Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço

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1 4 Matemática Alexader dos Satos Dutra Igrid Regia Pellii Valeço Professor

2 SUMÁRIO Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Módulo 0 Progressão aritmérica Sequêcias uméricas Progressão aritmética (PA) Agora é a sua vez De olho o vestibular Módulo Progressão geométrica Classificação de uma PG Termo geral de uma PG Iterpolação geométrica Soma dos termos de uma PG fiita Soma dos termos de uma PG ifiita Agora é a sua vez De olho o vestibular Módulo Geometria plaa Polígoos Circuferêcia Circuferêcia iscrita e circuscrita a polígoos regulares Áreas de figuras plaas Agora é a sua vez De olho o vestibular Referêcias bibliográficas Nome:

3 módulo 0 Progressão aritmética Ao observar os fatos do dia a dia, é possível descobrir padrões uméricos em várias situações: a umeração das casas de uma rua de um lado, os úmeros pares, e do outro, os ímpares; as fases da Lua; as estações do ao; as eleições presideciais; a Copa do Mudo; as Olimpíadas. Esses padrões se chamam sequêcias quado obedecem a uma determiada ordem. obedecer a uma ordem; porém, a sequêcia meses do ao, obrigatoriamete, precisa estar em ordem. Assim, uma sequêcia ou sucessão, os elemetos são dispostos em ordem, separados por vírgula ou poto e vírgula e etre parêteses. A sequêcia meses do ao será: A (jaeiro, fevereiro, março, abril,..., ovembro, dezembro) Sequêcia ou sucessão umérica: qualquer co juto de úmeros dispostos ordeadamete. De modo geral, é represetada como A (a, a, a, a 4, a 5,..., a,...), em que a é o primeiro termo, a é o segudo termo, a é o terceiro e assim por diate. O a é o eésimo termo (ou elemeto), também cohecido como termo geral da sequêcia.. Sequêcias uméricas Os meses do ao podem ser escritos como um cojuto: A {março, jaeiro, dezembro,...}, sem ecessariamete Exercícios resolvidos. Escreva os cico primeiros termos da sequêcia defiida pela lei a, com N*. Para, tem-se: a Para, tem-se: a 0 Para, tem-se: a Para 4, tem-se: a 4 4 Para 5, tem-se: a 5 5 Portato, os cico primeiros termos da sequêcia são:, 0,, e. Escreva a sequêcia dada por a e a a +, com N e >. Para, já se sabe que a Se, etão: a a Se, etão: a a + a Se 4, etão: a 4 a 4 + a , e assim por diate. Logo, a sequêcia é: (,, 4, 7,...) Essa é uma sequêcia fiita. Os úmeros primos formam uma sequêcia umérica. A sucessão desses úmeros pode ser represetada da seguite forma: P (,, 5, 7,,,...) Essa é uma sequêcia ifiita. Para algumas sequêcias, existe uma lei de formação pela qual pode-se ecotrar qualquer um de seus elemetos, quado cohecida sua posição.. Escreva a sequêcia dada por a a e a a + a, com N e >. Sabe-se que a a Para : a a + a + a + Para 4: a 4 a 4 + a 4 a + a + Para 5: a 5 a 5 + a 5 a 4 + a + 5 Para 6: a 6 a 6 + a 6 a 5 + a Assim, a sequêcia é: (,,,, 5, 8,...) A partir do terceiro elemeto, cada termo é igual à soma dos dois ateriores, ou seja, o termo a 7 é a soma dos dois ateriores (5 + 8 ) e assim sucessivamete. Essa sequêcia é cohecida como sequêcia de Fiboacci. Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998.

4 Saiba mais Sequêcia de Fiboacci módulo 0 Fiboacci, que sigifica filho de Boaccio, foi um grade matemático da Idade Média, cujo ome era Leoardo de Pisa. Ele viveu os aos 00 e publicou o Liber abaci ( livro do cálculo ), o qual propôs o seguite problema: Um casal de coelhos tora-se produtivo depois de dois meses de vida. A partir de etão, produz um ovo casal a cada mês. Começado com um úico casal de coelhos recém-ascidos, quatos casais haverá o fim de dois aos? Para solucioar o problema proposto por Fiboacci, observe o diagrama a seguir. úmero de casais para f : * tal que f ( ) f ( ) + f ( ) para > Usado essa fução, obtém-se: f() f() f() f() + f() + f(4) f() + f() + f(5) f() + f(4) + 5 f(6) f(4) + f(5) f(7) f(5) + f(6) f(8) f(6) + f(7) 8 + f(9) f(7) + f(8) f() () Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) De forma semelhate a Fiboacci, vamos resolver o seguite problema: costruir triâgulos utilizado caudihos de refrigerate. Bruo del Rey/ Coexão Editorial Para esse resultado é dado o ome de sequêcia de Fiboacci, que pode ser defiida por meio da fução: 5 Dessa forma, chega-se à seguite sequêcia: (,,,, 5, 8,,, 4,...), que represeta a quatidade de casais de coelhos ao logo dos meses. Ao térmio de dois aos haverá coelhos. Essa sequêcia tem aplicações a atureza, em aálises do mercado fiaceiro e em computação, sedo muito útil em diversas áreas. elemeto aterior. A esse úmero, que se soma para obter um ovo elemeto da sequêcia, dá-se o ome de razão, e esse tipo de sequêcia é chamada de progressão aritmética (PA). Progressão aritmética: toda sequêcia em que, a partir do segudo termo, cada termo é obtido somado-se uma costate (um úmero fixo) ao elemeto aterior. Essa costate é chamada de razão da PA, represetada pela letra r (r ). Utilizado caudihos, é possível formar quatos triâgulos? A quatidade de caudihos usada para costruir mais um triâgulo forma a seguite sequêcia: (, 5, 7, 9,...). Portato, são ecessários ovos caudos para obter mais um triâgulo. O ovo elemeto da sequêcia pode ser obtido assim: O diagrama acima ressalta o fato de que cada ovo elemeto é obtido com a soma de um fator (o caso, ) ao Retorado ao problema origial, a sequêcia com a quatidade de caudos a costrução dos triâgulos fica assim: (, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9,,,...). Nessa sequêcia, o úmero é o o elemeto. Isso sigifica que, com caudihos, é possível formar triâgulos. Ao resolver problemas dessa atureza, é importate associar a posição do elemeto da progressão ao seu valor. Para isso, adota-se a seguite otação: PA (a, a, a, a 4,..., a, a,...). Nesse caso, a é o primeiro termo, a é o segudo termo, e assim sucessivamete. Também é importate cohecer a razão da PA. Para isso, ota-se, o exemplo aterior, que:

5 módulo 0 Etão: a + ( ) r Horia Varla / Flickr Classificação da PA r a a a a... a a ou r a a Uma PA pode ser classificada como: crescete: quado a razão é positiva ( r > 0). Exemplo: a sequêcia (, 8, 4, 0,...) é uma progressão aritmética crescete de razão r 6. decrescete: quado a razão é egativa ( r < 0). Exemplo: a sequêcia (, 9, 6,, 0, ) é uma progressão aritmética decrescete de razão r. estacioária: quado a razão é ula ( r 0). Exemplo: a sequêcia (,,,,,,,...) é uma progressão costate ou estacioária. Fórmula do termo geral Supõe-se que seja calculado quatos caudos são ecessários para costruir 00 triâgulos usado o mesmo método já apresetado. Nesse caso, usa-se uma maeira mais eficiete do que ficar somado até achar o termo desejado. Desse modo, recostrói-se a sequêcia do exemplo, desta vez assim: Em que: a termogeral ou oeésimo termo a primeirotermo úmero de termos da PA r razãoda PA Para resolver esse problema, calcula-se o cetésimo elemeto (a 00 ) da PA, em que a e r, ou seja: a 00 + (00 ) r a Portato, serão ecessários 0 caudihos para costruir 00 triâgulos. Pode-se eteder a razão do ome progressão aritmética observado, através de um exemplo, uma de suas propriedades: (, 8, 4, 0, 6) Qualquer termo cetral de uma PA pode ser escrito como a média aritmética etre o termo aterior e o termo posterior, ou seja: a+ a a a a a a a ,,... a Uma PA pode também ser etedida como uma fução em que a variável é composta por úmeros aturais positivos. No exemplo usado até aqui, a PA (, 5, 7, 9,...) pode ser escrita como uma fução: f : N* R tal que f(x) (x ) + ou f(x) x + Dessa forma, a razão correspode ao coeficiete agular (). Essa sequêcia pode ser represetada de forma gráfica por: f Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de a a + 5 a a a a a + r + ( ) r Ao obter um ovo termo da PA (a ), o úmero de vezes que é somada a razão ao primeiro termo (a ) é sempre a meos ( ) que a sua posição (). Portato, uma expressão para o termo geral de uma PA é: x

6 Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Exercícios resolvidos. Determie x de modo que (x, x +, x + 9) seja uma PA. x + x+ 9 x + 4x + 8 x + 6 x x S { }. Dada a PA (, 4, 7, 0,,...), escreva o seu termo geral e o 0 - termo dessa progressão. a termogeral a a a + ( ) r 4 a + ( ) + a Para 0, tem-se a 0 (0) a 0 8. Calcule o úmero de termos da PA ( 4,,,...,8). a 8 a 4 a a + ( ) r ( 4) 8 4+ ( ) Numa PA, tem-se a 6 8 e a Obteha a razão dessa sequêcia. Observe que, pelo termo geral: a a k + ( k)r Etão: a 0 + (0 )r + 9r a + 8r a + 7r... Assim: a a k + ( k)r a 0 a 6 + 4r r 4r 54 8 r 9 5. Ecotre o úmero de múltiplos de 5 compreedidos etre e 6., 5,..., 60, 6 a a a + ( ) Numa PA crescete, a + a 6 0 e a 4 + a 9 5. Escreva a PA correspodete. Cosiderado-se a + r; a 6 + 5r; a 4 +r; a 9 + 8r, escreve-se os termos em fução de a e r: a + a6 0 ( a+ r) + ( a+ 5r) a + 6r 0 a4 + a9 5 (a+ r) + ( a+ 8r) a + r 5 Resolvedo-se o sistema: a + 6r 0 a 6r 0 r e a a + r 5 a + r 5 Logo, a PA será: (, 4, 7, 0,, 6, 9,, 5, 8,,...) módulo 0 Iterpolação aritmética Iterpolar é o mesmo que iserir esse caso, iserir úmeros reais etre dois úmeros cohecidos, formado uma progressão aritmética. Para eteder a ideia, cosidere o seguite problema: radar 5 radares radar rodovia Ferado Lima km 5????? km 7 a a a a 4 a 5 a 6 a 7 5

7 módulo 0 Um departameto de trâsito deseja distribuir 5 sesores de velocidade uma rodovia estadual, etre os quilômetros 5 e 7, ode já existem radares fixos istalados. Em que potos da rodovia esses equipametos devem ser istalados de forma que a distâcia etre eles seja igual? Distribuir 5 ovos radares equidistates etre os quilômetros 5 e 7 equivale a iserir 5 meios aritméticos etre 5 e 7, ou seja: 5,,,,,, 7 a a 7 7 Assim: a 7 + 6r r 6r 8 r Exercícios resolvidos Cohecedo-se o primeiro termo (5 km) e a razão ou distâcia etre os radares ( km), é possível descobrir a sequêcia com a posição dos demais radares: (5, 58, 8, 04, 7, 50, 7) Matematicamete, 5 meios aritméticos foram iterpolados etre 5 e 7. Soma e produto de termos cosecutivos de uma PA Existem algumas situações em que é útil represetar uma PA de forma alterativa: PA de termos (x r, x, x + r) PA de 4 termos (x r, x r, x + r, x + r) PA de 5 termos (x r, x r, x, x + r, x + r). Ecotre três úmeros em PA crescete, sabedo que a soma é 5 e o produto é 05. a ( x r) a x a ( x+ r) Assim, os termos da PA são: ( x r) + x+ ( x+ r) 5 (soma dos termos) ( x r) + x+ x+ r 5 x 5 x 5 ( x r) x ( x+ r) 05 (produto dostermos) ( 5 r) 5 ( 5+ r) 05 5 r r ± Como a PA é crescete, etão r e x 5. Curiosidades a 5 Assim: a 5 a 5+ 7 PA (, 5, 7). Iterpole ou isira sete meios aritméticos etre e 4. Para ecotrar o segudo até o oitavo termos, é ecessário achar a razão da PA.,,,,,,,, 4 a a 9 9 a + ( )r a 9 + 8r 4 + 8r 8r r 4 PA (, 6, 0, 4, 8,, 6, 0, 4) Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Carl Friedrich Gauss ( ) era filho de um jardieiro muito simples que ão via utilidade os estudos. Apesar disso, sua geialidade foi logo percebida por sua mãe e seu tio (Friedrich). Cota-se que seu professor, Buter, solicitou que os aluos efetuassem a soma Assim, talvez pudesse deixá-los ocupados e em silêcio por um tempo. Em pouquíssimo tempo Gauss, a época com 0 aos, solucioou o problema, ecotrado como resposta. O professor achou que era bricadeira e pediu que ele mostrasse o que havia feito. Gauss foi até a lousa e escreveu a soma duas vezes, uma vez a ordem crescete e outra a ordem decrescete, e apresetou o seguite raciocíio: Vikki Hase/SXC S S S Como são 00 úmeros e o resultado dos termos das duas somas foi sempre igual, ele cocluiu: 0 00 S 0 00 S O professor ficou tão abismado com a ideia do garoto que lhe comprou uma coleção de aritmética e o ecamihou a outro professor, que julgava ser mais habilidoso com os úmeros. Apesar de ão ser tão habilidoso com a Matemática, esse velho mestre recoheceu a geialidade de seu aluo e deu o impulso ecessário ao seu crescimeto. Gauss se torou um dos mais brilhates matemáticos do século XIX. 6

8 Soma dos termos de uma PA fiita Em toda PA fiita, a soma de dois termos equidistates é igual à soma do primeiro e último termo. Veja o exemplo a seguir: Ou seja: a + a a + a a + a... + p + a p Com isso, repete-se o raciocíio de Gauss cosiderado uma PA qualquer. Para isso, chama-se de S a soma dos primeiros termos dessa progressão. Assim: S + a + a a + a + a S a + a + a a + a + a Etão, somado as duas lihas: S (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) Usado a propriedade aterior: S (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) módulo 0 O argumeto usado por Gauss serve para aplicar a soma de termos de uma progressão aritmética fiita qualquer. Pode-se eteder a razão matemática por raciocíio, verificado uma importate propriedade das progressões aritméticas. Exercícios resolvidos Como há fatores iguais somados: S ( a + a ) Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Qual é a soma dos 40 primeiros termos da PA (, 8,...)? ( a + a ) S a a40 a + 9r S40 ( a+ a40 ) 40 S40 ( + 6) 0 S Sedo a PA (,,, 4,...), ecotre a soma dos primeiros termos dessa PA. ( a + a ) S a a x x 5 a + ( ) 6 x S 80 x + 5 ( + x) 6 x ( + x) 6 x 6 x + 6x 55 0 x 55 Como a PA é crescete, etão: x 55 S {55} 4. A soma dos primeiros termos de uma PA é dada por S. ( a + a ) S a a + ( ) S ( S + ) S + a) Calcule a soma dos 4 primeiros termos dessa PA. b) Determie a 5. a) 4 S 4 (4) 6 b) a 5 S 5 S 4 [ 5 4 ] Calcule a soma * k k. Sabedo que o primeiro termo da equação x 80 forma uma PA, ecotre a solução da equação. 6 ( + 6 ) 6 k S 6 ( + 48) k * Utilizado para represetar soma. Assim: k 6 k 7

9 módulo 0 Agora é a sua vez. Ecotre os seis primeiros termos da sequêcia, cujo termo geral é a +. A sequêcia é (5, 7, 9,,, 5).. Calcule a soma dos quatro primeiros termos da sequêcia defiida por a +. a + 5 a + 7 a + a Soma Escreva as sequêcias defiidas pelos termos gerais a seguir (cosidere N e ). a) a ² (, 4, 9, 6, 5, 6,...) b) a ( ) (, 4, 8, 6,,...) 4. Obteha os cico primeiros termos da sequêcia defiida por, sedo N e. a a+ a+ a a + a + + a + a a 4 + a A sequêcia é (,,, 5, 8). 5. Uma sequêcia tem 6 termos, e sua lei de formação é dada por a 5 4, N*. Calcule a soma dessa sequêcia cosiderado como termos apeas os que são úmeros ímpares. Para, a 5 4 Para, a Para, a 5 4 Para 4, a Para 5, a Para 6, a Para 7, a Para 8, a Para 9, a Para 0, a Para, a A sequêcia é (,,,, 4, 5). Soma A soma dos primeiros termos de uma sequêcia é dada por S +,. Determie o terceiro e o quarto termos dessa sequêcia. a S ()² + a S 4 S [(4)² + 4] [()² + ] 6 5 a 4 S 5 S 4 [(5)² + 5] [(4)² + 4] Qual é o 00 o úmero atural par? PA (0,, 4, 6, 8,...) a00 a a a + 0 ( ) 00 r 0 a 0 + ( 00 ) a Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de

10 8. Um ourives possui 5 barras, e os pesos dessas barras estão em progressão aritmética. A seguda e quarta barras mais pesadas pesam, respectivamete, 50 g e 50 g. Qual a barra mais pesada? a + r 50 a 4 + r 50 a 400 e r 50 A barra mais pesada (a ) pesa 400 g.. Quatos múltiplos de podemos escrever com 4 algarismos? PA ( 00, 005,..., 9 999) a a 00 a a + ( ) r a 00 + ( ) módulo 0 Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Qual é o 57 o úmero atural ímpar? a a a Escreva o termo geral e determie o 5 - termo da progressão (,, 4,...). a a a a + ( ) r a + ( ) ( ) + a 5 Se 5,etão a ( ) 40 a Determie o 4 - termo da PA ( 4,, 6,...). a4 a a a + 4 ( ) 4 r ( 4) 5 a a + 40 r a Num auditório, a primeira fila tem 7 assetos; a seguda, ; a terceira, 5; e assim sucessivamete. Quatos assetos tem a 4 o fila? PA (7,, 5,..., a 4 ) a a 7 a a + ( ) 4 r 7 4 a 7 + ( 4 ) ( 4) a As raízes da equação x 8x + 0 são o primeiro e o segudo termos de uma PA decrescete. Determie o o termo dessa progressão. As raízes da equação são e 6. Sedo a PA decrescete, etão (6,,...). a a 6 a a + ( ) r 6 4 a 6+ ( ) ( 4) a 8 9

11 módulo 0 5. O cometa Halley pode ser visto aqui da Terra a cada 76 aos. A última vez que isso acoteceu foi em 986. Descubra se o Halley foi visto o ao 000 e, depois do ao 000, quado o cometa fará sua aparição. a 986 a 000 a a + ( ) r ( ) ( 76), 97 N 7. Escreva os dez primeiros termos de uma PA, sabedo que o primeiro termo é 5 e o décimo é 50. a0 50 a a a + 5 ( ) 0 r r 9r 45 r 5 (5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 40, 45, 50) (Como ão é atural, coclui-se que o cometa ão foi visto o ao 000.) a 000 a 986 a a + ( ) r ( ) 76 4, 4 Cosidera-se 5 para descobrir em que ao, após 000, o cometa aparecerá: a a O cometa aparecerá o ao Três úmeros estão em PA, de tal forma que a soma etre eles é 8, e o produto é 66. Calcule os três úmeros. PA (x r, x, x + r) x r+ x+ x+ r 8 x 8 x 6 ( x r) x ( x+ r) 66 (6 r) 6 (6 + r) 66 6 r r 5 r 5 ou r 5 Para x 6 e r 5, temos: (6 5, 6, 6 + 5) (, 6, ) Para x 6 e r 5, temos: [6 ( 5), 6, 6 + ( 5)] (, 6, ) Os úmeros são, 6 e. 8. Iterpole sete meios aritméticos etre e 9. a9 9 a a a + ( ) 9 r 9 + 8r 8r r 4 PA (,, 5, 9,, 7,, 5, 9) 9. A soma de três úmeros em PA crescete é, e a soma dos seus quadrados é 65. Ecotre os três úmeros. PA (x r, x, x + r) x r+ x+ x+ r x x 7 ( x r) + x + ( x+ r) 65 (7 r) (7 + r) r + r r + r 65 r r 9 r ou r Como a PA é crescete, cosidere r e x 7. Assim: PA (7, 7, 7 + ) (4, 7, 0) Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de

12 0. Ecotre três úmeros em PA crescete, sabedo que o seu produto é igual à soma dos três e que o maior vale a soma dos dois meores. PA (x r, x, x + r) ( x r) x ( x+ r) x r+ x+ x+ r x+ r x+ x r x r (r r) r (r + r) r r + r + r + r r r r 6r 6r³ 6r 0 r 0 ( ão covém, pois apaécrescete) 6r( r ) 0 r Se x r e r, etão x. Assim: PA (,, + ) (,, ). Uma equipe decide viajar de balão a uma altura de metros. Sabe-se que o balão sobe 800 metros a primeira hora e, em cada hora seguite, sobe uma altura de 50 metros a meos que a hora aterior. Quatas horas o balão leva para alcaçar a altura escolhida para a viagem? Altura S a 800 r 50 a ( )( 50) S [ ( )] ou 5 (ãoserve) Obalão leva 8horas para alcaçar aaltura escolhida. módulo 0 Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Determie cico úmeros em PA crescete, sabedo que o produto dos extremos é e a soma dos outros três é. Numa PA de 5 termos, os úmeros são (x r, x r, x, x + r, x + r) Pelo euciado temos: ( x r) ( x+ r) x 4r x r+ x+ x+ r x x 7 Substituido x 7 em x 4r, temos: 7 4r r ± Como apaécrescete, r. Portato,osúmeros são: ( 7 7, 7,, 7+, 7+ ) (, 4, 7, 0, ). Um estudate selecioou 00 exercícios de Matemática. No primeiro dia, ele resolveu somete exercício; o segudo dia, exercícios; o terceiro, 5; e assim por diate, até o fial de todos os exercícios. Quatos dias ele levou para resolver todos os exercícios? PA (,, 5,...) S 00 ( a + a ) S a a + ( ) S 00 ( 00 + ) 00 ± 0 O estudate levou 0 dias para resolver todos os exercícios. 4. Calcule a soma dos 00 úmeros pares positivos e a soma dos 00 úmeros aturais ímpares. Soma dos úmeros pares positivos: S ( + ) + S S Soma dos úmeros ímpares positivos: S ( + ) S S (Eem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com os aluos utilizado caudos de refrigerate para motar figuras, em que cada lado foi represetado por um caudo. A quatidade de caudos (C) de cada figura depede da quatidade de quadrados (Q) que formam cada uma. A estrutura de formação das figuras está represetada a seguir. figura figura figura Que expressão forece a quatidade de caudos em fução da quatidade de quadrados de cada figura? a) C 4Q b) C Q + c) C 4Q d) C Q + e) C 4Q

13 módulo 0 Nível (questões, 5, 8, 4, 7, 8) Nível (questões,, 4, 6, 7, 9, 0,,,, 5, 6, 0,,, 4) Nível (questões 9, ) De olho o vestibular. (UEPG-PR) Numa estrada existem dois telefoes istalados o acostameto: um o km e outro o km 48. Etre eles serão colocados mais 6 telefoes, matedo-se etre dois telefoes cosecutivos sempre a mesma distâcia. Nessas codições, assiale o que for correto. (0) A distâcia etre cada telefoe será de 5 km. (0) Haverá um telefoe o km 08. (04) Se um motorista está o km 65, a meor distâcia que ele terá que percorrer para ecotrar um telefoe será de km. (08) No km 7 ão haverá telefoe (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último ivero, foram suspesos algus cocertos em lugares fechados. Uma alterativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresetação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que a primeira fila houvesse 0 cadeiras; a seguda, 4 cadeiras; a terceira, 8 cadeiras; e assim por diate. O total de cadeiras foi: a) 84 b) 9 c) 68 d) 9 e) 80. (Uicamp-SP) Cosidere a sucessão de figuras apresetada a seguir, em que cada figura é formada por um cojuto de palitos de fósforo. figura figura figura Supoha que essas figuras represetam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o úmero de fósforos ecessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a: a) 00 c) 000 b) 000 d) (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da preseça africaa o desevolvimeto do pesameto matemático, os idícios e os vestígios os remetem à Matemática egípcia, sedo o papiro de Rhid um dos documetos que resgatam essa história. Nesse papiro ecotramos o seguite problema: Divida 00 pães etre 5 homes de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas meores. Fragmeto do papiro de Rhid. Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quatidade de: a) 5 b) 55 6 c) 0 pães. pães. d) 65 6 pães. pães. e) 5 pães. 5. (Uicamp-SP) No cetro de um mosaico formado apeas por pequeos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos ciza. Em toro dos ladrilhos cetrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos bracos, seguida por uma camada de ladrilhos ciza, e assim sucessivamete, alterado camadas de ladrilhos bracos e ciza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apeas a parte cetral do mosaico. Observado a figura, pode-se cocluir que a 0 a camada de ladrilhos ciza cotém: a) 76 ladrilhos. b) 56 ladrilhos. c) ladrilhos. d) 48 ladrilhos. a camada ciza a camada braca a camada ciza a camada braca a camada ciza 6. (UEGO) Sabedo que o lado, a diagoal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado. ( ) u.c. 7. (UFPE) Nos quilômetros e 9 de uma rodovia estão istalados telefoes de emergêcia. Ao logo da mesma rodovia e etre esses quilômetros, pretede-se istalar 0 outros telefoes de emergêcia. Se os potos adjacetes de istalação dos telefoes estão situados a uma mesma distâcia, qual é essa distâcia, em quilômetros? A distâcia é de 8 km. 8. (Cesgrario-RJ) Leia o texto a seguir: 5, milhões Brasil 4,7 milhões,8 milhões Equato o mudo o úmero de turistas cresce, o Brasil ele dimiui. Essa é uma das coclusões do relatório da Orgaização Mudial de Turismo, divulgado recetemete. Veja, 5 ov. 00. Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998.