de suas cláusulas que além das previsões da Lei da Usura, desprezam o euciado da Súmula do Coledo Supremo Tribual Federal. Dessa forma, cosiderado as explicitações acima mecioadas, tem-se que as estipulações postas em setido cotrário o cotrato em questão são ulas de pleo direito por força do art. 66, icisos II e VII do Código Civil, a saber: Art. 66. É ulo o egócio jurídico quado: II for ilícito, impossível ou idetermiável o seu objeto; VII - a lei taxativamete o declarar ulo, ou proibir-lhe a prática, sem comiar sação. Partido da aálise da tabela 6 abaixo, costatamos que o cotrato evidecia a preseça do aatocismo, a medida em que quado corrigimos o saldo devedor pelo Fator de Capitalização detro do critério de juros compostos, coforme demostrado o item..3, ecotramos o mesmo valor quado corrigimos a prestação pelo Fator de Valor Futuro, desevolvido também pelo critério de juros composto detro do coceito das Séries de Capitais Uiformes, coforme demostrado o item..4. Esta costatação os remete a coclusão de que ocorre a aplicação dos juros compostos sobre o valor atual de cada uma das parcelas, como se estas represetassem o capital iicial. E o procedimeto de apuração do saldo devedor, explicitado a tabela 5 o cálculo da proposta origial, calculado da mesma forma em que é ecotrado a literatura da matemática fiaceira e seguido ipse litere pelos cotratos de fiaciameto existetes o mercado, baseado o qual afirmam ão haver capitalização, camufla a ocorrêcia da capitalização dos juros e a idisfarçável preseça do aatocismo. 9

20 Tabela 6 R$,00 ANÁLISE DA PRESENÇA DO ANATOCISMO Operação Saldo Iicial FCC (+ Valor da ( + i) i) Resultado Fial FVF i Prestação Resultado Fial (A) (B) (C)(A) x (B) (D) (E) (F) (D) x (E) Cotrato 5.88,9, ,40 93,95 36, ,40 Como a Lei e a Jurisprudêcia pátria garatem como legitimo a ão utilização de istrumetos cotratuais que trazem em suas cláusulas a cofiguração do aatocismo, é factível o pleito de revisão do cotrato ora aalisado. E desta forma, assim o fez o autor que impetrou uma ação revisioal e já teve a seu favor uma reegociação do cotrato juto à fiaceira as bases corretas. A despeito do aspecto jurídico, há que se cosiderar o efeito de grade impacto do aspecto fiaceiro evolvido, uma vez que, ao se acatar a orma legal e aplicar o postulado de Gauss o edividameto implícito do cotrato reduzirá sigificativamete, em termos reais de desembolso global fial, algo em toro de R$ 6.76,8 (seis mil e ceto e seteta e seis reais e oiteta e dois cetavos). 4.BIBLIOGRAFIA NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da prova documetal e precisa elucidação do seu aatocismo. Campias, São Paulo, Ed. Servada, 00. VIEIRA Sobriho, José Dutra. Matemática Fiaceira. 7ª.Ed.São Paulo: Atlas, 000. LAPONNI,Jua Carlos. Excel e Cálculos Fiaceiros: itrodução à modelagem fiaceira. São Paulo: Lappoi Treiameto e Editora 999. ASSAF, Neto Alexadre Matemática Fiaceira e suas aplicações. 7ª Ed. São Paulo, Ed. Atlas,

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